5.2.1 三角函数的概念
【学习目标】
1.结合单位圆理解三角函数的定义,会用定义求给定角的三角函数值.
2.根据任意角终边所在象限的位置,会判断任意角三角函数值的符号.
3.掌握三角函数诱导公式一并会应用.
◆ 知识点一 三角函数的定义
1.如图所示,设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).
(1)把点P的纵坐标 叫作α的正弦函数,记作sin α,即 ;
(2)把点P的横坐标 叫作α的余弦函数,记作cos α,即 ;
(3)把点P的纵坐标与横坐标的比值 叫作α的正切,记作tan α,即 .
将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.
2.三角函数的定义域
三角函数 解析式 定义域
正弦函数 y=sin x
余弦函数 y=cos x
正切函数 y=tan x
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)sin α,cos α,tan α的大小与点P(x,y)在角α的终边上的位置有关. ( )
(2)若α是第二象限角,且P(x,y)是其终边与单位圆的交点,则cos α=-x. ( )
(3)终边落在y轴上的角的正切函数值为0. ( )
2.如图,设α是一个任意角,它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y),点P到原点的距离为r,你能求出sin α,cos α,tan α吗 试试看.
◆ 知识点二 三角函数值在各象限的符号
1.图示:
2.口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知α是三角形的内角,则必有sin α>0,cos α≥0. ( )
(2)若sin α>0,则α是第一或第二象限角. ( )
(3)已知sin α=,cos α=-,则角α是第二象限角. ( )
(4)已知α是第四象限角,设sin α·cos α=m,则m的符号不确定. ( )
◆ 知识点三 公式一
终边相同的角的同一三角函数的值 ,即sin(α+k·2π)= ,cos(α+k·2π)= , tan(α+k·2π)= ,其中k∈Z.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知sin 5.1°=m,则sin 365.1°=m. ( )
(2)tan=. ( )
(3)若cos α=cos β,则α=β. ( )
◆ 探究点一 求任意角的三角函数值
例1 利用定义求的正弦、余弦和正切值.
变式 (1)已知α终边上的一点P(x,)(x≠0),且cos α=x,则tan α= .
(2)若角α的终边在直线y=2x上,求sin α,cos α,tan α的值.
[素养小结]
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况:
(1)若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值.
(2)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)是单位圆上一点,则sin α=y,cos α=x,tan α=.
(3)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)不是单位圆上一点,则先求r=,再求sin α=,cos α=,tan α=.
(4)若已知角α终边上的点的坐标含参数,则要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
◆ 探究点二 判断三角函数值的符号
例2 (1)(多选题)下列选项中,符号为负的是 ( )
A.sin(-100°) B.cos(-220°)
C.tan 10 D.cos π
(2)(多选题)若α是第一象限角,则下面选项中一定为正值的是 ( )
A.sin 2α B.cos 2α
C.sin D.tan
变式 (1)[2024·长春十一中高一期末] “点P(tan θ,sin θ)是第二象限的点”是“θ的终边位于第二象限”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(多选题)在平面直角坐标系中,角α的顶点在原点,以x轴的非负半轴为始边,终边经过点P(1,m)(m<0),则下列各式的值一定为负的是 ( )
A.sin α+cos α B.sin α-cos α
C.sin α·cos α D.
[素养小结]
判断三角函数值在各象限的符号的攻略:
(1)基础:准确确定三角函数值中各角的终边所在象限;
(2)关键:准确记忆三角函数值在各象限的符号;
(3)注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为角度,导致象限判断错误.
◆ 探究点三 求三角函数的定义域
例3 求下列函数的定义域:
(1)y=sin x+tan x;
(2)y=.
[素养小结]
(1)解题时要注意函数本身的隐含条件.
(2)求三角函数的定义域,应熟悉各三角函数在各象限内的符号,并要注意各三角函数的定义域,一般用弧度制表示.
◆ 探究点四 公式一的应用
例4 (1)[2024·广东茂名高一期末] cos 780°= ( )
A.- B.
C. D.-
(2)sin的值为 ( )
A.- B. C.- D.
(3)sin 810°+tan 765°-cos 360°= .
(4)sin+costan 4π+cos= .
变式 计算:(1)sin(-1395°)cos 1110°+cos(-1020°)sin 750°;
(2)sincos+tancos.
[素养小结]
利用公式一进行化简求值的步骤:
(1)定形:将已知的任意角写成2kπ+α的形式,其中α∈[0,2π),k∈Z.
(2)转化:根据公式一,转化为求角α的某个三角函数值.
(3)求值:若角α为特殊角,则可直接求出该角的三角函数值(需熟记特殊角的三角函数值).
5.2.1 三角函数的概念
【课前预习】
知识点一
1.(1)y y=sin α (2)x x=cos α
(3) =tan α(x≠0)
2.R R
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)×
2.解:如图,设角α的终边与单位圆交于点P0(x0,y0),分别过点P,P0作x轴的垂线PM,P0M0,垂足分别为M,M0,则P0M0=|y0|,PM=|y|,OM0=|x0|,OM=|x|.
易知△OMP∽△OM0P0,∴=,即|y0|=,∵y0与y同号,∴y0=,即sin α=.同理可得cos α=,tan α=.
知识点二
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)×
[解析] (2)sin α>0,则α是第一或第二象限角或终边在y轴非负半轴上的角.
(4)∵α是第四象限角,∴sin α<0,cos α>0,∴m<0.
知识点三
相等 sin α cos α tan α
诊断分析
(1)√ (2)× (3)×
[解析] (1)sin 365.1°=sin(360°+5.1°)=sin 5.1°=m.
(2)tan=tan=tan=.
(3)cos=cos,但≠.
【课中探究】
探究点一
例1 解:如图所示,设坐标原点为O,角的终边与单位圆的交点为P,过点P作PB⊥x轴交x轴于点B.在Rt△OPB中,OP=1,∠POB=,则PB=,OB=,∴P,
故sin =,cos =-,tan==-.
变式 (1)± [解析] 依题意,r=,根据三角函数的定义,cos α=x=,解得x=±,则tan α==±.
(2)解:设O为坐标原点.分两种情况讨论:①当角α的终边在第一象限时,在角α的终边上取一点P(1,2),则由OP==,得sin α==,cos α==,tan α==2;
②当角α的终边在第三象限时,在角α的终边上取一点Q(-1,-2),则由OQ==,得sin α==-,cos α==-,tan α==2.
探究点二
例2 (1)ABD (2)ACD
[解析] (1)-100°角是第三象限角,故sin(-100°)<0;-220°角是第二象限角,故cos(-220°)<0;∵10∈,∴10是第三象限角,故tan 10>0;cos π=-1<0.故选ABD.
(2)因为α是第一象限角,所以2kπ<α<2kπ+,k∈Z,则4kπ<2α<4kπ+π,k∈Z,2kπ+<α+<2kπ+,k∈Z,kπ<0,cos 2α的正负不确定,sin>0,tan>0,故选ACD.
变式 (1)C (2)BCD [解析] (1)因为点P(tan θ,sin θ)在第二象限,所以sin θ>0,tan θ<0,则θ的终边位于第二象限;反之,若θ的终边位于第二象限,则sin θ>0,tan θ<0,故点P(tan θ,sin θ)是第二象限的点.综上,“点P(tan θ,sin θ)是第二象限的点”是“θ的终边位于第二象限”的充要条件.故选C.
(2)由题意可得sin α<0,cos α>0,但sin α+cos α的符号不确定, A错误;sin α-cos α<0,B正确;sin α·cos α<0,C正确;<0,D正确.故选BCD.
探究点三
例3 解: (1)要使函数有意义, 必须使sin x 与tan x 都有意义,
所以所以函数y=sin x+tan x的定义域为.
(2)要使函数有意义,必须使tan x 有意义,且tan x≠0,所以(k∈Z),所以函数y= 的定义域为.
探究点四
例4 (1)B (2)D (3)1 (4)1
[解析] (1)cos 780°=cos(360°×2+60°)=cos 60°=.故选B.
(2)sin=sin=sin=.故选D.
(3)原式=sin(90°+2×360°)+tan(45°+2×360°)-cos 360°=sin 90°+tan 45°-1=1+1-1=1.
(4)原式=sin+cos·tan(4π+0)+cos=sin+costan 0+cos=sin+cos×0+cos=+=1.
变式 解:(1)原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 60°sin 30°=×+×=+=.
(2) 原式=sincos+tan cos=sin cos +tancos=×+1×=.5.2.1 三角函数的概念
1.已知sin α=,cos α=-,则角α的终边与单位圆的交点坐标是 ( )
A. B.
C. D.
2.[2025·重庆渝北区高一期中] 已知角α的终边经过点P(-2,1),则sin α的值为 ( )
A. B.
C.- D.-
3.sin(-300°)cos 420°的值为 ( )
A.- B. C.- D.
4.[2024·太原高一期末] 已知sin θcos θ>0,且|cos θ|=cos θ,则角θ是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
5.[2025·南京六校高一联考] 已知α是第二象限角,P(x,8)为其终边上的一点,且sin α=,则x= ( )
A.-6 B.±6
C.± D.-
6.(多选题)已知角α的终边经过点P(sin 60°,-tan 60°),则 ( )
A.cos α=
B.sin α=
C.tan α=-2
D.sin α+cos α=-
7.若角θ的终边经过点P(1,3),则sin θcos θ+cos2θ= .
8.计算:cos+tan= .
9.(13分)已知角α的终边上一点P(-,y)(y≠0),且sin α=y,求cos α,tan α.
10.若角α的终边经过点A(-1,2sin α),且α∈(0,π),则α= ( )
A. B.
C. D.
11.(多选题)下列函数值中符号为正的是 ( )
A.tan 485°·sin(-447°)
B.sin·cos·tan
C.
D.
12.[2025·吉林白城一中高一期末] 如图,单位圆上有一点P0,点P以点P0为起点按逆时针方向以每秒弧度做圆周运动,5秒后点P的纵坐标y是 .
13.化简下列各式:
(1)sin +cos +cos(-5π)+tan = .
(2)a2sin 810°-b2cos 900°+2abtan 1125°= .
14.(15分)求函数y=++的值域.
15.[2024·北京石景山区高一期末] 古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数cot θ=,正割函数sec θ=,余割函数csc θ=,正矢函数versin θ=1-cos θ,余矢函数vercos θ=1-sin θ.如图,角θ的始边为x轴的非负半轴,其终边与单位圆交于点P,A,B分别是单位圆与x轴和y轴正半轴的交点,过点P作PM垂直x轴,作PN垂直y轴,垂足分别为M,N,过点A作x轴的垂线,过点B作y轴的垂线,分别交θ的终边于T,S,其中AM,PS,BS,NB为有向线段,下列表示正确的是 ( )
A.versin θ=AM B.csc θ=PS
C.cot θ=BS D.sec θ=NB
16.(15分)已知=-,且lg cos α有意义.
(1)试判断角α的终边所在的象限;
(2)若角α的终边上有一点M,且OM=1(O为坐标原点),求m的值及sin α的值.
5.2.1 三角函数的概念
1.D [解析] 由三角函数的定义,易得角α的终边与单位圆的交点坐标是.故选D.
2.A [解析] 因为角α的终边经过点P(-2,1),所以sin α==.故选A.
3.B [解析] sin(-300°)cos 420°=sin(-360°+60°)cos(360°+60°)=
sin 60°cos 60°=×=.故选B.
4.A [解析] 因为sin θcos θ>0,且|cos θ|=cos θ,所以sin θ>0,cos θ>0,所以θ是第一象限角,故选A.
5.A [解析] 依题意,x<0,r=OP=(O为坐标原点),则sin α==,所以x=-6.故选A.
6.ACD [解析] 由题知P(sin 60°,-tan 60°),即P,因为角α的终边经过点P,所以sin α==-,cos α==,tan α===-2,sin α+cos α=-+=-.故选ACD.
7. [解析] 由角θ的终边经过点P(1,3),得sin θ==,cos θ==,故sin θcos θ+cos2θ=×+=+=.
8. [解析] 因为cos=cos=cos=,tan=tan=tan=,所以cos+tan=+=.
9.解:由角α的终边上一点P(-,y)(y≠0),且sin α=y,得sin α==y,解得y=±,
则cos α==-.
当y=时,tan α==-;
当y=-时,tan α==.
所以cos α=-,tan α=±.
10.D [解析] 由三角函数定义可得sin α=,因为α∈(0,π),所以sin α>0,所以1=,解得sin α=,易知点A在第二象限,所以α=.故选D.
11.ACD [解析] 因为485°=360°+125°,即485°是第二象限角,所以tan 485°<0.因为-447°=-360°-87°,即-447°是第四象限角,所以sin(-447°)<0,所以tan 485°·sin(-447°)>0,故A符合题意.因为是第三象限角,所以sin<0.因为是第二象限角,所以cos<0.因为是第四象限角,所以tan<0,所以sin·cos·tan<0,故B不符合题意.因为188°是第三象限角,所以tan 188°>0.因为-55°是第四象限角,所以cos(-55°)>0,所以>0,故C符合题意.因为=4π+,即是第二象限角,所以cos<0.因为-=-2π-,即-是第四象限角,所以tan<0.因为是第二象限角,所以sin>0,所以>0,故D符合题意.故选ACD.
12. [解析] 因为P0位于第一象限,且tan∠P0Ox=1,故∠P0Ox=,所以∠POx=+×5=,故sin∠POx=sin=,所以点P的纵坐标y=sin∠POx=.
13.(1)-1 (2)(a+b)2 [解析] (1)原式=sin +cos +cos π+1=-1+0-1+1=-1.
(2)原式=a2sin 90°-b2cos 180°+2abtan 45°=a2+b2+2ab=(a+b)2.
14.解:由题意知,角x的终边不在坐标轴上.
当x是第一象限角时,y=++=3;
当x是第二象限角时,y=++=-1;
当x是第三象限角时,y=++=-1;
当x是第四象限角时,y=++=-1.
综上,函数y=++的值域为{-1,3}.
15.C [解析] 根据题意,易得△OMP∽△OAT∽△SBO∽△PNO,对于A,因为1-cos θ=1-OM=MA,即versin θ=MA,故A错误;对于B,根据三角函数定义,结合相似三角形相似比可得,csc θ=====OS,故B错误;对于C,cot θ===BS,故C正确;对于D,根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得sec θ=====OT,故D错误.故选C.
16.解:(1)由=-,
可知sin α<0,∴α是第三或第四象限角或终边在y轴的负半轴上的角.
由lg cos α有意义,可知cos α>0,∴α是第一或第四象限角或终边在x轴的正半轴上的角.
综上可知,α是第四象限角,即角α的终边在第四象限.
(2)∵OM=1,∴+m2=1,解得m=±,
又α是第四象限角,∴m<0,∴m=-.
由正弦函数的定义可知sin α===-.(共74张PPT)
5.2 三角函数的概念
5.2.1 三角函数的概念
探究点一 求任意角的三角函数值
探究点二 判断三角函数值的符号
探究点三 求三角函数的定义域
探究点四 公式一的应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.结合单位圆理解三角函数的定义,会用定义求给定角的三角函数值.
2.根据任意角终边所在象限的位置，会判断任意角三角函数值的符号.
3.掌握三角函数诱导公式一并会应用.
知识点一 三角函数的定义
1.如图所示，设 是一个任意角, ,它的终边
与单位圆相交于点 .
（1）把点的纵坐标___叫作 的正弦函数,记作
,即_________;
（2）把点的横坐标___叫作 的余弦函数,记作 ,即__________;
1.如图所示，设 是一个任意角, ,它的终边
与单位圆相交于点 .
（3）把点的纵坐标与横坐标的比值__叫作 的
正切,记作 ,即________________.
将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.
2.三角函数的定义域
三角函数 解析式 定义域
正弦函数 ___
余弦函数 ___
正切函数 _ ___________________
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） , , 的大小与点在角 的终边上的位置
有关.( )
×
（2）若 是第二象限角，且 是其终边与单位圆的交点，则
.( )
×
（3）终边落在 轴上的角的正切函数值为0.( )
×
2.如图，设 是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点 重
合）的坐标为，点到原点的距离为，你能求出 , ,
吗？试试看.
解：如图，设角 的终边与单位圆交于点，
分别过点，作 轴的垂线，，垂足分别为， ，
则，， ， .
易知， ，即，
与同号， ，即.
同理可得， .
知识点二 三角函数值在各象限的符号
1.图示:
2.口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知 是三角形的内角，则必有， .( )
×
（2）若，则 是第一或第二象限角.( )
×
[解析] ，则
是第一或第二象限角或终边在 轴非负半轴上的角.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）已知，，则角 是第二象限角.( )
√
（4）已知 是第四象限角,设,则 的符号不确定.( )
×
[解析] 是第四象限角,,, .
知识点三 公式一
终边相同的角的同一三角函数的值______,即 _____,
______,______,其中 .
相等
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知,则 .( )
√
[解析] .
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2） .( )
×
[解析] .
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）若 ，则 .( )
×
[解析] ，但 .
探究点一 求任意角的三角函数值
例1 利用定义求 的正弦、余弦和正切值.
解：如图所示，设坐标原点为， 角的终边与
单位圆的交点为，过点作轴交轴于点 .
在中，，，
则 ，， ，
故，， .
变式（1）已知 终边上的一点，且 ，则
______.
[解析] 依题意， ，
根据三角函数的定义，，解得，
则 .
（2）若角 的终边在直线上,求 , , 的值.
解：设为坐标原点.分两种情况讨论：
①当角 的终边在第一象限时,在角的终边上取一点，
则由 ,
得,, ；
②当角 的终边在第三象限时,在角 的终边上取一点 ，
则由,
得 ,,
［素养小结］
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况：
（1）若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即
可求出各三角函数值.
（2）若已知角 终边上一点是单位圆上一点，则
，，.
（3）若已知角 终边上一点不是单位圆上一点，则
先求，再求，,.
（4）若已知角 终边上的点的坐标含参数，则要根据问题的实际情
况对参数进行分类讨论.
探究点二 判断三角函数值的符号
例2（1）（多选题）下列选项中，符号为负的是( )
A. B. C. D.
[解析] 角是第三象限角，故；
角是第二象限角，故；
， 是第三象限角，故；
.
故选 .
√
√
√
（2）（多选题）若 是第一象限角，则下面选项中一定为正值的
是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 是第一象限角，所以, ，
则 ,,, ，
,，
所以， 的正负不确定，，，
故选 .
√
√
√
变式（1）［2024·长春十一中高一期末］“点 是第二象
限的点”是“ 的终边位于第二象限”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 因为点在第二象限，所以， ，
则 的终边位于第二象限；
反之，若 的终边位于第二象限，则，，
故点 是第二象限的点.
综上，“点是第二象限的点”是“ 的终边位于第二象限”的
充要条件.故选C.
√
（2）（多选题）在平面直角坐标系中，角 的顶点在原点，以 轴
的非负半轴为始边，终边经过点 ，则下列各式的值
一定为负的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意可得,,但 的符号不确定,
错误；，B正确；
，C正确；，D正确．
故选 ．
√
√
√
［素养小结］
判断三角函数值在各象限的符号的攻略：
（1）基础：准确确定三角函数值中各角的终边所在象限；
（2）关键：准确记忆三角函数值在各象限的符号；
（3）注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度,导致
象限判断错误.
探究点三 求三角函数的定义域
例3 求下列函数的定义域:
（1） ;
解： 要使函数有意义, 必须使与 都有意义,
所以
所以函数 的定义域为 .
例3 求下列函数的定义域:
（2） .
解：要使函数有意义,必须使有意义,且 ,
所以，
所以函数 的定义域为 .
［素养小结］
（1）解题时要注意函数本身的隐含条件.
（2）求三角函数的定义域,应熟悉各三角函数在各象限内的符号,并
要注意各三角函数的定义域,一般用弧度制表示.
探究点四 公式一的应用
例4（1）［2024·广东茂名高一期末］ ( )
A. B. C. D.
[解析] .故选B.
√
（2） 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] .故选D.
√
（3） ___.
1
[解析] 原式 .
（4） ___.
1
[解析] 原式
.
变式 计算：
（1） ；
解：原式 .
变式 计算：
（2） .
解：原式 .
［素养小结］
利用公式一进行化简求值的步骤：
（1）定形：将已知的任意角写成 的形式，其中
，.
（2）转化：根据公式一，转化为求角 的某个三角函数值.
（3）求值：若角 为特殊角，则可直接求出该角的三角函数值
（需熟记特殊角的三角函数值）.
三角学的英文名称 约定名于公元1600年,实际来源
于希腊文（三角）和 （测量）,其原意为三角形测量
（解法）,以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础,达
到测量上的应用为目的的一门学科.早期的三角学是天文学的一部分,
后来研究范围逐渐扩大,变成以三角函数为主要对象的学科.现在,三角
学的研究范围已不仅限于三角形,且为数理分析之基础,研究实用科学
所必需之工具.
1.对三角函数概念的理解应注意的问题
（1）三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和点 在
终边上的位置无关,只由角 的终边位置确定,即三角函数值的大小只
与角有关.
（2） , , 分别是一个整体,离开“ ”,“”“”“ ”
不表示任何意义,更不能把“ ”当成“”与“ ”的乘积.
（3）在任意角的三角函数的定义中， 是一个任意角，其范围是使
函数有意义的实数集.
2.公式一的实质与作用
（1）公式一的实质：公式一的实质是终边相同的角，其同名三角函
数值相等.因为这些角的终边是同一条射线，所以根据三角函数的定
义可知，这些角的同名三角函数值相等.
（2）公式一的作用：利用公式一可以把任意角的三角函数值化为
范围内与其终边相同的角的三角函数值（方法是先在
的范围内找出与所给角终边相同的角，再把它写成公式一
的形式，最后得出结果）.
1.利用定义求三角函数值
（1）已知角 的终边在直线上时,常用的解题方法有两种:①先利用
直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后利用正弦、余弦、正切函数的
定义求出相应的三角函数值;②注意到角的终边为射线,所以应分两种
情况处理,取射线上任意一点的坐标 ,则对应角的正弦值
,余弦值,正切值 .
（2）当角 终边上的点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实
际情况对参数进行分类讨论.
例1（1）若角 终边上一点，且，则 ( )
A. B. C.4 D.
[解析] 由题意得，点在角 的终边上，且 ，
所以，解得或 （舍去），
故选C.
√
（2）（多选题）已知角 的终边与单位圆交于点 ，
则 ( )
A. B.
C. D.
[解析] 在单位圆中，，解得 .
由三角函数的定义，可得，，.
故选 .
√
√
2.三角函数值符号的判断
准确确定三角函数中角的终边所在的象限是基础,熟记三角函数值在
各象限内的符号并牢记记忆口诀是解决这类问题的关键.
例2（1）已知 为第三象限角，则下列判断正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为 为第三象限角，所以,, ,，
从而,, , .
故选D.
√
（2）（多选题）设的三个内角分别为,, ，则下列各组数
中有意义且均为正值的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
[解析] 对于A，当时， 无意义，故A不满足题意；
对于B，当为钝角时，，故B不满足题意；
对于C，因为 , ，所以,，所以, ，
故C满足题意；
对于D，因为,，所以，所以, ，
故D满足题意.故选 .
√
√
3.利用公式一求三角函数值
（1）解此类问题的方法是先借助于公式一把已知角化到 范围
内,然后再求三角函数值.
（2）要熟记特殊角的三角函数值,这是解题的基础.
例3 求下列三角函数值:
（1） ;
解： .
（2） ;
解： .
（3） ;
解： .
例3 求下列三角函数值:
（4） .
解： .
练习册
1.已知,,则角 的终边与单位圆的交点坐标
是 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由三角函数的定义，
易得角 的终边与单位圆的交点坐标是 .
故选D.
√
2.［2025·重庆渝北区高一期中］已知角 的终边经过点 ，则
的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为角 的终边经过点，
所以 .
故选A.
√
3. 的值为( )
A. B. C. D.
[解析]
.
故选B.
√
4.［2024·太原高一期末］已知，且 ，
则角 是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
[解析] 因为，且 ，
所以 ,，所以 是第一象限角，
故选A.
√
5.［2025·南京六校高一联考］已知 是第二象限角， 为其终
边上的一点，且，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意，，（ 为坐标原点），
则，所以 .
故选A.
√
6.（多选题）已知角 的终边经过点 ,
则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 由题知,即,
因为角 的终边经过点,
所以, ,
,.
故选 .
7.若角 的终边经过点，则 __.
[解析] 由角 的终边经过点，
得 ， ，
故 .
8.计算： ________.
[解析] 因为 ，
，
所以 .
9.（13分）已知角 的终边上一点，且 ，
求 ， ．
解：由角 的终边上一点，且 ，
得，解得 ，
则 .
当时， ；
当时， .
所以， ．
10.若角 的终边经过点，且，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由三角函数定义可得，
因为 ,所以，
所以，解得，
易知点 在第二象限，所以 .
故选D.
√
11.（多选题）下列函数值中符号为正的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为,即 是第二象限角,所以.
因为 ，即 是第四象限角，
所以，所以 ，故A符合题意.
因为是第三象限角，所以.
因为 是第二象限角，所以 .
√
√
√
因为是第四象限角，所以 ，所以，
故B不符合题意.
因为 是第三象限角，所以.
因为 是第四象限角,所以 ,所以,
故C符合题意.
因为，即 是第二象限角，所以.
因为，即 是第四象限角，所以.
因为是第二象限角，所以 ，所以，
故D符合题意.
故选 .
12.［2025·吉林白城一中高一期末］如图，单位圆上
有一点，点以点 为起点按逆时针方向
以每秒弧度做圆周运动，5秒后点的纵坐标 是
___.
[解析] 因为位于第一象限,且 ,故，
所以，故 ，
所以点的纵坐标 .
13.化简下列各式：
（1） ____.
[解析] 原式 .
13.化简下列各式：
（2） _________.
[解析] 原式
.
14.（15分）求函数 的值域.
解：由题意知，角 的终边不在坐标轴上.
当是第一象限角时， ；
当是第二象限角时， ；
当是第三象限角时， ;
当是第四象限角时， .
综上，函数的值域为, .
15.［2024·北京石景山区高一期末］古人把正弦函
数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、
余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的
函数线合称为八线.其中余切函数 ，正
割函数，余割函数 ，正矢函数
，余矢函数 .如图，角
的始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交于点，， 分别是单
位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直
轴，作垂直轴，垂足分别为，，过点作
轴的垂线，过点作轴的垂线，分别交 的终边
于,，其中,,, 为有向线段，下列表示
正确的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 根据题意，易得 ，
对于A，因为，即 ，故A错误；
对于B，根据三角函数定义，结合相似三角形相似比可得，
，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比
可得 ，故D错误.
故选C.
16.（15分）已知,且 有意义.
（1）试判断角 的终边所在的象限;
解:由 ,
可知, 是第三或第四象限角或终边在 轴的负半轴上的角.
由 有意义,可知,
是第一或第四象限角或终边在 轴的正半轴上的角.
综上可知, 是第四象限角,即角 的终边在第四象限.
16.（15分）已知,且 有意义.
（2）若角 的终边上有一点,且（ 为坐标原点）,
求的值及 的值.
解:,,解得 ,
又 是第四象限角,, .
由正弦函数的定义可知 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.（1） （2）
（3） 2.
【诊断分析】 1.（1）× （2）× （3）× 2. . ，
知识点二 【诊断分析】 （1）× （2）× （3）√ （4）×
知识点三 相等 【诊断分析】 （1）√ （2）× （3）×
课中探究 探究点一 例1 m>,, 变式（1）
（2）①当角 的终边在第一象限时, ,,；
②当角 的终边在第三象限时, ,,
探究点二 例2 （1）ABD （2）ACD 变式 （1）C （2）BCD
探究点三 例3 （1）（2）
探究点四 例4 （1）B （2）D （3）1 （4）1 变式 （1） （2）
快速核答案（练习册）
1.D 2.A 3.B 4.A 5.A 6.ACD
7. 8.
9. ，
10.D 11.ACD
12. 13.（1） （2）
14. ,
15.C
16.（1）第四象限（2）,
