5.3 诱导公式
第1课时 诱导公式(一)
【学习目标】
1.借助圆的对称性理解诱导公式二、三、四的推导过程.
2.掌握诱导公式一~四并能运用诱导公式进行求值、化简.
◆ 知识点一 诱导公式二~四
终边关系 图示 公式
公 式 二 角π+α与角α的终边关于 对称 sin(π+α)= ,cos(π+α)= ,tan(π+α)=
公 式 三 角-α与角α的终边关于 轴对称 sin(-α)= ,cos(-α)= ,tan(-α)=
公 式 四 角π-α与角α的终边关于 轴对称 sin(π-α)= , cos(π-α)= , tan(π-α)=
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)诱导公式三可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角函数值. ( )
(2)诱导公式中的角α一定是锐角. ( )
(3)由诱导公式三知cos[-(α-β)]=-cos(α-β). ( )
(4)在△ABC中,sin(A+B)=sin C. ( )
◆ 知识点二 任意负角的三角函数化为锐角的三角函数的步骤
◆ 探究点一 给角求值
例1 (1)cos= ( )
A. B.-
C. D.-
(2)sin 780°+tan 240°的值是 ( )
A. B.
C.+ D.-+
(3)的值为 .
变式 (1)sin·cos·tan= .
(2)[2024·北京首师大二附中高一月考] 计算:cos 300°-sin(-330°)+tan 675°= .
[素养小结]
求任意角的三角函数值的问题,都可以通过诱导公式化归为锐角三角函数的求值问题,具体步骤为:负角化正角→正角化周内角→周内角化锐角→求值.
◆ 探究点二 给值(式)求值
例2 (1)若sin(π-α)=-,且α∈,则cos(π+α)的值为 ( )
A. B.-
C.± D.以上都不对
(2)已知tan=,则tan= ( )
A.- B.- C. D.
(3)已知cos(α-55°)=-,且α为第四象限角,则sin(α+125°)= .
变式 (1)已知cos=,则cos-sin2= .
(2)已知sin=,则sin= ,cos·cos= .
[素养小结]
解决给值(式)求值问题的策略
(1)解决给值(式)求值问题,首先要仔细观察所给条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
◆ 探究点三 三角函数式的化简
例3 化简:.
变式 求证:当k=2或k=3时,=.
[素养小结]
三角函数式化简的常用方法:
(1)合理转化:①将角化成kπ±α的形式,其中α∈[0,2π),k∈Z;②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.
(2)切化弦:一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数.
5.3 诱导公式
第1课时 诱导公式(一)
【课前预习】
知识点一
原点 -sin α -cos α tan α x
-sin α cos α -tan α y sin α
-cos α -tan α
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)√
【课中探究】
探究点一
例1 (1)A (2)A (3)-2
[解析] (1)由诱导公式,可得cos=cos=cos=cos=.故选A.
(2)sin 780°+tan 240°=sin(720°+60°)+tan(180°+60°)=sin 60°+tan 60°=+=.故选A.
(3)原式==
=
=
==-2.
变式 (1) (2)-1 [解析] (1)sin·cos·tan=sin·cos·tan=-sin·cos·=-××=.
(2)cos 300°-sin(-330°)+tan 675°=cos(360°-60°)-sin(-360°+30°)+tan(720°-45°)=cos 60°-sin 30°-tan 45°=--1=-1.
探究点二
例2 (1)B (2)B (3)
[解析] (1)由sin(π-α)=-,得sin α=-,又α∈,∴cos α=,∴cos(π+α)=-cos α=-.故选B.
(2)根据题意,tan=tan=tan=-tan=-.故选B.
(3)因为cos(α-55°)=-<0,且α为第四象限角,所以α-55°是第三象限角,故sin(α-55°)=-=-.又α+125°=180°+(α-55°),所以sin(α+125°)=sin[180°+(α-55°)]=-sin(α-55°)=.
变式 (1)- (2)-
[解析] (1)因为cos=,所以sin2=1-cos2=1-=,可得cos-sin2=cos-sin2=-cos-sin2=--=-.
(2)因为sin=,所以sin=sin=-sin=-,cos·cos=cos·cos =cos2=1-sin2=.
探究点三
例3 解:==1.
变式 证明:当k=2时,左边=====右边;
当k=3时,左边=====右边.
综上,当k=2或k=3时,原等式成立.5.3 诱导公式
第1课时 诱导公式(一)
1.[2024·山西吕梁高一期末] 已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点P,那么cos(π+α)= ( )
A.- B.
C. D.-
2.[2024·安徽阜阳高一期末] sin 1215°= ( )
A. B.
C.- D.-
3.已知tan(3π+α)=-2,则tan(α-π)的值为 ( )
A.- B.
C.-2 D.2
4.已知sin(-π-α)=,且α为第二象限角,则= ( )
A.- B.
C. D.-
5.[2024·辽宁大连育明中学高一期中] 已知角θ的顶点为坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边在直线3x-y=0上,则= ( )
A.- B.
C.-2 D.2
6.(多选题)下列化简结果正确的是 ( )
A.tan(π+1)=tan 1
B.=cos α
C.=tan α
D.=-1
7.[2024·陕西韩城高一期中] sin(-120°)tan 150°的值为 .
8.[2025·上海华东师大二附中高一期末] 若cos=,则cos的值是 .
9.(13分)求下列各式的值.
(1)sin+tan+cos;
(2).
10.化简:= ( )
A.sin 2+cos 2 B.cos 2-sin 2
C.sin 2-cos 2 D.±(cos 2-sin 2)
11.(多选题)已知A,B,C是锐角三角形ABC的三个内角,则下列结论正确的是 ( )
A.sin(B+C)=sin A
B.tan(A+B)=tan C
C.sin BD.cos(A+B)12.cos 330°+sin(-30°)+tanπ+cos 90°= .
13.设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β均为非零常数,若f(2024)=-1,则f(2025)= .
14.(15分)已知α是第三象限角,且f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若tan(π-α)=-2,求f(α)的值.
15.在△ABC中,给出下列四个式子:①sin(A+B)+sin C;②cos(A+B)+cos C;③sin(2A+2B)+sin 2C;④cos(2A+2B)+cos 2C.其中为常数的式子是 ( )
A.①③ B.②③
C.③④ D.②④
16.(15分)[2024·青岛高一检测] 已知=3,求tan(5π-α)的值.
5.3 诱导公式
第1课时 诱导公式(一)
1.D [解析] 根据题意,由三角函数的定义得cos α=,∴cos(π+α)=-cos α=-.故选D.
2.A [解析] sin 1215°=sin(3×360°+135°)=sin 135°=sin(180°-45°)=sin 45°=.故选A.
3.C [解析] ∵tan(3π+α)=tan α=-2,∴tan(α-π)=tan α=-2.故选C.
4.A [解析] ∵sin(-π-α)=,∴-sin(π+α)=,∴sin α=,又α为第二象限角,∴cos α=-,∴==cos α=-.故选A.
5.A [解析] 因为角θ的顶点为坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边在直线3x-y=0上,所以tan θ=3,所以===-.故选A.
6.ABD [解析] 对于A,tan(π+1)=tan 1,故A正确;对于B,==cos α,故B正确;对于C,==-tan α,故C错误;对于D,==-=-1,故D正确.故选ABD.
7. [解析] sin(-120°)tan 150°=-sin 60°×(-tan 30°)=-×=.
8.- [解析] cos=cos =-cos=-.
9.解:(1)sin+tan+cos=sin+tan-cos=-1-=-1.
(2)原式==
=
=
=
==.
10.C [解析] =
=
=
=|sin 2-cos 2|,因为角2是第二象限角,所以sin 2>0,cos 2<0,所以|sin 2-cos 2|=sin 2-cos 2.故选C.
11.AD [解析] 对于A,sin(B+C)=sin(π-A)=sin A,故A正确;对于B,tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,故B错误;对于C,当A=,B=,C=时,显然sin B=>=cos A,故C错误;对于D,cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,由C为锐角,可得cos C>0,所以cos(A+B)=-cos C12.- [解析] cos 330°+sin(-30°)+tanπ+cos 90°=cos(360°-30°)-sin 30°+tan=cos 30°--tan=--=-.
13.1 [解析] 因为f(2024)=asin(2024π+α)+bcos(2024π+β)=asin α+bcos β=-1,所以f(2025)= asin(2025π+α)+bcos(2025π+β)=-asin α-bcos β=-(asin α+bcos β)=1.
14.解:(1)f(α)====-cos α.
(2)因为tan(π-α)=-tan α=-2,所以tan α=2,
又α是第三象限角,所以cos α<0,
由可得cos α=-,所以f(α)=-cos α=.
15.B [解析] ①sin(A+B)+sin C=2sin C,故①不符合题意;②cos(A+B)+cos C=-cos C+cos C=0,故②符合题意;③sin(2A+2B)+sin 2C=sin 2(A+B)+sin 2C=sin 2(π-C)+sin 2C=sin(2π-2C)+sin 2C=-sin 2C+sin 2C=0,故③符合题意;④cos(2A+2B)+cos 2C=cos 2(A+B)+cos 2C=cos 2(π-C)+cos 2C=cos(2π-2C)+cos 2C=cos 2C+cos 2C=2cos 2C,故④不符合题意.故选B.
16.解:因为=
==3,
所以sin α=-,
所以α为第三或第四象限角.
当α为第三象限角时,cos α=-=-,
所以tan(5π-α)=-tan α=-=-;
当α为第四象限角时,cos α==,所以tan(5π-α)=-tan α=-=.
综上,当α为第三象限角时,tan(5π-α)=-;
当α为第四象限角时,tan(5π-α)=.(共55张PPT)
5.3 诱导公式
第1课时 诱导公式（一）
探究点一 给角求值
探究点二 给值（式）求值
探究点三 三角函数式的化简
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.借助圆的对称性理解诱导公式二、三、四的推导过程.
2.掌握诱导公式一~四并能运用诱导公式进行求值、化简.
知识点一 诱导公式二~四
终边关系 图示 公式
公 式 二 __________________________________
公 式 三 __________________________________
原点
终边关系 图示 公式
公 式 四 _____________________________________
续表
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）诱导公式三可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角函
数值.( )
√
（2）诱导公式中的角 一定是锐角.( )
×
（3）由诱导公式三知 ( )
×
（4）在中， .( )
√
知识点二 任意负角的三角函数化为锐角的
三角函数的步骤
探究点一 给角求值
例1（1） ( )
A. B. C. D.
[解析] 由诱导公式，可得 .
故选A.
√
（2） 的值是( )
A. B. C. D.
[解析] .
故选A.
√
（3） 的值为_______.
[解析] 原式
.
变式（1） ___.
[解析] .
（2）［2024·北京首师大二附中高一月考］计算：
____.
[解析] .
［素养小结］
求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化归为锐角三
角函数的求值问题，具体步骤为：负角化正角 正角化周内角 周
内角化锐角 求值.
探究点二 给值（式）求值
例2（1）若，且，则 的
为( )
A. B. C. D.以上都不对
[解析] 由，得，
又 ，， .
故选B.
√
（2）已知，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 根据题意， .
故选B.
√
（3）已知，且 为第四象限角，则
_ ___.
[解析] 因为,且 为第四象限角，
所以 是第三象限角，
故 .
又 ,
所以 .
变式（1）已知，则
_______.
[解析] 因为 ，
所以，
可得 .
（2）已知，则 _____，
__.
[解析] 因为 ，
所以，
.
［素养小结］
解决给值（式）求值问题的策略
（1）解决给值（式）求值问题，首先要仔细观察所给条件与所求式
之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
（2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向
已知式转化.
探究点三 三角函数式的化简
例3 化简： .
解： .
变式 求证：当或时， .
证明：当 时，左边
右边；
当 时，左边
右边.
综上，当或 时，原等式成立.
［素养小结］
三角函数式化简的常用方法:
（1）合理转化:①将角化成 的形式，其中，;
②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角
的三角函数.
（2）切化弦:一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数.
“南京眼”和辽宁的“生命之环”均
利用完美的对称展现自己的和谐之美，
而三角函数与（单位）圆是紧密联系
的，它的基本性质是圆的几何性质的
代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段
之间的关系.圆有很好的对称性，它是以圆心为对称中心的中心对称
图形，也是以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形.
1.诱导公式一~四的记忆:
（1）诱导公式一~四可用口诀“函数名不变,符号看象限”记忆,其中
“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名,“符号”是指等号右边的
三角函数前面的符号,“符号看象限”是指把 看成锐角时等式左边三
角函数值的符号.
2.利用诱导公式求值
解答该类题目的常用方法是先把负角化成正角,然后再把大于
的角利用诱导公式转化为 到 之间的角进行求值.在公式的选取
上没有固定格式,关键在于熟练运用.利用诱导公式求任意角三角函数
的步骤:
（1）“负化正”——用公式一或三来转化;
（2）“大化小”——用公式一将角化为 到 之间的角;
（3）“小化锐”——用公式二或四将大于 且小于 的角转化
为锐角;
（4）“锐求值”——求锐角的三角函数值.
可简记为“负角化正角，正角大变小，小角化锐角，锐角去查表”.
1.解决求值问题的策略
解决求值问题,要仔细观察已知条件与所求式之间的角、函数名及有
关运算的差异与联系,要么将已知式进行变形向所求式转化,要么将所
求式进行变形向已知式转化.总之,设法消除已知式与所求式之间的种
种差异是解决问题的关键.
例1（1）若，则 的值
为( )
A. B. C. D.1
[解析] 由，得 ，
所以 .
故选A.
√
（2）已知，且，则 ______.
[解析] .
，， ，
则， .
2.三角函数式的化简方法
（1）利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数;
（2）常用“切化弦”法,即通常将表达式中的正切化为正弦或余弦;
（3）注意“1”的变形应用.
例2 化简：
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式
.
练习册
1.［2024·山西吕梁高一期末］已知角 的顶点与坐标原点重合，始
边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 ，那么
( )
A. B. C. D.
[解析] 根据题意，由三角函数的定义得 ，
.故选D.
√
2.［2024·安徽阜阳高一期末］ ( )
A. B. C. D.
[解析] .
故选A.
√
3.已知，则 的值为( )
A. B. C. D.2
[解析] ， .
故选C.
√
4.已知，且 为第二象限角，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] ，，，
又 为第二象限角，， .
故选A.
√
5.［2024·辽宁大连育明中学高一期中］已知角 的顶点为坐标原点，
始边与轴正半轴重合，终边在直线 上，则
( )
A. B. C. D.2
[解析] 因为角 的顶点为坐标原点，始边与 轴正半轴重合，
终边在直线上，
所以 ，所以 .
故选A.
√
6.（多选题）下列化简结果正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A， ，故A正确；
对于B， ，故B正确；
对于C， ，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选 .
√
√
√
7.［2024·陕西韩城高一期中］ 的值为__.
[解析] .
8.［2025·上海华东师大二附中高一期末］若 ，则
的值是____.
[解析] .
9.（13分）求下列各式的值.
（1） ;
解：
.
9.（13分）求下列各式的值.
（2） .
解：原式 .
10.化简： ( )
A. B.
C. D.
[解析] ，
因为角2是第二象限角，所以, ，
所以 .
故选C.
√
11.（多选题）已知，，是锐角三角形 的三个内角，则下列
结论正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A， ，故A正确；
对于B, ，故B错误；
对于C,当，，时,显然 ,故C错误；
对于D,，
由 为锐角,可得,所以,故D正确.
故选 .
√
√
12. _______.
[解析]
.
13.设，其中，， ， 均为
非零常数，若，则 ___.
1
[解析] 因为 ，
所以
.
14.（15分）已知 是第三象限角，且
.
（1）化简 ；
解： .
14.（15分）已知 是第三象限角，且
.
（2）若，求 的值.
解：因为，所以 ，
又 是第三象限角，所以 ，
由可得，所以 .
15.在中，给出下列四个式子： ；
； ；
.其中为常数的式子是( )
A.①③ B.②③ C.③④ D.②④
√
[解析] ，故①不符合题意；
，故②符合题意；
，
故③符合题意；
，
故④不符合题意.
故选B.
16.（15分）［2024·青岛高一检测］ 已知
，求 的值.
解：因为 ，
所以 ，
所以 为第三或第四象限角.
当 为第三象限角时， ，
所以 ；
当 为第四象限角时， ，
所以 .
综上，当 为第三象限角时， ；
当 为第四象限角时， .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 原点
【诊断分析】 （1）√ （2）× （3）× （4）√
课中探究 探究点一 例1 （1）A （2）A （3）
变式 （1） （2）
探究点二 例2 （1）B （2）B （3）
变式 （1） （2）
探究点三 例3
变式 证明略
快速核答案（练习册）
1.D 2.A 3.C 4.A 5.A 6.ABD
7. 8. 9.（1） （2）
10.C 11.AD 12. 13.1
14.（1） （2）
15.B
16.
