5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性与奇偶性
【学习目标】
1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义.
2.会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期.
3.掌握y=sin x,y=cos x的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性.
◆ 知识点一 正弦函数、余弦函数的周期性
1.周期函数与周期
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个 常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且 =f(x) ,那么函数f(x)就叫作周期函数.非零常数T叫作这个函数的周期.
2.最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的 ,那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期.
3.两种特殊的周期函数
(1)正弦函数y=sin x是周期函数, 都是它的周期,最小正周期是 .
(2)余弦函数y=cos x是周期函数, 都是它的周期,最小正周期是 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果T是y=f(x)的一个周期,那么kT(k∈N)也是它的周期. ( )
(2)所有的周期函数都有最小正周期. ( )
(3)因为sin(2x+2π)=sin 2x,所以函数y=sin 2x的最小正周期为2π. ( )
◆ 知识点二 正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性
1.正弦曲线关于 对称,正弦函数y=sin x是 函数.
2.余弦曲线关于 对称,余弦函数y=cos x是 函数.
3.正、余弦曲线既是轴对称图形又是中心对称图形.
函数 y=sin x y=cos x
图象
对称性 对称轴: 对称中心: 对称轴: 对称中心:
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=sin x,x∈(-π,π]是奇函数. ( )
(2)函数f(x)=sin 2x是奇函数. ( )
(3)函数f(x)=sin是偶函数. ( )
2.已知函数f(x)=cos,则其图象的对称中心的坐标是 ,对称轴方程是 .
◆ 探究点一 三角函数的周期性
例1 求下列函数的最小正周期,其中x∈R.
(1)f(x)=2sin x;
(2)f(x)=1-2cosx;
(3)f(x)=2sin;
(4)f(x)=|sin x|.
变式 (1)(多选题)下列函数中,最小正周期为π的是 ( )
A.y=sin x B.y=|cos x|
C.y=sin D.y=cos 2x-1
(2)函数y=cos(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值为 .
[素养小结]
求函数最小正周期的方法:
(1)公式法:对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常数,且A≠0,ω>0)的函数,可利用T=来求函数的最小正周期.
(2)图象法:画出函数的图象,借助于图象得到函数的最小正周期,特别是对于含绝对值的函数一般采用此法.
◆ 探究点二 三角函数的奇偶性与对称性
例2 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=sin 2x;
(2)f(x)=sin;
(3)f(x)=xcos(π+x);
(4)f(x)=sin(cos x).
变式 给出下列函数:①f(x)=;②g(x)=x2sin;③h(x)=cos+x2sin x;④m(x)=+.其中为奇函数的是 ,为偶函数的是 ,既是奇函数又是偶函数的是 ,为非奇非偶函数的是 .(填序号)
例3 求下列函数的图象的对称轴和对称中心.
(1)f(x)=sin;
(2)g(x)=2cos+1.
变式 (1)函数f(x)=2sin的图象距y轴最近的对称轴的方程是 ( )
A.x=- B.x=
C.x=- D.x=
(2)已知函数f(x)=cos(2x+φ)(x∈R)的图象关于点中心对称,则|φ|的最小值为 .
[素养小结]
(1)与三角函数相关的奇偶性问题,往往需要先利用诱导公式化简,再判断函数的奇偶性.
(2)判断函数的奇偶性时要注意:函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.
◆ 探究点三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
例4 (1)下列函数中,是奇函数且最小正周期是π的是 ( )
A.y=cos|2x|
B.y=|sin 2x|
C.y=sin
D.y=cos
(2)[2024·上海晋元高级中学高一月考] 定义在R上的函数y=f(x)既是偶函数又是周期函数,y=f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f(x)=sin x,则f的值为 .
变式 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)为偶函数,其中ω>0,0<φ<π,若函数f(x)的最小正周期为π,则cos= .
[素养小结]
1.解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法:利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值.利用奇偶性,可以找到-x与x的函数值的关系,从而可解决求值问题.
2.推得函数周期的若干形式:
(1)若f(x+t)=f(x)(t>0),则函数周期为t;
(2)若f(x+t)=-f(x)(t>0),则函数周期为2t;
(3)若f(x+t)=(f(x)≠0且t>0),则函数周期为2t;
(4)若f(x+t)=-(f(x)≠0且t>0),则函数周期为2t.
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性与奇偶性
【课前预习】
知识点一
1.非零 f(x+T) 2.正数
3.(1)2kπ(k∈Z且k≠0) 2π
(2)2kπ(k∈Z且k≠0) 2π
诊断分析
(1)× (2)× (3)× [解析] (1)当k=0时,kT不是y=f(x)的周期.
(2)如f(x)=c(c为常数,x∈R),所有的非零实数T都是它的周期,不存在最小正周期.
(3)因为sin 2x=sin(2x+2π)=sin[2(x+π)],所以函数y=sin 2x的最小正周期为π.
知识点二
1.原点O 奇 2.y轴 偶
3.x=kπ+(k∈Z) (kπ,0)(k∈Z)
x=kπ(k∈Z) (k∈Z)
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)函数y=sin x,x∈(-π,π]不具有奇偶性.
2.,k∈Z x=2kπ-,k∈Z [解析] 令+=kπ+,k∈Z,得x=2kπ+,k∈Z,故f(x)图象的对称中心的坐标是,k∈Z.令 +=kπ,k∈Z,得x=2kπ-,k∈Z,故f(x)图象的对称轴的方程是x=2kπ-,k∈Z.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)f(x)=2sin x的最小正周期T=2π.
(2)f(x)=1-2cosx的最小正周期T==4.
(3)f(x)=2sin的最小正周期T==6π.
(4)作出f(x)=|sin x|的大致图象如图,由图可知f(x)=|sin x|的最小正周期为π.
变式 (1)BCD (2)13 [解析] (1)对于A,函数y=sin x的最小正周期为2π;对于B,由函数y=|cos x|的图象,可知函数y=|cos x|的最小正周期为π;对于C,函数y=sin的最小正周期为=π;对于D,函数y=cos 2x-1的最小正周期为=π.故选BCD.
(2)因为k>0,所以最小正周期T=≤2,解得k≥4π,故正整数k的最小值是13.
探究点二
例2 解:(1)f(x)=sin 2x的定义域为R,因为f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(2)f(x)=sin=-cos的定义域为R,因为f(-x)=-cos=-cos=f(x),所以f(x)为偶函数.
(3)f(x)=xcos(π+x)=-xcos x的定义域为R,因为f(-x)=xcos(-x)=xcos x=-f(x),所以f(x)为奇函数.
(4)f(x)=sin(cos x)的定义域为R,
因为f(-x)=sin[cos(-x)]=sin(cos x)=f(x),所以f(x)为偶函数.
变式 ③ ② ④ ① [解析] 对于①,函数f(x)的定义域为,不关于原点对称,所以函数f(x)为非奇非偶函数;对于②,g(x)=x2sin=x2cos x的定义域为R,因为g(-x)=(-x)2cos(-x)=x2cos x=g(x),所以函数g(x)为偶函数;对于③,h(x)=cos+x2sin x=sin 2x+x2sin x的定义域为R,因为h(-x)=sin(-2x)+(-x)2sin(-x)=-(sin 2x+x2sin x)=-h(x),所以函数h(x)为奇函数;对于④,由
解得cos x=,所以m(x)=0,x=2kπ±,k∈Z,易知m(x)的图象既关于原点对称,又关于y轴对称,所以函数m(x)既是奇函数又是偶函数.
例3 解:(1)令2x+=+kπ,k∈Z,解得x=+,k∈Z,
所以函数f(x)的图象的对称轴方程为x=+,k∈Z.
令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z,
所以函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.
(2)令-=kπ,k∈Z,解得x=2kπ+,k∈Z,
所以函数g(x)的图象的对称轴方程为x=2kπ+,k∈Z.
令-=+kπ,k∈Z,解得x=2kπ+,k∈Z,
所以函数g(x)的图象的对称中心为,k∈Z.
变式 (1)B (2) [解析] (1)令2x+=+kπ,k∈Z,解得x=+,k∈Z.当k=0时,f(x)图象的对称轴方程为x=;当k=-1时,f(x)图象的对称轴方程为x=-.因为>,所以距y轴最近的对称轴的方程是x=.故选B.
(2)因为函数f(x)=cos(2x+φ)(x∈R)的图象关于点中心对称,所以2×+φ=+kπ,k∈Z,解得φ=-+kπ,k∈Z,则当k=1时,|φ|取得最小值.
探究点三
例4 (1)D (2) [解析] (1)对于选项A,令f1(x)=cos|2x|,该函数的定义域为R,f1(-x)=cos|-2x|=cos|2x|=f1(x),该函数为偶函数,不符合题意;对于选项B,令f2(x)=|sin 2x|,该函数的定义域为R,f2(-x)=|-sin 2x|=|sin 2x|=f2(x),该函数为偶函数,不符合题意;对于选项C,令f3(x)=sin=cos 2x,该函数的定义域为R,f3(-x)=cos(-2x)=cos 2x=f3(x),该函数为偶函数,不符合题意;对于选项D,令f4(x)=cos=-sin 2x,该函数的定义域为R,f4(-x)=-sin(-2x)=sin 2x=-f4(x),该函数为奇函数,且最小正周期T==π,符合题意.故选D.
(2)由题意可得f=f=f=sin=.
变式 - [解析] 因为函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为π,所以ω==2,可得函数f(x)=2sin(2x+φ),又函数f(x)=2sin(2x+φ)为偶函数,所以φ=+kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=,故cos=cos=-cos=-.5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性与奇偶性
1.函数y=sin的最小正周期是 ( )
A. B.π
C.2π D.4π
2.函数f(x)=3cos的图象的一条对称轴方程是 ( )
A.x=- B.x=
C. x= D.x=
3.函数f(x)=2cos 2是 ( )
A.最小正周期为2π的奇函数
B.最小正周期为2π的偶函数
C.最小正周期为π的奇函数
D.最小正周期为π的偶函数
4.已知函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于点中心对称,则φ= ( )
A. B. C. D.
5.函数y=xsin x的部分图象是 ( )
A B C D
6.(多选题)下列函数中,最小正周期为π且为奇函数的是 ( )
A.y=sin B.y=sin 2x
C.y=cos D.y=cos
7.[2025·江苏盐城五校高一联考] 已知k>0,函数y=sin的最小正周期是π,则k的值为 .
8.已知奇函数f(x)满足f=f(x),当x∈时,f(x)=cos x,则f的值为 .
9.(13分)(1)求下列函数的最小正周期.
①f(x)=cos;②f(x)=|sin x|.
(2)判断下列函数的奇偶性.
①f(x)=cos+x2sin x;②f(x)=sin.
10.若函数f(x)=cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为,则f的值为 ( )
A. - B.
C.1 D.0
11.(多选题)已知函数f(x)=3sin,则 ( )
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)的图象关于点对称
C.函数f(x)的图象关于直线x=对称
D.函数y=f为奇函数
12.函数y=的最小正周期为 .
13.[2024·河北秦皇岛高一期中] 定义在R上的函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x∈时,f(x)=sin x,则f+f的值为 .
14.(15分)已知函数y=sin x+|sin x|,x∈R.
(1)画出函数的简图.
(2)此函数是周期函数吗 若是,求其最小正周期.
15.(多选题)已知函数f(x)=sin ωx在上恰有4个零点,则正整数ω的值为 ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
16.(15分)已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,g(x)=f(x+φ),|φ|<.
(1)求ω的值及f(x)的图象的对称中心与对称轴;
(2)若g(x)是奇函数,求φ的值.
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性与奇偶性
1.D [解析] 函数y=sin的最小正周期T==4π.故选D.
2.B [解析] 对于函数f(x)=3cos,令2x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,所以f(x)图象的对称轴方程为 x=+,k∈Z,故选B.
3.C [解析] 因为f(x)=2cos=-2sin 2x,所以f(x)的最小正周期T==π.f(x)的定义域为R,因为f(-x)=-2sin 2(-x)=2sin 2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,故f(x)是最小正周期为π的奇函数.故选C.
4.C [解析] 因为函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于点中心对称,所以2·+φ=kπ,k∈Z,得φ=kπ-,k∈Z,又|φ|<,所以k=1,φ=.故选C.
5.A [解析] 令f(x)=xsin x,则其定义域为R,因为f(-x)=(-x)sin(-x)=xsin x=f(x),所以f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,排除B,D.函数f(x)在(0,π)上的函数值为正,排除C.故选A.
6.BD [解析] 对于A,函数y=sin=-cos x的最小正周期为2π,所以A不满足题意;对于B,函数y=sin 2x是奇函数,且最小正周期为π,所以B满足题意;对于C,函数y=cos=sin x的最小正周期为2π,所以C不满足题意;对于D,函数y=cos=-sin 2x是奇函数,且最小正周期为π,所以D满足题意.故选BD.
7.2 [解析] 根据题意得π=,解得k=2.
8.- [解析] ∵f=f(x),∴f=f=f=-f=-cos=-cos=-.
9.解:(1)①∵f(x)=cos,∴ω=4,
∴函数f(x)=cos的最小正周期T===.
②画出函数f(x)=|sin x|的图象,如图所示.
由图可知,函数f(x)=|sin x|的最小正周期为π.
(2)①f(x)=sin 2x+x2sin x,f(x)的定义域为R,又f(-x)=sin(-2x)+(-x)2sin(-x)=-(sin 2x+x2sin x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.
②f(x)=sin=-cos,函数f(x)的定义域为R.
∵f(-x)=-cos=-cos=f(x),∴函数f(x)=sin是偶函数.
10.A [解析] 由函数f(x)=cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为,可得=2×,解得ω=6,所以f(x)=cos,则f=cos=cos=-sin=-. 故选A.
11.ACD [解析] 对于A,f(x)的最小正周期T==π,A正确;对于B,令x=,得f=3sin=≠0,所以函数f(x)的图象不关于点对称,B错误;对于C,令x=,得f=3sin=-3,此时函数f(x)取得最小值,所以函数f(x)的图象关于直线x=对称,C正确;对于D,f=3sin=3sin 2x,设h(x)=3sin 2x,则h(x)的定义域为R,又h(-x)=3sin(-2x)=-3sin 2x=-h(x),所以h(x)是奇函数,即函数y=f为奇函数,D正确.故选ACD.
12.π [解析] 将函数y=cos的图象位于x轴下方的部分翻折到x轴上方,位于x轴及x轴上方的部分保持不变,得到函数y=的图象,如图.由图可知,函数y=的最小正周期为π.
13. [解析] 因为定义在R上的函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,f(x)的最小正周期为π,且当x∈时,f(x)=sin x,所以f=f=f=sin=,f=f=f=f=f=sin=,所以f+f=+=.
14.解:(1)y=sin x+|sin x|=
其图象如图所示.
(2)由(1)中图象可知,该函数是周期函数,且最小正周期是2π.
15.BC [解析] 因为函数f(x)=sin ωx在上恰有4个零点,所以·≤<2·,解得4≤ω<,所以正整数ω的值为4或5.
16.解:(1)因为函数f(x)的最小正周期T=π,且ω>0,
所以T==π,解得ω=2.
f(x)=sin,令2x+=kπ(k∈Z),解得x=-+(k∈Z),所以f(x)的图象的对称中心为(k∈Z).
令2x+=+kπ(k∈Z),解得x=+(k∈Z),
所以f(x)的图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).
(2)由(1)知f(x)=sin,因为g(x)=f(x+φ),
所以g(x)=sin=sin,
又g(x)是奇函数,所以2φ+=kπ(k∈Z),解得φ=-(k∈Z),
又|φ|<,所以φ=-.(共67张PPT)
5.4 三角函数的图象与性质
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性与奇偶性
探究点一 三角函数的周期性
探究点二 三角函数的奇偶性与对称性
探究点三 三角函数的奇偶性与周期性的
综合应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义.
2.会求函数及（其中, ,
为常数,且, ）的周期.
3.掌握, 的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性.
知识点一 正弦函数、余弦函数的周期性
1.周期函数与周期
一般地，设函数的定义域为，如果存在一个______常数 ,使得
对每一个都有，且_________ ，那么函数
就叫作周期函数.非零常数 叫作这个函数的周期.
非零
2.最小正周期
如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的______，那么这
个最小正数就叫作 的最小正周期.
正数
3.两种特殊的周期函数
（1）正弦函数 是周期函数,___________________都是它的
周期,最小正周期是____.
（2）余弦函数 是周期函数,___________________都是它的
周期,最小正周期是____.
且
且
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）如果是的一个周期,那么 也是它的周期.( )
×
[解析] 当时,不是 的周期.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）所有的周期函数都有最小正周期.( )
×
[解析] 如为常数,,所有的非零实数 都是它的周期,
不存在最小正周期.
（3）因为，所以函数 的最小正周期
为 .( )
×
[解析] 因为 ,
所以函数的最小正周期为 .
知识点二 正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性
1.正弦曲线关于_______对称,正弦函数 是____函数.
2.余弦曲线关于_____对称,余弦函数 是____函数.
原点
奇
轴
偶
3.正、余弦曲线既是轴对称图形又是中心对称图形.
函数
图象 ______________________________________________________________ ________________________________________________________________
对称性 对称轴：________________ _______ 对称中心：___________ 对称轴：______________对
称中心：________________
_______
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数, 是奇函数.( )
×
[解析] 函数, 不具有奇偶性.
（2）函数 是奇函数.( )
√
（3）函数 是偶函数.( )
√
2.已知函数 ，则其图象的对称中心的坐标是______
______________，对称轴方程是____________________.
，
，
[解析] 令，，得，，
故 图象的对称中心的坐标是，.
令 ， ，得，，
故图象的对称轴的方程是, .
探究点一 三角函数的周期性
例1 求下列函数的最小正周期，其中 .
（1） ；
解:的最小正周期 .
（2） ;
解:的最小正周期 .
（3） ;
解:的最小正周期 .
例1 求下列函数的最小正周期，其中 .
（4） .
解:作出的大致图象如图，
由图可知 的最小正周期为 .
变式（1）（多选题）下列函数中，最小正周期为 的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A,函数的最小正周期为 ；
对于B,由函数的图象,可知函数的最小正周期为;
对于C,函数的最小正周期为 ;
对于D,函数的最小正周期为 .
故选 .
√
√
√
（2）函数 的最小正周期不大于2，则正整数
的最小值为____.
13
[解析] 因为，所以最小正周期，解得 ，
故正整数 的最小值是13.
［素养小结］
求函数最小正周期的方法：
（1）公式法：对形如或
（其中， ， 是常数，且，）的函数，可利用
来求函数的最小正周期．
（2）图象法：画出函数的图象，借助于图象得到函数的最小正周期，
特别是对于含绝对值的函数一般采用此法.
探究点二 三角函数的奇偶性与对称性
例2 判断下列函数的奇偶性.
（1） ；
解：的定义域为 ，
因为 ，
所以 为奇函数.
例2 判断下列函数的奇偶性.
（2） ；
解：的定义域为 ，
因为，所以 为偶函数.
（3） ；
解：的定义域为 ，
因为，所以 为奇函数.
例2 判断下列函数的奇偶性.
（4） .
解：的定义域为 ，
因为，
所以 为偶函数.
变式 给出下列函数：； ；
;
.其中为奇函数的是____，为偶
函数的是____，既是奇函数又是偶函数的是____，为非奇非偶函数
的是____.（填序号）
③
②
④
①
[解析] 对于①，函数的定义域为 ，
不关于原点对称，所以函数 为非奇非偶函数；
对于②， 的定义域为 ，
因为,所以函数 为偶函数；
对于③, 的定义域为,
因为,
所以函数为奇函数；
对于④，由 解得,
所以,,,
易知 的图象既关于原点对称,又关于轴对称,
所以函数 既是奇函数又是偶函数.
例3 求下列函数的图象的对称轴和对称中心.
（1） ;
解：令 ,，解得, ，
所以函数的图象的对称轴方程为, .
令 ,，解得， ，
所以函数的图象的对称中心为， .
例3 求下列函数的图象的对称轴和对称中心.
（2） .
解：令 ,，解得, ，
所以函数的图象的对称轴方程为, .
令 ,，解得， ，
所以函数的图象的对称中心为， .
变式（1）函数的图象距 轴最近的对称轴的方
程是( )
A. B. C. D.
[解析] 令 ,,解得,.
当 时，图象的对称轴方程为；
当时， 图象的对称轴方程为.
因为，所以距 轴最近的对称轴的方程是 .
故选B.
√
（2）已知函数的图象关于点 中心
对称，则 的最小值为__.
[解析] 因为函数的图象关于点
中心对称，
所以 ,，解得 , ，
则当时，取得最小值 .
［素养小结］
（1）与三角函数相关的奇偶性问题,往往需要先利用诱导公式化简,
再判断函数的奇偶性.
（2）判断函数的奇偶性时要注意:函数的定义域关于原点对称是函
数具有奇偶性的前提.
探究点三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
例4（1）下列函数中，是奇函数且最小正周期是 的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于选项A，令，该函数的定义域为 ，
,该函数为偶函数,不符合题意；
对于选项B，令，该函数的定义域为 ，
,该函数为偶函数,不符合题意；
√
对于选项C,令 ,该函数的定义域为,
,该函数为偶函数,不符合题意；
对于选项D,令 ,该函数的定义域为,
,
该函数为奇函数,且最小正周期,符合题意.
故选D.
（2）［2024·上海晋元高级中学高一月考］定义在 上的函数
既是偶函数又是周期函数，的最小正周期是 ，
且当时，，则 的值为___.
[解析] 由题意可得 .
变式 已知函数为偶函数，其中 ，
，若函数的最小正周期为 ，则 ____.
[解析] 因为函数的最小正周期为 ,
所以,可得函数 ,
又函数为偶函数,所以 , ,
又 ,所以 ,
故 .
［素养小结］
1.解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法：利用函数的周期
性，可以把的函数值转化为的函数值.利用奇偶性，
可以找到与的函数值的关系，从而可解决求值问题.
2.推得函数周期的若干形式：
（1）若，则函数周期为；
（2）若，则函数周期为；
（3）若且，则函数周期为；
（4）若且，则函数周期为.
1.对函数周期性的理解
若函数是周期函数, 是其一个周期,则①定义域中含有无限
个实数;②对定义域内任意,均有,其中 且
;的图象每隔一个周期 重复出现一次.
2.正、余弦函数的周期性
（1）正弦函数和余弦函数所具有的周期性实质上是由终边相同的角
具有的周期性所决定的；
（2）由诱导公式 ，
也可以说明它们的周期性；
（3）函数及其中， ， 为
常数，且，的最小正周期 .
3.正、余弦曲线的对称性
（1）正弦曲线是中心对称图形,其对称中心的坐标为 ,
即对称中心是正弦曲线与 轴的所有交点;正弦曲线也是轴对称图形,
其对称轴方程是,所有对称轴都垂直于 轴,且与正
弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大值或最小值.
（2）余弦曲线是中心对称图形,其对称中心的坐标是
,即对称中心是余弦曲线与 轴的所有交点;余弦曲
线也是轴对称图形,其对称轴方程是 ,所有对称轴都垂直
于 轴,且与余弦曲线交点的纵坐标是余弦函数的最大值或最小值.
1.求三角函数周期的方法:
（1）定义法.
（2）公式法.
（3）观察法（图象法）.
例1（1）求， 的一个周期.
解:因为 ，
所以是 的一个周期（答案不唯一）.
（2）求下列函数的最小正周期.
①， ;
解: 函数的最小正周期 .
②, .
解: 因为,的最小正周期是 ,
且,的图象是将, 的图象在
轴下方的部分翻折到轴上方,并且保留轴及 轴上方的部分而得到的,
所以所求函数的最小正周期 .
2.函数周期性的应用与理解
（1）用周期函数的定义讨论非三角函数的函数周期问题时,只需找到
一个非零实数,对定义域内任意的总有 成立.
（2）解答利用周期性求值问题的关键是利用化归转化的思想,借助周
期性定义把待求问题转化到已知区间上,代入求解即可.
（3）并不是每一个函数都是周期函数.若函数具有周期性,周期也不
一定唯一.一般地,若是函数的一个周期,则 也是
它的周期.
例2 ［2025·山东泰安高一期中］设是定义在 上的奇函数，且对
任意实数，恒有，当时， .
（1）求证： 是周期函数；
证明：由，得 ，
故，
所以 是以4为周期的周期函数.
例2 ［2025·山东泰安高一期中］设是定义在 上的奇函数，且对
任意实数，恒有，当时， .
（2）当时，求 的解析式；
解：当时，因为是定义在 上的奇函数，
所以，
则当 时， .
例2 ［2025·山东泰安高一期中］设是定义在 上的奇函数，且对
任意实数，恒有，当时， .
（3）求 的值.
解：由题得,,,，
因为函数 的周期为4，
所以
.
3.函数奇偶性的判断
解决此类问题，常利用函数奇偶性的定义,分三步:先求定义域,再将
代入,最后得出结论.
例3 判断下列函数的奇偶性:
（1） ;
解：有意义,无意义, 的定义域不关于原点对称，
故 为非奇非偶函数.
（2） .
解：的定义域为 ，
且,
是偶函数.
练习册
1.函数 的最小正周期是( )
A. B. C. D.
[解析] 函数的最小正周期 .故选D.
√
2.函数 的图象的一条对称轴方程是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于函数，
令 ， ，得，，
所以图象的对称轴方程为 ， ，
故选B.
√
3.函数 是( )
A.最小正周期为 的奇函数 B.最小正周期为 的偶函数
C.最小正周期为 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数
[解析] 因为，
所以 的最小正周期 .的定义域为 ，
因为，
所以 为奇函数，故是最小正周期为 的奇函数.
故选C.
√
4.已知函数的图象关于点 中心对称，
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数的图象关于点 中
心对称，
所以 ,，得, ，
又，所以, .故选C.
√
5.函数 的部分图象是( )
A. B. C. D.
[解析] 令，则其定义域为 ，
因为，
所以 为偶函数，其图象关于轴对称，排除B，D.
函数在 上的函数值为正，排除C.
故选A.
√
6.（多选题）下列函数中，最小正周期为 且为奇函数的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 对于A，函数的最小正周期为 ，
所以A不满足题意；
对于B，函数 是奇函数,且最小正周期为,所以B满足题意；
对于C，函数 的最小正周期为 ，
所以C不满足题意；
对于D，函数是奇函数,且最小正周期为 ，
所以D满足题意.
故选 .
7.［2025·江苏盐城五校高一联考］已知，函数
的最小正周期是 ，则 的值为___.
2
[解析] 根据题意得，解得 .
8.已知奇函数满足，当 时，
，则 的值为____.
[解析] ， .
9.（13分）
（1）求下列函数的最小正周期.
； .
解：①， ，
函数的最小正周期 .
②画出函数 的图象，如图所示.
由图可知，函数的最小正周期为 .
9.（13分）
（2）判断下列函数的奇偶性.
； .
解：①，的定义域为 ，
又，
为奇函数.
②，函数的定义域为 .
，
函数 是偶函数.
10.若函数 的相邻两个零点之间的距离为
，则 的值为( )
A. B. C.1 D.0
[解析] 由函数 的相邻两个零点之间的距离为，
可得，解得，所以 ,
则 .故选A.
√
11.（多选题）已知函数 ，则( )
A.函数的最小正周期为
B.函数的图象关于点 对称
C.函数的图象关于直线 对称
D.函数 为奇函数
√
√
√
[解析] 对于A，的最小正周期 ，A正确；
对于B，令，得，
所以函数 的图象不关于点对称，B错误；
对于C，令,得 ,此时函数取得最小值，
所以函数的图象关于直线 对称，C正确；
对于D， ，设，
则的定义域为 ，又，
所以 是奇函数，即函数为奇函数，D正确.
故选 .
12.函数 的最小正周期为___．
[解析] 将函数的图象位于轴下方的部分翻折到 轴上方，
位于轴及轴上方的部分保持不变，得到函数 的图象，
如图.由图可知，函数的最小正周期为 .
13.［2024·河北秦皇岛高一期中］定义在上的函数 既是偶函数，
又是周期函数，若的最小正周期为 ，且当 时，
，则 的值为____.
[解析] 因为定义在上的函数 既是偶函数，又是周期函数，
的最小正周期为 ，且当时， ，
所以 ，
，
所以 .
14.（15分）已知函数， .
（1）画出函数的简图.
解：
其图象如图所示.
（2）此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期.
解：由（1）中图象可知，该函数是周期函数，且最小正周期是 .
15.（多选题）已知函数在 上恰有4个零点，则正
整数 的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
[解析] 因为函数在 上恰有4个零点，
所以，解得，
所以正整数 的值为4或5.
√
√
16.（15分）已知函数 的最小正周期为，
， .
（1）求 的值及 的图象的对称中心与对称轴；
解：因为函数的最小正周期 ，且 ，
所以 ，解得 .
，令 ，解得，
所以 的图象的对称中心为 .
令，解得 ，
所以的图象的对称轴方程为 .
16.（15分）已知函数 的最小正周期为
， ， .
（2）若是奇函数，求 的值.
解：由（1）知，因为 ，
所以 ，
又是奇函数，所以，解得 ，
又，所以 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.非零 2.正数 3.（1）且 （2）且 【诊断分析】 （1）× （2）× （3）×
知识点二 1.原点 奇 2.轴 偶 3.
【诊断分析】 1.（1）× （2）√ （3）√
2.， ，
课中探究 探究点一例1 （1）（3）（4） 变式（1）BCD （2）13
探究点二 例2（1）奇函数（2）偶函数（3）奇函数 （4）偶函数 变式 ③ ② ④ ① 例3 （1）对称轴方程为,.对称中心为，.
（2）对称轴方程为,.对称中心为，.
变式 （1）B （2）
探究点三 例4 （1）D （2） 变式
快速核答案（练习册）
1.B 2.C 3.D 4.D 5.D 6.AD 7.3 8.-1 2
1.D 2.B 3.C 4.C 5.A 6.BD 7.2 8.
9.（1）① ② （2）①奇函数 ②偶函数
10.A 11.ACD 12. 13. 14.（1）如图所示..
（2）
15.BC
16.（1）. 对称中心为. 对称轴方程为
（2）
