1.3电磁感应定律的应用 学案 (4)

1.3电磁感应定律的应用
学案
[目标定位]　1.进一步理解公式E＝n与E＝Blv的区别与联系，能够应用两个公式求解感应电动势.2.利用法拉第电磁感应定律解决转动问题和电荷量问题．
1．法拉第电磁感应定律
(1)内容：电路中感应电动势的大小与穿过这一电路的磁通量变化率成正比．
(2)公式：E＝n，E的大小与Φ、ΔΦ无关(填“有关”或“无关”)
2．导体切割磁感线时的感应电动势
(1)导体的运动方向与导体本身垂直，且与磁感线夹角为α时，E＝Blvsin_α.
(2)磁感应强度B、导线l、速度v三者两两垂直时，E＝Blv.
其中l指切割磁感线的有效长度．
3．在磁通量发生变化时，若电路闭合有感应电流，若电路不闭合无感应电流，但有感应电动势(填“有”或“无”)．产生感应电动势的导体相当于电源．
一、公式E＝n与E＝Blv的区别与联系
E＝n
E＝Blv
区别
一般求平均感应电动势，E与某段时间或某个过程相对应
一般求瞬时感应电动势，E与某个时刻或某个位置相对应
研究对象为整个回路
研究对象为切割磁感线的导体
计算由于B、S变化引起的感应电动势较方便
计算导体切割磁感线所产生的感应电动势较方便
联系
两公式是统一的，当Δt―→0时，E为瞬时感应电动势，而公式E＝Blv中的速度如果是平均速度，则求出的感应电动势为平均感应电动势
例1　如图1所示，空间存在方向竖直向下的磁场，MN、PQ是水平放置的平行长直导轨，其间距L＝0.2
m．额定电压为2
V的小灯泡接在导轨一端，
ab是跨接在导轨上内阻不计的导体棒，开始时ab与NQ的距离为0.2
m.
图1
(1)若导体棒固定不动，要使小灯泡正常发光，磁感应强度随时间的变化率是多大？
(2)若磁感应强度保持B＝2
T不变，ab匀速向左运动，要使小灯泡正常发光，ab切割磁感线的速度是多大？
答案　(1)50
T/s　(2)5
m/s
解析　由于ab电阻不计，所以小灯泡两端的电压即为电动势，E＝UL＝2
V.
(1)由E＝·S得：＝＝
T/s＝50
T/s
(2)由E＝BLv得：v＝＝
m/s＝5
m/s
二、导体切割磁感线—转动问题分析
如图2所示，长为l的金属棒ab在磁感应强度为B的匀强磁场中以角速度ω绕b点匀速转动，则ab两端电动势的大小E＝Bl2ω(推导见下面例2)．
图2
例2　长为l的金属棒ab以a点为轴，在垂直于匀强磁场的平面内以角速度ω做匀速转动，如图3所示，磁感应强度为B，求：
图3
(1)ab棒各点速率的平均值；
(2)ab两端的电势差；
(3)经时间Δt金属棒ab所扫过面积中磁通量为多少？此过程中平均感应电动势多大？
答案　(1)ωl　(2)Bl2ω　(3)Bl2ωΔt　Bl2ω
解析　(1)ab棒各点的平均速率
＝＝＝ωl
(2)ab两端的电势差：E＝Bl＝Bl2ω
(3)经时间Δt金属棒ab所扫过的扇形面积为ΔS，则：
ΔS＝l2θ＝l2ωΔt，ΔΦ＝BΔS＝Bl2ωΔt.
由法拉第电磁感应定律得：
E＝＝＝Bl2ω.
三、电磁感应中的电荷量问题
设感应电动势的平均值为，则在Δt时间内：＝n，＝，又q＝Δt，所以q＝n.其中ΔΦ对应某过程磁通量的变化，R为回路的总电阻，n为电路的匝数．
注意：求解电路中通过的电荷量时，一定要用平均感应电动势和平均感应电流计算．
例3　如图4甲所示，有一面积为S＝100
cm2的金属环，电阻为R＝0.1
Ω，环中磁场的变化规律如图乙所示，且磁场方向垂直纸面向里，在t1到t2时间内，通过金属环某横截面的电荷量是多少？
图4
答案　0.01
C
解析　由法拉第电磁感应定律知金属环中产生的感应电动势E＝n，由闭合电路的欧姆定律知金属环中的感应电流为I＝.通过金属环截面的电荷量q＝I·Δt＝＝
C＝0.01
C.
例4　如图5所示，将直径为d，电阻为R的闭合金属环从匀强磁场B中拉出，求这一过程中：
图5
(1)磁通量的改变量；
(2)通过金属环某一截面的电量．
答案　(1)　(2)
解析　(1)由已知条件得金属环的面积
S＝π2＝，磁通量的改变量ΔΦ＝BS＝.
(2)由法拉第电磁感应定律＝，又因为＝，q＝t，所以q＝＝.
公式E＝n和E＝Blv的应用
1．穿过某线圈的磁通量随时间变化的关系，如图6所示，在下列几段时间内，线圈中感应电动势最小的是(　　)
图6
A．0～2
s
　B．2～4
s
C．4～5
s
　D．5～10
s
答案　D
解析　由公式E＝n结合图象可知：0～2
s内E＝2.5
V；2～5
s内E＝5
V；5～10
s内E＝1
V，电动势最小．
2．如图7所示，一导线弯成半径为a的半圆形闭合回路．虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面．回路以速度v向右匀速进入磁场，直径CD始终与MN垂直．从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，下列结论正确的是(　　)
图7
A．半圆形段导线不受安培力
B．CD段直导线始终不受安培力
C．感应电动势最大值Em＝Bav
D．感应电动势平均值＝πBav
答案　CD
解析　由F＝BIl可知，当垂直磁感线方向放置的导线中有电流时，导线受到安培力的作用，选项A、B错误；感应电动势最大值即切割磁感线有效长度最大时的电动势，故Em＝Bav，C正确；＝，ΔΦ＝B·πa2，Δt＝，由上式得＝πBav，D正确．
导体转动切割产生的电动势
3．如图8所示，导体AB的长为2R，绕O点以角速度ω匀速转动，OB为R，且OBA三点在一条直线上，有一磁感应强度为B的匀强磁场充满转动平面且与转动平面垂直，那么A、B两端的电势差为(　　)
图8
A.BωR2
B．2BωR2
C．4BωR2
D．6BωR2
答案　C
解析　A点线速度vA＝3ωR，B点线速度vB＝ωR，AB棒切割磁感线的平均速度＝＝2ωR，由E＝Blv得A、B两端的电势差为4BωR2，C项正确．
电磁感应中电荷量的计算
4．物理实验中，常用一种叫“冲击电流计”的仪器测定通过电路的电荷．如图9所示，探测线圈与冲击电流计串联后，可用来测定磁场的磁感应强度．已知线圈的匝数为n，面积为S，线圈与冲击电流计组成的回路电阻为R，若将线圈放在被测匀强磁场中，开始时线圈平面与磁场垂直，现把探测线圈翻转90°，冲击电流计测出通过线圈的电荷量为q，则被测磁场的磁感应强度为(　　)
图9
A.
B.
C.
D.
答案　B
解析　探究线圈翻转90°的过程中，磁通量的变化ΔΦ＝BS，由法拉第电磁感应定律
＝n，由＝，q＝Δt
可得，q＝＝，所以B＝.
(时间：60分钟)
题组一　公式E＝n和E＝Blv的应用
1．在匀强磁场中，有一个接有电容器的导线回路，如图1所示，已知电容C＝30
μF，回路的宽和长分别为l1＝5
cm，l2＝8
cm，磁场变化率为5×10－2
T/s，则(　　)
图1
A．电容器带电荷量为2×10－9
C
B．电容器带电荷量为4×10－9
C
C．电容器带电荷量为6×10－9
C
D．电容器带电荷量为8×10－9
C
答案　C
解析　回路中感应电动势等于电容器两板间的电压，U＝E＝＝·l1l2＝5×10－2×0.05×0.08
V＝2×10－4
V．电容器的电荷量为q＝CU＝CE＝30×10－6×2×10－4
C＝6×10－9
C，C选项正确．
2．如图2，在磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，金属杆MN在平行金属导轨上以速度v向右匀速滑动，MN中产生的感应电动势为E1；若磁感应强度增为2B，其他条件不变，MN中产生的感应电动势变为E2.则E1与E2之比为(　　)
图2
A．1∶1
B．2∶1
C．1∶2
D．1∶3
答案　C
解析　根据电磁感应定律E＝Blv，其他条件不变，所以电动势变为2倍，所以C正确．
3．如图3所示，平行导轨间有一矩形的匀强磁场区域，细金属棒PQ沿导轨从MN处匀速运动到M′N′的过程中，棒上感应电动势E随时间t变化的图象，可能正确的是(　　)
图3
答案　A
解析　导线做匀速直线运动切割磁感线时，E＝Blv，是常数．金属棒只有进入磁场中才切割磁感线，一开始没有切割，最后一段也没有切割，没有电动势，只有中间过程切割磁感线，才有感应电动势，而且由于是匀速切割，故产生的感应电动势为定值．故A选项正确．
4．如图4所示，匝数N＝100匝、截面积S＝0.2
m2、电阻r＝0.5
Ω的圆形线圈MN处于垂直纸面向里的匀强磁场内，磁感应强度随时间按B＝0.6＋0.02t(T)的规律变化．处于磁场外的电阻R1＝3.5
Ω，R2＝6
Ω，闭合S后，求：
图4
(1)线圈中的感应电动势E和感应电流I；
(2)电阻R2消耗的电功率．
答案　(1)0.4
V　0.04
A　(2)9.6×10－3
W
解析　(1)线圈中磁感应强度的变化率＝0.02
T/s
根据法拉第电磁感应定律，线圈中感应电动势大小为
E＝N＝N·S＝0.4
V
由闭合电路欧姆定律得，感应电流
I＝＝＝0.04
A
(2)电阻R2消耗的电功率P2＝I2R2＝9.6×10－3
W.
题组二　导体杆转动切割产生的电动势
5．如图5所示，半径为r的金属圆盘在垂直于盘面的磁感应强度为B的匀强磁场中，绕O轴以角速度ω沿逆时针方向匀速转动，则通过电阻R的电流的大小是(金属圆盘的电阻不计)(　　)
图5
A．I＝
B．I＝
C．I＝
D．I＝
答案　C
解析　金属圆盘在匀强磁场中匀速转动，可以等效为无数根长为r的导体棒绕O点做匀速圆周运动，其产生的感应电动势大小为E＝Br2ω，故通过电阻R的电流I＝，故选C.
6．如图6所示，均匀磁场中有一由半圆弧及其直径构成的导线框，半圆直径与磁场边缘重合；磁场方向垂直于半圆面(纸面)向里，磁感应强度大小为B0.使该线框从静止开始绕过圆心O、垂直于半圆面的轴以角速度ω匀速转动半周，在线框中产生感应电流．现使线框保持图中所示位置，磁感应强度大小随时间线性变化．为了产生与线框转动半周过程中同样大小的电流，磁感应强度随时间的变化率的大小应为(　　)
图6
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　设圆的半径为L，电阻为R，当线框以角速度ω匀速转动时产生的感应电动势E1＝B0ωL2.当线框不动，而磁感应强度随时间变化时E2＝πL2，由＝得B0ωL2＝πL2，即＝，故C项正确．
题组三　电磁感应中电荷量的计算
7．将一磁铁缓慢或迅速地插到闭合线圈中同样位置处，不发生变化的物理量有(　　)
A．磁通量的变化量
B．磁通量的变化率
C．感应电流的大小
D．流过导体横截面的电荷量
答案　AD
解析　插到闭合线圈中同样位置，磁通量的变化量相同，但用时不同，磁通量的变化率不同，由I感＝＝可知，I感不同，流过导体的横截面的电荷量q＝·Δt＝·Δt＝Δt＝，因ΔΦ、R不变，所以q与磁铁插入线圈的快慢无关．
8．如图7所示，将一半径为r的金属圆环在垂直于环面的磁感应强度为B的匀强磁场中用力握中间成“8”字型，并使上、下两圆半径相等．如果环的电阻为R，则此过程中流过环的电荷量为(　　)
图7
A.
B.
C．0
D.
答案　B
解析　通过环横截面的电荷量只与磁通量的变化量和环的电阻有关，与时间等其他量无关，因此，ΔΦ＝Bπr2－2×Bπ()2＝Bπr2，电荷量q＝＝.
9．如图8所示，空间存在垂直于纸面的匀强磁场，在半径为a的圆形区域内部及外部，磁场方向相反，磁感应强度的大小均为B.一半径为b(b＞a)，电阻为R的圆形导线环放置在纸面内，其圆心与圆形区域的中心重合．当内、外磁场同时由B均匀地减小到零的过程中，通过导线截面的电荷量为(　　)
图8
A.
B.
C.
D.
答案　A
解析　开始时穿过导线环向里的磁通量设为正值，Φ1＝Bπa2，则向外的磁通量为负值，Φ2＝－B·π(b2－a2)，总的磁通量为它们的代数和(取绝对值)Φ＝B·π|b2－2a2|，末态总的磁通量为Φ′＝0，由法拉第电磁感应定律得平均感应电动势为E＝，通过导线截面的电荷量为q＝·Δt＝，A项正确．
10．如图9所示，将一条形磁铁插入某一闭合线圈，第一次用时0.05
s，第二次用时0.1
s，设插入方式相同，试求：
图9
(1)两次线圈中平均感应电动势之比？
(2)两次线圈中电流之比？
(3)两次通过线圈的电荷量之比？
答案　(1)2∶1　(2)2∶1　(3)1∶1
解析　(1)由感应电动势E＝n得
＝·＝＝.
(2)由闭合电路欧姆定律I＝得
＝·＝＝.
(3)由电荷量q＝It及E＝n得q＝，故＝.
11．如图10甲所示，一个电阻值为R、匝数为n的圆形金属线圈与阻值为2R的电阻R1连接成闭合回路．线圈的半径为r1.在线圈中半径为r2的圆形区域存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图乙所示．图线与横、纵轴的截距分别为t0和B0，导线的电阻不计．求0至t1时间内：
(1)通过电阻R1的电流大小；
(2)通过电阻R1的电荷量q.
图10
答案　(1)
(2)
解析　(1)由图象分析可知，0至t1时间内
＝，
由法拉第电磁感应定律有
E＝n＝n·S，而S＝πr
由闭合电路欧姆定律有I1＝
联立以上各式解得通过电阻R1上的电流大小为I1＝.
(2)通过电阻R1的电荷量
q＝I1t1＝.