第2课时 单调性、最大值与最小值
【学习目标】
1.掌握y=sin x,y=cos x的单调性,并能利用单调性比较大小.
2.会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的单调区间.
3.掌握y=sin x,y=cos x的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值.
◆ 知识点 正弦函数、余弦函数的单调性与
最值
正弦函数 余弦函数
图象
定义域 R R
值域
单调性 在每一个闭区间 (k∈Z)上都单调递增,在每一个闭区间 (k∈Z)上都单调递减 在每一个闭区间 (k∈Z)上都单调递增,在每一个闭区间 (k∈Z)上都单调递减
最值 x= (k∈Z)时,ymax=1; x= (k∈Z)时,ymin=-1 x= (k∈Z)时,ymax=1; x= (k∈Z)时,ymin=-1
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)余弦函数在[-π,0]上单调递增. ( )
(2)函数y=sin在区间上单调递增. ( )
(3) x∈[0,2π],cos x=. ( )
(4)函数y=1-cos 2x的最大值是 +1,最小值是1-,最小正周期是π. ( )
(5)函数y=-2sin取得最小值时自变量x的取值集合是. ( )
◆ 探究点一 三角函数的单调性及应用
角度1 比较三角函数值的大小
例1 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小.
(1)sin sin;
(2)cos cos;
(3)cos 1 sin 2;
(4)sin sin.
[素养小结]
利用单调性比较三角函数值大小的步骤:①异名函数化为同名函数;②利用诱导公式把角化到同一单调区间上;③利用函数的单调性比较大小.
角度2 求正弦型函数、余弦型函数的单调区间
例2 求下列函数的单调区间.
(1)y=sin;
(2)y=cos.
变式 (1)已知函数f(x)=sin,则f(x)在上的单调递增区间为 ( )
A. B.
C. D.
(2)函数f(x)=-cos在[-π,π]上的单调递减区间为 .
[素养小结]
1.求y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间,采用“换元法”整体代换,将“ωx+φ”看成一个整体“z”,利用正(余)弦函数的单调性,求原函数的单调性.若ω<0,则利用诱导公式,先将x的系数转化为正数.
2.结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间是求解的关键.求单调区间时,需将最终结果写成区间形式,并注意k∈Z.
拓展 已知函数f(x)=cos,其中ω>0.若f(x)在区间上单调递增,则ω的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.(0,1]
◆ 探究点二 三角函数的值域及最值
角度1 形如y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b(A≠0,ω>0)的最值(值域)问题
例3 (1)求y=sin,x∈的值域.
(2)已知函数f(x)=acos+b(a≠0),当x∈时,f(x)的最大值为3,最小值为0,求a和b的值.
变式 求函数f(x)=sin-在区间上的最值及相应的x的值.
[素养小结]
对于形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)(A≠0,ω>0)的三角函数,令t=ωx+φ,根据题中x的取值范围,求出t的取值范围,再利用三角函数的单调性、有界性求出y=sin t(或y=cos t)的最值(值域),最后求得原函数的最值(值域).
角度2 形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的最值(值域)问题
例4 (1)函数f(x)=2sin2+sin x-1,x∈(0,π)的值域为 ( )
A. B.[0,1)
C.(0,1) D.
(2)函数f(x)=2sin2x+cos x,x∈的值域为 .
变式 若函数f(x)=cos2x-asin x+b(a>0)的最大值为0,最小值为-4,则2a+b= .
[素养小结]
对于形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的函数,可利用换元思想,设t=sin x,转化为二次函数y=at2+bt+c求最值.t的取值范围需要根据原函数的定义域来确定.
第2课时 单调性、最大值与最小值
【课前预习】
知识点
[-1,1] [-1,1]
[2kπ-π,2kπ]
[2kπ,2kπ+π] +2kπ
-+2kπ 2kπ 2kπ+π
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√ [解析] (2)当x∈时,x+∈,故函数y=sin在区间上单调递增.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)> (2)< (3)< (4)>
[解析] (1)∵函数y=sin x在上单调递减,且<<<π,∴sin>sin.
(2)cos=cos=cos=cos,cos=cos=cos=cos.∵0<<<π,且y=cos x在[0,π]上单调递减,∴cos
(3)∵cos 1=sin,<2<+1<,且y=sin x在上单调递减,∴sin(4)∵cos=sin,∴0sin.
例2 解:(1)由x+∈(k∈Z),得x∈(k∈Z),
故函数y=sin的单调递增区间为(k∈Z).
由x+∈(k∈Z),
得x∈(k∈Z),故函数y=sin的单调递减区间为(k∈Z).
(2)函数y=cos=cos.
由2kπ-π≤x-≤2kπ,k∈Z,解得4kπ-≤x≤4kπ+,k∈Z,
故函数y=cos的单调递增区间为,k∈Z.
由2kπ≤x-≤2kπ+π,k∈Z,解得4kπ+≤x≤4kπ+,k∈Z,
故函数y=cos的单调递减区间为,k∈Z.
变式 (1)B (2),, [解析] (1)当x∈时,2x-∈,所以当2x-∈,即x∈时,函数f(x)单调递增.故选B.
(2)求函数f(x)=-cos在[-π,π]上的单调递减区间,即求函数g(x)=cos在[-π,π]上的单调递增区间,令2kπ-π≤2x-≤2kπ(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),故g(x)的单调递增区间为(k∈Z).令k=-1,得g(x)在上单调递增;令k=0,得g(x)在上单调递增;令k=1,得g(x)在上单调递增.所以f(x)在[-π,π]上的单调递减区间是,,.
拓展 A [解析] 方法一:由-π+2kπ≤ωx-≤2kπ(k∈Z),且ω>0,解得≤x≤(k∈Z).由题意可知 (k∈Z),故
解得-+6k≤ω≤+k(k∈Z),∴k=0,即-≤ω≤,又ω>0,∴0<ω≤.故选A.
方法二:∵函数f(x)在区间上单调递增,∴-=≤=,∴0<ω≤.∵x∈,∴-≤ωx-≤-,若f(x)在区间上单调递增,则
k∈Z,解得-+6k≤ω≤+k,k∈Z,∴k=0,即-≤ω≤,又0<ω≤,∴0<ω≤.故选A.
探究点二
例3 解:(1)令t=x+,∵x∈,∴t∈.
∵函数y=sin t在上单调递增,在上单调递减,当t=时,y=,当t=时,y=1,
当t=时,y=,∴所求函数的值域为.
(2)∵0≤x≤,∴-≤2x-≤,∴-≤cos≤1.
当a>0时,由题意得解得
当a<0时,由题意得解得故a=2,b=1或a=-2,b=2.
变式 解:因为≤x≤,所以0≤2x-≤,
所以0≤sin≤1,所以-≤f(x)≤,
故函数f(x)在区间上的最大值为,相应的x的值为,最小值为-,相应的x的值为.
例4 (1)D (2)
[解析] (1)f(x)=2sin2+sin x-1=2cos2x+sin x-1=2-2sin2x+sin x-1=-2sin2x+sin x+1=-2+,因为x∈(0,π),所以sin x∈(0,1],故f(x)=-2+∈.故选D.
(2)f(x)=2sin2x+cos x=2(1-cos2x)+cos x=-2cos2x+cos x+2,令t=cos x,因为x∈,所以t∈.令g(t)=-2t2+t+2,t∈,根据二次函数的性质可知,g(t)在上单调递增,在上单调递减,所以当t=时,g(t)取得最大值g=-2×++2=.又g(-1)=-2-1+2=-1,g=-2×++2=2,所以g(t)的最小值为g(-1)=-1,故函数f(x)的值域为.
变式 2 [解析] f(x)=cos2x-asin x+b=-sin2x-asin x+b+1,令t=sin x(-1≤t≤1),则y=-t2-at+b+1(-1≤t≤1),该函数图象所在抛物线的对称轴方程为t=-.当-≤-1,即a≥2时,解得当-1<-<0,即0此时得到的a均不满足01.函数f(x)=1+3cos x的最小值为 ( )
A.-3 B.-2 C.3 D.4
2.函数y=3cos的单调递增区间为 ( )
A.,k∈Z
B.[2kπ,2kπ+π],k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
3.[2025·甘肃兰州一中高一月考] 函数y=-2sin x-1,x∈的值域是 ( )
A.[-3,1] B.[-2,1]
C.(-3,1] D.(-2,1]
4.下列关系式中正确的是 ( )
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°5.[2025·河北辛集中学高一月考] 若函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递增,则ω的取值范围是 ( )
A.(0,2] B.(0,1]
C. D.
6.(多选题)在下列四个区间中,函数y=cos x和y=sin x单调性相同的是 ( )
A. B.
C. D.
7.sin,sin,sin的大小关系为 .(用“>”连接)
8.[2025·河北衡水冀州中学高一期中] 函数f(x)=cos2x-2sin x+3(x∈[0,π])的最大值为 .
9.(13分)设函数f(x)=sin,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值,并求出取最值时x的值.
10.[2024·江西景德镇高一期中] 已知函数h(x)=2sin+1,若对于任意的x∈,不等式h(x)≤-5m-2恒成立,则实数m的取值范围为 ( )
A.(-∞,1] B.(-∞,-1]
C.[1,+∞) D.[-1,+∞)
11.(多选题)[2025·广东惠州实验中学高一段考] 已知函数f(x)=2sin,则下列说法正确的是 ( )
A.点是f(x)图象的一个对称中心
B.f(x)的单调递增区间为,k∈Z
C.f(x)在上的取值范围为[-2,]
D.f(x)的最小正周期为
12.函数y=sin x-|sin x|,x∈[0,2π]的值域是 .
13.已知函数f(x)=cos(ω>0),若f(x)在区间上单调递增,则ω的取值范围是 .
14.(15分)已知函数g(x)=asin+b(a>0,b∈R),且函数g(x)在区间上的最大值为3,最小值为0.
(1)求函数g(x)的解析式;
(2)求g(x)在(0,π)上的单调递增区间.
15.[2025·南京师大附中高一调研] 已知函数f(x)=sin x,若存在实数x1,x2,…,xn(n≥2),满足0≤x1A.3 B.4
C.5 D.6
16.(15分)[2024·广西梧州苍梧中学高一期中] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的相邻两条对称轴的距离是,当x=时f(x)取得最大值2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值;
(3)若函数g(x)=f(x)-的零点为x0,求cos的值.
第2课时 单调性、最大值与最小值
1.B [解析] 因为-1≤cos x≤1,所以-2≤1+3cos x≤4,所以f(x)的最小值为-2,故选B.
2.C [解析] 因为y=3cos=3sin x,且y=sin x的单调递增区间为,k∈Z,所以函数y=3cos的单调递增区间为,k∈Z.故选C.
3.D [解析] 由x∈,得sin x∈,故y=-2sin x-1∈(-2,1].故选D.
4.C [解析] sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°,cos 10°=sin(90°-10°)=sin 80°,结合y=sin x的单调性,可得sin 11°5.B [解析] 由题意设t=ωx+,因为x∈,所以t∈,则y=sin t在上单调递增,所以ω+≤,解得ω≤1,又ω>0,所以0<ω≤1,即ω的取值范围是(0,1].故选B.
6.AC [解析] 对于A,当x∈时,y=cos x单调递减,y=sin x单调递减,故A正确;对于B,当x∈时,y=cos x单调递减,y=sin x单调递增,故B错误;对于C,当x∈时,y=cos x单调递增,y=sin x单调递增,故C正确;对于D,当x∈时,y=cos x单调递增,y=sin x单调递减,故D错误.故选AC.
7.sin>sin>sin [解析] 因为<<<<π, 且函数y=sin x在上单调递减,所以sin>sin>sin.
8.4 [解析] 因为x∈[0,π],所以sin x∈[0,1],又函数f(x)=cos2x-2sin x+3=-sin2x-2sin x+4=-(sin x+1)2+5,所以当sin x=0时,f(x)取得最大值4.
9.解:(1)f(x)的最小正周期T==π.由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)令t=2x-,由≤x≤得0≤t≤,
所以当t=,即x=时,f(x)取得最小值×=-1,
当t=,即x=时,f(x)取得最大值×1=.
10.B [解析] 当x∈时,2x+∈,所以sin∈,则h(x)∈[0,3].因为对于任意的x∈,不等式h(x)≤-5m-2恒成立,所以-5m-2≥3,解得m≤-1,所以实数m的取值范围为(-∞,-1].故选B.
11.ACD [解析] 对于A,令x=,则f=2sin=2sin 0=0,所以点是f(x)图象的一个对称中心,故A正确;对于B,令-+2kπ≤4x-≤+2kπ,k∈Z,解得-+≤x≤+,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,故B错误;对于C,当x∈时,-<4x-≤,所以f(x)=2sin∈[-2,],故C正确;对于D,f(x)的最小正周期为=,故D正确.故选ACD.
12.[-2,0] [解析] 当0≤x≤π时,sin x≥0,所以y=0,当π13. [解析] 因为014.解:(1)由题意知,若x∈,
则2x+∈,所以sin∈,
又因为a>0,所以解得故g(x)=2sin+1.
(2)因为x∈(0,π),所以2x+∈,函数y=sin x在区间上的单调递增区间为和,
所以<2x+≤或≤2x+<,解得015.D [解析] 由题意,要使n最小,只需等式|f(x1)-f(x2)|+|f(x2)-f(x3)|+…+|f(xn-1)-f(xn)|=8中左边的每一项最大,因为|f(xn-1)-f(xn)|≤2,所以尽可能有更多组xn-1,xn使|f(xn-1)-f(xn)|=2,又0≤x116.解:(1)因为f(x)图象的相邻两条对称轴的距离是,
所以f(x)的最小正周期为2×=π,所以ω==2.
因为当x=时,f(x)取得最大值2,所以A=2,且2×+φ=+2kπ(k∈Z),可得φ=+2kπ(k∈Z).
因为|φ|<,所以φ=,
所以f(x)=2sin.
(2)当x∈时,2x+∈,所以当2x+=,
即x=时,f(x)取得最小值,最小值为2sin=-1,
当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值,最大值为2sin=2,
所以函数f(x)在区间上的最大值为2,最小值为-1.
(3)因为函数g(x)=f(x)-的零点为x0,
所以2sin-=0,
即sin=.
因为+=,所以cos=cos=sin=.(共74张PPT)
5.4 三角函数的图象与性质
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第2课时 单调性、最大值与最小值
探究点一 三角函数的单调性及应用
探究点二 三角函数的值域及最值
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.掌握, 的单调性,并能利用单调性比较大小.
2.会求函数及其中, ,
为常数,且, 的单调区间.
3.掌握, 的最大值与最小值,并会求简单三角函
数的值域和最值.
知识点 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
正弦函数 余弦函数
图象 ________________________________________________________ _______________________________________________________________
定义 域
值域 _______ _______
正弦函数 余弦函数
单调 性
续表
正弦函数 余弦函数
最值
续表
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）余弦函数在 上单调递增.( )
√
（2）函数在区间 上单调递增.( )
√
[解析] 当时,,
故函数在区间 上单调递增.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）, .( )
×
（4）函数的最大值是 ,最小值是 ,最
小正周期是 .( )
√
（5）函数取得最小值时自变量 的取值集合是
.( )
√
探究点一 三角函数的单调性及应用
角度1 比较三角函数值的大小
例1 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小.
（1）___ ；
[解析] 函数在上单调递减，且 ，
.
例1 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小.
（2）___ ;
[解析] ,
.
,且在上单调递减,
,即 .
例1 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小.
（3）___ ;
[解析] ,,
且在 上单调递减,
,即 .
例1 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小.
（4）___ .
[解析] ,,
又 在区间上单调递增, .
［素养小结］
利用单调性比较三角函数值大小的步骤:①异名函数化为同名函数;②
利用诱导公式把角化到同一单调区间上;③利用函数的单调性比较大小.
角度2 求正弦型函数、余弦型函数的单调区间
例2 求下列函数的单调区间.
（1） ；
解:由 ,
得 ,
故函数的单调递增区间为 .
由 ,
得,
故函数 的单调递减区间为 .
例2 求下列函数的单调区间.
（2） .
解:函数 .
由 ,,解得 , ，
故函数的单调递增区间为 , .
由 ,,解得 , ，
故函数的单调递减区间为, .
变式（1）已知函数，则在 上的单调递
增区间为( )
A. B. C. D.
[解析] 当时，，
所以当 ，即时，函数 单调递增.
故选B.
√
（2）函数在 上的单调递减区间为______
_____________________.
,,
[解析] 求函数在 上的单调递减区间，
即求函数在 上的单调递增区间，
令,得 ,
故的单调递增区间为.
令,得 在上单调递增;
令,得在 上单调递增;
令,得在上单调递增.
所以在 上的单调递减区间是,, .
［素养小结］
1.求或的单调区
间，采用“换元法”整体代换，将“ ”看成一个整体“”，利用
正（余）弦函数的单调性，求原函数的单调性.若，则利用诱
导公式，先将的系数转化为正数.
2.结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间是求解的关键.
求单调区间时，需将最终结果写成区间形式，并注意.
拓展 已知函数，其中.若 在区间
上单调递增，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一:由，且 ，
解得 .
由题意可知，
故 解得，
，即 ，又， .故选A.
方法二: 函数在区间 上单调递增，
，.
，，
若在区间 上单调递增，则，
解得，， ，即，
又， .
故选A.
探究点二 三角函数的值域及最值
角度1 形如 或
的最值（值域）问题
例3（1）求， 的值域.
解：令，， .
函数在上单调递增，在上单调递减，
当 时，，当时， ，当时，，
所求函数的值域为 .
（2）已知函数，当 时，
的最大值为3，最小值为0，求和 的值．
解：,， .
当时,由题意得解得
当时,由题意得解得
故,或, .
变式 求函数在区间上的最值及相应的
的值.
解：因为,所以 ,
所以，所以 ，
故函数在区间上的最大值为，相应的的值为 ，
最小值为，相应的的值为 .
［素养小结］
对于形如或
的三角函数，令 ，
根据题中的取值范围，求出的取值范围，再利用三角函数的单调
性、有界性求出或的最值（值域），最后求得原
函数的最值（值域）.
角度2 形如 的最值（值域）问题
例4（1）函数， 的值域
为 ( )
A. B. C. D.
[解析] ，
因为,所以,故 .
故选D.
√
（2）函数, 的值域为________.
[解析]
，
令，因为，所以 .
令，，根据二次函数的性质可知，
在上单调递增，在上单调递减，
所以当时， 取得最大值 .
又，，
所以 的最小值为，故函数的值域为 .
变式 若函数 的最大值为0，最小值
为，则 ___.
2
[解析] ，
令，则 ，
该函数图象所在抛物线的对称轴方程为.
当，即 时，解得
当 ,即时,
此时得到的均不满足.
综上可知， ，所以 .
［素养小结］
对于形如的函数，可利用换元思想，
设，转化为二次函数求最值.的取值范围需
要根据原函数的定义域来确定.
1.三角函数单调区间的求法
（1）求函数或 的
单调区间,一般将 视作整体,结合或 的单调
区间列出不等式,解之即得.
（2）当时, 变形为
, 变形为
,再求函数的单调区间.所有的这些变形都是为了
使的系数为正值.同时要注意 时函数单调性的变化.
2.三角函数的值域问题
（1）或
型的函数值域问题的解决方法是利用三角函数在区间上的单调性.
（2）与其他函数相复合,最为常见的是与二次函数复合,利用的是三角
函数的有界性和二次函数的区间最值.一般先进行换元再配方可得解.
1.函数单调区间的确定
结合正、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间.
例1（1）函数， 的单调递减区间为
_ ________________.
，
[解析] ，
令 ， ，
解得 ，，
又， 或 ，
原函数的单调递减区间为， .
（2） 的单调递增区间为______________________
_______.
,
[解析] 由题意得,所以, ,
解得 , .
令,,得, ，
所以 的单调递增区间为,,
所以函数 的单调递增区间为
, .
2.比较三角函数值大小的问题
例2（1）（多选题）下列不等式中成立的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 对于A，因为，在 上单调递增，
所以，故A成立；
对于B， ，，故B不成立；
对于C，因为 ，在上单调递减，
所以 ，故C不成立；
对于D， ，故D成立.
故选 .
（2）比较下列各组三角函数值的大小.
① 与 ；
解：由题知, ，
，
，
结合的单调性,可得 ,
即 .
（2）比较下列各组三角函数值的大小.
②与 .
解：由题知， ，
，
， 在上单调递增，
，即 .
3.求与三角函数有关的最值（值域）问题
（1）求形如或的函数的最值要注意对
进行讨论.
（2）对于可化为或
（其中, ， ,为常数,, ）的形式的函数,利用三角函
数的性质求最值,易得其最大值为,最小值为 .
（3）求可化为 或
的函数的最大值、最小值，可利用
二次函数在区间 上的最大值、最小值的求法来求（换元法）.
例3（1）已知函数的最大值为1，最小值为 ，则
函数 的最大值为___.
5
[解析] 当时,由题意得 解得
，
当时，函数 取得最大值5；
当时，由题意得 解得，
当时，函数 取得最大值5.
故函数 的最大值为5．
（2）已知函数，若 恒成立，
求实数 的取值范围.
解：设， ，则.
当时， 取得最大值，即；
当时，取得最小值，即 .
由恒成立，得解得，
故实数 的取值范围是 .
练习册
1.函数 的最小值为( )
A. B. C.3 D.4
[解析] 因为，所以，
所以 的最小值为 ，故选B.
√
2.函数 的单调递增区间为( )
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 因为，
且 的单调递增区间为，，
所以函数 的单调递增区间为, .
故选C.
√
3.［2025·甘肃兰州一中高一月考］函数 ，
的值域是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，
故 .
故选D.
√
4.下列关系式中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
[解析] ，
，
结合 的单调性，可得 ，
即 .故选C.
√
5.［2025·河北辛集中学高一月考］若函数
在上单调递增，则 的取值范围
是 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意设，因为，所以 ，
则在上单调递增，所以，解得 ，
又，所以，即 的取值范围是 .
故选B.
√
6.（多选题）在下列四个区间中，函数和 单调性相
同的是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A,当时,单调递减, 单调递减,
故A正确；
对于B,当时, 单调递减,单调递增,故B错误；
对于C,当时, 单调递增,单调递增,故C正确；
对于D,当 时,单调递增,单调递减,故D错误.
故选 .
√
√
7.,, 的大小关系为_____________________.
（用“ ”连接）
[解析] 因为 ,且函数在 上单调递减,
所以 .
8.［2025·河北衡水冀州中学高一期中］函数
的最大值为___.
4
[解析] 因为,所以 ,
又函数,
所以当时, 取得最大值4.
9.（13分）设函数， .
（1）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
解：的最小正周期 .
由 ，
得 ，
所以函数的单调递增区间是 .
9.（13分）设函数， .
（2）求函数在区间 上的最小值和最大值，并求出取最值
时 的值.
解：令，由得 ，
所以当，即时，取得最小值 ，
当，即时，取得最大值 .
10.［2024·江西景德镇高一期中］已知函数 ，
若对于任意的，不等式恒成立，则实数
的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当时，，
所以 ，则.
因为对于任意的，不等式 恒成立，
所以，解得，
所以实数 的取值范围为 .
故选B.
11.（多选题） 广东惠州实验中学高一段考］ 已知函数
，则下列说法正确的是( )
A.点是 图象的一个对称中心
B.的单调递增区间为，
C.在上的取值范围为
D.的最小正周期为
√
√
√
[解析] 对于A，令，则 ，
所以点是 图象的一个对称中心，故A正确；
对于B，令 , ，
解得，，
所以函数 的单调递增区间为,,故B错误；
对于C，当 时，，
所以 ，故C正确；
对于D，的最小正周期为，故D正确.
故选 .
12.函数， 的值域是_______.
[解析] 当 时， ，所以，
当 时， ，所以，
作出函数 的图象如图.
由图可知，函数的值域为 .
13.已知函数，若在区间 上单
调递增，则 的取值范围是______．
[解析] 因为，所以.
由 在区间上单调递增，可得，
所以，即 的取值范围是 ．
14.（15分）已知函数 ，且函
数在区间 上的最大值为3，最小值为0.
（1）求函数 的解析式；
解：由题意知，若 ，则，
所以 ，
又因为，所以解得
故 .
14.（15分）已知函数 ，且函
数在区间 上的最大值为3，最小值为0.
（2）求在 上的单调递增区间.
解：因为，所以，
函数 在区间上的单调递增区间为和 ，
所以或，解得 或 ，
所以在上的单调递增区间为和 .
15.［2025·南京师大附中高一调研］已知函数 ，若存在
实数，， ，，满足 ，
且 ，
则正整数 的最小值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
√
[解析] 由题意，要使 最小，只需等式
中左边的每一项最大，
因为 ，
所以尽可能有更多组，使，
又 ，
所以最多有三组，，使 ，
则还存在两组，，使，此时，
不妨取 , ,,,, ，满足题意.
故选D.
16.（15分）［2024·广西梧州苍梧中学高一期中］ 已知函数
图象的相邻两条对称轴
的距离是，当时 取得最大值2.
（1）求函数 的解析式；
解：因为图象的相邻两条对称轴的距离是 ，
所以的最小正周期为 ，所以 .
因为当时，取得最大值2，所以 ，
且,可得 .
因为，所以 ，所以 .
16.（15分）［2024·广西梧州苍梧中学高一期中］ 已知函数
图象的相邻两条对称轴
的距离是，当时 取得最大值2.
（2）求函数在区间 上的最大值和最小值；
解：当时,,
所以当 ,即时,取得最小值,最小值为 ,
当,即时,取得最大值,最大值为 ,
所以函数在区间上的最大值为2,最小值为 .
16.（15分）［2024·广西梧州苍梧中学高一期中］ 已知函数
图象的相邻两条对称轴
的距离是，当时 取得最大值2.
（3）若函数的零点为，求 的值.
解：因为函数的零点为 ，
所以 ，即 .
因为 ，
所以 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点
【诊断分析】 （1）√ （2）√ （3）× （4）√ （5）√
课中探究 探究点一 角度1 例1 （1） （2） （3） （4）
角度2 例2 （1）单调递增区间为,
单调递减区间为
（2）单调递增区间为，.
单调递减区间为,
变式 （1）B （2）,, 拓展 A
探究点二 角度1 例3 （1）（2）,或, 变式
角度2 例4 （1）D （2） 变式 2
快速核答案（练习册）
1.B 2.C 3.D 4.C 5.B 6.AC 7. 8.4
9.（1）,单调递增区间是
（2）当时，取得最小值;当时，取得最大值
10.B 11.ACD 12. 13.
14.（1）（2）和
15.D
16.（1）（2）最大值为2，最小值为