5.1.1 任意角
【学习目标】
1.能通过不同的分类方式初步认识任意角.
2.能识别正角、负角、零角、象限角、轴线角和终边相同的角.
◆ 知识点一 任意角
1.角的概念:一条射线绕着 旋转所成的图形.
2.角的分类
类型 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角
零角 一条射线没有做任何旋转,称它形成了一个零角.零角的始边与终边
3.相等角与相反角:设角α由射线OA绕端点O旋转而成,角β由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向 且旋转量 ,那么就称α=β.把射线OA绕端点O按不同方向旋转 所成的两个角叫作互为相反角.角α的相反角记为-α.
4.角的加法与减法:设α,β是任意两个角.我们规定,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是 .角的减法可以转化为角的 ,即减去一个角等于加上这个角的 ,也就是α-β=α+ .
◆ 知识点二 象限角和轴线角
象限角:使角的顶点与 重合,角的始边与 的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.
轴线角:如果角的终边在 上,那么就认为这个角不属于任何一个象限, 叫作 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若α为第一象限角,则α可能不是锐角. ( )
(2)大于90°的角都是钝角. ( )
(3)270°角是第三或第四象限角. ( )
(4) -120°角是第三象限角. ( )
(5)若角α的终边在直线y=x上,则α是第一象限角. ( )
◆ 知识点三 终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S= ,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与 周角的和.
◆ 知识点四 象限角的集合与轴线角的集合的表示
1.象限角的集合表示
角α的终边所在象限 集合表示
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
2.轴线角的集合表示
角α的终边位置 集合表示
x轴的非负半轴
x轴的非正半轴
(续表)
角α的终边位置 集合表示
y轴的非负半轴
y轴的非正半轴
x轴
y轴
坐标轴
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)与-40°角终边相同的角的集合是{α|α=k·360°-40°,k∈Z}. ( )
(2)终边在第四象限的角的集合可以表示为{α|k·360°-90°<α(3)若角α的终边在y轴的负半轴上,则角α的集合可以表示为{α|α=k·360°-90°,k∈Z}. ( )
(4)若角α是第三象限角,则角α的集合可以表示为{α|k·360°-180°<α◆ 探究点一 任意角的概念与分类
例1 (1)(多选题)下列说法错误的是 ( )
A.三角形的内角必是第一、二象限角
B.终边与始边重合的角一定是零角
C.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角为60°
D.小于90°的角是锐角
(2)时间过了2小时30分,则分针转过的角度是 .
(3)射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置,接着逆时针旋转250°到OC位置,然后再顺时针旋转270°到OD位置,则射线OA绕点O旋转到OD形成的角α= .
[素养小结]
(1)正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例.
(2)要注意“旋转方向”决定角的“正负”,“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”.
◆ 探究点二 象限角
例2 (1)[2025·河北邢台一中高一月考] 2025°角是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
(2)若α是第一象限角,则下列各角中是第四象限角的是 ( )
A.90°-α B.90°+α
C.360°-α D.180°+α
变式 (1)(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.-75°角是第四象限角
B.225°角是第三象限角
C.475°角是第二象限角
D.-225°角是第一象限角
(2)已知角α终边上有一点P,则α为 第 象限角.
◆ 探究点三 终边相同的角的求解
例3 已知角α=-1845°.
(1)把α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出α是第几象限角;
(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-360°≤θ<360°;
(3)求与α终边相同的最大负角与最小正角.
变式 (1)(多选题)在下列各组的两个角中,终边相同的一组是 ( )
A.-43°与677° B.900°与-1260°
C.-120°与960° D.150°与630°
(2)(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.终边在x轴上的角的集合是{α|α=k·180°,k∈Z}
B.终边在y轴上的角的集合是{α|α=90°+k·180°,k∈Z}
C.终边在坐标轴上的角的集合是{α|α=k·90°,k∈Z}
D.终边在直线y=-x上的角的集合是{α|α=135°+k·360°,k∈Z}
[素养小结]
终边相同的角的表示:
(1)终边相同的角都可以表示成α+k·360°(k∈Z)的形式.
(2)终边相同的角相差360°的整数倍.
◆ 探究点四 用不等式组表示角(区域角)
例4 如图所示.
(1)分别写出终边落在射线OA,OB上的角的集合;
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
变式 (1)若角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,则集合{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}中的角α的终边在图中的位置(阴影部分)是 ( )
(2)已知角α的终边在图中阴影部分(包括实线边界,不包括虚线边界)内,则角α的取值集合为 .
[素养小结]
表示区域角的三个步骤
第一步:先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.
第二步:按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,写出最简区间{x|α第三步:将最简区间中的角α,β再加上360°的整数倍,即得区域角的集合.
拓展 若角α是第一象限角,则-α,2α,分别是第几象限角
5.1.1 任意角
【课前预习】
知识点一
1.它的端点 2.逆时针 顺时针 重合
3.相同 相等 相同的量
4.α+β 加法 相反角 (-β)
知识点二
原点 x轴 坐标轴 轴线角
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×
知识点三
{β|β=α+k·360°,k∈Z} 整数个
知识点四
1.{α|k·360°<α{α|k·360°+90°<α{α|k·360°+180°<α{α|k·360°-90°<α2.{α|α=k·360°,k∈Z}
{α|α=k·360°+180°,k∈Z}
{α|α=k·360°+90°,k∈Z}
{α|α=k·360°-90°,k∈Z}
{α|α=k·180°,k∈Z}
{α|α=k·180°+90°,k∈Z}
{α|α=k·90°,k∈Z}
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
[解析] (3)因为在-360°~0°范围内,终边在y轴的负半轴上的角为-90°角,所以终边在y轴的负半轴上的角α的集合可以表示为{α|α=k·360°-90°,k∈Z}.
(4)因为在-360°~0°范围内,第三象限角的范围是-180°<β<-90°,所以由终边相同的角的表示方法知,角α的集合可以表示为{α|k·360°-180°<α【课中探究】
探究点一
例1 (1)ABD (2)-900° (3)-100° [解析] (1)90°角既不是第一象限角,也不是第二象限角,故A中说法错误;终边与始边重合的角还可能是360°角,故B中说法错误;分针转一周为60分钟,转过的角为-360°,将分针拨慢是逆时针旋转,拨慢10分钟转过的角为360°×=60°,故C中说法正确;小于90°的角可以是零角,也可以是负角,故D中说法错误.故选ABD.
(2)分针转过的角度是(-360°)×=-900°.
(3)α=-80°+250°+(-270°)=-100°.
探究点二
例2 (1)C (2)C [解析] (1)因为2025°=5×360°+225°,225°角的终边在第三象限,所以2025°角是第三象限角.故选C.
(2)方法一:若α是第一象限角,则90°-α是第一象限角,90°+α是第二象限角,360°-α是第四象限角,180°+α是第三象限角,故选C.
方法二:因为α是第一象限角,所以可设α=30°,则90°-α=60°是第一象限角,90°+α=120°是第二象限角,360°-α=330°是第四象限角,180°+α=210°是第三象限角,故选C.
变式 (1)ABC (2)四 [解析] (1)对于A,∵-75°=285°-360°,285°角是第四象限角,则-75°角是第四象限角,故A正确;对于B,225°角是第三象限角,故B正确;对于C,475°=115°+360°,115°是第二象限角,则475°角是第二象限角,故C正确;对于D,-225°=135°-360°,135°角是第二象限角,则-225°角是第二象限角,故D错误.故选ABC.
(2)因为点P在第四象限,所以α为第四象限角.
探究点三
例3 解:(1)因为-1845°=-6×360°+315°,所以令k=-6,β=315°,则α=-6×360°+315°.因为β=315°是第四象限角,所以α为第四象限角.
(2)与-1845°角终边相同的角为k·360°-1845°,k∈Z.令-360°≤k·360°-1845°<360°,k∈Z,则k可取5,6,
将k=5,6分别代入k·360°-1845°中,得角θ为-45°,315°.
(3)由(2)知,与α终边相同的最大负角是-45°,最小正角是315°.
变式 (1)ABC (2)ABC [解析] (1)A选项,由于677°=360°×2-43°,所以-43°和677°角终边相同;B选项,由于-1260°=-360°×6+900°,所以900°和-1260°角终边相同;C选项,由于960°=360°×3-120°,所以-120°和960°角终边相同;D选项,由于630°=360°+270°,所以150°和630°角终边不相同.故选ABC.
(2)对于A,终边在x轴上的角的集合是{α|α=k·180°,k∈Z},故A正确;对于B,终边在y轴上的角的集合是{α|α=90°+k·180°,k∈Z},故B正确;对于C,终边在坐标轴上的角的集合是{α|α=k·90°,k∈Z},故C正确;对于D,终边在直线y=-x上的角的集合是{α|α=135°+k·180°,k∈Z},故D错误.故选ABC.
探究点四
例4 解:(1)终边落在射线OA上的角的集合为{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z};终边落在射线OB上的角的集合为{α|α=-30°+k·360°,k∈Z}.
(2)由题图可知,终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合为{α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.
变式 (1)C (2){α|30°+k·180°≤α<105°+k·180°,k∈Z} [解析] (1)当k为偶数时,设k=2n(n∈Z),则有n·360°+45°≤α≤n·360°+90°,角α的终边在45°~90°角终边所在的区域内;当k为奇数时,设k=2n+1(n∈Z),则有n·360°+225°≤α≤n·360°+270°,角α的终边在225°~270°角终边所在的区域内.故选C.
(2)终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1={α1|α1=30°+k·180°,k∈Z},终边在180°-75°=105°角的终边所在直线上的角的集合为S2={α2|α2=105°+k·180°,k∈Z},因此,终边在题图中阴影部分(包括实线边界,不包括虚线边界)内的角α的取值范围为{α|30°+k·180°≤α<105°+k·180°,k∈Z}.
拓展 解:∵角α是第一象限角,∴k·360°<α方法一(分类讨论):当k=3n(n∈Z)时,n·360°<方法二(几何法):如图,先将各象限分成3等份,再从x轴正半轴的上方起,沿逆时针方向依次将各区域标上1,2,3,4,则标有1的区域(不包括边界)即为的终边所在的区域,故是第一、第二或第三象限角.5.1.1 任意角
1.下列命题正确的是 ( )
A.终边与始边重合的角是零角
B.终边和始边都相同的两个角一定相等
C.小于90°的角是锐角
D.集合{α|90°≤α<180°}内的角不一定是钝角
2.[2024·陕西韩城高一期中] 1000°角的终边在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.将885°化为α+k·360°(k∈Z,0°≤α<360°)的形式是 ( )
A.165°+2×360° B.-195°+3×360°
C.165°+3×360° D.195°+2×360°
4.若角2α与240°角的终边相同,则α= ( )
A.120°+k·360°,k∈Z
B.120°+k·180°,k∈Z
C.240°+k·360°,k∈Z
D.240°+k·180°,k∈Z
5.下列各角中,与1560°角终边相同的角是 ( )
A.180° B.-240°
C.-120° D.60°
6.已知集合A={θ| θ为锐角},B={θ|θ为小于90°的角},C={θ|θ为第一象限角},D={θ|θ为小于90°的正角},则下列等式中成立的是 ( )
A.A=B B.B=C
C.A=C D.A=D
7.时钟的时针走过了1小时20分钟,则分针转过的角度为 .
8.若角α=-630°,则与角α终边相同的最小正角是 .
9.(13分)已知角α的集合为M={α|α=30°+k·90°,k∈Z},回答下列问题:
(1)集合M中有几类终边不相同的角
(2)集合M中大于-360°且小于360°的角是哪几个
(3)求集合M中的第二象限角β.
10.集合{α|k·180°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}中角表示的范围(用阴影表示)是图中的 ( )
A B C D
11.(多选题)若α是第二象限角,则的终边所在位置可能是 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
12.已知α=-30°,若角α与β的终边关于直线y=x对称,则β= .
13.如图,若角α的终边落在阴影部分,则角的终边可能在第 象限.
14.(15分)(1)写出终边在直线y=x上的角构成的集合S,并写出S中既是正角又小于或等于1080°的角构成的集合M.
(2)已知角α的终边在如图所示的阴影区域内(虚线不包含边界,实线包含边界),写出角的取值范围.
15.设集合M=,N=,则 ( )
A.M=N B.N M
C.M N D.M∩N=
16.(15分)在平面直角坐标系中,以原点为圆心且半径为1的圆的圆周上一点A从点(1,0)出发,按逆时针方向做匀速圆周运动.已知点A在1 min内转过的角度为θ(0°<θ<180°),2 min后到达第三象限,15 min后回到起始位置,求θ.
5.1.1 任意角
1.D [解析] A选项,终边与始边重合的角为0°+k·360°(k∈Z),故A错误;B选项,终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍,故B错误;C选项,小于90°的角可能是0°,还可能是负角,故C错误;D选项,集合{α|90°≤α<180°}内的角包含90°直角,所以不一定是钝角,故D正确.故选D.
2.D [解析] 因为1000°=360°×3-80°,则1000°角与-80°角有相同的终边,所以其终边在第四象限.故选D.
3.A [解析] 885°=165°+2×360°.故选A.
4.B [解析] 因为角2α与240°角的终边相同,所以2α=240°+k·360°(k∈Z),则α=120°+k·180°,k∈Z.故选B.
5.B [解析] 设与1560°角终边相同的角为β,则β=1560°+k·360°,k∈Z,当k=-5时,β=1560°-5×360°=-240°.故选B.
6.D [解析] 因为A={θ| θ为锐角}={θ|0°<θ<90°},D={θ|θ为小于90°的正角}={θ|0°<θ<90°},对于集合B,小于90°的角包括零角与负角,对于集合C,C={θ|θ为第一象限角}={θ|k·360°<θ<90°+k·360°,k∈Z},所以A=D.故选D.
7.-480° [解析] 时针走过了1小时20分钟,则分针转了圈,又因为按顺时针方向旋转形成的角为负角,所以分针转过的角度为-×360°=-480°.
8.90° [解析] 依题意,α=-630°=-2×360°+90°,∴与角α终边相同的最小正角是90°.
9.解:(1)集合M中的角可以分成四类,即终边分别与30°,120°,210°,300°的终边相同的角.
(2)令-360°<30°+k·90°<360°,得-又k∈Z,所以集合M中大于-360°且小于360°的角共有8个,分别是-330°,-240°,-150°,-60°,30°,120°,210°,300°.
(3)集合M中的第二象限角与120°角的终边相同,
所以β=120°+k·360°,k∈Z.
10.B [解析] 集合{α|k·180°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}中,当k为偶数时,设k=2n(n∈Z),则n·360°≤α≤45°+n·360°,角α的终边在0°~45°角终边所在区域,位于第一象限;当k为奇数时,设k=2n+1(n∈Z),则180°+n·360°≤α≤225°+n·360°,角α的终边在180°~225°角终边所在的区域,位于第三象限.所以集合{α|k·180°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}中角表示的范围为选项B中阴影所示.
11.ABD [解析] 由α是第二象限角,得k·360°+90°<α12.120°+k·360°,k∈Z [解析] 设α=-30°的终边为射线OA(O为坐标原点),射线OB与射线OA关于直线y=x对称,则终边在射线OB上的最小正角为120°,故β=120°+k·360°,k∈Z.
13.一、三 [解析] 依题意,得k·360°+40°≤α≤k·360°+100°,k∈Z,所以k·180°+20°≤≤k·180°+50°,k∈Z,当k为偶数时,的终边在第一象限;当k为奇数时,的终边在第三象限.综上,的终边可能在第一、三象限.
14.解:(1)终边在直线y=x上的角构成的集合为S={α|α=45°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=225°+k·360°,k∈Z}={α|α=45°+n·180°,n∈Z}.
M={45°,225°,405°,585°,765°,945°}.
(2)终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1={α|α=30°+k·180°,k∈Z},
终边在180°-75°=105°角的终边所在直线上的角的集合为S2={α|α=105°+k·180°,k∈Z},
因此终边在题图中的阴影区域内的角α的取值范围是30°+k·180°≤α<105°+k·180°,k∈Z,
所以角的取值范围是15°+k·90°≤<52.5°+k·90°,k∈Z.
15.C [解析] 由题意得M=={x|x=(2k+1)×45°,k∈Z},N=={x|x=(k+1)×45°,k∈Z},所以M N.故选C.
16.解:由题意得
即解得θ=96°或120°.(共77张PPT)
5.1 任意角和弧度制
5.1.1 任意角
探究点一 任意角的概念与分类
探究点二 象限角
探究点三 终边相同的角的求解
探究点四 用不等式组表示角（区域角）
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能通过不同的分类方式初步认识任意角.
2.能识别正角、负角、零角、象限角、轴线角和终边相同的角.
知识点一 任意角
1.角的概念:一条射线绕着__________旋转所成的图形.
2.角的分类
它的端点
类型 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按________方向旋转形 成的角 ______________________________________
逆时针
类型 定义 图示
负角 一条射线绕其端点按________方向旋转形 成的角 _____________________________________
零角 一条射线没有做任何旋转,称它形成了一个 零角.零角的始边与终边______ _______________________________
顺时针
重合
续表
3.相等角与相反角：设角 由射线绕端点旋转而成,角 由射
线绕端点 旋转而成．如果它们的旋转方向______且旋转量
______,那么就称 ．把射线绕端点 按不同方向旋转
__________所成的两个角叫作互为相反角．角的相反角记为
．
相同
相等
相同的量
4.角的加法与减法：设 , 是任意两个角．我们规定,把角的
终边旋转角 ,这时终边所对应的角是______．角的减法可以转化
为角的______,即减去一个角等于加上这个角的________,也就是
______.
加法
相反角
知识点二 象限角和轴线角
象限角:使角的顶点与 ______ 重合,角的始边与_____的非负半轴重
合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.
轴线角：如果角的终边在________上,那么就认为这个角不属于任何
一个象限, 叫作________.
原点
轴
坐标轴
轴线角
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若 为第一象限角,则可能不是锐角.( )
√
（2）大于 的角都是钝角. ( )
×
（3） 角是第三或第四象限角.( )
×
（4） 角是第三象限角.( )
√
（5）若角 的终边在直线上,则是第一象限角.( )
×
知识点三 终边相同的角
所有与角 终边相同的角,连同角 在内,可构成一个集合 ______
____________________,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角
与________周角的和.
,
整数个
知识点四 象限角的集合与轴线角的集合的表示
1.象限角的集合表示
角的终边 所在象限 集合表示
第一象限 ____________________________________
第二象限 ___________________________________________
第三象限 ____________________________________________
第四象限 ____________________________________
,
,
,
,
2.轴线角的集合表示
角的终边位置 集合表示
轴的非负半轴 ______________________
轴的非正半轴 ____________________________
轴的非负半轴 ___________________________
轴的非正半轴 ___________________________
轴 ______________________
轴 ___________________________
坐标轴 _____________________
,
,
,
,
,
,
,
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）与 角终边相同的角的集合是 ,
}.( )
√
（2）终边在第四象限的角的集合可以表示为
, }.( )
√
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）若角 的终边在轴的负半轴上,则角的集合可以表示为
, }.( )
√
[解析] 因为在 范围内,终边在轴的负半轴上的角为 角,
所以终边在轴的负半轴上的角的集合可以表示为
, }.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（4）若角 是第三象限角,则角的集合可以表示为
, }.( )
√
[解析]因为在 范围内,第三象限角的范围是,
所以由终边相同的角的表示方法知,
角的集合可以表示为 , }.
探究点一 任意角的概念与分类
例1（1）（多选题）下列说法错误的是( )
A.三角形的内角必是第一、二象限角
B.终边与始边重合的角一定是零角
C.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角为
D.小于 的角是锐角
√
√
√
[解析] 角既不是第一象限角,也不是第二象限角,故A中说法错误;
终边与始边重合的角还可能是 角,故B中说法错误;
分针转一周为60分钟,转过的角为 ,
将分针拨慢是逆时针旋转,拨慢10分钟转过的角为 ,
故C中说法正确;
小于 的角可以是零角,也可以是负角,故D中说法错误.
故选 .
（2）时间过了2小时30分,则分针转过的角度是_______.
[解析] 分针转过的角度是 .
（3）射线绕端点顺时针旋转 到 位置,接着逆时针旋转
到位置,然后再顺时针旋转 到位置,则射线 绕
点旋转到形成的角 _______.
[解析] .
［素养小结］
（1）正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念,弄清
角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否
的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例.
（2）要注意“旋转方向”决定角的“正负”,“旋转幅度”决定角的“绝对
值大小”.
探究点二 象限角
例2（1）［2025·河北邢台一中高一月考］ 角是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
[解析] 因为 , 角的终边在第三象限,
所以 角是第三象限角.
故选C.
√
（2）若是第一象限角,则下列各角中是第四象限角的是( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一：若 是第一象限角,则是第一象限角,
是第二象限角, 是第四象限角,是第三象限角,
故选C.
方法二：因为 是第一象限角,所以可设 ,
则 是第一象限角, 是第二象限角,
是第四象限角, 是第三象限角,
故选C.
√
变式（1）（多选题）下列说法正确的是( )
A. 角是第四象限角 B. 角是第三象限角
C. 角是第二象限角 D. 角是第一象限角
[解析] 对于A, , 角是第四象限角,
则 角是第四象限角,故A正确；
对于B, 角是第三象限角,故B正确；
对于C,, 是第二象限角,则角是第二象限角,
故C正确；
对于D, , 角是第二象限角,
则 角是第二象限角,故D错误.故选 .
√
√
√
（2）已知角 终边上有一点,则为 第____象限角.
四
[解析] 因为点在第四象限,所以为第四象限角.
探究点三 终边相同的角的求解
例3 已知角 .
（1）把 改写成的形式,并指出
是第几象限角;
解：因为 ,所以令, ,
则 .
因为 是第四象限角,所以为第四象限角.
例3 已知角 .
（2）求 ,使 与 的终边相同,且 ;
解：与 角终边相同的角为 , .
令 ,,则 可取5,6,
将,6分别代入 中,得角 为 , .
（3）求与终边相同的最大负角与最小正角.
解：由（2）知,与 终边相同的最大负角是 ,最小正角是 .
变式（1）（多选题）在下列各组的两个角中,终边相同的一组
是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
[解析] A选项,由于,所以和 角终边相同；
B选项,由于,所以 和角终边相同；
C选项,由于 ,所以 和 角终边相同；
D选项,由于 ,所以 和 角终边不相同.
故选 .
√
√
√
（2）（多选题）下列说法正确的是( )
A.终边在轴上的角的集合是 , }
B.终边在轴上的角的集合是 , }
C.终边在坐标轴上的角的集合是 , }
D.终边在直线上的角的集合是 , }
√
√
√
[解析] 对于A,终边在轴上的角的集合是, ,故A正确；
对于B,终边在 轴上的角的集合是, ,故B正确；
对于C,终边在坐标轴上的角的集合是, ,故C正确；
对于D,终边在直线上的角的集合是, ,
故D错误.
故选 .
［素养小结］
终边相同的角的表示：
（1）终边相同的角都可以表示成的形式.
（2）终边相同的角相差 的整数倍.
探究点四 用不等式组表示角（区域角）
例4 如图所示.
（1）分别写出终边落在射线, 上的角的集合；
解：终边落在射线上的角的集合为
, ,；
终边落在射线 上的角的集合为 , ．
例4 如图所示.
（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．
解：由题图可知,终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为
, ．
变式（1）若角 的顶点与原点重合,始边与 轴的非负半轴重合,
则集合 ,}中的角的终
边在图中的位置（阴影部分）是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当为偶数时,设 ,
则有 ,
角 的终边在 角终边所在的区域内；
当为奇数时,设 ,
则有 ,
角 的终边在 角终边所在的区域内.
故选C.
（2）已知角的终边在图中阴影部分（包括实线边
界,不包括虚线边界）内,则角的取值集合为
_____________________________________________.
,
[解析] 终边在 角的终边所在直线上的角的集合
为 , ,
终边在 角的终边所在直线上的角
的集合为 , ,
因此,终边在题图中阴影部分（包括实线边界,
不包括虚线边界）内的角的取值范围为
, }.
［素养小结］
表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的
范围内的角 和 ,写出最简区间,其中
.
第三步：将最简区间中的角 , 再加上 的整数倍,即得区
域角的集合.
拓展 若角 是第一象限角,则 , , 分别是第几象限角
解： 角 是第一象限角,
,是第四象限角.
,
是第一或第二象限角或终边落在 轴的非负半轴上的角．
.
方法一（分类讨论）：当 时,
, 是第一象限角；
当 时,
, 是第二象限角；
当 时,
, 是第三象限角.
综上可知, 是第一、第二或第三象限角.
方法二（几何法）：如图,先将各象限分成3等份,
再从 轴正半轴的上方起,沿逆时针方向依次将各
区域标上1,2,3,4,
则标有1的区域（不包括边界）即为的终边所在的区域,
故 是第一、第二或第三象限角．
角度概念来自美索不达米亚的巴比伦文明.众所周知,两河流域
诞生了人类诸多文化遗产,角度就是之一.巴比伦人擅长天文学,他
们制定角度的灵感,就来源于长期的天文观测.巴比伦人发现：从春
分日到秋分日,太阳划过半个周形成的轨迹,恰好等于180个太阳的
直径,受此启发,他们定义圆周为360度,平角为180度.1度就是一个
太阳直径所对的角的度数,角度的符号小圈,最早就是代表太阳.此
外,定义平角为180度,还与巴比伦人采用60进位法有密切的联系.最
终由于180这个数字约数数目多于100或200,在应用上得到了世界范
围内的普遍认同.
1.角的概念与分类疑难点
（1）列举在 之间的角时,应注意所有的角在同一平面内,
且在终边旋转过程中,角的顶点不动.
（2）要注意旋转方向对角的正负的影响.
2.象限角与终边相同角的表示
（1）象限角的判断方法有两种：一是根据图形,其依据是终边相同
角的思想；二是先将已知角化为
的形式,即找出与已知角终边相同的角 ,再由角终边所在的象
限判定已知角终边所在的象限.
（2）求满足某种条件且与已知角终边相同的角,其方法是先求出与
已知角终边相同的角的一般形式,再依据条件构建不等式求出 的
值, 的正确取值是关键.
1.任意角的概念
在判断角度时,应时刻抓住“旋转”二字：①要明确旋转方向；②要
明确旋转角的大小；③要明确射线未做任何旋转时的位置；④要注
意由旋转方向来确定角的符号.
例1 已知点位于轴正半轴上,射线为坐标原点 逆时针旋转,
在1秒内转过的角为 ,经过2秒到达第三象限,若经过
14秒后又恰好回到出发点,则 _ _____________.
或
[解析] 且,
必有 , .
又, ,
,即, 或5,
故 或 .
2.终边相同的角、象限角及落在某范围或某象限的角的表示
（1）借助于 ,},然后调整的值,使 的终边
在所给范围内即可.
（2）利用不等式求解此类题型是常见方法,也可直接试探取 ,0,
, 等值,看是否能使角的终边在所给范围内.
例2 已知 .
（1）把 写成 的形式,并指出它
是第几象限角.
解： ,易知是第二象限角.
（2）求 ,使 与 的终边相同,且 .
解：令 .
, ,
即, 或0,
或 .
3.写出终边在某条过原点的直线上的角的集合有两种方法:一是分别
写出每条终边所代表的角的集合,再取并集;二是在其中一条终边上找
出一个角,然后再加上 的整数倍.
例3 已知角 的终边在直线 上.
（1）写出角 的集合 ；
解：如图所示,直线过原点,它与 轴的夹角为 .
在 范围内,终边在射线上的角是 ,
终边在射线上的角是
（其中点 在第一象限,在第三象限, 为原点）,
所以以射线, 为终边的角的集合分别为
, ,
, ,
所以角 的集合,
, , }.
例3 已知角 的终边在直线 上.
（2）写出中适合不等式 的元素.
解：,即 ,,
得,,所以,,0,1,2,3,
所以中适合不等式 的元素为,
,, ,
, .
4.区域角及其表示方法
区域角是指终边在坐标系的某个区域内的角,其写法可分为三步:（1）
按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界;（2）按由小到大分别
标出起始和终止边界分别对应的 到 范围内的角 和 ,
写出最简集合;（3）起始、终止边界分别对应的角,
加上 的整数倍,即得区域角集合.
例4 如图,, 分别是终边落在射线, 位置上
的两个角,且, .
（1）求终边落在阴影部分（不包括边界）的角的
集合;
解：因为, ,
所以终边在射线,上的角分别是
,, ,
所以终边落在阴影部分（不包括边界）的角的集合为
, }.
例4 如图,, 分别是终边落在射线, 位置
上的两个角,且, .
（2）求终边落在阴影部分（不包括边界）,不小
于 且小于 的角的集合.
解：由（1）知,当时,不小于 且小于的角为 ,
当时,不小于 且小于 的角为 ,
所以满足题意的角的集合为 或 }.
练习册
1.下列命题正确的是( )
A.终边与始边重合的角是零角
B.终边和始边都相同的两个角一定相等
C.小于 的角是锐角
D.集合 }内的角不一定是钝角
√
[解析] A选项,终边与始边重合的角为 ,故A错误；
B选项,终边和始边都相同的两个角可能相差 的整数倍,故B错误；
C选项,小于 的角可能是 ,还可能是负角,故C错误；
D选项,集合 }内的角包含 直角,
所以不一定是钝角,故D正确.
故选D.
2.［2024·陕西韩城高一期中］ 角的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 因为,
则 角与 角有相同的终边,所以其终边在第四象限.
故选D.
√
3.将 化为 的形式是( )
A. B.
C. D.
[解析] .故选A.
√
4.若角 与 角的终边相同,则 ( )
A., B.,
C., D.,
[解析] 因为角 与 角的终边相同,
所以,则, .
故选B.
√
5.下列各角中,与 角终边相同的角是( )
A. B. C. D.
[解析] 设与 角终边相同的角为 ,
则,,
当 时, .
故选B.
√
6.已知集合 为锐角, 为小于 的角 ,
为第一象限角, 为小于 的正角 ,则下列等
式中成立的是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 为锐角,
为小于 的正角,
对于集合,小于 的角包括零角与负角,对于集合,
为第一象限角,,
所以 .故选D.
√
7.时钟的时针走过了1小时20分钟,则分针转过的角度为_______.
[解析] 时针走过了1小时20分钟,则分针转了 圈,
又因为按顺时针方向旋转形成的角为负角,
所以分针转过的角度为 .
8.若角 ,则与角终边相同的最小正角是____.
[解析] 依题意,,
与角终边相同的最小正角是 .
9.（13分）已知角 的集合为, ,
回答下列问题：
（1）集合 中有几类终边不相同的角？
解：集合中的角可以分成四类,
即终边分别与, ,, 的终边相同的角.
（2）集合中大于 且小于 的角是哪几个？
解：令,得 ,
又,所以集合中大于 且小于 的角共有8个,
分别是,,,,,, ,.
9.（13分）已知角 的集合为, ,
回答下列问题：
（3）求集合中的第二象限角 .
解：集合中的第二象限角与 角的终边相同,
所以, .
10.集合, }中角表示的范围
（用阴影表示）是图中的( )
A. B. C. D.
√
[解析] 集合,}中,
当 为偶数时,设,则,
角的终边在 角终边所在区域,位于第一象限；
当 为奇数时,设,
则,
角的终边在 角终边所在的区域,位于第三象限.
所以集合, }中角表示的范围为
选项B中阴影所示.
11.（多选题）若 是第二象限角,则 的终边所在位置可能
是 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 由是第二象限角,得, ,
则,.
当, 时,,,
则 是第一象限角；
√
√
√
当,时,, ,
则是第二象限角；
当, 时,,,
则 是第四象限角.
综上可得, 的终边所在位置可能是第一、第二或第四象限,
故选 .
12.已知,若角 与 的终边关于直线对称,则
______________________.
,
[解析] 设 的终边为射线（为坐标原点）,
射线 与射线关于直线对称,
则终边在射线上的最小正角为 ,
故, .
13.如图,若角的终边落在阴影部分,则
角 的终边可能在第________象限.
一、三
[解析] 依题意,得
, ,
所以 ,
,当为偶数时,的终边在第一象限；
当为奇数时, 的终边在第三象限.
综上, 的终边可能在第一、三象限.
14.（15分）
（1）写出终边在直线上的角构成的集合,并写出 中既是正角
又小于或等于 的角构成的集合 .
解：终边在直线 上的角构成的集合为
, ,
, }.
,,,,, }.
（2）已知角的终边在如图所示的阴影区域内（虚线不包含边界,
实线包含边界）,写出角 的取值范围.
解：终边在 角的终边所在直线上的角的集合为
, ,
终边在 角的终边所在直线上的
角的集合为 , ,
因此终边在题图中的阴影区域内的角的取值范围是
, ,
所以角的取值范围是, .
15.设集合 ,
,则( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意得
, ,
, ,
所以 .
故选C.
16.（15分）在平面直角坐标系中,以原点为圆心且半径为1的圆的圆
周上一点从点出发,按逆时针方向做匀速圆周运动．已知点
在内转过的角度为, 后到达第三象限,
后回到起始位置,求 ．
解：由题意得即
解得 或 ．
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.它的端点 2.逆时针 顺时针 重合 3.相同 相等 相同的量
4. 加法 相反角
知识点二 原点 轴 坐标轴 轴线角 【诊断分析】（1）√ （2）× （3）× （4）√ （5）×
知识点三 , 整数个
知识点四 1., ,
, ,
2. , , ,
, , ,
, 【诊断分析】 （1）√ （2）√ （3）√ （4）√
课中探究 探究点一 例1 （1）ABD （2） （3）
探究点二 例2 （1）C （2）C 变式 （1）ABC （2）四
探究点三 例3 （1）为第四象限角（2） ,
（3）最大负角是 ,最小正角是 变式 （1）ABC （2）ABC
探究点四 例4 （1） ,； ,
（2） ,
变式 （1）C （2） ,
拓展 是第四象限角;是第一或第二象限角或终边落在轴的非负半轴上的角;
是第一、第二或第三象限角
快速核答案（练习册）
1.D 2.D 3.A 4.B 5.B 6.D 7. 8.
9.（1）四类,即终边分别与 , , , 的终边相同的角
（2） , , , , , , ,
（3） ,
10.B 11.ABD 12. , 13.一、三
14.（1） , , , , , }
（2） ,
15.C 16.m> 或
