5.1.2 弧度制
【学习目标】
1.能类比角度制的定义,解释弧度制, 理解1弧度的角的定义,了解弧度制的概念,能进行角度与弧度之间的互化,体会引入弧度制的必要性.
2.能说明弧度制下的弧长、扇形面积等公式的简洁性,理解弧度制下弧长与面积公式,进一步认识引入弧度制的意义.
◆ 知识点一 角度制与弧度制
1.度量角的两种单位制
角度制 定义 用 作为单位来度量角的单位制
1度的角 周角的 为1度的角,记作1°
弧度制 定义 以 为单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于 的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角,1弧度记作
2.弧度数的计算:在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,那么角α的弧度数的绝对值|α|= .
3.弧度数:正角的弧度数是一个 ,负角的弧度数是一个 ,零角的弧度数是 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位. ( )
(2)1 rad的角和1°的角大小相等. ( )
(3)用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关. ( )
(4)每个弧度制下的角,都有唯一的角度制下的角与之对应. ( )
(5)比值与所取的圆的半径大小有关. ( )
◆ 知识点二 角度制与弧度制的互化
1.角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°= rad 2π rad=
180°= rad π rad=
(续表)
角度化弧度 弧度化角度
1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=°≈57.30°
角度数×=弧度数 弧度数×°=角度数
牢记180°=π rad,1 rad=°.
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 30° 45° 90° 120° 135° 150° 270° 360°
弧度 π
【诊断分析】 填空(弧度化为角度,角度化为弧度).
(1)- rad= ;
(2)10°= rad.
◆ 知识点三 弧长公式与扇形面积公式
角度制与弧度制下扇形的弧长与面积公式(r是扇形所在圆的半径,扇形的圆心角为n°)
度量制 公式
弧长公式 扇形面积公式
角度制 l= S=
弧度制 l= (0<|α|<2π) S= = (0<|α|<2π)
◆ 探究点一 弧度制的概念
例1 (1)下列说法中正确的是 ( )
A.1弧度是1度的圆心角所对的圆弧
B.1弧度是长度为半径的圆弧
C.1弧度是1度的圆弧与1度的角的和
D.1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小,弧度是角的一种度量单位
(2)下列说法中正确的是 ( )
A.1°的角是周角的,1 rad的角是周角的
B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D.用弧度制表示的角都是正角
◆ 探究点二 角度制与弧度制的互化
例2 (1)(多选题)下列转化结果正确的是 ( )
A.67°30'化成弧度是π rad
B.-π化成度是-600度
C.-150°化成弧度是π rad
D.化成度是15度
(2)已知α=15°,β=,γ=1,θ=105°,φ=,试比较α,β,γ,θ,φ的大小.
变式 (1)把下列角度化成弧度:
①-135°= ;②2100°= ;
③11°15'= ;④112°30'= .
(2)把下列弧度化成角度:
①= ;②-= ;
③= ;④-= .
◆ 探究点三 用弧度制表示角
例3 已知α=-1125°.
(1)将α写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出它是第几象限角;
(2)求与α终边相同的角θ的集合,使得θ满足-4π≤θ<4π.
变式 (1)用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为 ( )
A.
B.
C.
D.
(2)把-表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,则使|θ|最小的θ的值是 .
(3)用弧度制表示顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边在图中的阴影部分(不包括虚线边界,包括实线边界)的角θ的集合为 .
[素养小结]
(1)用弧度制表示区域角,需进行角度与弧度的换算,注意要统一单位.
(2)在弧度制下,与角α的终边相同的角可以表示为{β|β=2kπ+α,k∈Z},即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.
(3)用弧度制表示区域角时,可以先写出一周的范围(如-π~π,0~2π)内的角,再加上2kπ,k∈Z.
◆ 探究点四 弧长公式和扇形面积公式的应用
例4 已知一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l.
(1)若α=120°,R=10 cm,求扇形的弧长l;
(2)若扇形的周长为10 cm,面积是4 cm2,求扇形的圆心角α;
(3)若扇形的周长为20 cm,则当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大
变式 (1)玉雕在我国历史悠久,玉雕是采用传统的手工雕刻工艺加工生产成的玉雕工艺.某扇环形玉雕(扇环是一个圆环被扇形截得的一部分)尺寸(单位:cm)如图所示,则该玉雕的面积为 ( )
A.2700 cm2 B.3500 cm2
C.4300 cm2 D.4800 cm2
(2)已知扇形AOB的面积为,圆心角为60°,则该扇形的半径为 ,弧长为 .
[素养小结]
扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式:面积公式S=lR=αR2,弧长公式l=αR(其中l是扇形的弧长,R是扇形的半径,α是扇形圆心角的弧度数,0<α<2π).
(2)找关键:涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题,关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解.
5.1.2 弧度制
【课前预习】
知识点一
1.度 弧度 半径长 1 rad
2. 3.正数 负数 0
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×
知识点二
1.2π 360° π 180°
2.60° 180° 0 2π
诊断分析
(1)-105° (2) [解析] (1)因为1 rad=°,所以- rad=-°=-105°.
(2)10°=10×=(rad).
知识点三
|α|·r |α|r2 lr
【课中探究】
探究点一
例1 (1)D (2)A [解析] (1)根据弧度的定义,长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角.故选D.
(2)易知A正确;对于B,大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等,故B错误;对于C,所有圆心角为1弧度的角所对的弧长不一定相等,故C错误;对于D,用弧度制表示的角也可以不是正角,故D错误.故选A.
探究点二
例2 (1)ABD [解析] (1)1°=,对于A,67°30'=°=×=π,A正确.对于B,-π=-π×=-600°,B正确.对于C,-150°=-×150=-π≠π,C错误.对于D,=×=15°,故D正确.故选ABD.
(2)解:因为1°= rad,所以α=15°=15× rad= rad,θ=105°=105× rad= rad,显然<<1<,故α<β<γ<θ=φ.
变式 (1)①- ② ③ ④
(2)①30° ②-300° ③81° ④-75°
探究点三
例3 解:(1)因为-1125°=-1125×=-=-8π+,所以令k=-4,β=π,则α=π+(-8π).因为<<2π,所以β=是第四象限角,所以α是第四象限角.
(2)∵θ与α终边相同,∴θ=+2kπ,k∈Z,由-4π≤+2kπ<4π,k∈Z,知k=-2,-1,0,1,∴所求角θ的集合为.
变式 (1)D (2)- (3) [解析] (1)因为150°=150×=,故与150°角的终边相同的角的集合为.故选D.
(2)与-终边相同的角可表示为2kπ-,k∈Z,即2(k-1)π-,k∈Z或2(k-2)π+,k∈Z,则使|θ|最小的θ的值是-.
(3)由题意可知,30°=,210°=,则终边在直线AB上的角为α=kπ+,k∈Z.又终边在y轴上的角为β=kπ+,k∈Z,故终边落在阴影部分内的角θ的集合为.
探究点四
例4 解:(1)由题意知α=120°= rad,所以弧长l=α·R=×10=(cm).
(2)由题意得解得
(舍)或故扇形的圆心角α为 rad.
(3)由题意知l+2R=20,所以扇形的面积S=lR=(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,所以当R=5 cm时,S取得最大值25 cm2,此时l=10 cm,α=2 rad.
变式 (1)A (2)2
[解析] (1)如图,设∠AOB=α,OB=r,由弧长公式可得解得α=2,r=30,设扇形COD,扇形AOB的面积分别为S1,S2,则该扇环的面积为S1-S2=×120×(30+30)-×60×30=2700(cm2).故选A.
(2)设扇形所在圆的半径为r,由扇形AOB的面积为,圆心角为α=60°=,得×r2=,解得r=2,所以扇形的弧长l=αr=.5.1.2 弧度制
1.[2025·广东普宁华侨中学高一月考] -300°化为弧度等于 ( )
A.- B.-
C.- D.-
2.若α=6 rad,则角α的终边在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.[2024·贵阳一中高一月考] 已知扇形的半径为4 cm,面积为4 cm2,则此扇形的圆心角的弧度数是 ( )
A.2 B.1
C. D.4
4.[2024·北京十一学校高一期末] 下列与角的终边相同的角的表达式中,正确的是 ( )
A.2kπ+315°(k∈Z)
B.k·360°-45°(k∈Z)
C.k·360°+(k∈Z)
D.2kπ+(k∈Z)
5.已知某扇形的周长为5,圆心角为3弧度,则该扇形的面积为 ( )
A. B.1 C. D.2
6.(多选题)[2024·福建龙岩九中高一月考] 将下列角度与弧度进行互化正确的是 ( )
A.π=1530° B.-=-105°
C.10°= D.-855°=-
7.某场数学考试的时长为1.5小时,在此期间分针转过的弧度数为 .
8.把-表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ的值是 .
9.(13分)将下列各角转化成2kπ+α(k∈Z,且0≤α<2π)的形式,并指出它们是第几象限角.
(1)-1725°;
(2).
10.圆心在原点,半径为1的圆上的两个动点M,N同时从点P(1,0)出发,沿圆周运动,点M按逆时针方向旋转,速度为弧度/秒,点N按顺时针方向旋转,速度为弧度/秒,则它们第三次相遇时点M转过的弧度数为 ( )
A. B.π C.2π D.3π
11.(多选题)[2024·长春实验中学高一期末] 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴,一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图,设扇形的面积为S1,其圆心角为θ,圆面中剩余部分的面积为S2,当S1与S2的比值为时,扇面为“美观扇面”,下列结论正确的是 ( )
A.=
B.若=,扇形的半径R=3,则S1=2π
C.若扇面为“美观扇面”,则θ=(3-)π
D.若扇面为“美观扇面”,半径R=20,则扇形面积为200(3-)π
12.若扇形的周长为18,则扇形面积取得最大值时,扇形圆心角的弧度数是 .
13.如图①是一款扇形组合团圆拼盘,其示意图如图②所示,中间是一个直径为24 cm的圆盘,四周是8个相同的扇环形小拼盘,组拼后形成一个大圆盘,寓意“八方来财,阖家团圆”.若的长为 cm,则每个扇环形小拼盘的面积为 .
① ②
14.(15分)[2025·长春外国语学校高一月考] 如图,点A,B,C是圆O上的点.
(1)若∠ACB=,AB=4,求扇形AOB的面积和弧AB的长;
(2)若扇形AOB的面积为10,求扇形AOB周长的最小值,并求出此时∠AOB的值.
15.《梦溪笔谈》是我国古代的综合性笔记体著作,其中收录了扇形弧长的近似计算公式:=弦+.如图,公式中“弦”是指扇形中所对弦AB的长,“矢”是指所在圆O的半径与圆心O到弦AB的距离之差,“径”是指扇形所在圆O的直径.若扇形的面积为,扇形的半径为4,利用上面公式,求得该扇形的弧长的近似值为 ( )
A.+1 B.2+1 C.3+1 D.4+1
16.(15分)现在有人研究钟表的时针和分针一天内重合的次数,从午夜零时算起,假设经过t min时分针和时针恰好第n(n∈N*)次重合.
(1)建立t关于n的函数解析式;
(2)求一天内分针和时针重合的次数.
5.1.2 弧度制
1.D [解析] -300°=-300×=-π.故选D.
2.D [解析] α-2π=6-2π∈,故角α的终边在第四象限.故选D.
3.C [解析] 设扇形的圆心角为α,由扇形的面积S=αR2可得,α===.故选C.
4.B [解析] 因为π rad=315°,其终边落在第四象限,且与-45°角的终边相同,所以与角的终边相同的角的集合S={α|α=315°+k·360°}={α|α=-45°+k·360°}(k∈Z),选项B正确;选项A,C书写不规范,选项D表示的角的终边在第三象限.故选B.
5.C [解析] 设扇形的半径为r,弧长为l,则解得则扇形的面积S=lr=.故选C.
6.BCD [解析] 对于A,π=×180°=15 330°,故A错误;对于B,-=-×180°=-105°,故B正确;对于C,10°=10×=,故C正确;对于D,-855°=-855×=-,故D正确.故选BCD.
7.-3π [解析] 考试时长为1.5小时,分针按顺时针方向转了1.5圈,所以分针转过的弧度数为-2π×1.5=-3π.
8. [解析] -=-290π+=-288π-,∵>,∴使|θ|最小的θ的值是.
9.解:(1)-1725°=-5×360°+75°=-10π+,
∴-1725°与的终边相同,
又是第一象限角,∴-1725°角是第一象限角.
(2)=20π+,∴与的终边相同,又是第三象限角,
∴是第三象限角.
10.C [解析] 由题意,动点M,N第三次相遇时,两个动点转过的弧长之和为3×2π=6π.设从点P(1,0)出发t秒后点M,N第三次相遇,则t+t=6π,解得t=12,此时点M转过的弧度数为×12=2π.故选C.
11.ACD [解析] 对于A,S1,S2所对应的扇形的圆心角分别为θ,2π-θ,所以==,故A正确;对于B,若==,则θ=,又R=3,则S1=·θ·R2=××9=3π,故B错误;对于C,若==,所以θ=(3-)π,故C正确;对于D,若==,则θ=(3-)π,又R=20,所以S1=·θ·R2=×(3-)π×400=200(3-)π,故D正确.故选ACD.
12.2 [解析] 设扇形的半径为r,弧长为l,则l+2r=18,即l=18-2r,所以扇形面积S=lr=r(18-2r)=-r2+9r=-+,所以当r=时,S取得最大值,此时l=18-2×=9,所以圆心角为θ===2(弧度).
13. cm2 [解析] 如图,设小圆的圆心为O,则OC=OD=12 cm,设OA=OB=R,又每个扇环形小拼盘对应的圆心角为α==,则的长为αR= cm,解得R=30 cm,所以每个扇环形小拼盘的面积为S扇形AOB-S扇形COD=××302-××122=(cm2).
14.解:设扇形AOB的半径为R,面积为S,弧AB的长为l,∠AOB=α.
(1)由题意知,α=,
故l=αR=,S=αR2=.
(2)由S==10,得l=,扇形的周长为2R+l=2R+≥2=4,当且仅当R=时等号成立,所以扇形的周长的最小值是4,
由l=αR=知,α=∠AOB==2.
15.D [解析] 设该扇形的圆心角为α,由扇形面积公式得×42×α=,所以α=.取的中点C,连接OC,交AB于点D,则OC⊥AB,
则OD=OA×cos∠AOD=4cos=2,AB=2AD=2×4sin=4,CD=OC-OD=2,所以扇形的弧长的近似值为=弦+=AB+=4+=4+1.故选D.
16.解:(1)因为分针旋转的角速度为-=-(rad/min),时针旋转的角速度为-=-(rad/min),
所以t=-2πn,n∈N*,
即t=n,n∈N*.
(2)因为时针旋转一天所需的时间为24×60=1440(min ),
所以令n≤1440,可得n≤22,
又n∈N*,故时针与分针一天内重合22次.(共71张PPT)
5.1 任意角和弧度制
5.1.2 弧度制
探究点一 弧度制的概念
探究点二 角度制与弧度制的互化
探究点三 用弧度制表示角
探究点四 弧长公式和扇形面积公式的应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能类比角度制的定义,解释弧度制, 理解1弧度的角的定义,了解弧度
制的概念,能进行角度与弧度之间的互化,体会引入弧度制的必要性.
2.能说明弧度制下的弧长、扇形面积等公式的简洁性,理解弧度制下
弧长与面积公式,进一步认识引入弧度制的意义.
知识点一 角度制与弧度制
1.度量角的两种单位制
角度制 定义 用____作为单位来度量角的单位制
1度的角
弧度制 定义 以______为单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于________的圆弧所对的圆心角叫作1
弧度的角,1弧度记作______
度
弧度
半径长
2.弧度数的计算:在半径为的圆中,弧长为的弧所对的圆心角为 ,
那么角 的弧度数的绝对值 __ .
3.弧度数：正角的弧度数是一个______,负角的弧度数是一个______,
零角的弧度数是___.
正数
负数
0
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.( )
√
（2）的角和 的角大小相等.( )
×
（3）用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关.( )
×
（4）每个弧度制下的角,都有唯一的角度制下的角与之对应.( )
√
（5）比值 与所取的圆的半径大小有关.( )
×
知识点二 角度制与弧度制的互化
1.角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
牢记, .
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 ___ ____
弧度 __ _ _ _ _ _ __ ___ _ __ ____
0
【诊断分析】
填空（弧度化为角度,角度化为弧度）.
（1） _______;
[解析] 因为 ,所以 .
填空（弧度化为角度,角度化为弧度）.
（2）___ .
[解析] .
知识点三 弧长公式与扇形面积公式
角度制与弧度制下扇形的弧长与面积公式 是扇形所在圆的半径,
扇形的圆心角为
度量制 公式 弧长公式 扇形面积公式
角度制
弧度制
探究点一 弧度制的概念
例1（1）下列说法中正确的是( )
A.1弧度是1度的圆心角所对的圆弧
B.1弧度是长度为半径的圆弧
C.1弧度是1度的圆弧与1度的角的和
D.1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小,弧度是角的
一种度量单位
[解析] 根据弧度的定义,长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作
1弧度的角.
故选D.
√
（2）下列说法中正确的是( )
A. 的角是周角的,的角是周角的
B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D.用弧度制表示的角都是正角
[解析] 易知A正确；
对于B,大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等,故B错误；
对于C,所有圆心角为1弧度的角所对的弧长不一定相等,故C错误；
对于D,用弧度制表示的角也可以不是正角,故D错误.
故选A.
√
探究点二 角度制与弧度制的互化
例2（1）（多选题）下列转化结果正确的是( )
A.化成弧度是 B. 化成度是 度
C. 化成弧度是 D. 化成度是15度
[解析] ,对于A, ,A正确.
对于B, ,B正确.
对于C, ,C错误.
对于D, ,故D正确.
故选 .
√
√
√
（2）已知 ,,, , ,试比较
, , , , 的大小.
解：因为,
所以 ,,
显然 ,
故 ．
变式（1）把下列角度化成弧度:
_____; ____;
___; ___.
（2）把下列弧度化成角度:
____; _______;
____; ______.
探究点三 用弧度制表示角
例3 已知 .
（1）将 写成 的形式,并指出它是第几
象限角；
解：因为 ,
所以令,,则.
因为 ,所以是第四象限角,所以 是第四象限角.
例3 已知 .
（2）求与 终边相同的角 的集合,使得 满足 .
解： 与 终边相同, , ,
由 ,,知,,0,1,
所求角 的集合为 .
变式（1）用弧度制表示与 角的终边相同的角的集合为( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为,
故与 角的终边相同的角的集合为 .
故选D.
√
（2）把表示成的形式,则使最小的 的值是
_____.
[解析] 与终边相同的角可表示为, ,
即,或,,
则使最小的 的值是 .
（3）用弧度制表示顶点在原点,始边与 轴的正半
轴重合,终边在图中的阴影部分（不包括虚线边界,
包括实线边界）的角 的集合为_______________
_______________.
[解析] 由题意可知,, ,
则终边在直线上的角为,.
又终边在 轴上的角为,,
故终边落在阴影部分内的角 的集合为 .
［素养小结］
（1）用弧度制表示区域角,需进行角度与弧度的换算,注意要统一单位.
（2）在弧度制下,与角 的终边相同的角可以表示为
,,即与角 终边相同的角可以表示成 加上
的整数倍.
（3）用弧度制表示区域角时,可以先写出一周的范围（如 ～
,）内的角,再加上 ,.
探究点四 弧长公式和扇形面积公式的应用
例4 已知一扇形的圆心角为 ,半径为,弧长为 .
（1）若 ,,求扇形的弧长 ；
解：由题意知 ,
所以弧长 .
（2）若扇形的周长为,面积是,求扇形的圆心角 ；
解：由题意得解得 （舍）或
故扇形的圆心角 为 .
例4 已知一扇形的圆心角为 ,半径为,弧长为 .
（3）若扇形的周长为,则当扇形的圆心角 为多少弧度时,
这个扇形的面积最大
解：由题意知 ,
所以扇形的面积 ,
所以当时,取得最大值,
此时, .
变式（1）玉雕在我国历史悠久,玉雕是采用传统的手工雕刻工艺加
工生产成的玉雕工艺.某扇环形玉雕（扇环是一个圆环被扇形截得的
一部分）尺寸（单位： ）如图所示,则该玉雕的面积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图,设 , ,
由弧长公式可得
解得 ,,
设扇形,扇形 的面积分别为,,
则该扇环的面积为
.
故选A.
（2）已知扇形的面积为,圆心角为 ,则该扇形的半径为
___,弧长为___.
2
[解析] 设扇形所在圆的半径为,
由扇形的面积为 ,圆心角为,得,解得 ,
所以扇形的弧长 .
［素养小结］
扇形的弧长和面积的求解策略
（1）记公式：面积公式,弧长公式
（其中是扇形的弧长,是扇形的半径, 是扇形圆心角的弧度
数,）.
（2）找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计
算问题,关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量,然后灵活运用
弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程（组）求解.
1873年6月5日,数学教师汤姆生 在北爱尔兰首
府贝尔法斯特 女王学院的数学考试题目中创造性地使用了
“弧度”一词.当时,他将“半径”的前四个字母与“角” 的
前两个字母合在一起,构成 ,并被人们广泛接受和引用.我国
学者曾把 译成“弪”（由“弧”与“径”两字的一部分拼成）.新中国
成立以来,中学数学教科书中都把 译作“弧度”.
1.对于角度制与弧度制的理解
（1）无论是以“度”还是以“弧度”为单位,角的大小都是一个与其所
在扇形半径大小无关的定值,扇形半径仅仅是为了能使概念更具体
的一个“过渡量”而已.
（2）以弧度为单位表示角的大小时,“弧度”两字可以省略不写,这
时弧度数在形式上虽是一个不名数,但我们应该把它理解为名数,如
是指 弧度 .以度为单位表示角时,“度”就不能省去.
（3）以弧度为单位表示角时,常常把弧度数写成多少 的形式,如
无特殊要求,不必把 写成小数,如 弧度,不必写成
弧度.
（4）角度制和弧度制不能混用,如 ,
都不正确.
2.弧度与角度的换算
（1）弧度与角度的换算是一种比例关系的变形.在进行角度与弧度的
换算时,抓住关系式 是关键,由它可以得,度数
弧度数,弧度数度数,牢记 ,
.
（2）特殊角的弧度数与度数的对应值今后常用,应该熟记.
3.运用扇形的弧长及面积公式时,应注意的问题
（1）由扇形的弧长及面积公式可知,对于 ,,, 中“知其二求
其二”,实质上是方程思想的运用.
（2）用弧度制表示的扇形弧长与面积公式比用角度制表示的公式要
简单得多,但要注意运用公式的前提条件是“弧度制”.若角是以“度”
为单位,则必须先化成弧度,再计算.
（3）在运用弧度制下的扇形弧长与面积公式时,还应熟练掌握这两
个公式的变形运用：,,； ,
.
1.用弧度制表示角的集合
表示角的集合时,既可以用角度制也可以用弧度制,但只能用一种
度量制表示,不能把角度与弧度混用.
例1 终边落在坐标轴上的角的集合用角度制表示为
_________________________,用弧度制表示为________________.
,}
2.用弧度制表示区域角的集合
根据已知图形写出区域角的集合的步骤：①仔细观察图形,写出区
域边界作为终边时角的表示；②用不等式表示区域范围内的角,边
界对应的角应再加上 .
注意事项：用不等式表示区域角的范围时,要注意角的集合是否能
够合并,这一点容易出错.
例2 用弧度制表示顶点在原点,始边在 轴的非负半轴,终边落在图
中阴影部分内（不包括边界）的角的集合.
（1）
解：以射线为终边的角为 ,,
以射线 为终边的角为 , ,
所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为
.
例2 用弧度制表示顶点在原点,始边在 轴的非负半轴,终边落在图
中阴影部分内（不包括边界）的角的集合.
（2）
解：由图知射线与射线 在一条直线上,
因此终边在直线上的角为, ,
又终边在轴上的角为, ,
所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为
.
3.扇形的弧长与面积
扇形的弧长与面积问题主要借助于弧长和面积公式,构造出方程
（组）,然后求解方程（组）得出相关的量.
例3 ［2024·山东德州高一期末］中国传统扇文化有着极其深厚的底
蕴,一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.
一个半径为的扇形,它的周长是 ,则这个扇形所含弓形
（图②中阴影部分）的面积是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 如图,过圆心作弦的垂线,垂足为 .
设扇形弧长为,圆心角为 ,
所以, ,
可得扇形面积.
因为, ,
所以三角形的面积 ,
可得弓形面积 ,
故选C.
练习册
1.［2025·广东普宁华侨中学高一月考］ 化为弧度等于( )
A. B. C. D.
[解析] .故选D.
√
2.若,则角 的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] ,故角 的终边在第四象限.
故选D.
√
3.［2024·贵阳一中高一月考］已知扇形的半径为,面积为 ,
则此扇形的圆心角的弧度数是( )
A.2 B.1 C. D.4
[解析] 设扇形的圆心角为 ,
由扇形的面积 可得, .
故选C.
√
4.［2024·北京十一学校高一期末］下列与 角的终边相同的角的表
达式中,正确的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为,其终边落在第四象限,且与 角的终边相同,
所以与 角的终边相同的角的集合
,
选项B正确；
选项A,C书写不规范,选项D表示的角的终边在第三象限.
故选B.
5.已知某扇形的周长为5,圆心角为3弧度,则该扇形的面积为( )
A. B.1 C. D.2
[解析] 设扇形的半径为,弧长为,则解得
则扇形的面积 .
故选C.
√
6.（多选题）［2024·福建龙岩九中高一月考］ 将下列角度与弧度进
行互化正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A, ,故A错误；
对于B, ,故B正确；
对于C, ,故C正确；
对于D,,故D正确.
故选 .
7.某场数学考试的时长为1.5小时,在此期间分针转过的弧度数为
______.
[解析] 考试时长为1.5小时,分针按顺时针方向转了1.5圈,
所以分针转过的弧度数为 ．
8.把表示成的形式,使最小的 的值是___.
[解析] ,
, 使最小的 的值是 .
9.（13分）将下列各角转化成,且 的形式,
并指出它们是第几象限角.
（1） ;
解： ,
与 的终边相同,
又是第一象限角, 角是第一象限角.
（2） .
解：,与的终边相同,
又 是第三象限角, 是第三象限角.
9.（13分）将下列各角转化成,且 的形式,
并指出它们是第几象限角.
10.圆心在原点,半径为1的圆上的两个动点,同时从点 出
发,沿圆周运动,点按逆时针方向旋转,速度为弧度/秒,点 按
顺时针方向旋转,速度为弧度/秒,则它们第三次相遇时点 转过的
弧度数为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意,动点, 第三次相遇时,两个动点转过的弧长之和为
.
设从点出发秒后点, 第三次相遇,
则 ,解得,
此时点 转过的弧度数为.
故选C.
11.（多选题）［2024·长春实验中学高一期末］ 中国传统扇文化有
着极其深厚的底蕴,一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下
的扇形制作而成.如图,设扇形的面积为,其圆心角为 ,圆面中
剩余部分的面积为,当与的比值为 时,扇面为“美观扇面”,
下列结论正确的是( )
A.
B.若,扇形的半径,则
C.若扇面为“美观扇面”,则
D.若扇面为“美观扇面”,半径 ,则扇形面积为
√
√
√
[解析] 对于A,,所对应的扇形的圆心角分别为 , ,
所以 ,故A正确；
对于B,若,则,
又 ,则 ,故B错误；
对于C,若,所以 ,故C正确；
对于D,若,则 ,又 ,
所以,故D正确.
故选 .
12.若扇形的周长为18,则扇形面积取得最大值时,扇形圆心角的弧
度数是___.
2
[解析] 设扇形的半径为,弧长为,则,即 ,
所以扇形面积 ,
所以当时,取得最大值,此时 ,
所以圆心角为 （弧度）.
13.如图①是一款扇形组合团圆拼盘,其示意图如图②所示,中间是
一个直径为 的圆盘,四周是8个相同的扇环形小拼盘,组拼后
形成一个大圆盘,寓意“八方来财,阖家团圆”.若的长为 ,
则每个扇环形小拼盘的面积为_________.
①
②
[解析] 如图,设小圆的圆心为 ,
则,设 ,
又每个扇环形小拼盘对应的圆心角为,
则 的长为,解得 ,
所以每个扇环形小拼盘的面积为
.
14.（15分）［2025·长春外国语学校高一月考］ 如图,点,,
是圆 上的点.
（1）若,,
求扇形的面积和弧 的长；
解：设扇形的半径为,面积为,弧的长为, .
由题意知, ,故, .
14.（15分）［2025·长春外国语学校高一月考］
如图,点,,是圆 上的点.
（2）若扇形的面积为10,
求扇形 周长的最小值,并求出此时 的值.
解：由,得 ,
扇形的周长为,
当且仅当 时等号成立,所以扇形的周长的最小值是 ,
由知, .
15.《梦溪笔谈》是我国古代的综合性笔记体著
作,其中收录了扇形弧长的近似计算公式：
弦 .如图,公式中“弦”是指扇形中
A. B. C. D.
所对弦的长,“矢”是指所在圆的半径与圆心到弦 的距
离之差,“径”是指扇形所在圆的直径.若扇形的面积为 ,扇形的
半径为4,利用上面公式,求得该扇形的弧长的近似值为 ( )
√
[解析] 设该扇形的圆心角为 ,
由扇形面积公式得,所以.
取 的中点,连接,交于点,则 ,
则 ,
, ,
所以扇形的弧长的近似值为
弦 .
故选D.
16.（15分）现在有人研究钟表的时针和分针一天内重合的次数,从
午夜零时算起,假设经过时分针和时针恰好第 次重合.
（1）建立关于 的函数解析式；
解：因为分针旋转的角速度为 ,
时针旋转的角速度为 ,
所以, ,
即, .
16.（15分）现在有人研究钟表的时针和分针一天内重合的次数,从
午夜零时算起,假设经过时分针和时针恰好第 次重合.
（2）求一天内分针和时针重合的次数.
解：因为时针旋转一天所需的时间为 ,
所以令,可得 ,
又 ,故时针与分针一天内重合22次.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.度 弧度 半径长 2. 3.正数 负数 0
【诊断分析】 （1）√ （2）× （3）× （4）√ （5）×
知识点二 1. 2. 0
【诊断分析】 （1） （2）
知识点三
课中探究 探究点一 例1 （1）D （2）A
探究点二 例2 （1）ABD （2）
变式 （1） （2）
探究点三 例3 （1）, 是第四象限角 （2)
变式 （1）D （2） （3）
探究点四例4 （1） （2）（3） 变式（1）A （2）2
快速核答案（练习册）
1.D 2.D 3.C 4.B 5.C 6.BCD 7. 8.
9.（1）m>, 第一象限角 （2）,第三象限角
10.C 11.ACD 12.2 13.
14. （1）,
（2）扇形的周长的最小值是,
15.D
16.（1）,（2）22次
