第2课时 诱导公式(二)
【学习目标】
1.在诱导公式二~四的基础上,掌握诱导公式五~六的推导过程.
2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题.
◆ 知识点一 特殊角终边的对称性
1.角-α的终边与角α的终边关于直线 对称,如图所示.
2.角-α的终边与角+α的终边关于直线 对称.
◆ 知识点二 诱导公式
1.公式五
sin= ,cos= .
2.公式六
sin= ,cos= .
公式五和公式六可以概括为±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成 时原函数值的符号.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)公式五和公式六中的角α一定是锐角. ( )
(2)在△ABC中,sin=cos. ( )
(3)若α为第二象限角,则sin=cos α. ( )
(4)若cos 10°=a,则sin 100°=a. ( )
2.如何由公式四及公式五推导公式六
◆ 知识点三 诱导公式的本质
所谓三角函数的诱导公式,就是将角±α的三角函数转化为角α的三角函数.
◆ 探究点一 利用诱导公式化简求值
例1 (1)已知sin=,则cos(α-π)= ( )
A.- B.
C.± D.±
(2)sin 95°+cos 185°+tan 240°= .
(3)化简:+= .
变式 (1)若角α的终边位于第二象限,且sin α=,则sin= ( )
A. B.- C. D.-
(2)已知sin=,且0A.- B.
C.- D.
(3)化简sin·cos·tan的结果是 ( )
A.1 B.sin2α
C.-cos2α D.-1
[素养小结]
利用诱导公式求值的关键是利用角的对称、互余、互补等关系进行转化,转化时要关注三角函数和正负号的正确转化.口诀是:奇变偶不变,符号看象限.
提醒:常见的互余关系有-α与+α,+α与-α等;
常见的互补关系有+θ与-θ,+θ与-θ等.
◆ 探究点二 利用诱导公式证明
例2 求证:=-tan α.
变式 求证:+=.
[素养小结]
利用诱导公式证明,关键在于公式的灵活应用,其证明的常用方法有:
(1)从一边开始,使得它等于另一边,一般由繁到简;
(2)左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子;
(3)针对题设与结论间的差异,有针对性地进行变形,从而消除差异.
◆ 探究点三 诱导公式的综合应用
例3 已知f(x)=.
(1)若α∈(0,2π),且f(α)=-,求α的值;
(2)若f(α)-f=,且α∈,求tan α的值.
变式 [2025·成都锦江区高一期末] 在平面直角坐标系中,角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点A,已知f(x)=.
(1)若A的横坐标为-,求f(α)的值;
(2)若f(α)=2,求sin2α-3sin αcos α+1的值.
[素养小结]
在诱导公式的综合应用中要“三看”.
一看角:①化大为小;②看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系.
二看函数名称:一般是弦切互化.
三看式子结构:通过分析式子选择合适的方法,如分式中可对分子、分母同乘一个式子进行变形,然后利用平方差、立方和差公式.
第2课时 诱导公式(二)
【课前预习】
知识点一
1.y=x 2.x=0
知识点二
1.cos α sin α 2.cos α -sin α 锐角
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)× (4)√
[解析] (1)公式五和公式六中的角α可以是任意角.
(2)因为+=,所以由公式五可知sin=cos.
2.解:sin=sin=sin=cos α.
cos=cos=-cos=-sin α.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)A (2) (3)sin α
[解析] (1)因为sin=cos α=,所以cos(α-π)=-cos α=-.故选A.
(2)sin 95°+cos 185°+tan 240°=sin 95°+cos(90°+95°)+tan(180°+60°)=sin 95°-sin 95°+tan 60°=.
(3)原式=+=2sin α-sin α=sin α.
变式 (1)D (2)B (3)C [解析] (1)方法一:因为角α的终边位于第二象限且sin α=,所以cos α=-=-,所以sin=cos α=-.故选D.
方法二:因为角α的终边位于第二象限且sin α=,所以α=+2kπ,k∈Z,所以sin=cos α=cos=cos=cos=-cos=-,k∈Z.故选D.
(2)∵0(3)∵sin=cos α,cos=cos=-sin α,tan==,∴原式=cos α(-sin α)·=-cos2α.故选C.
探究点二
例2 证明:左边====
=-=-tan α=右边,故原等式成立.
变式 证明:左边=+=+===右边,所以原等式成立.
探究点三
例3 解:(1)因为f(x)===sin x,
所以f(α)=sin α=-,
又α∈(0,2π),所以α=或α=.
(2)由题得f(α)-f=sin α-sin=sin α+cos α=,
即sin α=-cos α,所以cos2α+=1,即(5cos α-4)(10cos α+6)=0,解得cos α=或cos α=-.
因为α∈,所以cos α<0,所以cos α=-,则sin α=-cos α=-=,
故tan α==×=-.
变式 解:(1)由题知f(x)===tan x,
若A的横坐标为-,则cos α=-,sin α=±=±.
当cos α=-,sin α=时,f(α)=tan α==-;
当cos α=-,sin α=-时,f(α)=tan α==.
(2)因为f(α)=2,所以tan α=2,
所以sin2α-3sin αcos α+1=+1=+1=+1=-+1=.第2课时 诱导公式(二)
1.[2024·广西柳州高一期末] 计算:cos 120°= ( )
A. B.-
C. D.-
2.已知cos θ=,则sin(450°+θ)的值是 ( )
A. B.-
C.- D.
3.若sin<0,且cos>0,则θ是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
4.[2025·成都棠湖外国语学校高一期中] 已知sin=,则cos= ( )
A. B.
C.- D.-
5.[2025·江苏常州高一期中] 计算:sin-cos+tan= ( )
A. B.1
C. D.-+1
6.(多选题)[2024·河南开封高一期末] 下列与sin θ的值相等的是 ( )
A.sin(3π-θ) B.sin(π+θ)
C.cos D.cos
7.已知sin=,则cos(π+α)的值为 .
8.计算:sin2+sin2= .
9.(13分)(1)已知α为第二象限角,化简.
(2)求证:=-1.
10.已知角θ与φ都是任意角,若满足θ+φ=,则称θ与φ “广义互余”.已知sin(π+α)=-,则下列角β中,可能与角α “广义互余”的是 ( )
A.sin β= B.cos(π-β)=
C.tan β= D.cos(2π-β)=
11.(多选题)[2025·山东桓台二中高一月考] 下列结论正确的有 ( )
A.sin=cos
B.cos+sin=0
C.sin2(15°-α)+cos2(75°+α)=1
D.sin2(15°-α)+sin2(75°+α)=1
12.[2025·江苏徐州一中高一检测] 已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin α= .
13.[2024·上海青浦高级中学高一质检] 已知α为第二象限角,且cos α=-,则= .
14.(15分)[2024·河北保定一中高一期中] 在单位圆中,锐角α的终边与单位圆相交于点P,连接圆心O和P得到射线OP,将射线OP绕点O按逆时针方向旋转θ后与单位圆相交于点B,其中θ∈.
(1)求的值;
(2)记点B的横坐标为f(θ),若f=,求cos+cos的值.
15.已知函数f(x)=acos+btan x+8,若f(-2)=10,则f(2)= .
16.(15分)三角比内容丰富,公式很多.若仔细观察、大胆猜想、科学求证,你也能发现其中的一些奥秘.现有如下两个恒等式:
(1)+=;(2)+=.
根据以上恒等式,请你猜想出一个一般性的结论并证明.(参考公式:sin(45°+α)=sin αcos 45°+cos αsin 45°)
第2课时 诱导公式(二)
1.D [解析] 方法一:cos 120°=cos(90°+30°)=-sin 30°=-.故选D.
方法二:cos 120°=cos(180°-60°)=-cos 60°=-.故选D.
2.A [解析] sin(450°+θ)=sin(90°+θ)=cos θ=.故选A.
3.B [解析] 因为sin=cos θ<0,cos=sin θ>0,所以θ是第二象限角,故选B.
4.B [解析] 因为sin=,所以cos=sin=sin=.故选B.
5.A [解析] sin-cos+tan=sin-cos+tan=sin-cos+tan=-sin+sin+=-sin+sin+=-++=.故选A.
6.AD [解析] sin(3π-θ)=sin θ,故A正确;sin(π+θ)=-sin θ,故B错误;cos=-sin θ,故C错误;cos=sin θ,故D正确.故选AD.
7.- [解析] 由题得sin=cos α=,则cos(π+α)=-cos α=-.
8.1 [解析] sin2+sin2=sin2+sin2=sin2+cos2=1.
9.解:(1)原式====,因为α为第二象限角,
所以sin α>0,cos α<0,
所以sin α-cos α>0,
故原式==-1.
(2)证明:左边====-1,右边=-1,
所以左边=右边,所以原等式成立.
10.D [解析] sin(π+α)=-sin α=-,则sin α=,若β=-α,则cos β=sin α=,sin β=cos α=±,tan β=±,故A,C错误;对于B,若cos(π-β)=-cos β=,则cos β=-,故B错误;对于D,若cos(2π-β)=,则cos β=,故D正确.故选D.
11.ABD [解析] 对于A,sin=sin=cos=cos,故A正确;对于B,因为cos=cos=-sin=-sin =-sin,所以cos+sin=0,故B正确;对于C,sin(15°-α)=sin[90°-(75°+α)]=cos(75°+α),所以sin2(15°-α)+cos2(75°+α)=2cos2(75°+α)≠1,故C错误;对于D,由C选项知sin2(15°-α)+sin2(75°+α)=cos2(75°+α)+sin2(75°+α)=1,故D正确.故选ABD.
12. [解析] 由2tan(π-α)-3cos+5=0,可得-2tan α+3sin β+5=0,即2tan α-3sin β-5=0①.由tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,可得tan α-6sin β-1=0②.①×2-②得3tan α-9=0,∴tan α=3,即=3.∵sin2α+cos2α=1,∴sin2α=,又α为锐角,∴sin α=.
13. [解析] 因为cos α=-,α为第二象限角,
所以sin α==,所以=
==
=sin α=.
14.解:(1)由点P在单位圆上,且α是锐角,可得m=,所以cos α=,所以=
=2cos α=1.
(2)由(1)可知cos α=,且α为锐角,所以α=,
根据三角函数的定义可得f(θ)=cos,
因为f=cos=>0,且θ∈,
所以θ+∈,所以sin=,
所以cos+cos=cos +cos=sin-cos=.
15.6 [解析] 由题意得f(x)=acos+btan x+8=-asin x+btan x+8,则f(-2)=10=-asin(-2)+btan(-2)+8=asin 2-btan 2-8+16=-(-asin 2+btan 2+8)+16=-f(2)+16,解得f(2)=6.
16.解:猜想+=.
证明:由诱导公式可得cos(90°-α)=sin α,sin(135°-α)=sin(45°+α),所以+===.(共61张PPT)
5.3 诱导公式
第2课时 诱导公式（二）
探究点一 利用诱导公式化简求值
探究点二 利用诱导公式证明
探究点三 诱导公式的综合应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.在诱导公式二~四的基础上,掌握诱导公式五~六的推导过程.
2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题.
知识点一 特殊角终边的对称性
1.角 的终边与角 的终边关于直线______对称,如图所示.
2.角 的终边与角 的终边关于直线______对称.
知识点二 诱导公式
1.公式五
______, ______.
2.公式六
______, _______.
公式五和公式六可以概括为 的正弦（余弦）函数值,分别等于
的余弦（正弦）函数值,前面加上一个把 看成______时原函数值的
符号.
锐角
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）公式五和公式六中的角 一定是锐角.( )
×
[解析] 公式五和公式六中的角 可以是任意角.
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）在中， .( )
√
[解析] 因为，所以由公式五可知 .
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）若 为第二象限角，则 .( )
×
（4）若,则 .( )
√
2.如何由公式四及公式五推导公式六？
解： .
知识点三 诱导公式的本质
所谓三角函数的诱导公式,就是将角 的三角函
数转化为角 的三角函数.
探究点一 利用诱导公式化简求值
例1（1）已知，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 .
故选A.
√
（2） ____.
[解析] .
（3）化简： ______.
[解析] 原式 .
变式（1）若角 的终边位于第二象限，且 ，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：因为角 的终边位于第二象限且 ，
所以，所以 .
故选D.
方法二：因为角 的终边位于第二象限且 ，
所以 ,，
所以
， .
故选D.
（2）已知，且，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] ，,
又 ， ,
.
故选B.
√
（3）化简 的结果是( )
A.1 B. C. D.
[解析] ，
，
,
原式
故选C.
√
［素养小结］
利用诱导公式求值的关键是利用角的对称、互余、互补等关系进行
转化，转化时要关注三角函数和正负号的正确转化.口诀是：奇变偶
不变，符号看象限.
提醒：常见的互余关系有 与 ， 与 等；
常见的互补关系有 与 ， 与 等.
探究点二 利用诱导公式证明
例2 求证：
.
证明:左边
右边，故原等式成立.
变式 求证： .
证明：左边 右边，
所以原等式成立.
［素养小结］
利用诱导公式证明，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：
（1）从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简；
（2）左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；
（3）针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，从而消除差异.
探究点三 诱导公式的综合应用
例3 已知 .
（1）若，且，求 的值；
解：因为
，
所以 ，
又，所以或 .
例3 已知 .
（2）若，且，求 的值.
解：由题得 ，
即 ，所以 ，
即，解得或 .
因为，所以，所以 ，
则 ，
故 .
变式 ［2025·成都锦江区高一期末］ 在平面直角坐标系中，角 的
始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 ，已知
.
（1）若的横坐标为，求 的值；
解：由题知 ，
若的横坐标为，则, .
当,时， ；
当,时， .
变式 ［2025·成都锦江区高一期末］ 在平面直角坐标系中，角 的
始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 ，已知
.
（2）若，求 的值.
解：因为，所以 ，
所以 .
［素养小结］
在诱导公式的综合应用中要“三看”.
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分
析两角的关系.
二看函数名称：一般是弦切互化.
三看式子结构：通过分析式子选择合适的方法，如分式中可对分子、
分母同乘一个式子进行变形，然后利用平方差、立方和差公式.
1.诱导公式五和六可用口诀“函数名改变,符号看象限”记忆,“函数名改
变”是指正弦变余弦,余弦变正弦,“符号看象限”是指把 看成锐角时
等式左边三角函数值的符号.
2.利用诱导公式可在三角函数的变形过程中进行角的转化.在求任意
角的过程中，一般先把负角转化为正角，正角转化为 范围内
的角，再将这个范围内大于 的角转化为锐角.也就是“负化正，大化
小，化到锐角再查表（特殊角的三角函数值表）”.
1.利用诱导公式与角的变换求值
例1（1）已知，若，则 __.
[解析] 由 ，
可得 ，
又因为，所以 ，
所以 .
（2）已知 ，则 ____.
[解析] 因为 ，
所以 .
2.利用诱导公式与同角三角函数的基本关系求值
例2 ［2024·山东德州高一期末］已知 .
（1）求 的值；
解：由解得或
由得或 .
（2）若，求 的值.
解：因为，所以 ，
所以 .
例3 ［2025·黑龙江大庆一中高一月考］已知，且 为
第三象限角.
（1）求 ， 的值；
解：因为，，所以，
又 为第三象限角，所以，所以 .
例3 ［2025·黑龙江大庆一中高一月考］已知，且 为
第三象限角.
（2）求 的值.
解： .
练习册
1.［2024·广西柳州高一期末］计算： ( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一： .故选D.
方法二： .故选D.
√
2.已知，则 的值是( )
A. B. C. D.
[解析] .故选A.
√
3.若，且，则 是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
[解析] 因为，，
所以 是第二象限角，故选B.
√
4.［2025·成都棠湖外国语学校高一期中］已知 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，
所以 .
故选B.
√
5.［2025·江苏常州高一期中］计算：
( )
A. B.1 C. D.
[解析]
.
故选A.
√
6.（多选题）［2024·河南开封高一期末］ 下列与 的值相等的
是( )
A. B.
C. D.
[解析] 故A正确； ,故B错误；
,故C错误； ,故D正确.
故选 .
√
√
7.已知，则 的值为____.
[解析] 由题得，则 .
8.计算： ___.
1
[解析] .
9.（13分）
（1）已知 为第二象限角，化简 .
解：原式
，
因为 为第二象限角，
所以， ，所以 ，
故原式 .
9.（13分）
（2）求证： .
证明：左边 ，
右边 ，
所以左边 右边，所以原等式成立．
10.已知角 与 都是任意角，若满足，则称 与 “广义
互余”．已知，则下列角 中，可能与角 “广义互
余”的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] ,则,
若 ,则,, ,
故A,C错误;
对于B,若,则 ,故B错误;
对于D,若,则 ,故D正确．
故选D.
11.（多选题）［2025·山东桓台二中高一月考］ 下列结论正确的
有( )
A.
B.
C.
D.
√
√
√
[解析] 对于A, ,
故A正确；
对于B,因为
,
所以 ,故B正确；
对于C, ,
所以 ,故C错误；
对于D,由C选项知
,
故D正确.
故选 .
12.［2025·江苏徐州一中高一检测］已知 为锐角,且
,
，则 _____.
[解析] 由 ，
可得，即 .
由 ，可得
得， ，即
，，
又 为锐角， .
13.［2024·上海青浦高级中学高一质检］已知 为第二象限角，且
，则 ____.
[解析] 因为， 为第二象限角，
所以 ，
所以
.
14.（15分）［2024·河北保定一中高一期中］ 在单位圆中，锐角
的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线 ，将
射线绕点按逆时针方向旋转 后与单位圆相交于点 ，其中
.
（1）求 的值；
解：由点在单位圆上，且 是锐角，可得，所以 ，
所以
.
14.（15分）［2024·河北保定一中高一期中］ 在单位圆中，锐角
的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线 ，将
射线绕点按逆时针方向旋转 后与单位圆相交于点 ，其中
.
（2）记点的横坐标为，若 ，求
的值.
解：由（1）可知，且 为锐角，所以 ，
根据三角函数的定义可得 ，
因为，且 ，
所以，所以 ，
所以 .
15.已知函数，若 ，则
___.
6
[解析] 由题意得，
则，
解得 .
16.（15分）三角比内容丰富，公式很多．若仔细观察、大胆猜想、
科学求证，你也能发现其中的一些奥秘．现有如下两个恒等式：
（1）；（2） ．
根据以上恒等式，请你猜想出一个一般性的结论并证明．
(参考公式： )
解：猜想 .
证明：由诱导公式可得 ,
，
所以 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1. 2.
知识点二 1. 2. 锐角
【诊断分析】 1.（1）× （2）√ （3）× （4）√
2. m>，
课中探究 探究点一 例1（1）A （2） （3） 变式（1）D（2）B（3）C
探究点二 例2 证明略 变式 证明略
探究点三 例3（1）或（2） 变式 （1）（2）
快速核答案（练习册）
1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.AD
7. 8.1 9.（1）（2）证明略
10.D 11.ABD 12. 13.
14.（1）1（2） 15.6
16. 猜想，证明略
