滚动习题(七)
(时间:45分钟 分值:105分)
一、单项选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)
1.[2025·淄博实验中学高一期中] 函数f(x)=+的定义域为 ( )
A.[0,+∞) B.(-∞,2]
C.[0,2] D.[0,2)
2.当x足够大时,随x的增大,下列函数增长速度最快的是 ( )
A.y=1.1x B.y=2025x2
C.y=log2025x D.y=2025x
3.[2025·厦门双十中学高一期中] 函数f(x)=log2(x2-x-2)的单调递减区间是 ( )
A. B.(-∞,-1)
C. D.(2,+∞)
4.[2025·青岛六中高一期中] 函数y=ax+1+2(a>0且a≠1)的图象恒过点A(m,n),函数y=loga(x+1)+2(a>0且a≠1)的图象恒过点B(p,q),则mn+pq= ( )
A.-5 B.-3 C.-2 D.-1
5.[2025·福建南平高一期末] 已知logaM=6,logbM=10,logcM=15(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1;c>0,且c≠1;M>0),则logabcM的值为 ( )
A. B.3 C. D.30
6.某学校科技创新小组准备模拟东风-31弹道导弹的发射过程,假设该小组采用的飞行器的飞行高度(单位:米)与飞行时间(单位:秒)之间的关系可以近似用函数y=alog3x+b来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米,经过6秒时的高度为30米,欲达到50米的高度,需要 ( )
A.15秒 B.16秒
C.18秒 D.20秒
7.[2025·广州南武中学高一月考] 函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x)+2(a>0,a≠1),则f(x)max+f(x)min= ( )
A.4 B.4或 C.2或 D.2
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
8.[2025·长沙长郡中学高一期中] 已知ab=1,a>0,且a≠1,则函数y=loga(-x)与y=bx的图象可能是 ( )
A B C D
9.[2025·南昌十中高一月考] 关于函数f(x)=log3,下列说法正确的有 ( )
A.f(2)=1
B.f(x)的图象关于y轴对称
C.f(x)的图象关于原点对称
D.f(x)在定义域上单调递减
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.[2025·天水一中高一期中] 已知函数f(x)=ln+2,若f(a)=1,则f(-a)= .
11.某农场种植一种农作物,为了解该农作物的产量情况,现将近四年的年产量f(x)(单位:万斤)与年份代码x(记2022年的年份代码为1)之间的关系统计如下:
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.62 7.00 8.86
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一,则最适合的函数模型的序号是 .
①f(x)=2x+a;②f(x)=x2+b;③f(x)=ax+b.
12.已知定义在R上的函数f(x+1)为偶函数,且f(x)在[1,+∞)上单调递增,a=f(eln 4),b=f(0.20.3),c=f(log30.5),则a,b,c的大小关系为 .(用“<”连接)
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
13.(13分)求下列各式的值:
(1)(lg 5)2+lg 2lg 5+lg 4-log34×log23;
(2)log68++2log6-log281·log272.
14.(15分)[2025·南京六校高一调研] 已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),函数f(x)在区间[1,4]上的最大值与最小值之和为2.
(1)求函数f(x)的解析式,并求出关于x的不等式f<1的解集;
(2)求函数g(x)=f·f(2x),x∈[1,4]的值域,并求出取得最值时对应的x的值.
15.(15分)[2025·广东汕头高一期末] 已知函数f(x)=lg(1-x)+lg(1+x).
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断并证明f(x)的奇偶性;
(3)若f(x)≤-t2+2t+3在定义域内恒成立,求t的取值范围.
滚动习题(七)
1.D [解析] 由题意可得
解得0≤x<2,故选D.
2.A [解析] 函数y=1.1x为单调递增的指数函数,函数y=2025x2为二次函数,y=log2025x为单调递增的对数函数,y=2025x为单调递增的一次函数.根据一次函数、指数函数与对数函数、二次函数的图象与性质,可得当x足够大时,随x的增大,指数函数的增长速度最快.故选A.
3.B [解析] 由题意可得x2-x-2=(x-2)(x+1)>0,解得x>2或x<-1,由y=x2-x-2=-,可知其在(-∞,-1)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,又y=log2x为增函数,故f(x)=log2(x2-x-2)的单调递减区间为(-∞,-1).故选B.
4.B [解析] 对于y=ax+1+2,令x+1=0,得x=-1,y=a0+2=3,所以y=ax+1+2的图象恒过点A(-1,3),即m=-1,n=3.对于y=loga(x+1)+2,令x+1=1,得x=0,y=loga1+2=2,所以y=loga(x+1)+2的图象恒过点B(0,2),即p=0,q=2.所以mn+pq=-1×3+0×2=-3.故选B.
5.B [解析] 由logaM=6,可得logMa==,同理可得logMb=,logMc=,∴logM(abc)=logMa+logMb+logMc=++=,∴logabcM=3.故选B.
6.C [解析] 由题意可得
解得a=20,b=10-20log32.设达到50米的高度需要x秒,则20log3x+10-20log32=50,解得x=18,所以达到50米的高度需要18秒.故选C.
7.A [解析] 由得-1
8.BC [解析] 由ab=1,a>0,且a≠1,得b=,所以y=bx=.若01,所以函数y=的图象上升,即为增函数,且y=logax单调递减,又函数y=loga(-x)与y=logax的图象关于y轴对称,所以函数y=loga(-x)为增函数,选项B符合条件;若a>1,则0<<1,函数y=bx=的图象下降,即为减函数,且y=logax单调递增,又函数y=loga(-x)与y=logax的图象关于y轴对称,所以函数y=loga(-x)的图象下降,即为减函数,选项C符合条件.故选BC.
9.AC [解析] 对于A,由f(x)=log3,可得f(2)=log33=1,故A正确;对于B,C,因为f(x)=log3=log3,所以其定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),显然定义域关于原点对称,且f(-x)=log3=log3=log3=-f(x),即f(x)为奇函数,所以f(x)的图象关于原点对称,故B错误,C正确;对于D,设t=+1,则y=log3t,因为t=+1在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减,又y=log3t在定义域上单调递增,所以f(x)=log3在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减,故D错误.故选AC.
10.3 [解析] 因为f(x)=ln+2,所以f(-x)=ln+2,故f(x)+f(-x)=ln+ln+4=ln +4=4,则f(-a)=4-f(a)=4-1=3.
11.③ [解析] 若模型为f(x)=2x+a,则由f(1)=2+a=4,得a=2,即f(x)=2x+2,此时f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与表格中的数据相差太大,不符合.若模型为f(x)=x2+b,则由f(1)=1+b=4,得b=3,即f(x)=x2+3,此时f(2)=7,f(3)=12,f(4)=19,与表格中的数据相差太大,不符合.若模型为f(x)=ax+b,则由已知得解得所以f(x)=1.5x+2.5,经验证f(2)=5.5,f(4)=8.5,与表格中的数据相差不大,符合.故填③.
12.bf(log30.5)>f(0.20.3),即b13.解:(1)原式=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2-2log32×log23=lg 5+lg 2-2=1-2=-1.
(2)log68++2log6-log281·log272=log623+4+log6()2-log234×log32=log62+4+log63-2log23×log32=log62+log63+4-2=log66+4-2=1+4-2=3.
14.解:(1)函数f(x)=logax的定义域为(0,+∞),且f(x)在(0,+∞)上单调,由函数f(x)在区间[1,4]上的最大值与最小值之和为2,得loga1+loga4=2,
即2loga2=2logaa,解得a=2,
于是f(x)=log2x.
由f<1得log2由>0,得x<-1或x>1,
由<2,即>0,得x<-3或x>-1.
因此x<-3或x>1,所以不等式f<1的解集是{x|x<-3或x>1}.
(2)由(1)知,g(x)=f·f(2x)=log2·log2(2x)=(log2x-2)·(log2x+1)=(log2x)2-log2x-2,
令log2x=t,由x∈[1,4],得t∈[0,2],设h(t)=t2-t-2=-.当t=时,h(t)min=-,此时x=;当t=2时,h(t)max=0,此时x=4.所以函数g(x)的值域为,取最小值时x=,取最大值时x=4.
15.解:(1)由解得
所以-1(2)函数f(x)是偶函数.证明如下:
由(1)知f(x)的定义域关于原点对称.
又因为f(-x)=lg[1-(-x)]+lg[1+(-x)]=lg(1-x)+lg(1+x)=f(x),
所以函数f(x)是偶函数.
(3)任取x1,x2∈(0,1),且x1f(x1)-f(x2)=lg(1+x1)+lg(1-x1)-[lg(1+x2)+lg(1-x2)]=lg,
因为01,
即f(x1)-f(x2)>0,
所以f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)在(0,1)上单调递减.
因为函数f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,
所以函数f(x)在(-1,0)上单调递增,所以f(x)max=f(0)=0.
因为f(x)≤-t2+2t+3在定义域内恒成立,
所以f(x)max≤-t2+2t+3,
所以0≤-t2+2t+3,
即t2-2t-3=(t-3)(t+1)≤0,解得-1≤t≤3.(共28张PPT)
滚动习题（七）范围4.3~4.4
一、单项选择题（本大题共7小题,每小题5分,共35分）
1.［2025· 淄博实验中学高一期中］函数
的定义域为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得解得 ,故选D.
√
2.当足够大时,随 的增大,下列函数增长速度最快的是( )
A. B. C. D.
[解析] 函数为单调递增的指数函数,函数 为二次函数,
为单调递增的对数函数, 为单调递增的一次函数.
根据一次函数、指数函数与对数函数、二次函数的图象与性质,
可得当足够大时,随 的增大,指数函数的增长速度最快.
故选A.
√
3.［2025· 厦门双十中学高一期中］函数 的
单调递减区间是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得,解得 或,
由,
可知其在 上单调递减,在上单调递增,
又 为增函数,
故的单调递减区间为 .故选B.
√
4.［2025·青岛六中高一期中］函数且 的图
象恒过点,函数且 的图象恒
过点,则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 对于,令,得 ,,
所以的图象恒过点 ,即,.
对于,令,得 ,,
所以的图象恒过点 ,即,.
所以 .
故选B.
√
5.［2025·福建南平高一期末］已知, ,
,且；,且；,且 ；
,则 的值为( )
A. B.3 C. D.30
[解析] 由,可得 ,
同理可得, ,
,
.
故选B.
√
6.某学校科技创新小组准备模拟东风 弹道导弹的发射过程,假设
该小组采用的飞行器的飞行高度（单位：米）与飞行时间
（单位：秒）之间的关系可以近似用函数 来表示.已
知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米,经过6秒时的高度为30米,
欲达到50米的高度,需要( )
A.15秒 B.16秒 C.18秒 D.20秒
√
[解析] 由题意可得 解得,.
设达到50米的高度需要 秒,则,解得 ,
所以达到50米的高度需要18秒.
故选C.
7.［2025·广州南武中学高一月考］函数
,则
( )
A.4 B.4或 C.2或 D.2
√
[解析] 由得 ,
所以的定义域为 ,关于原点对称,
又因为
,
所以函数为奇函数,
所以 的最大值和最小值互为相反数,即 ,
所以 .
故选A.
二、多项选择题（本大题共2小题,每小题6分,共12分）
8.［2025·长沙长郡中学高一期中］已知,,且 ,则
函数与 的图象可能是( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 由,,且,得,所以 .
,则,
所以函数 的图象上升,即为增函数,且单调递减,
又函数与 的图象关于轴对称,
所以函数 为增函数,选项B符合条件；
若,则,函数 的图象下降,即为减函数,
且单调递增,
又函数与 的图象关于轴对称,
所以函数 的图象下降,即为减函数,选项C符合条件.
故选 .
9.［2025·南昌十中高一月考］关于函数 ,下列
说法正确的有( )
A. B.的图象关于 轴对称
C.的图象关于原点对称 D. 在定义域上单调递减
[解析] 对于A,由,可得 ,故A正确；
对于B,C,因为 ,
所以其定义域为 ,显然定义域关于原点对称,且
√
√
,即 为奇函数,
所以 的图象关于原点对称,故B错误,C正确；
对于D,设,则,
因为在和 上单调递减,
又 在定义域上单调递增,
所以在和 上单调递减,故D错误.
故选 .
三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）
10.［2025·天水一中高一期中］已知函数 ,若
,则 ___.
3
[解析] 因为,所以 ,
故 ,
则 .
11.某农场种植一种农作物,为了解该农作物的产量情况,现将近四
年的年产量（单位：万斤）与年份代码 （记2022年的年份代码
为1）之间的关系统计如下：
1 2 3 4
4.00 5.62 7.00 8.86
若 近似符合以下三种函数模型之一,则最适合的函数模型的序
号是____.
；； .
③
[解析] 若模型为,则由,得 ,
即,此时,, ,
与表格中的数据相差太大,不符合.
若模型为 ,则由,得,
即,此时 ,, ,
与表格中的数据相差太大,不符合.
若模型为,则由已知得解得
所以,经验证, ,
与表格中的数据相差不大,符合.故填③.
12.已知定义在上的函数为偶函数,且在 上单
调递增,,,,则,, 的
大小关系为__________.（用“ ”连接）
[解析] 由题意可知的图象关于直线对称,
则 在上单调递减,
又, 在定义域上单调递增,在定义域上单调递减,
即 ,,
所以 ,而,
故 ,即 .
四、解答题（本大题共3小题,共43分）
13.（13分）求下列各式的值:
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解： .
14.（15分）［2025· 南京六校高一调研］ 已知函数
,且,函数在区间 上的最大值与最
小值之和为2.
（1）求函数的解析式,并求出关于的不等式 的解集；
解：函数的定义域为,且在 上单调,
由函数在区间 上的最大值与最小值之和为2,得 ,
即,解得 ,于是 .
由得,可得 ,
由,得或 ,
由,即,得或 .
因此或,所以不等式的解集是 或 .
14.（15分）［2025· 南京六校高一调研］ 已知函数
,且,函数在区间 上的最大值与最
小值之和为2.
（2）求函数, 的值域,并求出取得最值
时对应的 的值.
解：由（1）知,
,
令,由,得 ,
设.
当时, ,此时；
当时,,此时.
所以函数 的值域为,取最小值时,取最大值时 .
15.（15分）［2025·广东汕头高一期末］ 已知函数
.
（1）求 的定义域；
解：由解得
所以,故函数的定义域是 .
15.（15分）［2025·广东汕头高一期末］ 已知函数
.
（2）判断并证明 的奇偶性；
解：函数 是偶函数.证明如下：
由（1）知 的定义域关于原点对称.
又因为 ,
所以函数 是偶函数.
15.（15分）［2025·广东汕头高一期末］ 已知函数
.
（3）若在定义域内恒成立,求 的取值范围.
解：任取,,且 ,
,
因为,所以 ,即 ,
所以 ,所以函数在 上单调递减.
因为函数是偶函数,图象关于 轴对称,
所以函数在上单调递增,所以 .
因为 在定义域内恒成立,
所以 ,
所以 ,即 ,
解得 .
快速核答案
一、1.D 2.A 3.B 4.B 5.B 6.C 7.A
二、8.BC 9.AC
三、10.3 11.③ 12.
四、13.（1） （2）
14.（1） 或
（2）的值域为,取最小值时,取最大值时
15.（1）（2）函数是偶函数.证明略（3） 