本章总结提升
◆ 题型一 指数式、对数式的运算
[类型总述] (1)实数指数幂的运算;(2)对数式的运算.
例1 (1)化简计算:
①--(π-3)0+3π×+;
②lg 50lg 2+(lg 5)2+log34·log49+;
③+log78·log4-(0.2+2π0·.
(2)①设2a=3b=18,求;
②[2025·杭州四中高一月考] 已知x+y=11,xy=9,求的值.
变式 (1)已知2a=b,2b=3,logb6=c,则 ( )
A.b+1=ac B.3b+a=c
C.ac+a=2b D.b=ac
(2)(多选题)下列各式的值等于6的是 ( )
A.23+
B.
C.
D.(lg 2)2+lg 50·lg 200
(3)[2025·浙南名校联盟高一期中] +(lg 2)2+lg 2·lg 5+lg 5+的值为 .
◆ 题型二 指、对数函数的图象
[类型总述] (1)作与指、对数函数有关的函数的图象;(2)根据指、对数函数解析式判断函数的图象;(3)指、对数函数图象的应用.
例2 (1)[2025·南昌豫章中学高一月考] 在同一直角坐标系中,函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),g(x)=xa(x≥0)的部分图象可能是 ( )
(2)在同一坐标系中,函数y=与y=loga(-x)(其中a>0且a≠1)的图象可能是 ( )
变式 (1)已知函数y=xa,y=bx,y=logcx的图象如图所示,则 ( )
A.c-2
B.lg b<C.lg bD.c-2<(2)(多选题)[2025·厦门一中高一期中] 在同一直角坐标系中,函数y=a-x,y=loga(a>0且a≠1)的图象可能是 ( )
◆ 题型三 指、对数函数性质的应用
[类型总述] (1)利用单调性比较大小; (2)指、对数复合函数的单调性.
例3 (1)已知a=log50.6,b=31.4,c=0.92.2,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.aC.c(2)[2025·成都高一期末] 若实数a,b满足a>b>1,则下列不等式成立的是 ( )
A.eb-a<0 B.lg(a-b)>0
C.ab>ba D.logab变式 (多选题)[2025·宁波余姚中学高一期中] 下列不等式正确的是 ( )
A.0.30.2<20.3<40.2
B.0.3-0.1<0.4-0.1<0.5-0.1
C.log0.43D.log63<例4 (1)(多选题)已知函数f(x)=,则 ( )
A.f(x)为偶函数
B.f(x)在(-1,0)上单调递减
C.f(x)在(1,+∞)上单调递增
D.f(x)的最小值为9
(2)已知函数f(x)=(log2x-2)log4(2x).
①当x∈[1,16]时,求该函数的取值范围;
②求不等式f(x)>2的解集.
变式 (1)[2025·洛阳强基联盟高一联考] 已知函数f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1)在上单调递增,则实数a的取值范围为 ( )
A.(2,+∞) B.(1,+∞)
C.(1,2) D.(0,1)
(2)[2025·辽宁丹东名校协作体高一期中] 已知函数f(x)满足f(2x)=,其中a>0且a≠1.
①求f(x)的解析式;
②若a=2,求函数y=的定义域;
③讨论f(x)的值域.
◆ 题型四 函数的零点与方程的根
[类型总述] (1)求函数的零点;(2)判断函数零点或方程根的个数;(3)利用二分法求函数零点的近似值或方程的近似解.
例5 (1)[2024·广东茂名高一期末] 方程lg x-4=-x的解所在的区间为 ( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
(2)已知函数f(x)=则当≤m<时,方程f(x)=-x+m的根的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
变式 (1)(多选题)下列函数中有零点的是 ( )
A.y=x+1 B.y=x2-2x+1
C.y=ln x+1 D.y=ex+1
(2)[2025·山西吕梁汾阳中学高一月考] 用二分法求函数f(x)=ln(x+1)+x-1在区间[0,1]上的零点,要求精确度为0.01时,所需二分区间的次数最少为 .
◆ 题型五 函数零点的应用
[类型总述] (1)利用函数零点求参数的值;(2)利用函数零点求参数的范围.
例6 (1)[2025·北京大兴区高一期末] 已知函数f(x)=x+log2x-4的零点为x1,g(x)=x+loga(x-1)-5(a>1)的零点为x2,若x2-x1>1,则实数a的取值范围是 ( )
A.(1,) B.(,2)
C.(1,2) D.(2,+∞)
(2)[2025·浙江强基联盟高一联考] 已知函数f(x)=若实数a,b,c满足aA.(3,9) B.(5,9) C.(5,11) D.(3,11)
变式 (1)已知三个函数f(x)=2x+x-2,g(x)=x3-8,h(x)=log2x+x-2的零点依次为a,b,c,则a+b+c= ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
(2)函数f(x)=|ex-2|+2m有且仅有1个零点,则m的取值范围为 .
(3)已知函数f(x)=若关于x的方程2[f(x)]2+(1-4a)·f(x)-2a=0有4个不同的实根,则实数a的取值范围是 .
◆ 题型六 函数模型及其应用
[类型总述] (1)已知函数模型解应用题;(2)选择函数模型解应用题.
例7 (1) (多选题)[2023·新课标Ⅰ卷] 噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0) 是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则 ( )
A.p1≥p2 B.p2>10p3
C.p3=100p0 D.p1≤100p2
(2)某地西红柿上市后,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/10 kg)与上市时间t(单位:天)的数据如下表:
t 7 9 10 11 13
Q 19 11 10 11 19
为了描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系,现有以下四个函数模型供选择:
①Q(t)=k·t+v;②Q(t)=a·t2+b·t+c;③Q(t)=p·qt;④Q(t)=m·lognt.
(i)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由,同时求出相应的函数解析式;
(ii)在第(i)问的条件下,若函数Q(t)在区间[0,m]上的最大值为110,最小值为10,求实数m的最大值.
变式 (多选题)在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量v(单位:cm3/s)与管道的半径r(单位:cm)的四次方成正比,当气体在半径为5 cm的管道中时,流量为1250 cm3/s,则( )
A.当气体在半径为3 cm的管道中时,流量为152 cm3/s
B.当气体在半径为3 cm的管道中时,流量为162 cm3/s
C.要使得气体流量不小于512 cm3/s,管道的半径最小为3 cm
D.要使得气体流量不小于512 cm3/s,管道的半径最小为4 cm
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【素养提升】
题型一
例1 解:(1)①原式=--1+3π×+=2--1+1+=+=.
②原式=(lg 5+lg 10)lg 2+(lg 5)2+·+2=lg 5lg 2+(lg 5)2+lg 2++2=lg 5(lg 2+lg 5)+lg 2+4=lg 5+lg 2+4=5.
③+log78·log4-(0.2+2π0·=-16+log78×log47-+2×8=××-=-=-.
(2)①因为2a=3b=18,所以a=log218,b=log318,所以=+=+=log182+2log183=log1818=1.
②因为x+y=11,xy=9,所以(+)2=x+y+2=11+6=17,
所以+=,又x2+y2=(x+y)2-2xy=121-18=103,
所以=.
变式 (1)A (2)BC (3)3 [解析] (1)因为2a=b,2b=3,所以a=log2b,b=log23,ac=log2b·logb6=log26=log23+1,故b+1=ac.故选A.
(2)对于A选项,23+=8+2=10,A错误;对于B选项,=3×=3×2=6,B正确;对于C选项,==6,C正确;对于D选项,(lg 2)2+lg 50·lg 200=(lg 2)2+lg 50·(lg 50+lg 4)=(lg 2)2+(lg 50)2+2lg 50·lg 2=(lg 2+lg 50)2=(lg 100)2=22=4,D错误.故选BC.
(3)原式=2-+lg 2·(lg 2+lg 5)+lg 5+=2+lg 2+lg 5=2+1=3.
题型二
例2 (1)C (2)C [解析] (1)对于A和B,指数函数f(x)=ax的图象过定点(0,1),且f(x)单调递增,则a>1,所以幂函数g(x)=xa单调递增,且增加得越来越快,故A不符合,B不符合;对于C和D,指数函数f(x)=ax的图象过定点(0,1),且f(x)单调递减,则0(2)指数函数y=的图象过点(0,1),对数函数y=loga(-x)的图象过点(-1,0),只有C选项符合,当0变式 (1)C (2)AC [解析] (1)由图知最上方的图象是y=xa的图象,过点(0,1)的是y=bx的图象,过点(1,0)的是y=logcx的图象,因此a<0,01,则lg b<0,01,所以lg b(2)由函数y=a-x,y=loga,当a>1时,可得y=a-x是减函数,图象恒过点(0,1),函数y=loga是增函数,图象恒过点;当0题型三
例3 (1)B (1)D [解析] (1)∵5>1,∴y=log5x在定义域上单调递增,又0<0.6<1,∴a=log50.61,∴y=3x在定义域上单调递增,又1.4>1,∴b=31.4>31>1.∵0<0.9<1,∴y=0.9x在定义域上单调递减,又2.2>0,∴0(2)由指数函数的性质知eb-a>0,A错误;a-b>0,而a-b>1不一定成立,则lg(a-b)>0不一定成立,B错误;当a=10,b=e时,ab=10e<103<210b>1,得0变式 ACD [解析] 对于A,因为0<0.30.2<1,且y=2x在R上单调递增,所以20=1<20.3<20.4=40.2,故A正确;对于B,由y=x-0.1在(0,+∞)上单调递减可得0.3-0.1>0.4-0.1>0.5-0.1,故B错误;对于C,由y=log3x在(0,+∞)上单调递增,得log30.21可得lg 5>,故D正确.故选ACD.
例4 (1)ACD [解析] 对于A,由题知,f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)===f(x),所以f(x)为偶函数,故A正确;对于B,C,D,令g(x)=x+,则当x>0时,g(x)=x+≥2=2,当且仅当x=1时取最小值2,易证当x>1时,g(x)单调递增,当00时,f(x)在(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,最小值为f(1)=32=9,又函数f(x)为偶函数,所以f(x)在(-1,0)上单调递增,f(x)的最小值为9,故B错误,C,D正确.故选ACD.
(2)解:①因为f(x)=(log2x-2)log4(2x)=(2log4x-2),令t=log4x,x∈[1,16],
则t∈[0,2],函数f(x)转化为y=(2t-2),二次函数y=(2t-2)=2t2-t-1,其图象的对称轴方程为t=,故该二次函数在上单调递减,在上单调递增,所以当t=时,y取得最小值-,当t=2时,y取得最大值5,故当x∈[1,16]时,函数f(x)的取值范围为.
②由题得(2log4x-2)-2>0,令t=log4x,则(2t-2)-2>0,即2t2-t-3>0,解得t>或t<-1.当t>时,即log4x>,解得x>8;当t<-1时,即log4x<-1,解得02的解集为∪(8,+∞).
变式 (1)A [解析] 因为a>0,所以y=ax-1单调递增,结合复合函数的单调性,要使f(x)=loga(ax-1)在上单调递增,则解得a>2.故选A.
(2)解:①f(2x)==,令t=2x,则f(t)=,故f(x)=,其中a>0且a≠1.
②当a=2时,f(x)=,则y==,
故-≥0,则x-x2≥-2,解得-1≤x≤2,故y=的定义域为[-1,2].
③由于y=x-x2=-+≤,故当a>1时f(x)=≤,故值域为,
当0题型四
例5 (1)D (2)D [解析] (1)构造函数f(x)=lg x+x-4,因为f(x)的图象是一条连续的曲线,f(3)=lg 3-1<0,f(4)=lg 4>0,所以f(3)f(4)<0,所以函数在(3,4)内有零点.因为函数f(x)是增函数,所以函数有唯一零点.故选D.
(2)当x≥0时,f(x)=f(x-2),当0≤x<2时,f(x)=f(x-2)=2x-2;当2≤x<4时,f(x)=f(x-2)=2x-4;当4≤x<6时,f(x)=f(x-2)=2x-6;…;当2k≤x<2k+2(k∈N)时,f(x)=f(x-2)=2x-2k-2.画出函数f(x)的图象,如图所示,令-x+m=0,则x=8m,又因为≤m<,所以4≤8m<6.令g(x)=-x+m,由图可知方程f(x)=-x+m的根的个数即为函数f(x)与g(x)的图象交点的个数.当x=0时,20=1>m,当x=-1时,-x+m=+m>2-1,则两函数图象在(-1,0)上存在一个交点;当x∈[0,2)时,f(0)=,g(0)=m∈,当x=2时,≤g(2)<<20,则两函数图象在[0,2)上存在一个交点;当x∈[2,4)时,因为g(2)∈,f(2)=,所以g(2)≥f(2),当x=4时,0≤g(4)<<20,则两函数图象在[2,4)上存在一个交点;当x≥4时,因为g(4)∈,f(4)=,所以g(4)4时,由图易知g(x)变式 (1)ABC (2)7 [解析] (1)对于A,y=x+1的零点为x=-2,故A正确;对于B,y=x2-2x+1的零点为x=1,故B正确;对于C,y=ln x+1的零点为x=,故C正确;对于D,y=ex+1>1恒成立,所以y=ex+1没有零点,故D错误.故选ABC.
(2)根据题意,原来区间[0,1]的长度等于1,每经过二分法的一次操作,区间长度变为原来的一半,则经过n次操作后,区间的长度为.由≤0.01,得n≥7,故最少为7次.
题型五
例6 (1)D (2)C [解析] (1)由题意可知,x1+log2x1-4=x2+loga(x2-1)-5=0,即x1+log2x1-4=x2-1+loga(x2-1)-4,即x1+log2x1=x2-1+loga(x2-1),因为x2-x1>1,所以x1loga(x2-1),可得a>2.故选D.
(2)f(x)的图象如图所示,因为a变式 (1)C (2)m≤-1或m=0
(3)-[解析] (1)令f(x)=0,得2x=2-x,令h(x)=0,得log2x=2-x,则直线y=2-x与函数y=2x,y=log2x的图象交点的横坐标分别为a,c.函数y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称,且直线y=x与直线y=2-x垂直,设直线y=x与直线y=2-x交于点A,由解得即A(1,1),易知直线y=2-x与函数y=2x,y=log2x的图象的交点关于点A对称,则a+c=2.由题意得g(b)=b3-8=0,解得b=2,因此,a+b+c=4.故选C.
(2)∵函数f(x)=|ex-2|+2m有且仅有1个零点,∴函数y=|ex-2|的图象与直线y=-2m有1个交点.作出函数y=|ex-2|的图象如图所示,由图可得-2m≥2或-2m=0,∴m≤-1或m=0.
(3)由2[f(x)]2+(1-4a)·f(x)-2a=0,得[2f(x)+1]·[f(x)-2a]=0,解得f(x)=-或f(x)=2a.画出f(x)=及y=-的图象如图,其中y=2-x-1随着x的增大,无限接近直线y=-1,故要想方程2[f(x)]2+(1-4a)·f(x)-2a=0有4个不同的实根,则需-1<2a<0且2a≠-,解得-题型六
例7 (1)ACD [解析] 方法一:由题意可得燃油汽车的声压级=20×lg∈[60,90],所以=1,∈[60,90]①.同理,=1,∈[50,60]②,=1=102=100③.对于A,由表知≥,可得p1≥p2,故A正确;对于B,②÷③得=1∈[1,10],所以p2≤10p3,故B错误;对于C,=100,即p3=100p0,故C正确;对于D,①÷②得=1∈[100,102],即∈[1,100],即p1≤100p2,故D正确.故选ACD.
方法二:因为Lp=20×lg,所以-=20×lg-20×lg=20×lg,又因为-≥0,所以lg≥0,即≥1,所以p1≥p2,故A正确;同理,-=20×lg-20×lg=20×lg,因为-=20×lg∈[10,20],所以lg∈,即∈[,10],所以∈,则p2≤10p3,故B错误;因为=40,所以20×lg=40,则lg=2,即=100,所以p3=100p0,故C正确;因为-≤40,即20×lg≤40,所以lg≤2,即p1≤100p2,故D正确.故选ACD.
(2)解:(i)由表中数据可知,当t∈[7,13]时,Q(t)先单调递减后单调递增.
因为Q(t)=k·t+v,Q(t)=p·qt,Q(t)=m·lognt都是单调函数,所以不符合题意.
因为Q(t)=a·t2+b·t+c可先单调递减后单调递增,所以符合题意.由表格中数据可得解得
所以Q(t)=t2-20t+110.
(ii)由(i)知Q(t)=(t-10)2+10,其图象的对称轴方程为t=10,且开口向上,
因为Q(0)=(0-10)2+10=110,Q(20)=(20-10)2+10=110,Q(10)=(10-10)2+10=10,所以10≤m≤20,
所以实数m的最大值为20.
变式 BD [解析] 依题意可设v=kr4,k为常数.当气体在半径为5 cm的管道中时,流量为1250 cm3/s,所以1250=k×54,解得k=2,则v=2r4.当r=3时,v=162,A错误,B正确.由2r4≥512,得r≥4,C错误,D正确.故选BD.(共60张PPT)
本章总结提升
题型一 指数式、对数式的运算
题型二 指、对数函数的图象
题型三 指、对数函数性质的应用
题型四 函数的零点与方程的根
题型五 函数零点的应用
题型六 函数模型及其应用
答案核查
题型一 指数式、对数式的运算
［类型总述］（1）实数指数幂的运算;（2）对数式的运算.
例1（1）化简计算：
① ；
解：原式 .
例1（1）化简计算：
② ；
解：原式
.
例1（1）化简计算：
③ .
解：
.
（2）①设,求 ；
解： 因为,所以, ,
所以 .
②［2025·杭州四中高一月考］已知,,求 的值.
解： 因为, ,
所以 ,
所以,
又 ,
所以 .
变式（1）已知,, ,则( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,,
所以, ,,
故 .
故选A.
√
（2）（多选题）下列各式的值等于6的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A选项, ,A错误；
对于B选项, ,B正确；
对于C选项,,C正确；
对于D选项,
,
D错误.故选 .
√
√
（3）［2025·浙南名校联盟高一期中］
的值为___.
3
[解析] 原式 .
题型二 指、对数函数的图象
［类型总述］（1）作与指、对数函数有关的函数的图象;（2）根据指、
对数函数解析式判断函数的图象;（3）指、对数函数图象的应用.
例2（1）［2025·南昌豫章中学高一月考］在同一直角坐标系中,函
数,且, 的部分图象可能
是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 对于A和B,指数函数的图象过定点,
且 单调递增,则,
所以幂函数 单调递增,且增加得越来越快,故A不符合,B不符合；
对于C和D,指数函数 的图象过定点,且单调递减,
则 ,
所以幂函数 单调递增,且增加得越来越慢,故C符合,D不符合.
故选C.
（2）在同一坐标系中,函数与其中 且
的图象可能是( )
A. B. C. D.
[解析] 指数函数的图象过点,
对数函数 的图象过点,只有C选项符合,
当 时,函数图象与C选项一致.
故选C.
√
变式（1）已知函数,, 的图象如图所示,
则( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由图知最上方的图象是 的图象,
过点的是的图象,
过点 的是的图象,
因此, ,,
则,, ,
所以 ,故选C.
（2）（多选题）［2025·厦门一中高一期中］ 在同一直角坐标系中,
函数,且 的图象可能是( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 由函数,,
当时,可得 是减函数,图象恒过点,
函数 是增函数,图象恒过点；
当时,可得 是增函数,图象恒过点,
函数是减函数,图象恒过点 .
综上,满足要求的图象为A,C.
故选 .
题型三 指、对数函数性质的应用
［类型总述］（1）利用单调性比较大小； （2）指、对数复合函数
的单调性.
例3（1）已知,,,则,, 的大小关系为( )
A. B. C. D.
[解析] ,在定义域上单调递增,
又 ,
, 在定义域上单调递增,
又,
, 在定义域上单调递减,
又,, .
故选B.
√
（2）［2025·成都高一期末］若实数,满足 ,则下列不等
式成立的是( )
A. B. C. D.
[解析] 由指数函数的性质知,A错误；
,而不一定成立,则 不一定成立,B错误；
当,时, ,C错误；
由,得 ,D正确.
故选D.
√
变式 （多选题）［2025·宁波余姚中学高一期中］ 下列不等式正确
的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A,因为,且在 上单调递增,
所以,故A正确；
对于B,由 在上单调递减可得 ,
故B错误；
对于C,由在 上单调递增,
得,
所以 ,即 ,故C正确；
对于D,由可得 ,
由可得,故D正确.
故选 .
例4（1）（多选题）已知函数 ,则( )
A.为偶函数 B.在 上单调递减
C.在上单调递增 D. 的最小值为9
√
√
√
[解析] 对于A,由题知,的定义域为 ,
且,所以 为偶函数,故A正确；
对于B,C,D,令,则当 时,,
当且仅当 时取最小值2,易证当时,单调递增,
当时, 单调递减,
又函数为增函数,所以由复合函数的单调性可知,
当时, 在上单调递增,在上单调递减,
最小值为 ,
又函数为偶函数,所以在上单调递增, 的最小值为9,
故B错误,C,D正确.故选 .
（2）已知函数 ．
①当 时,求该函数的取值范围；
解：因为 ,
令, ,则,函数转化为 ,
二次函数,其图象的对称轴方程为 ,
故该二次函数在上单调递减,在上单调递增,
所以当 时,取得最小值,当时,取得最大值5,
故当 时,函数的取值范围为 ．
（2）已知函数 ．
②求不等式 的解集.
解：由题得,令 ,
则,即,解得或 .
当时,即,解得；
当时,即 ,解得.
故不等式的解集为 ．
变式
（1）［2025·洛阳强基联盟高一联考］已知函数
在上单调递增,则实数
的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,所以 单调递增,
结合复合函数的单调性,要使在 上单调递增,
则解得 .
故选A.
√
变式
（2）［2025·辽宁丹东名校协作体高一期中］已知函数 满足
,其中且 .
①求 的解析式；
解：,
令,则 ,
故,其中且 .
变式
（2）［2025·辽宁丹东名校协作体高一期中］已知函数 满足
,其中且 .
②若,求函数 的定义域；
解：当时,,则 ,
故,则,解得 ,
故的定义域为 .
变式
（2）［2025·辽宁丹东名校协作体高一期中］已知函数 满足
,其中且 .
③讨论 的值域.
解：由于,
故当 时,故值域为 ,
当时,故值域为 .
题型四 函数的零点与方程的根
［类型总述］（1）求函数的零点；（2）判断函数零点或方程根的
个数；（3）利用二分法求函数零点的近似值或方程的近似解.
例5（1）［2024·广东茂名高一期末］方程 的解所在的
区间为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 构造函数,
因为 的图象是一条连续的曲线,,,
所以 ,
所以函数在内有零点.
因为函数 是增函数,
所以函数有唯一零点.
故选D.
（2）已知函数则当 时,方程
的根的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 当时,,
当 时,；
当时, ；
当时, ；…；
当时, .
√
画出函数的图象,如图所示,
令,则 ,
又因为,所以.
令 ,由图可知方程的根的个数即为
函数与 的图象交点的个数.
当时,,当时, ,
则两函数图象在上存在一个交点；
当时, ,,
当时, ,
则两函数图象在 上存在一个交点；
当时,因为, ,所以,
当时, ,则两函数图象在上存在一个交点；
当时,因为, ,所以,
当时,由图易知 恒成立,
所以两函数图象在 上无交点.
综上所述,两函数图象有三个交点.
故选D.
变式（1）（多选题）下列函数中有零点的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A,的零点为 ,故A正确；
对于B,的零点为,故B正确；
对于C, 的零点为,故C正确；
对于D, 恒成立,所以没有零点,故D错误.
故选 .
√
√
√
（2）［2025·山西吕梁汾阳中学高一月考］用二分法求函数
在区间 上的零点,要求精确度为0.01时,
所需二分区间的次数最少为___.
7
[解析] 根据题意,原来区间 的长度等于1,每经过二分法的一次操作,
区间长度变为原来的一半,则经过 次操作后,区间的长度为.
由,得 ,故最少为7次.
题型五 函数零点的应用
［类型总述］（1）利用函数零点求参数的值;（2）利用函数零点求
参数的范围.
例6（1）［2025·北京大兴区高一期末］已知函数
的零点为 ,
的零点为,若 ,则
实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知, ,
即 ,
即,
因为 ,所以,则,可得 .
故选D.
√
（2）［2025·浙江强基联盟高一联考］已知函数
若实数,,满足 且
,则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 的图象如图所示,
因为 且 ,
所以从图象可得,, ,
因为,所以 ,即,
因为,所以 ,则,
所以 的取值范围为 .
故选C.
变式（1）已知三个函数, ,
的零点依次为,,,则 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
√
[解析] 令,得,令 ,得,
则直线 与函数, 的图象交点的横坐标分别为,.
函数与 的图象关于直线对称,
且直线与直线垂直,
设直线 与直线交于点 ,由解得即 ,
易知直线与函数, 的图象的交点关于点对称,
则 .
由题意得,解得 ,因此, .故选C.
（2）函数有且仅有1个零点,则 的取值范围
为________________.
或
[解析] 函数有且仅有1个零点,
函数的图象与直线有1个交点.
作出函数 的图象如图所示,
由图可得或,
或 .
（3）已知函数若关于 的方程
有4个不同的实根,则实数 的取
值范围是____________________.
且
[解析] 由 ,
得 ,
解得或 .
画出
及 的图象如图,
其中随着的增大,无限接近直线 ,
故要想方程 有4个不同的实根,
则需且,解得且 .
题型六 函数模型及其应用
［类型总述］（1）已知函数模型解应用题；（2）选择函数模型解
应用题.
例7（1）（多选题）［2023· 新课标Ⅰ卷］噪声污染问题越来越受到
重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级 ,其中
常数是听觉下限阈值, 是实际声压.下表为不同声源的声
压级：
声源
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声
压分别为,, ,则( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一：由题意可得燃油汽车的声压级,
所以, .
同理,,, .
对于A,由表知,可得,故A正确；
对于B, 得,所以 ,故B错误；
√
√
√
对于C, ,即,故C正确；
对于D, 得,即,即 ,
故D正确.故选 .
方法二：因为 ,
所以 ,
又因为,所以,即,所以 ,故A正确；
同理, ,
因为,所以 ,
即,所以,则 ,故B错误；
因为,所以,则,即 ,
所以,故C正确；
因为,即 ,所以,即,
故D正确.
故选 .
（2）某地西红柿上市后,通过市场调查,得到西红柿种植成本
单位：元/与上市时间 （单位：天）的数据如下表：
7 9 10 11 13
19 11 10 11 19
为了描述西红柿种植成本与上市时间 的变化关系,现有以下四个
函数模型供选择：
；； ；
.
（i）选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由,同时求出相应
的函数解析式；
解：由表中数据可知,当时, 先单调递减后单调递增.
因为,, 都是单调函数,
所以不符合题意.
因为 可先单调递减后单调递增,所以符合题意.
由表格中数据可得解得
所以 .
（2）某地西红柿上市后,通过市场调查,得到西红柿种植成本
单位：元/与上市时间 （单位：天）的数据如下表：
7 9 10 11 13
19 11 10 11 19
为了描述西红柿种植成本与上市时间 的变化关系,现有以下四个
函数模型供选择：
；； ；
.
（ii）在第问的条件下,若函数在区间 上的最大值为110,
最小值为10,求实数 的最大值.
解：由知,
其图象的对称轴方程为 ,且开口向上,
因为, ,
,
所以 ,
所以实数 的最大值为20.
变式 （多选题）在固定压力差（压力差为常数）下,当气体通过圆
形管道时,其流量单位：与管道的半径单位： 的四次
方成正比,当气体在半径为的管道中时,流量为 ,
则( )
A.当气体在半径为的管道中时,流量为
B.当气体在半径为的管道中时,流量为
C.要使得气体流量不小于,管道的半径最小为
D.要使得气体流量不小于,管道的半径最小为
√
√
[解析] 依题意可设,为常数.
当气体在半径为 的管道中时,流量为,
所以,解得 ,则.
当时,,A错误,B正确.
由 ,得,C错误,D正确.
故选 .
快速核答案
素养提升 题型一 （1）①（2）①1 ②
变式 （1）A （2）BC （3）3
题型二 例2 （1）C （2）C 变式 （1）C （2）AC
题型三 例3 （1）B （2）D 变式 ACD
例4 （1）ACD （2）① ②
变式 （1）A （2）①,其中且 ②
题型四 例5 （1）D （2）D 变式 （1）ABC （2）7
题型五 例6 （1）D （2）C
变式 （1）C （2）或 （3）且
题型六 例7 （1）ACD
（2）（i）选择模型,理由略,<（ii）20