4.5.3 函数模型的应用
【学习目标】
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.
2.能结合已知数据的特征,根据不同函数增长的差异,合理选择函数模型,并利用所建立的函数模型解决有关实际问题.
◆ 知识点一 指数函数模型
解析式:y=abx+c,条件:a,b,c为常数,a≠0,b>0,且b≠1.
◆ 知识点二 对数函数模型
解析式:y=mlogax+n,条件:m,n,a为常数,m≠0,a>0,且a≠1.
◆ 知识点三 应用函数模型解决问题的基本过程
用函数模型解应用题的四个步骤:
(1)审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型;
(2)建模——将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型;
(3)求模——求解数学模型,得出数学结论;
(4)还原——将数学结论还原为实际问题的解.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述. ( )
(2)在函数建模中,散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型. ( )
(3)在不同的范围内,变量的对应关系不同时,可以选择分段函数模型. ( )
(4)函数y=×3x+1属于幂函数模型. ( )
◆ 探究点一 指数函数模型
例1 某玩具公司计划到2034年将生产成本控制在80万元,要比2024年下降20%,假设这期间每一年生产成本降低的百分比都相等,记2024年后第x(x∈N*)年的成本支出为f(x)万元.
(1)求2024年的生产成本为多少万元
(2)求f(x)的解析式.
(3)按此计划,到哪一年,可以将该工厂的生产成本控制在45万元以内 (参考数据:
lg 2≈0.30,lg 3≈0.48,lg 7≈0.85)
变式 科学家证实人体内HV病毒含量达到A0(A0为常数)时,人会得某种疾病,一种药物对HV病毒有抑制作用,服用该种药物后体内HV病毒含量y与服用的年数x之间满足关系y=A0ax(a>0且a≠1),2022年年初一位患者体内HV病毒含量恰好为A0,该患者开始服用该药,到2024年年初经检测该患者体内HV病毒含量为A0.
(1)试确定y与x的函数关系式.
(2)在医学上,当人体内HV病毒含量不超过A0时,称作该病痊愈,试问该患者需坚持服用该药到哪一年年初该病可痊愈
[素养小结]
在解决实际问题时,常见的增长率问题的解析式可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.
◆ 探究点二 对数函数模型
例2 2024年10月30日4时27分,搭载神舟十九号载人航天飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.10月30日11时00分,神舟十九号载人航天飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接.我国在航天领域取得的巨大成就,得益于我国先进的运载火箭技术.根据火箭理想速度公式v=v0·ln,可以计算理想状态下火箭的最大速度v(单位:m/s),其中v0(单位:m/s)是喷流相对速度,m(单位:kg)是火箭(除推进剂外)的质量,M(单位:kg)是推进剂与火箭质量的总和,称为总质比.已知A型火箭的喷流相对速度为800 m/s,根据以上信息:
(1)当总质比为50时,A型火箭的最大速度为 m/s;
(2)经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速度提高到原来的2倍,总质比变为原来的,若要使火箭的最大速度至少增加800 m/s,则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为 .(所有结果保留整数,参考数据:ln 2≈0.693,ln 5≈1.609,e≈2.718)
变式 进入六月,青海湖特有物种湟鱼自湖中逆流而上,进行产卵.经研究发现湟鱼的游速v(单位:m/s)可以表示为v=log2,其中θ表示湟鱼每秒耗氧量的单位数.
(1)当一条湟鱼每秒的耗氧量是500个单位时,它的游速约为多少(结果保留2位小数)
(2)当一条湟鱼的游速提高1 m/s时,它每秒的耗氧量变为原来的多少倍 (参考数据:
lg 2≈0.3)
[素养小结]
直接以对数函数为模型的应用问题不是很多,此类问题一般是先给出对数函数模型,再利用对数运算性质求解.
◆ 探究点三 函数模型的选择
例3 [2025·吉林毓文中学高一期中] 为研究某种病毒的繁殖速度,某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察,每隔单位时间T进行一次记录,用x表示经过单位时间的个数,用y表示此病毒的数量,单位为万个,得到如下数据:
x(T) 1 2 3 4 5 6 …
y(万个) … 10 … 50 … 250 …
若该病毒的数量y(单位:万个)与经过x(x∈N*)个单位时间T的关系有两个函数模型y=px2+q与y=kax(k>0,a>1)可供选择.
(1)判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式.
(2)至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于12亿个
参考数据:≈2.236,≈2.449,lg 2≈0.301,lg 6≈0.778.
变式 随着电动汽车研发技术的日益成熟,电动汽车的普及率越来越高.某型号电动汽车在封闭路段进行测试,限速80 km/h(含80 km/h).经多次测试得到,该汽车每小时的平均耗电量M(单位:Wh)与速度v(单位:km/h)的数据如下表所示.
v 0 10 30 70
M 0 1325 3375 9275
为了描述该路段上该汽车每小时的平均耗电量M与速度v的关系,现有以下三个函数模型供选择:M=v3+bv2+cv,M=1000·+a,M=300logpv+r.
(1)当0≤v≤80时,请选出你认为最符合表格所列数据的函数模型,并求出相应的函数解析式.
(2)在本次测试报告中,该电动汽车的最长续航里程为400 km.若测试过程为匀速运动,请计算本次测试时的车速v为多少时,该电动汽车电池所需的容量(单位:Wh)最小 并计算出该最小值.
[素养小结]
当一组数据所对应的函数关系不确定时,可根据题设条件,将这几个函数模型求出来,再根据题中的其他条件,对这几个函数模型的可靠性进行评估,选出与数据最吻合的函数模型.
4.5.3 函数模型的应用
【课前预习】
知识点三
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)设2024年的生产成本为a万元,则a·(1-20%)=80,解得a=100,所以2024年的生产成本为100万元.
(2)设每一年生产成本降低的百分比都为q(0
(3)依题意,f(x)≤45,即100×≤45,则≤,两边取对数得lg≤lg,解得x≥10×,而10×≈10×=34,因此x≥34,所以按此计划,到2058年,可以将该工厂的生产成本控制在45万元以内.
变式 解:(1)由题意得A0=a2A0,解得a=或a=-(舍),
所以y=·A0(x>0).
(2)由题意得·A0≤A0,即≤,易知,指数函数y=在R上是减函数,所以由≤得x≥4,故该患者需坚持服用该药到2026年年初该病可痊愈.
探究点二
例2 (1)3129 (2)68 [解析] (1)当总质比为50时,A型火箭的最大速度v=800×ln 50=800×(2ln 5+ln 2)≈800×(2×1.609+0.693)=3128.8≈3129(m/s).
(2)经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速度为1600 m/s,总质比为,要使火箭的最大速度至少增加800 m/s,则1600·ln-800·ln≥800,即2·ln-ln≥1,即ln-ln≥1,即ln≥1,所以≥25e≈25×2.718=67.95≈68,所以在材料更新和技术改进前总质比的最小值为68.
变式 解:(1)由题意,当θ=500时,v=log2=log25==×≈×≈1.17,故当一条湟鱼每秒的耗氧量是500个单位时,它的游速约为1.17 m/s.
(2)设这条湟鱼原来和现在每秒耗氧量的单位数分别为θ1,θ2,则log2-log2=1,可得log2=2,即=4,所以它每秒的耗氧量变为原来的4倍.
探究点三
例3 解:(1)若选y=px2+q,将x=2,y=10和x=4,y=50代入,可得解得
故y=x2-,将x=6代入,得y=×62-=,与y=250相差太大,不符合题意;
若选y=kax(k>0,a>1),将x=2,y=10和x=4,y=50代入,
可得解得故y=2·()x,将x=6代入,得y=2×()6=250,符合题意.综上,选择y=kax(k>0,a>1)更合适,解析式为y=2·()x.
(2)依题意,设至少需要x个单位时间,则2()x≥120 000,即()x≥60 000,两边同时取对数,可得xlg≥lg 6+4,则x≥=≈
≈13.671,∵x∈N*,
∴x的最小值为14,故至少经过14个单位时间该病毒的数量不少于12亿个.
变式 解:(1)对于M=300logpv+r,当v=0时,它无意义,所以不符合题意;
对于M=1000·+a,它显然是减函数,所以不符合题意;故选M=v3+bv2+cv.根据表格所列数据,
有解得故当0≤v≤80时,M=v3-2v2+150v.
(2)由题知,该电动汽车最长的行驶时间为 h,设该电动汽车电池所需的容量为f(v) Wh,则f(v)==10(v2-80v+6000)=10(v-40)2+44 000,当v=40时,f(v)取得最小值44 000,所以当车速为40 km/h时,该电动汽车电池所需的容量最小,最小为44 000 Wh.4.5.3 函数模型的应用
1.在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10%,专家预测经过x年可能增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为 ( )
A B C D
2.燕子每年秋天都要从北方飞到南方去过冬,研究燕子的科学家发现,成年燕子的飞行速度(单位:m/s)可以表示为函数v=10log2,其中O表示燕子的耗氧量.当一只成年燕子的飞行速度v=20 m/s时,它的耗氧量为 ( )
A.30 B.60 C.40 D.80
3.(多选题)[2025·广东普宁高一期末] 某数学小组在进行“数学建模活动——探究茶水温度与时间的关系”时,根据所收集的数据,得到时间x(分钟)与水温y(℃)的散点图(如图),则下列不可能作为该散点图对应的函数模型的是 ( )
A.y=logax(a>1)
B.y=kax+b(k>0,0C.y=kx+b(k>0)
D.y=+b(k>0)
4.某科研单位与企业合作,为该企业研发并安装了新的清除企业产品中某杂质的设备.在清除过程中,产品中某杂质含量M(单位:mg/L)与时间t(单位:h)之间的关系满足ln M=-kt+ln M0(M0为杂质含量的初始值,k为常数).已知经过1 h,新设备可清除掉产品中40%的某杂质,则经过3 h,产品中某杂质的含量与下列四个值中最接近的是 ( )
A.32%M0 B.28%M0
C.25%M0 D.21%M0
5.[2025·广东惠州一中期中] 为了衡量星星的明暗程度,公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念.星等的数值越小,星星就越亮.由于光度计在天体光度测量的应用,英国天文学家普森又提出了亮度的概念,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星星的星等与亮度满足m1-m2=2.5(lg E2-lg E1),其中星等为mk的星星的亮度为Ek(k=1,2).已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为2.02和1.77,且当|x|较小时,10x≈1+2.3x+2.7x2,则“玉衡”与“北极星”的亮度的比值大约为 ( )
A.1.28 B.1.26
C.1.24 D.1.22
6.(多选题)常见的《标准对数视力表》中有两列数据,分别表示五分记录和小数记录数据,把小数记录数据记为x,对应的五分记录数据记为y,现有两个函数模型:①y=5+2lg x;②y=5-lg.根据如图所示标准对数视力表中的数据,下列结论中正确的是(参考数据:10-0.1≈0.8) ( )
A.选择函数模型①
B.选择函数模型②
C.根据函数模型,若小明视力的五分记录数据为5.0,则小明视力的小数记录数据为0.9
D.根据函数模型,若小明视力的五分记录数据为4.9,则小明视力的小数记录数据约为0.8
7.已测得(x,y)的两组值分别为(1,2),(2,5),现有两个函数模型:①y=x2+1;②y=3x-1.若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则选用 作为函数模型较好.(填“①”或“②”)
8.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量v(单位:cm3/s)与管道半径r(单位:cm)的四次方成正比.已知气体在半径为3 cm的管道中,流量为400 cm3/s,则气体在半径为 cm的管道中,流量为 cm3/s.
9.(13分)[2025·银川三十一中高一月考] 专家研究高一学生上课注意力集中的情况,发现注意力指数p与听课时间t(单位:min)之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈(0,14]时,曲线是二次函数图象(其对称轴方程为t=12)的一部分,当t∈(14,40]时,曲线是函数y=loga(t-5)+83(0(1)试求p=f(t)的函数关系式.
(2)若不是听课效果最佳,建议老师多提问,增加学生活动环节.请问应在哪一个时间段建议老师多提问,增加学生活动环节 并说明理由.
10.近几年,直播平台作为一种新型的学习渠道,正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱.某平台从2021年建立开始,得到了很多网民的关注,会员人数逐年增加.已知从2021年到2024年,每年年末该平台的会员人数如下表所示(注:第4年数据为截止到2024年10月底的数据).
建立平台第x年 1 2 3 4
会员人数y(千人) 28 36 52 82
为了估算该平台建立x(x∈N*)年后的会员人数y(千人),给出以下三个函数模型供选择:①y=+c(b>0);②y=dlogrx+e(r>0且r≠1);③y=tax+s(a>0且a≠1).选择最符合实际的函数模型,则预测2024年年末的会员人数为 ( )
A.80千人 B.84千人
C.86千人 D.90千人
11.(多选题)[2025·浙江诸暨中学高一期中] 某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是120小时,在20 ℃的保鲜时间是30小时,则 ( )
A.k>0
B.储存温度越高保鲜时间越短
C.在10 ℃的保鲜时间是60小时
D.在30 ℃的保鲜时间是15小时
12.[2025·北京朝阳区高一期末] 新闻推送涉及信息检索,若一个关键词w在Dw个网页中出现过,则Dw越大,w的权重越小;反之亦然.在信息检索中,使用最多的权重是逆文本频率指数Iw,Iw=lg,其中D是全部网页数,D>0,Dw>0.如果关键词a的逆文本频率指数Ia比关键词b的逆文本频率指数Ib大2,那么= .
13.[2025·贵州黔西南州高一期末] 近年来,黔西南州基础教育质量大幅提升,2024年高考成绩再上新台阶,一方面,得益于各级政府及教育部门的殷切关怀与高度重视;另一方面,与莘莘学子的“聪慧值”密切相关.定义“聪慧值”=“天赋值”ד年提升值”(“天赋值”具有先天性).某中学高一(1)班学生小李和小王开学时的“天赋值”分别为150分和100分,“年提升值”相同,自开学那天起,小王努力学习,刻苦钻研,“年提升值”都在前一年的基础上进步5%,而小李疏于学习,“年提升值”都在前一年的基础上退步2%.那么大约经过 年,小王的“聪慧值”是小李的2倍.(精确到整数,参考数据:lg 3≈0.48,lg 105≈2.02,lg 98≈1.99)
14.(15分)[2025·广东十八校高一期末] 舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标,它通常通过大数据分析技术,对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析,从而得出一个量化的指数,以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现的前x天,若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数y大于t×9x,则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析,将舆论事件出现的第1,2,3天的舆论场指数整理成如下表格:
天数x 1 2 3
舆论场指数y 12 48 156
为研究舆论场指数的变化情况,技术人员提出了三种函数模型用来刻画数据:①y=ax++c(a>0,b<0);②y=plogqx+g(p>0,q>1);③y=m×nx+s(m>0,n>1).
(1)请从①②③中选择一个最合适的函数模型(直接写结果,不用证明);
(2)运用(1)中选取的函数模型,预测第4天时的舆论场指数;
(3)若本次舆情不是严重的,求t的最小值.
15.(多选题)对于任意两个正数u,v(uA.L=L(9,27)
B.L(212,324)=24L(2,3)
C.L(uu,vu)≥v-u
D.2L(u,v)<-
16.[2025·长沙长郡中学高一期中] 某工厂产生的废气经过过滤后排放,排放时污染物的含量不得超过最初含量P0的1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系为P=P0e-kt(k,P0均为正常数).如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%,那么排放前至少还需要过滤的时间是 小时.
4.5.3 函数模型的应用
1.D [解析] 由题设得y=(1+10%)x=1.1x,由1.1>1,结合指数函数的图象知D符合要求.故选D.
2.C [解析] v=10log2,将v=20 m/s代入,则20=10log2,则2=log2,所以22=,所以O=22×10=40.故选C.
3.AC [解析] y=logax(a>1),y=kx+b(k>0)均单调递增,故A,C不可能作为该散点图对应的函数模型;y=kax+b(k>0,00)均单调递减,故B,D可能作为该散点图对应的函数模型.故选AC.
4.D [解析] 因为经过1 h,新设备可清除掉产品中40%的某杂质,所以ln M=-k+ln M0=ln(0.6M0),即得-k=ln 0.6.设经过3 h产品中某杂质的含量为M,则ln M=-3k+ln M0=ln 0.63+ln M0=ln(0.216M0),即M≈0.216M0=21.6%M0.故选D.
5.B [解析] 由题意2.02-1.77=2.5(lg E2-lg E1),可得lg=0.1,∴=100.1≈1+2.3×0.1+2.7×0.12=1.257≈1.26.故选B.
6.BD [解析] 将x=0.1代入y=5+2lg x得y=5-2=3,将x=0.1代入y=5-lg得y=5-1=4,故选择函数模型②,A错误,B正确;当y=5时,由y=5-lg,解得x=1,则小明视力的小数记录数据为1.0,C错误;当y=4.9时,由y=5-lg,解得x≈0.8,则小明视力的小数记录数据约为0.8,D正确.故选BD.
7.① [解析] 对于①,当x=3时,y=32+1=10;对于②,当x=3时,y=8.因为10比8更接近10.2,所以选用①作为函数模型较好.
8.25 [解析] 设=k(k>0),把v=400,r=3代入得k=,则当r=时,v=k·r4=×=25.
9.解:(1)当t∈(0,14]时,设f(t)=a(t-12)2+82,
将(14,81)代入,得4a+82=81,解得a=-,故f(t)=-(t-12)2+82;
将(14,81)代入y=loga(t-5)+83(0故当t∈(14,40]时,f(t)=lo(t-5)+83.
综上,f(t)=
(2)当t∈(0,14]时,令-(t-12)2+82<80,解得0当t∈(14,40]时,令lo(t-5)+83<80,解得32故(0,9)和(32,40]这两个时间段建议老师多提问,增加学生活动环节.
10.B [解析] 由数据可知,y随x的增加而增加,且增加的速度越来越快,故选择模型③,由表格中的数据可得ta+s=28,ta2+s=36,ta3+s=52,解得a=2,t=4,s=20,故y=4·2x+20(x∈N*).令x=4,则可预测2024年年末的会员人数为4×24+20=84(千人),故选B.
11.BCD [解析] 对于A,由题可知120=eb,30=e20k+b=e20k×eb,则e20k=,即e10k=,可得10k<0,即k<0,故A错误;对于B,由A可知,y=kx+b在R上是减函数,且y=ex在R上是增函数,所以y=ekx+b在R上是减函数,则储存温度越高保鲜时间越短,B正确;对于C,由A可知,e10k+b=e10k×eb=×120=60(小时),C正确;对于D,由A可知,e30k+b=e30k×eb=×120=15(小时),D正确.故选BCD.
12.100 [解析] 由题意可知Ia-Ib=2,即lg-lg=2,所以lg=2,所以=102=100.
13.16 [解析] 设两人开学时的“年提升值”为a(a>0),经过n年小王的“聪慧值”是小李的2倍,则经过n年小王的“聪慧值”为100×a(1+5%)n,小李的“聪慧值”为150×a(1-2%)n,由题意得100×a(1+5%)n=2×150×a(1-2%)n,即1.05n=3×0.98n,取对数可得nlg 1.05=lg 3+nlg 0.98,所以n==≈=16,所以大约经过16年小王的“聪慧值”是小李的2倍.
14.解:(1)根据表格中数据可以看出舆论场指数y随x的增大而增大,且增大的速度越来越快,故选模型③y=m×nx+s(m>0,n>1).
(2)将表格中的数据代入y=m×nx+s,得12=m×n+s,48=m×n2+s,156=m×n3+s,
解得故y=6×3x-6.
当x=4时,y=6×34-6=480,则第4天时的舆论场指数为480.
(3)若本次舆情不是严重的,则6×3x-6≤t×9x恒成立,
即6×3x-6≤t×32x恒成立,
即-≤t恒成立,
不妨设k=,则k∈,故6k-6k2≤t,整理得6k2-6k+t≥0.
由于二次函数y=6k2-6k+t在上单调递减,
故只需要当k=时,6k2-6k+t≥0成立即可,代入得-2+t≥0,解得t≥,故t的最小值为.
15.AD [解析] 对于选项A,L=L-L=-ln+ln=ln 3,L(9,27)=L(1,27)-L(1,9)=ln 27-ln 9=ln 3,故A正确;对于选项B,L(212,324)=ln 324-ln 212=24ln 3-12ln 2,24L(2,3)=24ln 3-24ln 2,故B错误;对于选项C,L(uu,vv)=ln vv-ln uu=vln v-uln u,取u=,v=1,则L(uu,vv)=16.5 [解析] 依题意,过滤5小时,污染物数量P=10%P0,于是得10%P0=P0e-5k,解得k=-ln 0.1,排放污染物时,P≤1%P0,即P0e-kt≤1%P0,可得e-kt≤1%,可得t≤ln 0.01,解得t≥10,则t-5≥5,所以排放前至少还需要过滤的时间是5小时.(共75张PPT)
4.5 函数的应用（二）
4.5.3 函数模型的应用
探究点一 指数函数模型
探究点二 对数函数模型
探究点三 函数模型的选择
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和
工具.
2.能结合已知数据的特征,根据不同函数增长的差异,合理选择函数
模型,并利用所建立的函数模型解决有关实际问题.
知识点一 指数函数模型
解析式:,条件:,,为常数,,,且 .
知识点二 对数函数模型
解析式:,条件:,,为常数,,,且 .
知识点三 应用函数模型解决问题的基本过程
用函数模型解应用题的四个步骤：
（1）审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型;
（2）建模——将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语
言,利用数学知识建立相应的数学模型;
（3）求模——求解数学模型,得出数学结论;
（4）还原——将数学结论还原为实际问题的解.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表
述．( )
√
（2）在函数建模中,散点图可以帮助我们选择恰当的函数模
型．( )
√
（3）在不同的范围内,变量的对应关系不同时,可以选择分段函数
模型．( )
√
（4）函数 属于幂函数模型．( )
×
探究点一 指数函数模型
例1 某玩具公司计划到2034年将生产成本控制在80万元,要比2024
年下降 ,假设这期间每一年生产成本降低的百分比都相等,记
2024年后第年的成本支出为 万元.
（1）求2024年的生产成本为多少万元？
解：设2024年的生产成本为万元,则 ,
解得 ,所以2024年的生产成本为100万元.
例1 某玩具公司计划到2034年将生产成本控制在80万元,要比2024
年下降 ,假设这期间每一年生产成本降低的百分比都相等,记
2024年后第年的成本支出为 万元.
（2）求 的解析式.
解：设每一年生产成本降低的百分比都为 ,
,解得 ,
所以, .
例1 某玩具公司计划到2034年将生产成本控制在80万元,要比2024
年下降 ,假设这期间每一年生产成本降低的百分比都相等,记
2024年后第年的成本支出为 万元.
（3）按此计划,到哪一年,可以将该工厂的生产成本控制在45万元
以内？（参考数据：,, ）
解：依题意,,即,则 ,
两边取对数得,解得 ,
而,因此 ,
所以按此计划,到2058年,可以将该工厂的生产成本控制在45万元以内.
变式 科学家证实人体内病毒含量达到为常数 时,人会得
某种疾病,一种药物对病毒有抑制作用,服用该种药物后体内
病毒含量与服用的年数之间满足关系且 ,
2022年年初一位患者体内病毒含量恰好为 ,该患者开始服用该
药,到2024年年初经检测该患者体内病毒含量为 .
（1）试确定与 的函数关系式.
解：由题意得,解得或 （舍）,
所以 .
变式 科学家证实人体内病毒含量达到为常数 时,人会得
某种疾病,一种药物对病毒有抑制作用,服用该种药物后体内
病毒含量与服用的年数之间满足关系且 ,
2022年年初一位患者体内病毒含量恰好为 ,该患者开始服用该
药,到2024年年初经检测该患者体内病毒含量为 .
（2）在医学上,当人体内病毒含量不超过 时,称作该病痊
愈,试问该患者需坚持服用该药到哪一年年初该病可痊愈？
解：由题意得,即 ,
易知,指数函数在上是减函数,
所以由得 ,
故该患者需坚持服用该药到2026年年初该病可痊愈.
［素养小结］
在解决实际问题时,常见的增长率问题的解析式可以表示为
（其中为基础数,为增长率,为时间）的形式.有关
人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.
探究点二 对数函数模型
例2 2024年10月30日4时27分,搭载神舟十九号载人航天飞船的长征
二号 遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.10月30日11时00
分,神舟十九号载人航天飞船与空间站组合体完成自主快速交会对
接.我国在航天领域取得的巨大成就,得益于我国先进的运载火箭技
术.根据火箭理想速度公式 ,可以计算理想状态下火箭的
最大速度（单位：）,其中（单位： ）是喷流相对速
度,（单位：）是火箭（除推进剂外）的质量,（单位： ）
是推进剂与火箭质量的总和,称为总质比.已知 型火箭的喷流相对
速度为 ,根据以上信息：
（1）当总质比为50时,型火箭的最大速度为______ ；
3129
[解析] 当总质比为50时,型火箭的最大速度 .
（2）经过材料更新和技术改进后, 型火箭的喷流相对速度提高到
原来的2倍,总质比变为原来的 ,若要使火箭的最大速度至少增加
,则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为____.
（所有结果保留整数,参考数据：, ,
）
68
[解析] 经过材料更新和技术改进后, 型火箭的喷流相对速度为,
总质比为,要使火箭的最大速度至少增加 ,
则,
即 ,即,即 ,
所以 ,
所以在材料更新和技术改进前总质比的最小值为68.
变式 进入六月,青海湖特有物种湟鱼自湖中逆流而上,进行产卵.
经研究发现湟鱼的游速（单位：）可以表示为 ,
其中 表示湟鱼每秒耗氧量的单位数．
（1）当一条湟鱼每秒的耗氧量是500个单位时,它的游速约为多少
（结果保留2位小数）？
解：由题意,当 时,
,故当一条湟鱼每秒的耗氧量是500个单位时,它的游速约为 .
变式 进入六月,青海湖特有物种湟鱼自湖中逆流而上,进行产卵.
经研究发现湟鱼的游速（单位：）可以表示为 ,
其中 表示湟鱼每秒耗氧量的单位数．
（2）当一条湟鱼的游速提高 时,它每秒的耗氧量变为原来的
多少倍？（参考数据： ）
解：设这条湟鱼原来和现在每秒耗氧量的单位数分别为, ,
则 ,可得,即 ,
所以它每秒的耗氧量变为原来的4倍.
［素养小结］
直接以对数函数为模型的应用问题不是很多,此类问题一般是先给出
对数函数模型,再利用对数运算性质求解.
探究点三 函数模型的选择
例3 ［2025·吉林毓文中学高一期中］为研究某种病毒的繁殖速度,
某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察,每隔单位时间 进
行一次记录,用表示经过单位时间的个数,用 表示此病毒的数量,
单位为万个,得到如下数据：
1 2 3 4 5 6 …
… 10 … 50 … 250 …
若该病毒的数量（单位：万个）与经过个单位时间 的关
系有两个函数模型与 可供选择.
（1）判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式.
解：若选,将,和, 代入,
解得 故,将代入,
得 ,与 相差太大,不符合题意；
若选,将,和, 代入,
可得解得故,将 代入,
得,符合题意.
综上,选择 更合适,解析式为 .
例3 ［2025·吉林毓文中学高一期中］为研究某种病毒的繁殖速度,
某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察,每隔单位时间 进
行一次记录,用表示经过单位时间的个数,用 表示此病毒的数量,
单位为万个,得到如下数据：
1 2 3 4 5 6 …
… 10 … 50 … 250 …
若该病毒的数量（单位：万个）与经过个单位时间 的关
系有两个函数模型与 可供选择.
（2）至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于12亿个？
参考数据：,,, .
解：依题意,设至少需要个单位时间,则 ,
即,两边同时取对数,可得 ,则
,
, 的最小值为14,
故至少经过14个单位时间该病毒的数量不少于12亿个.
变式 随着电动汽车研发技术的日益成熟,电动汽车的普及率越来越
高．某型号电动汽车在封闭路段进行测试,限速 （含）.
经多次测试得到,该汽车每小时的平均耗电量 （单位：）与速
度（单位： ）的数据如下表所示．
0 10 30 70
0 1325 3375 9275
为了描述该路段上该汽车每小时的平均耗电量与速度 的关系,现
有以下三个函数模型供选择： ,
, .
（1）当 时,请选出你认为最符合表格所列数据的函数模
型,并求出相应的函数解析式.
解：对于,当 时,它无意义,所以不符合题意；
对于 ,它显然是减函数,所以不符合题意；
故选 ．根据表格所列数据,
有解得
故当时, ．
（2）在本次测试报告中,该电动汽车的最长续航里程为 .若
测试过程为匀速运动,请计算本次测试时的车速 为多少时,该电动
汽车电池所需的容量（单位： ）最小？并计算出该最小值.
解：由题知,该电动汽车最长的行驶时间为 ,
设该电动汽车电池所需的容量为 ,
则 ,
当时,取得最小值,
所以当车速为 时,该电动汽车电池所需的容量最小,
最小为 .
［素养小结］
当一组数据所对应的函数关系不确定时,可根据题设条件,将这几个函
数模型求出来,再根据题中的其他条件,对这几个函数模型的可靠性进
行评估,选出与数据最吻合的函数模型.
1.何为数学建模 其目的是什么
对现实生活中的实际问题加以提炼,抽象为数学模型,求出模型的解,验
证模型的可靠性与合理性,并用该数学模型的信息来解决现实问题.数
学知识的这一应用过程称为数学建模,所以数学建模的目的就是用数
学知识解决实际问题.
2.建立函数模型应把握三关
（1）事理关:通过阅读、理解,明白问题讲什么,熟悉实际背景,为解题
打开突破口.
（2）文理关:将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言,用数学
式子表达数量关系.
（3）数理关:在构建数学模型的过程中,对已有的数学知识进行检验,
从而认定或构建相应的数学问题.
如何选择正确的函数模型
拟合函数模型的应用题的解题步骤
（1）作图:根据已知数据,画出散点图.
（2）选择函数模型:一般是根据散点图的特征,联想哪些函数具有类
似的图象特征,找几个比较接近的函数模型尝试.
（3）求出函数模型:求出（2）中找到的几个函数模型的解析式.
（4）检验:将（3）中求出的几个函数模型进行比较、验证,得出最合
适的函数模型.
例 经多次试验得到某种型号的汽车每小时耗油量（单位： ）、百
公里耗油量（单位：）与平均速度 单位：
的数据如下表：
40 60 90 100 120
5.2 6 8.325 10 15.6
13 9.25
为描述与的关系,现有以下三种模型供选择： ,
, .
（1）请填写表格空白处的数据,选出你认为最符合实际的函数模型,
并求出相应的函数解析式；
解：表格空白处填入的数据见下表：
40 60 90 100 120
5.2 6 8.325 10 15.6
13 10 9.25 10 13
由表中数据可知应选择的函数模型为 ,
将表中数据代入得
化简得解得
所以所求函数解析式为, ,
经验证,其他两组数据, 也符合此解析式.
（2）已知某高速公路共有三个车道,分别是外侧车道、中间车道和
内侧车道,车速范围分别是,, （单位：
）,则该种型号的汽车在哪个车道以多大的平均速度行驶时,
百公里耗油量 最小？
解：因为, ,
所以 , ,
当时,函数 单调递减,
当时,函数 单调递增,
所以该种型号的汽车在外侧车道以 的平均速度行驶时
百公里耗油量 最小.
练习册
1.在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长
,专家预测经过年可能增长到原来的倍,则函数 的
图象大致为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题设得,
由 ,结合指数函数的图象知D符合要求.
故选D.
√
2.燕子每年秋天都要从北方飞到南方去过冬,研究燕子的科学家发现,
成年燕子的飞行速度（单位：）可以表示为函数 ,
其中表示燕子的耗氧量.当一只成年燕子的飞行速度 时,
它的耗氧量为( )
A.30 B.60 C.40 D.80
[解析] ,将代入,则 ,
则,所以,所以 .
故选C.
√
3.（多选题）［2025·广东普宁高一期末］
某数学小组在进行“数学建模活动——探究茶
水温度与时间的关系”时,根据所收集的数据,
得到时间（分钟）与水温 的散点图
（如图）,则下列不可能作为该散点图对应
的函数模型的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] ,
均单调递增,
故A,C不可能作为该散点图对应的函数模型；
,
均单调递减,
故B,D可能作为该散点图对应的函数模型.
故选 .
4.某科研单位与企业合作,为该企业研发并安装了新的清除企业产品
中某杂质的设备.在清除过程中,产品中某杂质含量（单位: ）
与时间（单位:）之间的关系满足 为杂质含
量的初始值,为常数.已知经过,新设备可清除掉产品中 的
某杂质,则经过 ,产品中某杂质的含量与下列四个值中最接近的
是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为经过,新设备可清除掉产品中 的某杂质,
所以,即得
设经过 产品中某杂质的含量为 ,
则 ,
即 .
故选D.
5.［2025·广东惠州一中期中］为了衡量星星的明暗程度,公元前二
世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念.星等的数值越小,
星星就越亮.由于光度计在天体光度测量的应用,英国天文学家普森
又提出了亮度的概念,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两
颗星星的星等与亮度满足 ,其中星等为
的星星的亮度为 .已知小熊座的“北极星”与大熊座的
“玉衡”的星等分别为2.02和,且当 较小时,
,则“玉衡”与“北极星”的亮度的比值大约
为( )
A.1.28 B.1.26 C.1.24 D.1.22
√
[解析] 由题意,可得 ,
.
故选B.
6.（多选题）常见的《标准对数视力表》中有
两列数据,分别表示五分记录和小数记录数据,
把小数记录数据记为 ,对应的五分记录数据记
为,现有两个函数模型： ；
.根据如图所示标准对数视力表中
的数据,下列结论中正确的是（参考数据：
）( )
A.选择函数模型①
B.选择函数模型②
C.根据函数模型,若小明视力的五分记录数据
为 ,则小明视力的小数记录数据为0.9
D.根据函数模型,若小明视力的五分记录数据
为 ,则小明视力的小数记录数据约为0.8
√
√
[解析] 将代入 得,
将代入 得 ,
故选择函数模型②,A错误,B正确；
当时,由,解得 ,
则小明视力的小数记录数据为 ,C错误；
当时,由,解得 ,
则小明视力的小数记录数据约为,D正确.
故选 .
7.已测得的两组值分别为, ,现有两个函数模型：
;.若又测得的一组对应值为 ,
则选用____作为函数模型较好.（填“①”或“②”）
①
[解析] 对于①,当时,；
对于②,当 时,.
因为10比8更接近 ,
所以选用①作为函数模型较好.
8.在固定压力差（压力差为常数）下,当气体通过圆形管道时,其流
量（单位：）与管道半径（单位： ）的四次方成正比.已
知气体在半径为的管道中,流量为 ,则气体在半径为
的管道中,流量为____ .
25
[解析] 设,把,代入得,
则当 时, .
9.（13分）［2025·银川三十一中高一月考］ 专
家研究高一学生上课注意力集中的情况,发现
注意力指数与听课时间（单位： ）之间的
关系满足如图所示的曲线.当 时,曲线
是二次函数图象（其对称轴方程为 ）的
一部分,当 时,曲线是函数
图象的一部分. 专家认为,当注意力
指数 大于或等于80时听课效果最佳.
（1）试求 的函数关系式.
解：当时,设 ,
将代入,得,解得 ,
故 ；
将代入 ,
得,解得 ,
故当时,
综上,
9.（13分）［2025·银川三十一中高一月考］ 专家
研究高一学生上课注意力集中的情况,发现注意力
指数与听课时间（单位： ）之间的关系满足
如图所示的曲线.当 时,曲线是二次函数图
象（其对称轴方程为 ）的一部分,当
（2）若不是听课效果最佳,建议老师多提问,增加学生活动环节.请问
应在哪一个时间段建议老师多提问,增加学生活动环节？并说明理由.
时,曲线是函数 图象的
一部分.专家认为,当注意力指数 大于或等于80时听课效果最佳.
解：当时,令 ,
解得 ,
当时,令 ,
解得 ,
故和 这两个时间段建议
老师多提问,增加学生活动环节.
10.近几年,直播平台作为一种新型的学习渠道,正逐渐受到越来越多
人们的关注和喜爱.某平台从2021年建立开始,得到了很多网民的关注,
会员人数逐年增加.已知从2021年到2024年,每年年末该平台的会员人
数如下表所示（注：第4年数据为截止到2024年10月底的数据）.
1 2 3 4
28 36 52 82
为了估算该平台建立年后的会员人数 （千人）,给出以
下三个函数模型供选择： ；
且；且 .选
择最符合实际的函数模型,则预测2024年年末的会员人数为( )
A.80千人 B.84千人 C.86千人 D.90千人
√
[解析] 由数据可知,随 的增加而增加,且增加的速度越来越快,
故选择模型③,
由表格中的数据可得, ,,
解得,, ,故.
令 ,则可预测2024年年末的会员人数为 （千人）,
故选B.
11.（多选题）［2025·浙江诸暨中学高一期中］ 某食品的保鲜时间
（单位：小时）与储存温度（单位： ）满足函数关系
,,为常数.若该食品在 的保鲜时间是
120小时,在 的保鲜时间是30小时,则( )
A. B.储存温度越高保鲜时间越短
C.在的保鲜时间是60小时 D.在 的保鲜时间是15小时
√
√
√
[解析] 对于A,由题可知, ,
则,即,可得,即 ,故A错误；
对于B,由A可知,在上是减函数,且在 上是增函数,
所以在 上是减函数,则储存温度越高保鲜时间越短,B正确；
对于C,由A可知, （小时）,C正确；
对于D,由A可知, （小时）,D正确.
故选 .
12.［2025·北京朝阳区高一期末］新闻推送涉及信息检索,若一个关
键词在个网页中出现过,则越大, 的权重越小；反之亦然.
在信息检索中,使用最多的权重是逆文本频率指数, ,
其中是全部网页数,,.如果关键词 的逆文本频率指
数比关键词的逆文本频率指数大2,那么 _____.
100
[解析] 由题意可知,即 ,
所以,所以 .
13.［2025·贵州黔西南州高一期末］近年来,黔西南州基础教育质量
大幅提升,2024年高考成绩再上新台阶,一方面,得益于各级政府
及教育部门的殷切关怀与高度重视；另一方面,与莘莘学子的“聪慧
值”密切相关.定义“聪慧值” “天赋值”ד年提升值”（“天赋值”具有先
天性）.某中学高一（1）班学生小李和小王开学时的“天赋值”分别为
150分和100分,“年提升值”相同,自开学那天起,小王努力学习,
刻苦钻研,“年提升值”都在前一年的基础上进步 ,而小李疏于学
习,“年提升值”都在前一年的基础上退步 .那么大约经过____年,
小王的“聪慧值”是小李的2倍.（精确到整数,参考数据：
,, ）
16
[解析] 设两人开学时的“年提升值”为,经过 年小王的“聪
慧值”是小李的2倍,则经过年小王的“聪慧值”为 ,
小李的“聪慧值”为 ,
由题意得,
即 ,
取对数可得 ,
所以 ,
所以大约经过16年小王的“聪慧值”是小李的2倍.
14.（15分）［2025·广东十八校高一期末］ 舆论场指数是一个反映
特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标,它通常通过大数据分
析技术,对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析,从而
得出一个量化的指数,以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对
于舆论事件出现的前 天,若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指
数大于 ,则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指
数就某次舆情进行分析,将舆论事件出现的第1,2,3天的舆论场指
数整理成如下表格：
1 2 3
12 48 156
为研究舆论场指数的变化情况,技术人员提出了三种函数模型用来
刻画数据： ；
； .
（1）请从①②③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果,不用
证明）；
解：根据表格中数据可以看出舆论场指数随 的增大而增大,
且增大的速度越来越快,故选模型 .
（2）运用（1）中选取的函数模型,预测第4天时的舆论场指数；
解：将表格中的数据代入,
得 ,, ,
解得故 .
当时, ,则第4天时的舆论场指数为480.
（3）若本次舆情不是严重的,求 的最小值.
解：若本次舆情不是严重的,则 恒成立,
即 恒成立,即 恒成立,
不妨设,则,故 ,整理得 .
由于二次函数在 上单调递减,
故只需要当时, 成立即可,
代入得,解得,故的最小值为 .
15.（多选题）对于任意两个正数,,记曲线 ,直线
,,轴围成的曲边梯形的面积为,并约定
和,德国数学家莱布尼茨最早发现 .
关于 ,下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 对于选项A, ,
,故A正确；
对于选项B, ,
,故B错误；
对于选项C,,
取, ,则 ,故C错误；
对于选项D,如图,结合图象知,因为 ,
所以 ,
即,D正确.故选 .
16.［2025·长沙长郡中学高一期中］某工厂产生的废气经过过滤后排
放,排放时污染物的含量不得超过最初含量的 .已知在过滤过程
中废气中的污染物数量（单位：毫克/升）与过滤时间 （单位：小
时）之间的函数关系为,均为正常数 .如果在前5个
小时的过滤过程中污染物被排除了 ,那么排放前至少还需要过
滤的时间是___小时.
5
[解析] 依题意,过滤5小时,污染物数量 ,
于是得,解得,
排放污染物时, ,即,可得,
可得 ,解得,则 ,
所以排放前至少还需要过滤的时间是5小时.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点三 【诊断分析】 （1）√ （2）√ （3）√ （4）×
课中探究 探究点一 例1 （1）100万元 （2）,
（3）2058年 变式 （1）（2）2026年
探究点二 例2 （1）3129 （2）68 变式 （1）. （2）4倍
探究点三 例3 （1）选择更合适,解析式为
（2）14个单位时间
变式 （1）,
（2）当车速为时,该电动汽车电池所需的容量最小,最小为
快速核答案（练习册）
1.D 2.C 3.AC 4.D 5.B 6.BD 7.① 8.25
9.（1）m>
（2） 和这两个时间段
10.B 11.BCD 12.100 13.16
14.（1）选模型 （2）480 （3）
15.AD 16.5