滚动习题(六)
(时间:45分钟 分值:105分)
一、单项选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)
1.若函数y=(2a-1)x(x是自变量)是指数函数,则a的取值范围是 ( )
A.(0,1)∪(1,+∞) B.[0,1)∪(1,+∞)
C.∪(1,+∞) D.
2.若b-6a=1,则= ( )
A.1 B.
C. D.
3.[2025·广东广雅中学高一期中] 已知a=2,b=33,c=,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a
C.b4.按复利计算利息的一种储蓄,本息和y(单位:万元)与储存时间x(单位:月)满足函数关系式y=2.718kx+b(k,b为常数).已知本金为6万元,若在第26个月时本息和为7.26万元,则在第39个月时本息和是 ( )
A.6.286万元 B.6.886万元
C.7.986万元 D.9.086万元
5.[2025·福建龙岩高一期末] 若幂函数f(x)=(a2-3)xa在区间(0,+∞)上单调递增,则函数g(x)=bx+a-1(b>1)的图象过定点 ( )
A.(-2,-1) B.(-2,0)
C.(1,0) D.(1,-1)
6.[2025·上海嘉定区一中高一期中] 在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx与指数函数y=的图象可能为 ( )
A B C D
7.[2025·福建漳州十校联盟高一期中] 已知函数f(x)=在定义域上单调递减,则实数a的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
8.下列等式不正确的是 ( )
A.=n7
B.=3-π
C.=
D.22x=(2x)2
9.设函数f(x)=a-|x|(a>0,且a≠1),若f(2)=4,则 ( )
A.f(-2)>f(-1)
B.f(-1)>f(-2)
C.f(-2)>f(2)
D.f(-4)>f(3)
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.函数f(x)=+1的单调递减区间为 ,值域为 .
11.[2025·吉大附中实验学校高一期中] 若关于x的不等式2x+1-2-x-a>0在区间(0,1)上恒成立,则a的取值范围为 .
12.f(x)满足以下条件:①当x>0,y>0时,f(x+y)=f(x)·f(y);②f(x)的图象关于直线x=0对称;③对于不相等的两个正实数a,b,有[f(a)-f(b)](a-b)>0成立.f(x)的解析式可能为f(x)= .
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
13.(13分)[2025·长沙明德中学高一期中] (1)求值:+×÷-(π-3)0;
(2)已知-=2,求的值.
14.(15分)已知指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点.
(1)求函数y=的单调递减区间;
(2)求函数y=a2x-4ax+3,x∈[0,1]的值域.
15.(15分)[2025·黑龙江密山一中高一期中] 已知函数f(x)=a·2x-2-x是定义在R上的奇函数.
(1)求a的值,并证明f(x)在R上单调递增;
(2)求不等式f(3x2-5x)+f(x-4)>0的解集.
滚动习题(六)
1.C [解析] 因为函数y=(2a-1)x(x是自变量)是指数函数,所以解得a>且a≠1,故选C.
2.C [解析] =====.故选C.
3.D [解析] 因为b=33=27,c==30.4<30.5=<2=a,所以c4.C [解析] 由题意得
即2.71826k=1.21,所以2.71813k=1.1,所以当x=39时,y=2.71839k+b=2.71826k+b·2.71813k=7.26×1.1=7.986,即在第39个月时本息和是7.986万元.故选C.
5.B [解析] 由f(x)=(a2-3)xa为幂函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,得a2-3=1且a>0,解得a=2,故g(x)=bx+2-1(b>1).令x+2=0,得x=-2,则g(-2)=b0-1=0,所以g(x)=bx+2-1(b>1)的图象过定点(-2,0).故选B.
6.A [解析] 由y=为指数函数,得>0且≠1,故二次函数y=ax2+bx的图象的对称轴方程为x=-<0,排除B,C.对于A,D,指数函数y=是减函数,故0<<1,二次函数y=ax2+bx的图象与x轴的交点为(0,0),,则-1<-<0,A正确,D错误.故选A.
7.A [解析] 由题意可知,g(x)=|x-6a|在(-∞,2]上单调递减,又∵g(x)=|x-6a|的图象关于直线x=6a对称,∴6a≥2,解得a≥.h(x)=ax-1在(2,+∞)上单调递减,∴08.ABC [解析] =n7m-7,故A中等式不正确;=|3-π|=π-3,故B中等式不正确;=(x3+y3,(x+y=[(x+y)3,故C中等式不正确;22x=(2x)2,故D中等式正确.故选ABC.
9.AD [解析] 因为f(x)=a-|x|,f(2)=4,所以a-2=4,可得a=,则f(x)==2|x|,易得f(x)是偶函数,且在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故f(-2)>f(-1),f(-2)=f(2),f(-4)=f(4)>f(3),故A,D正确,B,C错误.故选AD.
10.(-1,+∞) (1,17] [解析] 设g(x)=-x2-2x+3,则g(x)的图象开口向下,对称轴方程为x=-=-1,所以g(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减.又函数y=2t+1在R上单调递增,故f(x)的单调递减区间为(-1,+∞).因为g(x)max=g(-1)=-1+2+3=4,所以g(x)≤4,所以111.(-∞,1] [解析] 由2x+1-2-x-a>0得a<2x+1-2-x=2·2x-.当x∈(0,1)时,设t=2x,则t∈(1,2),则关于x的不等式2x+1-2-x-a>0在区间(0,1)上恒成立等价于关于t的不等式a<2t-在(1,2)上恒成立.令u(t)=2t-,t∈(1,2),则u(t)=2t-在(1,2)上单调递增,所以u(t)>2×1-=1,所以a≤1,即a的取值范围为(-∞,1].
12.3|x| (答案不唯一)
[解析] 设f(x)=3|x|,当x>0,y>0时,f(x+y)=3|x+y|=3|x|×3|y|=f(x)·f(y),故满足①.f(x)的图象如图,关于直线x=0对称,故满足②.当a>b>0时,a-b>0,由指数函数的性质可知f(a)-f(b)>0,故[f(a)-f(b)](a-b)>0,当00,故满足③.故f(x)=3|x|满足题意.
13.解:(1)原式=+××-1=+××-1=+×-1=+1=.
(2)∵-=2,∴=12,∴a+a-1=14.
∵=+4=16且+=+>0,
∴+=4,
∴==.
14.解:(1)∵函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点,
∴a2=,解得a=或a=-(舍),
∴y==,x∈R,y=在R上单调递减,u=x2-4x+3在区间(-∞,2)上单调递减,
在区间[2,+∞)上单调递增,
根据复合函数的单调性可知,函数y=的单调递减区间是[2,+∞).
(2)y=a2x-4ax+3=-4+3,x∈[0,1].
令t=,x∈[0,1],则t∈,y=t2-4t+3=(t-2)2-1,
∴y=t2-4t+3在上单调递减,
故当t=1时,ymin=0,
当t=时,ymax=,
故y=-4+3,x∈[0,1]的值域为.
15.解:(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,即a·20-2-0=0,
即a-1=0,∴a=1,此时f(x)=2x-2-x,f(-x)=2-x-2x=-f(x),
故a=1符合题意.
证明:函数f(x)的定义域为R,任取x1,x2∈R,且x1-x2<0,
则f(x2)-f(x1)=--+=(-)>0,
∴函数f(x)在R上单调递增.
(2)由(1)可知f(x)=2x-2-x是在R上单调递增的奇函数,
由f(3x2-5x)+f(x-4)>0可得f(3x2-5x)>f(4-x),
∴3x2-5x>4-x,即3x2-4x-4=(3x+2)(x-2)>0,解得x>2或x<-,∴原不等式的解集为.(共22张PPT)
滚动习题（六）范围 4.1~4.2
一、单项选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
1.若函数是自变量 是指数函数，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为函数是自变量 是指数函数，
所以解得且 ，故选C.
2.若，则 ( )
A.1 B. C. D.
[解析] .故选C.
√
3.［2025· 广东广雅中学高一期中］已知，， ，
则，， 的大小关系是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为， ，
所以 .故选D.
√
4.按复利计算利息的一种储蓄，本息和 （单位：万元）与储存时间
（单位：月）满足函数关系式，为常数 .已知本
金为6万元，若在第26个月时本息和为7.26万元，则在第39个月时本
息和是( )
A.6.286万元 B.6.886万元 C.7.986万元 D.9.086万元
[解析] 由题意得
即，所以，所以当 时，
，
即在第39个月时本息和是7.986万元.故选C.
√
5.［2025·福建龙岩高一期末］若幂函数 在
区间上单调递增，则函数 的图象
过定点( )
A. B. C. D.
[解析] 由为幂函数，且在区间 上单调递增，
得且，解得，故 .
令，得，则 ，
所以的图象过定点 .
故选B.
√
6.［2025·上海嘉定区一中高一期中］在同一平面直角坐标系中，二
次函数与指数函数 的图象可能为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由为指数函数,得且 ,
故二次函数的图象的对称轴方程为 ,排除B,C.
对于A,D,指数函数是减函数,
故 ,二次函数的图象与轴的交点为,,
则 , A正确,D错误.故选A.
7.［2025·福建漳州十校联盟高一期中］已知函数
在定义域上单调递减，则实数 的取值范围
为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可知,在 上单调递减,
的图象关于直线对称, ,解得.
在上单调递减, .
又,即,解得, .
故选A.
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
8.下列等式不正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] ，故A中等式不正确；
，故B中等式不正确；
， ，故C中等式不正确；
，故D中等式正确.
故选 .
√
√
√
9.设函数，且，若 ，则( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为，，所以，可得 ，
则 ，
易得是偶函数，且在 上单调递减，在上单调递增，
故， ，，
故A，D正确，B，C错误.故选 .
√
√
三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）
10.函数 的单调递减区间为__________，值域为
_______．
[解析] 设，
则 的图象开口向下，对称轴方程为，
所以在 上单调递增，在上单调递减.
又函数在上单调递增，故 的单调递减区间为.
因为 ，
所以，所以，故的值域为 .
11.［2025·吉大附中实验学校高一期中］若关于 的不等式
在区间上恒成立，则 的取值范围为________.
[解析] 由得 .
当时，设，则，
则关于 的不等式在区间上恒成立等价于
关于 的不等式在上恒成立.
令， ，则在上单调递增，
所以 ，所以，即的取值范围为 .
12.满足以下条件：
①当, 时，；
的图象关于直线 对称；
③对于不相等的两个正实数,，有成立.
的解析式可能为 ____________________.
（答案不唯一）
[解析] 设，当, 时，
，
故满足①.
的图象如图,关于直线 对称,故满足②.
当时, ,
由指数函数的性质可知 ,
故,
当 时, ,由指数函数的性质可知,
故 ,故满足③.
故 满足题意.
四、解答题（本大题共3小题,共43分）
13.（13分）［2025·长沙明德中学高一期中］
（1）求值： ；
解：原式 .
13.（13分）［2025·长沙明德中学高一期中］
（2）已知，求 的值.
解：，， .
且 ，
， .
14.（15分）已知指数函数且 的图象经过点 .
（1）求函数 的单调递减区间；
解： 函数且的图象经过点 ，
，解得或 （舍），
，，在 上单调递减，
在区间 上单调递减,在区间 上单调递增，
根据复合函数的单调性可知,函数 的单调递减区间是 .
14.（15分）已知指数函数且 的图象经过点 .
（2）求函数， 的值域.
解：， .
令，，则， ，
在 上单调递减，
故当时， ，当时， ，
故，的值域为 ．
15.（15分）［2025·黑龙江密山一中高一期中］ 已知函数
是定义在 上的奇函数.
（1）求的值，并证明在 上单调递增；
解：是定义在上的奇函数，
，即 ，即，
，此时 , ，
故 符合题意.
证明：函数的定义域为，任取，，且 ，
则 ，
函数在 上单调递增.
15.（15分）［2025·黑龙江密山一中高一期中］ 已知函数
是定义在 上的奇函数.
（2）求不等式 的解集.
解：由（1）可知是在 上单调递增的奇函数，
由可得 ，
，即 ，
解得或，
原不等式的解集为 .
快速核答案
一、1.C 2.C 3.D 4.C 5.B 6.A 7.A
二、8.ABC 9.AD
三、10. 11. 12. （答案不唯一）
四、13.（1） （2）
14.（1）（2）
15.（1）,证明略（2）>
