4.5.2 用二分法求方程的近似解
【学习目标】
1.理解用二分法求方程的近似解,知道用二分法求方程近似解的原理和步骤,并能借助信息技术用二分法求方程的近似解.
2.了解二分法只能用于变号零点的求解,能解决与方程近似解的有关问题.
◆ 知识点一 二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且 的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间 ,使所得区间的两个端点 ,进而得到零点 的方法叫作二分法.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)可以用二分法求函数f(x)=(x+1)3的零点. ( )
(2)函数f(x)=|x+1|的零点可以用二分法来求. ( )
2.用二分法求函数零点的适用条件是什么
◆ 知识点二 用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度ε,用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下:
(1)确定零点x0的初始区间 .这一步的关键在于:①使区间长度尽量小;②f(a),f(b)的值比较容易计算;③f(a),f(b)异号.
(2)求区间(a,b)的 .利用公式c=即可求解.
(3)计算f(c),并进一步确定零点所在的区间.
①若 (此时x0=c),则c就是函数的零点;②若f(a)·f(c)<0(此时x0∈ ),则令b=c;③若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令a=c.这一步的目的是缩小零点所在的区间,也就是所谓的“二分”.
(4)判断是否达到精确度ε:若 ,则得到零点近似值a(或b);否则重复第(2)(3)(4)步.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后,零点必定在左侧区间内. ( )
(2)用二分法所求出的方程的解都是近似解. ( )
(3)精确度ε就是近似值. ( )
(4)用二分法求方程f(x)=0在区间[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.5)<0,f(0.562 5)<0,f(0.625)>0,则方程的近似解可以为0.625(精确度为0.1). ( )
2.(1)用二分法求方程的近似解时,如何决定步骤的结束
(2)你知道为什么当|a-b|<ε时,可将a或b的值看成方程的近似解吗
◆ 探究点一 二分法的概念
例1 (1)下列函数图象与x轴均有交点,且已知其解析式,则不能用二分法求图中函数零点的是 ( )
(2)(多选题)下列函数中,能用二分法求函数零点的有 ( )
A.f(x)=3x-1
B.f(x)=x2-2x+1
C.f(x)=log4x
D.f(x)=-2
变式 (1)已知函数f(x)的图象如图所示,则其零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为 ( )
A.4,4
B.3,4
C.5,4
D.4,3
(2)(多选题)已知函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点,且都可以用二分法求得,其图象是连续不断的,若f(0)>0,f(1)f(2)f(3)<0,则下列说法正确的是 ( )
A.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0,1)和(1,2)内
B.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(1,2)和(2,3)内
C.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0,1)和(2,3)内
D.函数f(x)的两个零点不可能同时在区间(1,2)内
[素养小结]
判断一个函数能否用二分法求零点近似值的依据是其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用.
◆ 探究点二 求方程的近似解
例2 (1)用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0,f(0.5)>0,则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为 ( )
A.(0,0.5),f(0.125)
B.(0,0.5),f(0.25)
C.(0.5,1),f(0.75)
D.(0,0.5),f(0.375)
(2)用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的根的近似值时,令f(x)=ln(2x+6)+2-3x,并用计算器得到下表:
x 1.00 1.25 1.375 1.50
f(x) 1.079 4 0.191 8 -0.360 4 -0.998 9
则由表中的数据,可得方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解(精确度为0.1)为 ( )
A.1.125 B.1.312 5
C.1.437 5 D.1.468 75
变式 用二分法求方程2x+x=4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2).
参考数据:
x 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x的近似值 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
[素养小结]
用二分法求方程的近似解的思路和方法:
(1)根据函数的零点与相应方程解的关系,求函数的零点与求相应方程的解是等价的,所以求方程f(x)=0的近似解,可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.
(2)对于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解,可以通过移项化为求函数F(x)=f(x)-g(x)的零点的近似值,然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.
4.5.2 用二分法求方程的近似解
1.B [解析] 函数f(x)在区间(1,1.5)内的零点两侧函数值同号,因此不能用二分法求该区间上函数的零点.
2.C [解析] f(x)=lg x+x-3在(0,+∞)上单调递增,因为f(1)=lg 1+1-3=-2<0,f(2)=lg 2+2-3=lg<0,f(3)=lg 3+3-3=lg 3>0,f(4)=lg 4+4-3>0,所以f(2)·f(3)<0,根据函数零点存在定理知,可以取的初始区间为(2,3),故选C.
3.C [解析] 因为f(-1)>0,f(-2)<0,且函数f(x)=x3-2x+2的图象连续不断,所以函数f(x)=x3-2x+2在区间(-2,-1)内有零点,所以下一步应计算f(x1),x1==-.故选C.
4.B [解析] f(1)=2+1-8=-5<0,f(5)=25+5-8=25-3>0,第一次取x1==3,有f(3)=23+3-8=3>0,故第二次取x2==2,有f(2)=22+2-8=-2<0,故此时可确定近似解所在区间为[2,3].故选B.
5.C [解析] 由二分法的定义,可得正零点所在区间不断缩小,(1,1.5)→(1,1.25)→(1.125,1.25),(1.125,1.25)的区间长度为|1.125-1.25|=0.125>0.1,故没有达到精确度的要求,应该接着计算f=f(1.187 5)的值.故选C.
6.CD [解析] 易知选项A,B中的函数有零点,且可用二分法求零点的近似值;对于选项C,y=x2+4x+8=(x+4)2≥0,该函数有零点,但不能用二分法求零点的近似值;对于选项D,y=|x|≥0,该函数有零点,但不能用二分法求零点的近似值.故选CD.
7.1.312 5(答案不唯一) [解析] 由表格中的数据,可得f(1.312 5)f(1.343 75)<0,且|1.343 75-1.312 5|=0.031 25<0.05,所以方程x3-x-1=0的一个近似解为1.312 5.
8.2或-1 [解析] 由函数f(x)=(a+2)x2+2ax+1有零点,但不能用二分法求其零点,可知函数f(x)的图象在x轴上方或下方(包括x轴).当a+2=0,即a=-2时,f(x)=-4x+1,能用二分法求零点,不符合题意;当a+2≠0,即a≠-2时,f(x)=(a+2)x2+2ax+1为二次函数,而f(x)有零点,但不能用二分法求其零点,可知函数f(x)的图象与x轴有1个交点,即(a+2)x2+2ax+1=0有两个相等实根,所以Δ=4a2-4(a+2)=0,解得a=2或a=-1.
9.解:设函数f(x)=2x+3x-6,则f(x)在R上是增函数,设方程6-3x=2x的解为x0,
则x0∈(1,2),∵f(1)=-1<0,f(2)=4>0,f(1.5)≈1.33>0,
∴f(1)·f(1.5)<0,∴x0∈(1,1.5).
∵f(1.25)≈0.13>0,
∴f(1)·f(1.25)<0,
∴x0∈(1,1.25).
∵f(1.125)≈-0.445<0,
∴f(1.125)·f(1.25)<0,
∴x0∈(1.125,1.25).
∵f(1.187 5)≈-0.157 5<0,
∴f(1.187 5)·f(1.25)<0,
∴x0∈(1.187 5,1.25).
∵|1.25-1.187 5|=0.062 5<0.1,∴方程6-3x=2x在区间(1,2)内的近似解可以为1.2.
10.A [解析] 由函数f(x)=2x-=2x-=2x--2,根据指数函数与反比例函数的性质,可得函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(1,+∞)上至多有一个零点,又由依次确定了零点所在区间为[a,b],,,可得即
解得a=,b=.故选A.
11.BCD [解析] ∵y=2x与y=3x-7都是R上的增函数,∴f(x)=2x+3x-7是R上的增函数,∴f(x)在R上至多有一个零点.由表格中的数据可知f(1.422)<0,f(1.437 5)>0,∴f(x)在R上有唯一零点,零点所在的区间为(1.422,1.437 5),∴h<0,A错误;方程2x+3x-7=0有实数解,B正确;f(1.375)=-0.28<0,f(1.437 5)=0.02>0,1.437 5-1.375=0.062 5<0.1,即若精确度为0.1,则近似解可取为1.375,C正确;f(1.406 25)=h<0,f(1.437 5)=0.02>0,1.437 5-1.406 25=0.031 25<0.05,即若精确度为0.05,则近似解可取为1.437 5,D正确.故选BCD.
12. [解析] 依题意,因为f(x)=x-4log3x,所以f(1)=1-4log31=1,f(3)=3-4log33=3-4=-1,所以f(1)f(3)<0,所以零点所在的区间为(1,3);故第二次计算f(x1)的值时,x1==2,所以f(2)=2-4log32=log313.7 [解析] 开区间[1,2]的长度等于1 ,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半,经过n次操作后,区间长度变为,因为=>0.01,=<0.01,所以n≥7,即所需二分区间的次数最少为7.
14.解:易得g(x)=+log2x-2是定义域内的增函数且图象连续不断.
∵g(1)=1-2=-1<0,g(2)=+log22-2=-1>0,
∴函数g(x)在区间(1,2)内有且仅有一个零点.
∵g(1.5)=+log21.5-2≈1.225+0.585-2=-0.19<0,
∴函数的零点在(1.5,2)内.
∵g(1.75)=+log21.75-2≈1.323+0.807-2=0.13>0,∴函数的零点在(1.5,1.75)内.
∵g(1.625)=+log21.625-2≈1.275+0.700-2=-0.025<0,
∴函数的零点在(1.625,1.75)内,
又|1.625-1.75|=0.125<0.2,
∴g(x)零点的近似值为1.625.
15.-1或-0.8 [解析] 设f(x)=2x-x2,易知f(x)在(-∞,0)上单调递增,由表格知f(-0.8)<0,f(-0.6)>0,所以f(-0.8)f(-0.6)<0,所以函数f(x)的一个零点在(-0.8,-0.6)内,又方程的一个根位于(a,a+0.4)内,所以当a=-1时,(-0.8,-0.6) (-1,-0.6),当a=-0.8时,(-0.8,-0.6) (-0.8,-0.4),故a的值是-1或-0.8.
16.解:设2025年每台电动车的生产成本为M元,依题意得M(1+40%)=1500×(1+15%)×75%,
解得M≈924,所以2025年每台电动车的生产成本约为924元.
设2022年至2025年生产成本平均每年降低的百分数为x,
根据题意,得1500(1-x)4=924(0x 0.1 0.15 0.2 0.3 0.45
f(x) 60.15 -141 -309.6 -563.85 -786.75
则f(0.1)·f(0.15)<0,故函数f(x)在区间(0.1,0.15)内有零点x0.
取区间(0.1,0.15)的中点x1=0.125,可得f(0.125)≈-44.7.
由f(0.125)·f(0.1)<0,得x0∈(0.1,0.125),
取(0.1,0.125)的中点x2=0.112 5,得f(0.112 5)≈6.6,
因为f(0.112 5)·f(0.125)<0,所以x0∈(0.112 5,0.125),
同理x0∈(0.112 5,0.118 75),
又|0.118 75-0.112 5|<0.01,
所以原方程的近似解可取为0.112 5,
故2022年至2025年生产成本平均每年降低11.25%.4.5.2 用二分法求方程的近似解
1.如图是函数f(x)的图象,它与x轴有4个不同的交点,下列给出的四个区间中,存在不能用二分法求的零点,则该零点所在的区间是 ( )
A.(-1.4,-0.7)
B.(1,1.5)
C.(2.7,3.6)
D.(3.6,4.2)
2.用二分法求函数f(x)=lg x+x-3零点的近似值时,可以取的初始区间是 ( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
3.[2025·山东德州高一期中] 用二分法研究函数f(x)=x3-2x+2的零点时,通过计算得f(-1)>0,f(-2)<0,则下一步应计算f(x1),则x1= ( )
A.0 B.- C.- D.-
4.设f(x)=2x+x-8,用二分法求方程2x+x-8=0在[1,5]上的近似解时,经过两次二分法后,可确定近似解所在区间为 ( )
A.[1,2]或[2,3] B.[2,3]
C.[1,2] D.不能确定
5.[2024·湖南名校联合体高一期末] 用二分法求函数f(x)=ex-x-2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时,依次计算得到如下数据;f(1)≈-0.28,f(1.5)≈0.98,f(1.25)≈0.24,f(1.125)≈-0.04.关于下一步的说法正确的是 ( )
A.已经达到精确度的要求,可以取1.1作为近似值
B.已经达到精确度的要求,可以取1.125作为近似值
C.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.187 5)
D.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.062 5)
6.(多选题)下列函数中,有零点但不能用二分法求零点的近似值的是 ( )
A.y=+1
B.y=
C.y=x2+4x+8
D.y=|x|
7.若函数f(x)=x3-x-1在区间[1,1.5]内的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下:
f(1)<0 f(1.5)>0
f(1.25)<0 f(1.375)>0
f(1.312 5)<0 f(1.343 75)>0
那么方程x3-x-1=0的一个近似解为 (精确度为0.05).
8.若函数f(x)=(a+2)x2+2ax+1有零点,但不能用二分法求其零点,则实数a的值为 .
9.(13分)用二分法求方程6-3x=2x在区间(1,2)内的近似解(精确度为0.1).
参考数据:
x 1.125 1.187 5 1.25 1.375 1.5
2x的近似值 2.18 2.28 2.38 2.59 2.83
10.[2024·上海虹口区高一期末] 若在用二分法寻找函数y=2x-(x>1)零点的过程中,依次确定了零点所在区间为[a,b],,,则实数a和b分别等于 ( )
A., B.2,3
C.,2 D.,
11.(多选题)[2024·广州高一期末] 教材中用二分法求方程2x+3x-7=0的近似解时,设函数f(x)=2x+3x-7来研究,通过计算列出了它的对应值表:
x 1.25 1.375 1.406 25 1.422 1.437 5 1.5
f(x) -0.87 -0.28 h -0.05 0.02 0.33
分析表中数据,则下列说法正确的是 ( )
A.h>0
B.方程2x+3x-7=0有实数解
C.若精确度为0.1,则近似解可取为1.375
D.若精确度为0.05,则近似解可取为1.437 5
12.已知函数f(x)=x-4log3x,用二分法计算此函数在区间[1,3]上零点的近似值,第一次计算f(1),f(3)的值,第二次计算f(x1)的值,第三次计算f(x2)的值,则x2= .
13.[2025·漳州高一期末] 用二分法求函数f(x)=ln x+x-2在区间[1,2]上零点的近似值,要求精确度为0.01时,所需二分区间的次数最少为 .
14.(15分)函数g(x)=+log2x-2在区间(1,2)内是否有零点 若有零点,用二分法求零点的近似值(精确度为0.2);若没有零点,说明理由.(参考数据:≈1.118,≈1.225,≈1.275,≈1.323,log21.25≈0.322,log21.5≈0.585,log21.625≈0.700,log21.75≈0.807)
15.利用计算器列出自变量和对应的函数值如下表:
x -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
y=2x 0.329 9 0.378 9 0.435 3 0.5 0.574 3 0.659 8 0.757 9 0.870 6 1
y=x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0
若方程2x=x2有一个根位于区间(a,a+0.4)(其中实数a在表格第一行里的数据中取值)内,则a的值为 .
16.(15分)随着社会的发展,电动车进入了千家万户,给我们的生活带来了极大的方便.某品牌电动车2021年平均每台电动车生产成本为1500元,并以纯利润15%标定出厂价.2022年开始,公司加强管理,降低生产成本.2025年平均每台电动车尽管出厂价仅是2021年出厂价的75%,但却实现了纯利润40%的高收益.若以2021年的生产成本为基数,用二分法求2022年至2025年生产成本平均每年降低的百分数(精确度为0.01)(参考数据:0.554≈0.091 5,0.74=0.240 1,0.84=0.409 6,0.854≈0.522 0,0.8754≈0.586 2,0.887 54≈0.620 4,0.94=0.656 1,0.881 254≈0.603 1).
4.5.2 用二分法求方程的近似解
1.B [解析] 函数f(x)在区间(1,1.5)内的零点两侧函数值同号,因此不能用二分法求该区间上函数的零点.
2.C [解析] f(x)=lg x+x-3在(0,+∞)上单调递增,因为f(1)=lg 1+1-3=-2<0,f(2)=lg 2+2-3=lg<0,f(3)=lg 3+3-3=lg 3>0,f(4)=lg 4+4-3>0,所以f(2)·f(3)<0,根据函数零点存在定理知,可以取的初始区间为(2,3),故选C.
3.C [解析] 因为f(-1)>0,f(-2)<0,且函数f(x)=x3-2x+2的图象连续不断,所以函数f(x)=x3-2x+2在区间(-2,-1)内有零点,所以下一步应计算f(x1),x1==-.故选C.
4.B [解析] f(1)=2+1-8=-5<0,f(5)=25+5-8=25-3>0,第一次取x1==3,有f(3)=23+3-8=3>0,故第二次取x2==2,有f(2)=22+2-8=-2<0,故此时可确定近似解所在区间为[2,3].故选B.
5.C [解析] 由二分法的定义,可得正零点所在区间不断缩小,(1,1.5)→(1,1.25)→(1.125,1.25),(1.125,1.25)的区间长度为|1.125-1.25|=0.125>0.1,故没有达到精确度的要求,应该接着计算f=f(1.187 5)的值.故选C.
6.CD [解析] 易知选项A,B中的函数有零点,且可用二分法求零点的近似值;对于选项C,y=x2+4x+8=(x+4)2≥0,该函数有零点,但不能用二分法求零点的近似值;对于选项D,y=|x|≥0,该函数有零点,但不能用二分法求零点的近似值.故选CD.
7.1.312 5(答案不唯一) [解析] 由表格中的数据,可得f(1.312 5)f(1.343 75)<0,且|1.343 75-1.312 5|=0.031 25<0.05,所以方程x3-x-1=0的一个近似解为1.312 5.
8.2或-1 [解析] 由函数f(x)=(a+2)x2+2ax+1有零点,但不能用二分法求其零点,可知函数f(x)的图象在x轴上方或下方(包括x轴).当a+2=0,即a=-2时,f(x)=-4x+1,能用二分法求零点,不符合题意;当a+2≠0,即a≠-2时,f(x)=(a+2)x2+2ax+1为二次函数,而f(x)有零点,但不能用二分法求其零点,可知函数f(x)的图象与x轴有1个交点,即(a+2)x2+2ax+1=0有两个相等实根,所以Δ=4a2-4(a+2)=0,解得a=2或a=-1.
9.解:设函数f(x)=2x+3x-6,则f(x)在R上是增函数,设方程6-3x=2x的解为x0,
则x0∈(1,2),∵f(1)=-1<0,f(2)=4>0,f(1.5)≈1.33>0,
∴f(1)·f(1.5)<0,∴x0∈(1,1.5).
∵f(1.25)≈0.13>0,
∴f(1)·f(1.25)<0,
∴x0∈(1,1.25).
∵f(1.125)≈-0.445<0,
∴f(1.125)·f(1.25)<0,
∴x0∈(1.125,1.25).
∵f(1.187 5)≈-0.157 5<0,
∴f(1.187 5)·f(1.25)<0,
∴x0∈(1.187 5,1.25).
∵|1.25-1.187 5|=0.062 5<0.1,∴方程6-3x=2x在区间(1,2)内的近似解可以为1.2.
10.A [解析] 由函数f(x)=2x-=2x-=2x--2,根据指数函数与反比例函数的性质,可得函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(1,+∞)上至多有一个零点,又由依次确定了零点所在区间为[a,b],,,可得即
解得a=,b=.故选A.
11.BCD [解析] ∵y=2x与y=3x-7都是R上的增函数,∴f(x)=2x+3x-7是R上的增函数,∴f(x)在R上至多有一个零点.由表格中的数据可知f(1.422)<0,f(1.437 5)>0,∴f(x)在R上有唯一零点,零点所在的区间为(1.422,1.437 5),∴h<0,A错误;方程2x+3x-7=0有实数解,B正确;f(1.375)=-0.28<0,f(1.437 5)=0.02>0,1.437 5-1.375=0.062 5<0.1,即若精确度为0.1,则近似解可取为1.375,C正确;f(1.406 25)=h<0,f(1.437 5)=0.02>0,1.437 5-1.406 25=0.031 25<0.05,即若精确度为0.05,则近似解可取为1.437 5,D正确.故选BCD.
12. [解析] 依题意,因为f(x)=x-4log3x,所以f(1)=1-4log31=1,f(3)=3-4log33=3-4=-1,所以f(1)f(3)<0,所以零点所在的区间为(1,3);故第二次计算f(x1)的值时,x1==2,所以f(2)=2-4log32=log313.7 [解析] 开区间[1,2]的长度等于1 ,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半,经过n次操作后,区间长度变为,因为=>0.01,=<0.01,所以n≥7,即所需二分区间的次数最少为7.
14.解:易得g(x)=+log2x-2是定义域内的增函数且图象连续不断.
∵g(1)=1-2=-1<0,g(2)=+log22-2=-1>0,
∴函数g(x)在区间(1,2)内有且仅有一个零点.
∵g(1.5)=+log21.5-2≈1.225+0.585-2=-0.19<0,
∴函数的零点在(1.5,2)内.
∵g(1.75)=+log21.75-2≈1.323+0.807-2=0.13>0,∴函数的零点在(1.5,1.75)内.
∵g(1.625)=+log21.625-2≈1.275+0.700-2=-0.025<0,
∴函数的零点在(1.625,1.75)内,
又|1.625-1.75|=0.125<0.2,
∴g(x)零点的近似值为1.625.
15.-1或-0.8 [解析] 设f(x)=2x-x2,易知f(x)在(-∞,0)上单调递增,由表格知f(-0.8)<0,f(-0.6)>0,所以f(-0.8)f(-0.6)<0,所以函数f(x)的一个零点在(-0.8,-0.6)内,又方程的一个根位于(a,a+0.4)内,所以当a=-1时,(-0.8,-0.6) (-1,-0.6),当a=-0.8时,(-0.8,-0.6) (-0.8,-0.4),故a的值是-1或-0.8.
16.解:设2025年每台电动车的生产成本为M元,依题意得M(1+40%)=1500×(1+15%)×75%,
解得M≈924,所以2025年每台电动车的生产成本约为924元.
设2022年至2025年生产成本平均每年降低的百分数为x,
根据题意,得1500(1-x)4=924(0x 0.1 0.15 0.2 0.3 0.45
f(x) 60.15 -141 -309.6 -563.85 -786.75
则f(0.1)·f(0.15)<0,故函数f(x)在区间(0.1,0.15)内有零点x0.
取区间(0.1,0.15)的中点x1=0.125,可得f(0.125)≈-44.7.
由f(0.125)·f(0.1)<0,得x0∈(0.1,0.125),
取(0.1,0.125)的中点x2=0.112 5,得f(0.112 5)≈6.6,
因为f(0.112 5)·f(0.125)<0,所以x0∈(0.112 5,0.125),
同理x0∈(0.112 5,0.118 75),
又|0.118 75-0.112 5|<0.01,
所以原方程的近似解可取为0.112 5,
故2022年至2025年生产成本平均每年降低11.25%.(共62张PPT)
4.5 函数的应用（二）
4.5.2 用二分法求方程的近似解
探究点一 二分法的概念
探究点二 求方程的近似解
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解用二分法求方程的近似解,知道用二分法求方程近似解的原理
和步骤,并能借助信息技术用二分法求方程的近似解.
2.了解二分法只能用于变号零点的求解,能解决与方程近似解的有关
问题.
知识点一 二分法
对于在区间上图象连续不断且_____________的函数 ,
通过不断地把它的零点所在区间__________,使所得区间的两个端点
______________,进而得到零点________的方法叫作二分法.
一分为二
逐步逼近零点
近似值
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）可以用二分法求函数 的零点.( )
√
[解析] 函数的零点是变号零点,
能用二分法求解.
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）函数 的零点可以用二分法来求.( )
×
[解析] 是的零点,但不是变号零点,
不能用二分法求解零点.
2.用二分法求函数零点的适用条件是什么？
解:的图象在区间上连续不断；
.
知识点二 用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度,用二分法求函数零点 的近似值的一般步骤如下:
（1）确定零点 的初始区间______.这一步的关键在于:①使区间长
度尽量小;,的值比较容易计算;, 异号.
（2）求区间的______.利用公式 即可求解.
中点
给定精确度,用二分法求函数零点 的近似值的一般步骤如下:
（3）计算 ,并进一步确定零点所在的区间.
①若_________（此时）,则 就是函数的零点;②若
（此时 ______）,则令;③若
（此时）,则令 .这一步的目的是缩小零点所在的区间,
也就是所谓的“二分”.
（4）判断是否达到精确度若___________,则得到零点近似值
（或 ）；否则重复第（2）（3）（4）步.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后,零点必定在
左侧区间内.( )
×
[解析] 用二分法求函数零点的近似值时,
每次等分区间后,零点既可以在左侧区间内,也可以在右侧区间内.
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）用二分法所求出的方程的解都是近似解.( )
×
[解析] 用二分法所求出的方程的解不一定都是近似解.
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）精确度 就是近似值.( )
×
[解析] 精确度 是对方程近似解的精确度要求.
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（4）用二分法求方程在区间 上的近似解时,经计算,
,, ,则方程的近似解可以为
（精确度为0.1）.( )
√
[解析] 因为,
所以 或0.625可以作为方程 的近似解.
2.（1）用二分法求方程的近似解时,如何决定步骤的结束
解:根据精确度的大小,当零点所在的区间的两个端点值差的绝对值小
于精确度 时,步骤结束.
（2）你知道为什么当时,可将或 的值看成方程的近似解吗？
解:当时,因为方程根的真实值 ,
所以,
所以与方程根的真实值 的误差不超过精确度 ,
故可以作为方程的近似解.
同理, 也可以作为方程的近似解.
探究点一 二分法的概念
例1（1）下列函数图象与 轴均有交点,且已知其解析式,则不能用
二分法求图中函数零点的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根据函数零点存在定理可知,
函数 的图象是一段连续不断的曲线,
若在区间上满足,
则函数 在区间 上存在零点；
根据二分法的概念可知,C选项中的图象在零点附近不满足 ,
所以C选项不能用二分法求图中函数零点.
故选C.
（2）（多选题）下列函数中,能用二分法求函数零点的
有( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A,C,D选项,在定义域内都连续且单调递增,并且在零点两侧
的函数值异号,故能用二分法求函数零点；
对于B选项,,,
当时, ,当时, ,
在零点两侧函数值同号,不能用二分法求零点.故选 .
√
√
√
变式（1）已知函数 的图象如图所示,则其
零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分
别为( )
A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3
[解析] 函数图象与 轴有4个交点,所以零点的个数为4.
左右函数值异号的零点有3个,所以可以用二分法求解的零点的个数为3.
故选D.
√
（2）（多选题）已知函数在区间 上有两个零点,且都可以
用二分法求得,其图象是连续不断的,若 ,
,则下列说法正确的是( )
A.函数的两个零点可以分别在区间和 内
B.函数的两个零点可以分别在区间和 内
C.函数的两个零点可以分别在区间和 内
D.函数的两个零点不可能同时在区间 内
√
√
√
[解析] 因为函数在区间 上有两个零点,且都可以用二分法
求得,其图象是连续不断的,所以零点两侧函数值异号,
又,,所以, .
若,,可得, ,
即此时函数的两个零点分别在区间和 内,故B正确；
若,,则, ,
即此时函数的两个零点分别在区间和 内,故A正确；
综合以上两种情况,可知C错误,D正确.故选 .
［素养小结］
判断一个函数能否用二分法求零点近似值的依据是其图象在零点附
近是连续不断的,且该零点为变号零点.
因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,
对函数的不变号零点不适用.
探究点二 求方程的近似解
例2（1）用二分法研究函数 的零点时,第一次
经过计算得, ,则其中一个零点所在区间和第二
次应计算的函数值分别为( )
A., B.,
C., D.,
[解析] 因为的图象是连续不断的, ,
所以由函数零点存在定理知,零点 .
根据二分法,第二次应计算,即 .
故选B.
√
（2）用二分法求方程 的根的近似值时,令
,并用计算器得到下表：
1.00 1.25 1.375 1.50
则由表中的数据,可得方程 的一个近似解
（精确度为0.1）为( )
A.1.125 B. C. D.
√
[解析] 因为 ,
所以根据二分法的思想,知函数的零点在区间内,
但区间 的长度为,
因此需要取的中点 ,
两个区间和 中必有一个满足区间端点的
函数值符号相异,
又区间的长度为,因此 是一个近似解.
故选B.
变式 用二分法求方程在 内的近似解（精确度为0.2）.
参考数据：
1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
的近似值 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
解：令,则在 上是增函数,
, ,
经计算可得下表,
区间 区间中点值 的值及符号
,
方程在 内的近似解可以为1.375.
［素养小结］
用二分法求方程的近似解的思路和方法:
（1）根据函数的零点与相应方程解的关系,求函数的零点与求相应方
程的解是等价的,所以求方程的近似解,可按照用二分法求函
数零点近似值的步骤求解.
（2）对于求形如的方程的近似解,可以通过移项化为求
函数的零点的近似值,然后按照用二分法求函数
零点近似值的步骤求解.
应用二分法求方程的近似解应注意的问题
二分法不是万能的,只有满足的图象在区间 上是连续
的,时,方程 才能求解.因此,它只能求解函
数的变号零点,不能求解不变号零点.
求函数零点的近似值
利用二分法求函数在区间 上的零点,就是不断地把函数
的零点所在的区间一分为二,并通过判断区间两端点处函数
值乘积的正负情况,使区间的两个端点逐步逼近零点,从而找到零点的
近似值.
例 已知函数在 上单调递增,用二分法求方
程的正根精确度为 .
解：因为函数在 上单调递增,
因此 的正根最多有一个.
因为, ,
所以方程的正根在内,取 为初始区间,
用二分法逐次计算,列出下表：
区间 中点值 中点函数值的近似值
0.5 0.732
0.25
0.375 0.328
0.124
0.021
因为 ,所以方程的根
的近似值可以为,即的正根可以为 .
练习册
1.如图是函数的图象,它与
轴有4个不同的交点,下列给出的
四个区间中,存在不能用二分法
求的零点,则该零点所在的区间
是( )
A. B. C. D.
[解析] 函数在区间 内的零点两侧函数值同号,
因此不能用二分法求该区间上函数的零点.
√
2.用二分法求函数 零点的近似值时,可以取的初
始区间是( )
A. B. C. D.
[解析] 在 上单调递增,
因为, ,
, ,
所以 ,根据函数零点存在定理知,可以取的初始区间为 ,
故选C.
√
3.［2025·山东德州高一期中］用二分法研究函数
的零点时,通过计算得, ,则下一步应计算
,则 ( )
A.0 B. C. D.
[解析] 因为,,且函数 的图象
连续不断,所以函数在区间 内有零点,
所以下一步应计算, .故选C.
√
4.设,用二分法求方程在 上的
近似解时,经过两次二分法后,可确定近似解所在区间为( )
A.或 B. C. D.不能确定
[解析] , ,
第一次取,有 ,
故第二次取,有 ,
故此时可确定近似解所在区间为 .
故选B.
√
5.［2024·湖南名校联合体高一期末］用二分法求函数
的一个正零点的近似值（精确度为 ）时,依次
计算得到如下数据；,, ,
.关于下一步的说法正确的是( )
A.已经达到精确度的要求,可以取1.1作为近似值
B.已经达到精确度的要求,可以取1.125作为近似值
C.没有达到精确度的要求,应该接着计算
D.没有达到精确度的要求,应该接着计算
√
[解析] 由二分法的定义,可得正零点所在区间不断缩小,
, 的区间长度为
,
故没有达到精确度的要求,应该接着计算 的值.
故选C.
6.（多选题）下列函数中,有零点但不能用二分法求零点的近似值的
是( )
A. B.
C. D.
[解析] 易知选项A,B中的函数有零点,且可用二分法求零点的近似值；
对于选项C, ,该函数有零点,
但不能用二分法求零点的近似值；
对于选项D, ,该函数有零点,但不能用二分法求零点的近似值.
故选 .
√
√
7.若函数在区间 内的一个零点的近似值用二
分法逐次计算列表如下：
那么方程 的一个近似解为______________________
（精确度为 ）.
（答案不唯一）
[解析] 由表格中的数据,可得 ,
且,
所以方程 的一个近似解为 .
8.若函数 有零点,但不能用二分法求其
零点,则实数 的值为_______.
2或
[解析] 由函数 有零点,但不能用二分法
求其零点,可知函数的图象在轴上方或下方（包括 轴）.
当,即时, ,能用二分法求零点,不符合题意；
当,即时, 为二次函数,
而 有零点,但不能用二分法求其零点,
可知函数的图象与轴有1个交点,
即 有两个相等实根,
所以,解得或 .
9.（13分）用二分法求方程在区间 内的近似解
（精确度为 ）.
参考数据：
1.125 1.25 1.375 1.5
的近似值 2.18 2.28 2.38 2.59 2.83
解：设函数,则在 上是增函数,
设方程的解为 ,
则,,, ,
, .
,
, .
,
, .
,
,
.
,
方程在区间 内的近似解可以为1.2.
10.［2024·上海虹口区高一期末］若在用二分法寻找函数
零点的过程中,依次确定了零点所在区间为
,,,则实数和 分别等于( )
A., B.2,3 C.,2 D.,
√
[解析] 由函数 ,
根据指数函数与反比例函数的性质,可得函数在 上单调递增,
所以函数在 上至多有一个零点,
又由依次确定了零点所在区间为,,,
可得 即 解得, .
故选A.
11.（多选题）［2024·广州高一期末］ 教材中用二分法求方程
的近似解时,设函数 来研究,通
过计算列出了它的对应值表：
1.25 1.375 1.422 1.5
0.02 0.33
分析表中数据,则下列说法正确的是( )
A.
B.方程 有实数解
C.若精确度为 ,则近似解可取为1.375
D.若精确度为,则近似解可取为
√
√
√
[解析] 与都是 上的增函数,
是上的增函数,在 上至多有一个零点.
由表格中的数据可知,,
在 上有唯一零点,零点所在的区间为, ,A错误；
方程有实数解,B正确；
,,
,
即若精确度为,则近似解可取为,C正确；
,
, ,
即若精确度为,则近似解可取为,D正确.故选 .
12.已知函数,用二分法计算此函数在区间 上
零点的近似值,第一次计算,的值,第二次计算 的值,
第三次计算的值,则 __.
[解析] 依题意,因为 ,
所以, ,
所以,所以零点所在的区间为；
故第二次计算 的值时,,
所以 ,
所以,所以零点所在的区间为 ；
故第三次计算的值时, .
13.［2025·漳州高一期末］用二分法求函数 在区
间 上零点的近似值,要求精确度为0.01时,所需二分区间的次
数最少为___.
7
[解析] 开区间的长度等于 ,每经过一次操作,区间长度变为原来
的一半,经过次操作后,区间长度变为 ,
因为,,
所以 ,即所需二分区间的次数最少为7.
14.（15分）函数在区间 内是否有零点？
若有零点,用二分法求零点的近似值（精确度为 ）；若没有零点,
说明理由.（参考数据：, ,
,, ,
,, ）
解：易得 是定义域内的增函数且图象连续不断.
, ,
函数在区间 内有且仅有一个零点.
,
函数的零点在 内.
,
∴函数的零点在 内.
,
函数的零点在 内,
又 ,
零点的近似值为1.625.
15.利用计算器列出自变量和对应的函数值如下表：
0
0.5 1
2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0
若方程有一个根位于区间（其中实数 在表格第
一行里的数据中取值）内,则 的值为__________.
或
[解析] 设,易知在 上单调递增,
由表格知,,所以 ,
所以函数的一个零点在内,
又方程的一个根位于 内,
所以当时,,
当 时,,
故的值是或 .
16.（15分）随着社会的发展,电动车进入了千家万户,给我们的生
活带来了极大的方便.某品牌电动车2021年平均每台电动车生产成本
为1500元,并以纯利润 标定出厂价.2022年开始,公司加强管理,
降低生产成本.2025年平均每台电动车尽管出厂价仅是2021年出厂价
的,但却实现了纯利润 的高收益.若以2021年的生产成本为
基数,用二分法求2022年至2025年生产成本平均每年降低的百分数
（精确度为）（参考数据：, ,
,,, ,
, ）.
解：设2025年每台电动车的生产成本为 元,
依题意得 ,解得 ,
所以2025年每台电动车的生产成本约为924元.
设2022年至2025年生产成本平均每年降低的百分数为 ,
根据题意,得 ,
令,作出, 的对应值表：
0.1 0.15 0.2 0.3 0.45
60.15
则,故函数在区间内有零点 .
取区间的中点,可得 .
由,得 ,
取的中点,得 ,
因为,所以 ,
同理 ,
又 ,
所以原方程的近似解可取为 ,
故2022年至2025年生产成本平均每年降低 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 一分为二 逐步逼近零点 近似值
【诊断分析】1.（1）√ （2）×
2.解:的图象在区间上连续不断；.
知识点二 （1） （2）中点 3） （4）
【诊断分析】 1.（1）× （2）× （3）× （4）√ 2.略
课中探究 探究点一 例1 （1）C （2）ACD
变式 （1）D （2）ABD
探究点二 例2 （1）B （2）B
变式 1.375
快速核答案（练习册）
1.B 2.C 3.C 4.B 5.C 6.CD
7.（答案不唯一） 8.2或 9. 1.2
10.A 11.BCD 12. 13.7
14. 1.625
15.或 16.
