滚动习题(八)
(时间:45分钟 分值:105分)
一、单项选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)
1.函数y=ln x的零点是 ( )
A.(1,0) B.x=0
C.x=1 D.不存在
2.函数f(x)=x3+2x-4的零点所在的区间是 ( )
A.(-1,0) B.(1,2)
C.(0,1) D.(2,3)
3.[2024·安徽蚌埠高一期末] 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,则“f(a)·f(b)<0”是“函数y=f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.[2024·湖南株洲二中高一期末] 已知函数f(x)=3x+2x,g(x)=log3x+2x,h(x)=x3+2x的零点分别为p,q,r,则p,q,r的大小关系为 ( )
A.p>q>r B.q>r>p
C.r>p>q D.q>p>r
5.[2024·广西桂林高一期末] 已知某物种t年后的种群数量y近似满足函数模型y=k0·e1.4e-0.125t(k0>0,当t=0时表示2023年年初的种群数量).自2023年年初起,经过n年后(n∈N),该物种的种群数量不足2023年年初的10%,则n的最小值为(参考数据:ln 10≈2.302 6) ( )
A.16 B.17 C.18 D.19
6.函数f(x)=ln|x|+8-x的零点个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
7.[2025·福建厦门高一期末] 设函数f(x)=|x2-a|,g(x)=a|x|+1,若曲线y=f(x)与y=g(x)恰有3个交点,则a= ( )
A.-1 B.1 C.-1或1 D.2
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
8.[2025·华南师大附中高一月考] 下列函数图象与x轴均有公共点,其中不能用二分法求零点的是 ( )
A B C D
9.下列说法正确的是 ( )
A.已知方程ex=8-的解在(k,k+1)(k∈Z)内,则k=1
B.函数f(x)=x2-x-6的零点是(3,0),(-2,0)
C.函数y=2x-x2有两个不同的零点
D.用二分法求函数f(x)=3x+3x-8在区间(1,2)内零点近似值的过程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则零点近似值在区间(1.25,1.5)内
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.函数f(x)=2x-的零点个数为 ,不等式f(x)>0的解集为 .
11.[2024·海南中学高一月考] 已知f(x)=-ln x在区间(n,n+1)(n∈Z)上有一个零点x0,则n= ,若用二分法求x0的近似值(精确度为0.1),则至少需要将初始区间等分
次.
12.[2025·漯河高级中学高一期中] 带有无线覆盖功能的路由器,常称为Wi-Fi,它主要应用于用户上网和无线覆盖.经测试发现,某品牌无线路由器发射信号初始强度为S0,其辐射信号强度S与距离d近似满足函数模型ln(S)=-d2+B,其中G,B为非零常数.已知发射信号初始强度S0=1时,在距无线路由器2 m的地方测得信号强度为a,则当S0=4时,信号强度为的位置距无线路由器的距离为 m.
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
13.(13分)已知函数f(x)=
(1)在坐标系下画出函数f(x)的图象;
(2)求使方程f(x)-k=0的实数解个数分别为1,2,3时k的相应取值范围.
14.(15分)[2024·山东青岛二中高一月考] 已知f(x)=ln x+x-2,g(x)=ex+x.
(1)请用二分法求方程f(x)=0的近似解(精确度为0.5);
(2)若f(x1)=0,g(x2)=0,求证:x1·x2>-e.
15.(15分)在国家大力发展新能源汽车产业的政策下,我国新能源汽车的产销量高速增长.某地区2020年年底新能源汽车保有量为1500辆,2021年年底新能源汽车保有量为2250辆,2022年年底新能源汽车保有量为3375辆.
(1)设从2020年年底起经过x年后,该地区新能源汽车保有量为y辆,根据以上数据,试从y=a·bx(a>0,b>0且b≠1),y=a·logbx(a>0,b>0且b≠1),y=ax+b(a>0)三个函数模型中选择最恰当的一个模型来刻画y与x的关系(不必说明理由),并求其解析式;
(2)假设每年新能源汽车保有量按(1)中求得的函数模型增长,且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同,2020年年底该地区传统能源汽车保有量为50 000辆,预计到2025年年底传统能源汽车保有量将下降10%,试估计到哪一年年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
滚动习题(八)
1.C [解析] 函数y=ln x的零点可以转化为方程ln x=0的根,所以x=1.故选C.
2.B [解析] 因为y=x3和y=2x-4都是R上的增函数,所以f(x)=x3+2x-4也是R上的增函数,又f(1)=-1<0,f(2)=8>0,所以由零点存在定理,可得函数f(x)的零点所在的区间是(1,2).故选B.
3.A [解析] 函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,由零点存在定理可知,当f(a)·f(b)<0时,函数y=f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点,充分性成立;而函数y=f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点时,f(a)·f(b)<0不一定成立,如函数y=x2,在开区间(-1,1)内有零点x=0,但f(-1)·f(1)>0,必要性不成立.则“f(a)·f(b)<0”是“函数y=f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点”的充分不必要条件.故选A.
4.B [解析] 由函数f(x)=3x+2x,g(x)=log3x+2x,h(x)=x3+2x的零点分别为p,q,r,可得函数y=3x,y=log3x,y=x3与y=-2x图象交点的横坐标分别为p,q,r,在同一直角坐标系中作出四个函数的图象如图所示.由图知p<0,q>0,r=0,所以p5.D [解析] 由题意可知2023年年初的种群数量为k0·e1.4e,故令y=k0·e1.4e-0.125t<10%·k0·e1.4e,即e-0.125t<,则0.125t>ln 10,∴t>=8ln 10≈8×2.302 6=18.420 8,由于n∈N*,故n的最小值为19,故选D.
6.D [解析] 函数f(x)=ln|x|+8-x的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),当x<0时,f(x)=ln(-x)+8-x,显然函数y=ln(-x),y=8-x在(-∞,0)上都单调递减,因此函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,而f(-e-9)=-1+e-9<0,f(-1)=9>0,则函数f(x)在(-∞,0)上有唯一零点;当x>0时,f(x)=ln x+8-x,由f(x)=0,得ln x=x-8,则f(x)在(0,+∞)上的零点即为函数y=ln x的图象与直线y=x-8的交点的横坐标,在同一坐标系内作出函数y=ln x的图象与直线y=x-8,如图,观察图象知,函数y=ln x的图象与直线y=x-8有两个交点,即f(x)在(0,+∞)上有两个零点.综上,函数f(x)=ln|x|+8-x的零点个数为3.故选D.
7.B [解析] 易知函数f(x),g(x)均为偶函数,除对称轴x=0处以外两偶函数图象的交点成对出现,由曲线y=f(x)与y=g(x)恰有3个交点可知,f(0)=g(0),即|a|=1,解得a=-1或1.当a=-1时,f(x)=|x2+1|,g(x)=-|x|+1,由图象分析可知恰有1个交点,不符合题意;
当a=1时,f(x)=|x2-1|,g(x)=|x|+1,由图象分析可知符合题意.故选B.
8.ABD [解析] 能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a,b]上图象连续不断,并且有f(a)·f(b)<0,A,B中不存在f(x)<0,D中函数图象不连续.故选ABD.
9.AD [解析] 对于A,记f(x)=ex-8+,易知y=ex-8,y=都在R上单调递增,所以f(x)在R上单调递增,又f(1)=e-8+=e-<0,f(2)=e2-7>0,所以f(x)存在唯一零点x0,且x0∈(1,2),即方程ex=8-的唯一解在(1,2)内,所以k=1,A正确;对于B,令f(x)=x2-x-6=0,解得x=-2或x=3,所以函数f(x)=x2-x-6的零点是-2或3,B错误;对于C,作出y=2x,y=x2的图象如图,当x<0时,函数y=2x和y=x2的图象显然有一个交点,又22=22,24=42,所以函数y=2x和y=x2的图象在x=2,x=4处相交,所以y=2x-x2有三个不同的零点,C错误;对于D,因为f(x)为R上的增函数,f(1.25)f(1.5)<0,所以由零点存在定理可知,零点近似值在区间(1.25,1.5)内,D正确.故选AD.
10.1 (-∞,0)∪(1,+∞) [解析] 易知f(x)=2x-在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,且当x∈(-∞,0)时,f(x)>0恒成立.令f(x)=0,可得2x=,解得x=1,则函数f(x)的零点个数为1.f(x)>0即为2x>,解得x<0或x>1,即不等式的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).
11.1 4 [解析] f(x)=-ln x在(0,+∞)上为减函数,又f(1)=1>0,f(2)=-ln 2<0,∴x0∈(1,2),故n=1.设需要等分n次,则≤0.1且n∈N*,解得n≥4,故至少需要等分4次.
12.4 [解析] 根据题意,由S0=1,d=2,S=a,得ln a=-4G+B,当S=,
S0=4时,ln=-d2+B,即ln a=-d2+B,因此-4G+B=-d2+B,故d=4,即S0=4时,信号强度为的位置距无线路由器的距离为4 m.
13.解:(1)图象如图所示.
(2)方程f(x)-k=0的实数解个数等价于函数y=f(x)与y=k图象的交点个数,
∴当解的个数为1时,k的取值范围为k<-4;
当解的个数为2时,k的取值范围为k=-4或k>-3;
当解的个数为3时,k的取值范围为-414.解:(1)易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,
因为f(1)=ln 1+1-2=-1<0,f(2)=ln 2+2-2=ln 2>0,即f(1)·f(2)<0,
所以f(x)在区间(1,2)内存在零点x0.
取区间(1,2)的中点x1==,
则f=ln+-2=ln-=ln=ln<0,
因 为 f·f(2)<0,
所以x0∈.
再取区间的中点x2==,则f=ln+-2=ln-=ln=ln>0,
因为f·f<0,
所以x0∈.
因为-==0.25<0.5,所以方程f(x)=0的近似解可取为=1.5.
(2)证明:由题意得
即故ln x1+ln(-x2)=ln(-x1x2)=2-x1+x2,且x2<0.
要证x1·x2>-e,只需证2-x1+x2<1,即证x2由(1)知x1∈,显然x2综上,x1·x2>-e得证.
15.解:(1)由给出的数据知,应选择的函数模型是y=a·bx(a>0,b>0且b≠1),
由题意得解得
所以y=1500×.
(2)设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r,依题意得50 000(1-r)5=50 000×(1-10%),解得1-r=0.,设从2020年年底起经过x(x∈N)年后传统能源汽车保有量为h辆,则有h=50 000(1-r)x=50 000(0.)x.
设估计从2020年年底起经过x年后新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量,
则有1500×>50 000(0.)x,化简得3×>100(0.)x,
所以lg 3+x(lg 3-lg 2)>2+(2lg 3-1),
解得x>≈8.09,
又x∈N,所以x≥9,
故估计从2020年年底起经过9年后,即2029年年底新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车保有量.(共34张PPT)
滚动习题（八）范围4.5
一、单项选择题（本大题共7小题,每小题5分,共35分）
1.函数 的零点是( )
A. B. C. D.不存在
[解析] 函数的零点可以转化为方程的根,所以 .
故选C.
√
2.函数 的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为和都是 上的增函数,
所以也是上的增函数,
又 ,,
所以由零点存在定理,可得函数 的零点所在的区间是 .
故选B.
√
3.［2024·安徽蚌埠高一期末］若函数在闭区间 上的图
象是一条连续的曲线,则“”是“函数 在开区间
内至少有一个零点”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 函数在闭区间 上的图象是一条连续的曲线,
由零点存在定理可知,当时,
函数 在开区间内至少有一个零点,充分性成立；
而函数 在开区间内至少有一个零点时,
不一定成立,
如函数,在开区间内有零点,但 ,
必要性不成立.
则“”是“函数在开区间 内至少有一个零点”
的充分不必要条件.故选A.
4.［2024·湖南株洲二中高一期末］已知函数 ,
,的零点分别为,,,则 ,
, 的大小关系为( )
A. B. C. D.
[解析] 由函数 ,, 的
零点分别为,,,
可得函数,, 与
图象交点的横坐标分别为,, ,
在同一直角坐标系中作出四个函数的图象如图所示.
由图知,,,所以 .
故选B.
√
5.［2024·广西桂林高一期末］已知某物种年后的种群数量 近似满
足函数模型,当 时表示2023年年初
的种群数量.自2023年年初起,经过年后 ,该物种的种群数
量不足2023年年初的,则 的最小值为（参考数据：
）( )
A.16 B.17 C.18 D.19
√
[解析] 由题意可知2023年年初的种群数量为 ,
故令,即 ,
则,
,
由于,故 的最小值为19,故选D.
6.函数 的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 函数 的定义域为,
当 时,,
显然函数 , 在上都单调递减,
因此函数 在 上单调递减,
而,,
则函数在 上有唯一零点；
√
当时,,
由 ,得,
则在 上的零点即为函数的
图象与直线 的交点的横坐标,
在同一坐标系内作出函数 的图象与直线,如图,
观察图象知,函数 的图象与直线有两个交点,
即 在 上有两个零点.
综上,函数 的零点个数为3.
故选D.
7.［2025·福建厦门高一期末］设函数 ,
,若曲线与恰有3个交点,
则 ( )
A. B.1 C. 或1 D.2
[解析] 易知函数, 均为偶函数,除对称轴 处以外两偶函数
图象的交点成对出现,
由曲线与 恰有3个交点可知,
,即,解得 或1.
当时,, ,
由图象分析可知恰有1个交点,不符合题意；
√
当时,, ,
由图象分析可知符合题意.故选B.
二、多项选择题（本大题共2小题,每小题6分,共12分）
8.［2025·华南师大附中高一月考］下列函数图象与 轴均有公共点,
其中不能用二分法求零点的是( )
A. B. C. D.
[解析] 能用二分法求零点的函数必须在给定区间 上图象连续不断,
并且有,A,B中不存在 ,D中函数图象不连续.
故选 .
√
√
√
9.下列说法正确的是( )
A.已知方程的解在内,则
B.函数的零点是,
C.函数 有两个不同的零点
D.用二分法求函数在区间 内零点近似值的过
程中得到,, ,则零点近似值在区间
内
√
√
[解析] 对于A,记 ,
易知,都在上单调递增,
所以 在上单调递增,
又 , ,
所以存在唯一零点,且 ,
即方程的唯一解在内,所以 ,A正确；
对于B,令,解得或 ,
所以函数的零点是或3,B错误；
对于C,作出 ,的图象如图,
当时,函数和 的图象显然有一个交点,
又,,
所以函数 和的图象在, 处相交,
所以 有三个不同的零点,C错误；
对于D,因为为上的增函数, ,
所以由零点存在定理可知,零点近似值在区间内,D正确.
故选 .
三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）
10.函数的零点个数为___,不等式 的解集为
_________________.
1
[解析] 易知在, 上单调递增,
且当时,恒成立.
令,可得 ,解得,则函数的零点个数为
即为,解得 或,
即不等式的解集为 .
11.［2024·海南中学高一月考］已知 在区间
上有一个零点,则___,若用二分法求 的近似
值（精确度为 ）,则至少需要将初始区间等分___次.
1
4
[解析] 在上为减函数,
又 , ,,故.
设需要等分 次,则且,解得 ,故至少需要等分4次.
12.［2025·漯河高级中学高一期中］带有无线覆盖功能的路由器,常
称为 ,它主要应用于用户上网和无线覆盖.经测试发现,某品
牌无线路由器发射信号初始强度为,其辐射信号强度与距离 近
似满足函数模型,其中, 为非零常数.已知
发射信号初始强度时,在距无线路由器 的地方测得信号强
度为,则当时,信号强度为 的位置距无线路由器的距离为
___ .
4
[解析] 根据题意,由,,,得 ,
当 ,时,,即 ,
因此,
故,即时,信号强度为 的位置距无线路由器的距离为 .
四、解答题（本大题共3小题,共43分）
13.（13分）已知函数
（1）在坐标系下画出函数 的图象;
解：图象如图所示.
13.（13分）已知函数
（2）求使方程 的实数解个数分
别为1,2,3时 的相应取值范围.
解：方程 的实数解个数等价于
函数与 图象的交点个数,
当解的个数为1时,的取值范围为 ;
当解的个数为2时,的取值范围为或 ;
当解的个数为3时,的取值范围为 .
14.（15分）［2024·山东青岛二中高一月考］ 已知
, .
（1）请用二分法求方程的近似解（精确度为 ）；
解：易知在 上单调递增,
因为, ,
即 ,所以在区间内存在零点 .
取区间的中点 ,
则 ,
因为 , 所以 .
再取区间的中点 ,
则 ,
因为 ,所以 .
因为,
所以方程 的近似解可取为 .
14.（15分）［2024·山东青岛二中高一月考］ 已知
, .
（2）若,,求证： .
证明：由题意得 即
故 ,且 .
要证,只需证,即证 ,
由（1）知,显然 成立.
综上, 得证.
15.（15分）在国家大力发展新能源汽车产业的政策下,我国新能源
汽车的产销量高速增长.某地区2020年年底新能源汽车保有量为1500
辆,2021年年底新能源汽车保有量为2250辆,2022年年底新能源汽
车保有量为3375辆.
（1）设从2020年年底起经过年后,该地区新能源汽车保有量为 辆,
根据以上数据,试从,且 ,
,且, 三个函数模
型中选择最恰当的一个模型来刻画与 的关系（不必说明理由）,
并求其解析式；
解：由给出的数据知,
应选择的函数模型是,且 ,
由题意得解得
所以 .
15.（15分）在国家大力发展新能源汽车产业的政策下,我国新能源
汽车的产销量高速增长.某地区2020年年底新能源汽车保有量为1500
辆,2021年年底新能源汽车保有量为2250辆,2022年年底新能源汽
车保有量为3375辆.
（2）假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长,
且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同,2020年年底该地区
传统能源汽车保有量为50 000辆,预计到2025年年底传统能源汽车
保有量将下降 ,试估计到哪一年年底新能源汽车保有量将超过
传统能源汽车保有量.（参考数据:, ）
解：设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为 ,
依题意得,解得 ,
设从2020年年底起经过年后传统能源汽车保有量为 辆,
则有
设估计从2020年年底起经过 年后新能源汽车保有量将超过传统能源
汽车保有量,
则有,化简得 ,
所以 ,
解得 ,
又,所以 ,
故估计从2020年年底起经过9年后,即2029年年底新能源汽车的保有
量将超过传统能源汽车保有量.
快速核答案
一、1.C 2.B 3.A 4.B 5.D 6.D 7.B
二、8.ABD 9.AD
三、10.1 11.1 4 12.4
四、13.（1）如图所示. .
（2）当解的个数为1时,的取值范围为;
当解的个数为2时,的取值范围为或;
当解的个数为3时,的取值范围为.
14.（1）（2）证明略
15.（1）应选择的函数模型是,且,
（2）2029年年底
