习题课 指数函数与对数函数的图象与性质
一、选择题
1.函数f(x)=的定义域为 ( )
A.
B.(2,+∞)
C.∪(2,+∞)
D.∪[2,+∞)
2.“<”是“log2a>log2b”的 ( )
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则f(x)=loga(-x+1)的图象为 ( )
A B C D
4.[2025·长沙明德中学高一期中] 设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递增,则a的取值范围是 ( )
A.[-2,0) B.(-∞,0]
C.(0,2] D.[2,+∞)
5.[2024·广西河池高一期末] 设a=log53,b=log85,c=e-ln 2,则 ( )
A.a
6.当x∈时,不等式8x≤+logax恒成立,则实数a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
7.(多选题)某数学课外兴趣小组对函数f(x)=lg(x≠0,x∈R)的性质进行了探究,得到下列四个说法,其中正确的说法有 ( )
A.函数f(x)的图象关于y轴对称
B.当x>0时,f(x)单调递增,当x<0时,f(x)单调递减
C.函数f(x)的最小值是lg 2
D.函数f(x)的图象与直线x=2有四个交点
8.(多选题)[2025·福建三明一中高一月考] 已知2a+a=log2b+b=2,则 ( )
A.ab<1
B.2a-b>
C.log2a+log2b≥0
D.+>2
二、填空题
9.函数y=(3-a)x与y=lox在区间(0,+∞)上的单调性相同,则实数a的取值范围是 .
10.[2025·广东广雅中学高一期中] 函数y=4x-3·2x+2+1(x∈(-∞,3])的值域是 .
11.[2025·上海嘉定区一中高一期中] 已知海面上的大气压强是760 mmHg,大气压强P(单位:mmHg)和高度h(单位:m)之间的关系为P=760e-hk(e为自然对数的底数,k是常数),根据实验知500 m高空处的大气压强是700 mmHg,当A型直升机巡航高度为1300 m,B型直升机的巡航高度为800 m时,A型直升机所受的大气压强与B型直升机所受的大气压强的比值约为
(精确到0.01).
12.[2025·湖南怀化高一期中] 我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.已知函数f(x)=ln+2x,则函数y=f(x)的图象的对称中心为 .
三、解答题
13.(13分)[2025·大连二十四中高一月考] 已知函数f(x)满足f(2x)=,其中a>0且a≠1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若a=2,求函数y=的定义域;
(3)讨论f(x)的值域.
14.(15分)如图,过函数f(x)=logcx(c>1)的图象上的两点A,B作x轴的垂线,垂足分别为M(a,0),N(b,0)(b>a>1),线段BN与函数g(x)=logmx(m>c>1)的图象交于点C,且AC垂直于y轴.
(1)当a=2,b=4,c=3时,求实数m的值;
(2)当b=a2时,求-的最大值.
15.(15分)[2025·杭州学军中学高一期中] 已知非常数函数f(x)=lo是定义域为(-2,2)的奇函数.
(1)求实数a,b的值;
(2)判断并证明函数f(x)的单调性;
(3)已知g(x)=m·4x-2x+2+3,且 x1∈(1,2), x2∈[-1,1],f(x1)-g(x2)>-,求m的取值范围.
习题课 指数函数与对数函数的图象与性质
1.C [解析] 由题意知
解得02,故选C.
2.C [解析] 由<可得a>b,当a>b时,log2a>log2b不一定成立;反之,由log2a>log2b可得a>b>0,当a>b>0时,<一定成立.所以“<”是“log2a>log2b”的必要不充分条件.故选C.
3.D [解析] 由已知得a=3,所以f(x)=log3(-x+1),则f(0)=0,排除A,B;f(-2)=1,排除C.故选D.
4.B [解析] 函数y=2x在R上单调递增,又函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递增,所以函数y=x(x-a)=-在区间(0,1)上单调递增,所以≤0,解得a≤0.故选B.
5.D [解析] 依题意,a=log53>log5=,b=log85>log8(2)=,c=e-ln 2=,又==log53log58<=<1,所以b>a>=c.故选D.
6.B [解析] 不等式8x≤+logax变形为8x-logax≤.当a>1时,令x=,则8x-logax=2-loga=2+loga3>2,此时原不等式不成立;当07.AC [解析] f(x)=lg(x≠0,x∈R)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且满足f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,故A正确;当x>0时,f(x)=lg=lg,易知y=x+在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,所以由复合函数的单调性可知,f(x)在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,又f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,故B不正确;当x>0时,x+≥2(当且仅当x=1时取等号),又f(x)是偶函数,所以函数f(x)的最小值是lg 2,故C正确;由函数定义可得,函数f(x)的图象与直线x=2不可能有四个交点,故D不正确.故选AC.
8.ABD [解析] ∵2a+a=log2b+b=2,∴2a=2-a,log2b=2-b,则a,b分别为函数y=2x,y=log2x与y=2-x图象交点的横坐标,而函数y=2x,y=log2x互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称,在同一坐标系中画出y=2x,y=log2x与y=2-x的图象,如图.由图可知,点A(a,2a)与B(b,log2b)关于直线y=x对称,直线y=x与直线y=2-x的交点坐标为(1,1),∴a>0,b>0,a≠b,a+b=2,∴ab<=1,A正确;∵b=2-a,∴2a-b=2a-(2-a)=22a-2>2-2=,B正确;log2a+log2b=log2(ab)=2,D正确.故选ABD.
9.(2,3) [解析] 因为y=lox在区间(0,+∞)上单调递减,函数y=(3-a)x与y=lox在区间(0,+∞)上的单调性相同,所以0<3-a<1,解得210.[-35,1) [解析] 令t=2x,因为x∈(-∞,3],所以t∈(0,8],则4x-3·2x+2+1=t2-12t+1.令g(t)=t2-12t+1=(t-6)2-35,t∈(0,8],所以当t=6时,g(t)取得最小值,且g(t)min=-35,又g(0)=1,g(8)=-31,所以g(t)∈[-35,1),即函数y=4x-3·2x+2+1(x∈(-∞,3])的值域是[-35,1).
11.0.92 [解析] 依题意得700=760e-500k,即e-500k==.A型直升机所受的大气压强P1=760e-1300k,B型直升机所受的大气压强P2=760e-800k,所以==e-500k=≈0.92,所以A型直升机所受的大气压强与B型直升机所受的大气压强的比值约为0.92.
12.(2,4) [解析] 由>0,得x(x-4)<0,解得013.解:(1)∵f(2x)==,
∴f(x)=(a>0且a≠1).
(2)当a=2时,f(x)=,则y==,
由-≥0,得x-x2≥-2,
即x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2,
∴函数y=的定义域为[-1,2].
(3)f(x)=(a>0且a≠1),且y=x-x2=-+≤,
当a>1时,y=ax在R上单调递增,
∴f(x)=≤,故f(x)的值域为(0,];
当0综上,当a>1时,f(x)的值域为(0,];当014.解:(1)由题意得A(2,log32),B(4,log34),C(4,logm4).
因为AC垂直于y轴,
所以logm4=log32,所以m=9.
(2)由题意得A(a,logca),B(b,logcb),C(b,logmb).
因为AC垂直于y轴,
所以logmb=logca,
又b=a2,所以m=c2,所以-=-=-+1,
所以当=1时,-取得最大值1.
15.解:(1)函数f(x)为定义在(-2,2)上的奇函数,
则f(-x)+f(x)=0,且f(0)=0,
即lo+lo=0,整理得lo=0,
即a2-x2=4-b2x2,
故解得
当a=-2,b=-1时,f(x)=lo,此时函数f(x)在x=0处无意义,舍去;
当a=-2,b=1时,=-1,函数f(x)无意义,舍去;
当a=2,b=-1时,=1,函数f(x)为常数函数,不符合要求,舍去;
当a=2,b=1时,f(x)=lo=log9,定义域为(-2,2),符合题意.
所以a=2,b=1.
(2)由(1)知,f(x)=log9=log9,函数y=-1在(-2,2)上单调递增,
且函数y=log9x在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(-2,2)上单调递增.证明如下:
x3,x4∈(-2,2),x3则4>2-x3>2-x4>0,所以1<<,
所以0<-1<-1,而函数y=log9x在(0,+∞)上单调递增,
所以log9所以函数f(x)在(-2,2)上单调递增.
(3)由(2)知,函数f(x)在(1,2)上单调递增,
则 x∈(1,2),f(x)>f(1)=.
由 x1∈(1,2), x2∈[-1,1],f(x1)-g(x2)>-,
即f(x1)>g(x2)-,得≥g(x2)-,
故 x∈[-1,1],g(x)≤1,即m·4x-2x+2+3≤1,即m≤-,
当x∈[-1,1]时,≤2x≤2,故≤≤2,
故-=-2+2≤2,
当且仅当x=0时取等号,所以m≤2,所以m的取值范围是(-∞,2].(共35张PPT)
习题课 指数函数与对数函数的图象
与性质
一、选择题
1.函数 的定义域为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意知解得或 ,故选C.
√
2.“”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 由可得,当时, 不一定成立；
反之,由可得,当 时,一定成立.
所以“”是“ ”的必要不充分条件.
故选C.
√
3.已知函数,且 的图象如图所示,
则 的图象为( )
A. B. C. D.
[解析] 由已知得,
所以 ,则,排除A,B；
,排除C.故选D.
√
4.［2025· 长沙明德中学高一期中］设函数 在区间
上单调递增,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 函数在上单调递增,
又函数 在区间上单调递增,
所以函数在区间上单调递增,
所以,解得 .
故选B.
√
5.［2024· 广西河池高一期末］设,, ,
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意, ,,
,
又 ,
所以 .
故选D.
√
6.当时,不等式恒成立,则实数 的取值范围
是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 不等式变形为.
当 时,令,则 ,
此时原不等式不成立；
当时,令,.
由 在上单调递增,在 上单调递减,
得在上单调递增,
故当时, 取得最大值.
由,可得,所以 .
故选B.
7.（多选题）某数学课外兴趣小组对函数
的性质进行了探究,得到下列四个说法,
其中正确的说法有( )
A.函数的图象关于 轴对称
B.当时,单调递增,当时, 单调递减
C.函数的最小值是
D.函数的图象与直线 有四个交点
√
√
[解析] 的定义域为 ,
关于原点对称,且满足,
所以函数 是偶函数,其图象关于轴对称,故A正确；
当 时,,
易知在 上单调递减,在上单调递增,
所以由复合函数的单调性可知,
在 上单调递减,在上单调递增,
又 是偶函数,图象关于轴对称,故B不正确；
当时,（当且仅当 时取等号）,
又是偶函数,所以函数的最小值是 ,故C正确；
由函数定义可得,函数的图象与直线 不可能有四个交点,
故D不正确.
故选 .
8.（多选题）［2025·福建三明一中高一月考］ 已知
,则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] ,,,
则, 分别为函数,与 图象交点的横坐标,
而函数 , 互为反函数,它们的图象关于直线 对称,
在同一坐标系中画出,与的图象,如图.
由图可知,点 与关于直线对称,
直线与直线 的交点坐标为,
,, ,,
,A正确；
, ,B正确；
,C错误；
,D正确.
故选 .
二、填空题
9.函数与在区间 上的单调性相同,则
实数 的取值范围是______.
[解析] 因为在区间上单调递减,
函数 与在区间上的单调性相同,
所以 ,解得,所以实数的取值范围为 .
10.［2025·广东广雅中学高一期中］函数
的值域是________.
[解析] 令,因为,所以 ,
则 .
令,,
所以当 时,取得最小值,且,
又, ,所以,
即函数 的值域是 .
11.［2025·上海嘉定区一中高一期中］已知海面上的大气压强是
,大气压强单位：和高度单位： 之间的关
系为为自然对数的底数,是常数 ,根据实验知
高空处的大气压强是,当 型直升机巡航高度为
,型直升机的巡航高度为时, 型直升机所受的大气压
强与型直升机所受的大气压强的比值约为_____精确到 .
0.92
[解析] 依题意得,即.
型直升机所受的大气压强,
型直升机所受的大气压强,
所以,
所以 型直升机所受的大气压强与 型直升机所受的大气压强的比值
约为0.92.
12.［2025·湖南怀化高一期中］我们知道,函数 的图象关于
坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数,有
同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点 成中
心对称图形的充要条件是函数 为奇函数.已知函数
,则函数 的图象的对称中心为______.
[解析] 由,得,解得,
函数的定义域为 .
令,
由 得,
函数的定义域为 ,关于原点对称,
又 ,
是奇函数,
函数 的图象的对称中心为 .
三、解答题
13.（13分）［2025·大连二十四中高一月考］ 已知函数 满足
,其中且 .
（1）求 的解析式；
解： ,
且 .
13.（13分）［2025·大连二十四中高一月考］ 已知函数 满足
,其中且 .
（2）若,求函数 的定义域；
解：当时,,则 ,
由,得 ,即,解得 ,
函数的定义域为 .
13.（13分）［2025·大连二十四中高一月考］ 已知函数 满足
,其中且 .
（3）讨论 的值域.
解：且,且, ，
当时,在 上单调递增,
,故的值域为 ；
当时,在上单调递减, ,
故的值域为 .
综上,当时,的值域为；
当时, 的值域为 .
14.（15分）如图,过函数
的图象上的两点,
作轴的垂线,垂足分别为 ,
,线段 与函数
的图象交于点 ,
且垂直于 轴．
（1）当,,时,求实数 的值；
解：由题意得,, .
因为垂直于 轴,所以,所以 ．
14.（15分）如图,过函数
的图象上的两点,
作轴的垂线,垂足分别为 ,
,线段 与函数
的图象交于点 ,
且垂直于 轴．
（2）当时,求 的最大值．
解：由题意得, , .
因为垂直于 轴,所以 ,
又,所以 ,
所以 ,
所以当时, 取得最大值1.
15.（15分）［2025·杭州学军中学高一期中］ 已知非常数函数
是定义域为 的奇函数.
（1）求实数, 的值；
解：函数为定义在 上的奇函数,
则,且 ,
即,整理得 ,
即 ,
故解得
当,时,,
此时函数在 处无意义,舍去；
当,时,,函数 无意义,舍去；
当,时,,函数 为常数函数,不符合要求,舍去；
当,时,,定义域为 ,符合题意.
所以, .
15.（15分）［2025·杭州学军中学高一期中］ 已知非常数函数
是定义域为 的奇函数.
（2）判断并证明函数 的单调性；
解：由（1）知,,
函数 在 上单调递增,
且函数在上单调递增,
所以函数在 上单调递增.证明如下：
,, ,则,
所以 ,所以,
而函数在 上单调递增,
所以,
即 ,所以函数在 上单调递增.
15.（15分）［2025·杭州学军中学高一期中］ 已知非常数函数
是定义域为 的奇函数.
（3）已知,且 ,
,,求 的取值范围．
解：由（2）知,函数在 上单调递增,
则, .
由,, ,
即,得 ,
故,,即 ,即 ,
当时,,故 ,
故 ,
当且仅当时取等号,所以,
所以的取值范围是 .
快速核答案
一、1.C 2.C 3.D 4.B 5.D 6.B 7.AC 8.ABD
二、9. 10. 11.0.92 12.
三、13.（1）且（2）（3）14.（1）9（2）1
15.（1）,（2）单调递增.证明略（3） 