5.4.3 正切函数的性质与图象
【学习目标】
1.能根据正切函数的性质画出正切函数的图象;知道正切函数的周期性、单调性及最值、奇偶性(对称性)等.
2.能根据图象描述正切函数在上的性质,并能根据这些性质解决简单的三角函数问题.
◆ 知识点 正切函数的图象与性质
1.正切函数的图象:如图所示,正切曲线是由被与y轴平行的一系列直线 所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.
2.正切函数的性质
解析式 y=tan x
图象
定义域
值域
最小正周期
奇偶性
单调性 在每一个区间 上都单调递增
对称中心 (k∈Z)
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R. ( )
(2)正切函数在每一个开区间 (k∈Z)上都单调递增. ( )
(3)函数y=|tan x|与y=tan x的最小正周期相等,都是π. ( )
(4)正切曲线是中心对称图形,有无数个对称中心. ( )
◆ 探究点一 正切函数的定义域、值域
例1 (1)[2025·镇江实验高级中学高一期末] 函数f(x)=tan的定义域是 .
(2)函数y=tan,x∈的值域为 .
变式 (1)[2025·吉林G8教考联盟高一期末] y=lg(tan x-1)的定义域为 ( )
A.
B.
C.
D.
(2)函数f(x)=tan2x-tan x,x∈的最大值与最小值之和为 .
[素养小结]
(1)求函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域时,要将ωx+φ视为一个整体,令ωx+φ≠kπ+,k∈Z,求解x即可.
(2)求与正切函数有关的函数值域的方法:
①对于y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的值域,可以把ωx+φ看成整体,结合图象,利用单调性求值域;
②对于与y=tan x相关的二次函数,可以把tan x看成整体,利用配方法求值域.
◆ 探究点二 正切函数的奇偶性、周期性
例2 (1)[2024·广东佛山高一期中] 函数y=tan(πx-1)的最小正周期为 ( )
A.2 B.1
C.π D.2π
(2)函数f(x)=cos+tan x为 ( )
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数
(3)函数f(x)=3tan的图象的对称中心为 .
变式 (1)函数f(x)=tan的最小正周期是( )
A.2π B.4π C.2 D.4
(2)函数f(x)=tan(x+φ)的图象关于点中心对称,则常数φ的一个取值为 .
[素养小结]
(1)形如y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的函数的最小正周期T=,也可以利用函数图象判断.
(2)正切曲线的对称中心为(k∈Z),解关于对称中心的题目时要从整体性入手求出具体范围.
◆ 探究点三 正切函数的单调性及应用
角度1 求正切函数的单调区间
例3 函数y=tan的单调递增区间为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
变式 函数f(x)=3tan的单调递减区间为 .
[素养小结]
y=tan(ωx+φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx+φ看成一个整体,解-+kπ<ωx+φ<+kπ,k∈Z即可.当ω<0时,先用诱导公式把x的系数化为正值再求单调区间.
角度2 比较大小
例4 不求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小.
(1)tan与tan ;
(2)tan与tan.
变式 tan 1,tan 2,tan 3,tan 4的大小关系为 .(用“<”连接)
[素养小结]
运用正切函数的单调性比较大小的步骤:
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内;
(2)运用正切函数的单调性比较大小.
5.4.3 正切函数的性质与图象
【课前预习】
知识点
1.x=+kπ,k∈Z
2. R
π 奇函数 (k∈Z)
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ (4)√
【课中探究】
探究点一
例1 (1)
(2)(-1,) [解析] (1)由2x+≠+kπ,k∈Z,得x≠+,k∈Z,故函数f(x)=tan的定义域为.
(2)∵x∈,∴x-∈,∴tan∈(-1,),∴函数的值域为(-1,).
变式 (1)A (2) [解析] (1)令y=lg t,t=tan x-1,则函数t=tan x-1的定义域为,函数y=lg t的定义域为(0,+∞),所以tan x-1>0,可得x∈,所以y=lg (tan x-1)的定义域为.故选A.
(2)令tan x=t,x∈,则t∈[-1,1],则y=t2-t=-的图象所在抛物线的对称轴方程为t=,所以y=t2-t在上单调递减,在上单调递增,所以当t=-1时,ymax=2,当t=时,ymin=-,所以函数f(x)=tan2x-tan x,x∈的最大值与最小值之和为2-=.
探究点二
例2 (1)B (2)A (3),k∈Z
[解析] (1)函数y=tan(πx-1)的最小正周期为=1.故选B.
(2)f(x)=cos+tan x=sin x+tan x的定义域为,关于原点对称.又f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-(sin x+tan x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,故选A.
(3)∵y=tan x的图象的对称中心为,k∈Z,∴令x+=,k∈Z,得x=kπ-,k∈Z,∴f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.
变式 (1)C (2)-(答案不唯一)
[解析] (1)f(x)的最小正周期为=2.故选C.
(2)因为f(x)=tan(x+φ)的图象关于点中心对称,所以+φ=,k∈Z,解得φ=-+,k∈Z,所以常数φ的一个取值为-.
探究点三
例3 C [解析] 由kπ-变式 (k∈Z)
[解析] f(x)=3tan=-3tan,由kπ-<-例4 解:(1)因为tan=tan,tan=tan,且0<<<,y=tan x在上单调递增,
所以tan(2)因为tan=-tan,tan=-tan,
且0<<<,y=tan x在上单调递增,
所以tan>tan,所以-tan<-tan,即tan变式 tan 2[解析] 因为y=tan x在区间上单调递增,且tan 1=tan(π+1),<2<3<4<π+1<,所以tan 21.函数y=tan的定义域是 ( )
A.
B.
C.
D.
2.函数y=tan,x∈的值域为 ( )
A.(1,] B.[1,] C.[1,) D.(1,)
3.下列点中是函数f(x)=tan+1的图象的对称中心的是 ( )
A. B.
C.(0,1) D.
4.[2025·兰州西北师大附中高一月考] 函数f(x)=tan是 ( )
A.最小正周期为4π的奇函数
B.最小正周期为2π的奇函数
C.最小正周期为4π的偶函数
D.最小正周期为2π的偶函数
5.函数f(x)=cos x|tan x|的部分图象为 ( )
A B
C D
6.(多选题)下列不等式成立的是 ( )
A.tan 1<-tan 2 B.tan 375°>tan 800°
C.tan>tan D.tan>tan
7.函数f(x)=tanx的单调递增区间为 .
8.不等式tan≤的解集为 .
9.(13分)画出函数y=|tan x|的图象,并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性.
10.若函数f(x)=tan(ω>0)的最小正周期为π,则 ( )
A.f(2)>f(0)>f
B.f(0)>f(2)>f
C.f(0)>f>f(2)
D.f>f(0)>f(2)
11.(多选题)关于函数f(x)=2tan,下列说法正确的是 ( )
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.f(x)在上单调递增
C.f(x)的图象关于点,k∈Z对称
D.f(x)在区间(0,π)上有两个零点
12.已知函数f(x)=tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y=所得的线段长为,则f的值是 .
13.[2024·江西南昌19中高一期末] 已知函数f(x)=tan(2x-φ)的单调递增区间是(k∈Z),则f(x)在上的最大值为 .
14.(15分)[2025·江西部分学校高一月考] 已知函数f(x)=tan.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)求不等式f(x)≤的解集.
15.[2024·驻马店高一期末] 已知当x∈时,函数y=+2mtan不单调,其中m≠±1,则实数m的取值范围是 .
16.(15分)已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,x∈[-1,],其中θ∈.
(1)当θ=-时,求函数f(x)的最大值和最小值;
(2)若f(x)在区间[-1,]上单调,求θ的取值范围.
5.4.3 正切函数的性质与图象
1.D [解析] 由x-≠kπ+,k∈Z,得x≠kπ+,k∈Z,则该函数的定义域是.故选D.
2.A [解析] 由03.D [解析] 令2x+=,k∈Z,解得x=-,k∈Z,当k=1时,x=,此时函数f(x)图象的对称中心为,故选D.
4.B [解析] 由≠+kπ(k∈Z),得x≠π+2kπ(k∈Z),所以f(x)的定义域为{x|x≠π+2kπ,k∈Z},又f(-x)=tan=-tan=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,f(x)的最小正周期T==2π.故选B.
5.B [解析] f(x)=cos x|tan x|=其定义域为.当x∈时,f(x)=sin x>0;当x∈时,f(x)=-sin x<0;当x∈时,f(x)=sin x<0;当x∈时,f(x)=-sin x>0.结合定义域可知B中图象符合题意.故选B.
6.AC [解析] ∵-tan 2=tan(π-2),且0<1<π-2<,y=tan x在上单调递增,∴tan 1<-tan 2,选项A中不等式成立;∵tan 375°=tan(360°+15°)=tan 15°,tan 800°=tan(720°+80°)=tan 80°,∴由正切函数的单调性得tan 15°tan,选项C中不等式成立;tan=tan=tan7.(6k-3,6k+3),k∈Z [解析] 由-+kπ8.
[解析] 由不等式tan≤,得kπ-9.解:由y=|tan x|,得y=
故该函数的图象如图所示.
由图象可知,函数y=|tan x|是偶函数,单调递增区间为(k∈Z),单调递减区间为(k∈Z),最小正周期为π.
10.C [解析] 由函数f(x)=tan(ω>0)的最小正周期为π,可得=π,解得ω=1,则f(x)=tan,令-+kππ>>2>,所以f(0)>f>f(2).故选C.
11.CD [解析] 对于选项A,函数f(x)的最小正周期T=,故A错误;对于选项B,例如取x=∈,则2x-=,可知此时f(x)无意义,所以f(x)在上不单调,故B错误;对于选项C,令2x-=,k∈Z,解得x=+,k∈Z,所以f(x)的图象关于点,k∈Z对称,故C正确;对于选项D,因为x∈(0,π),所以2x-∈,令2x-=0或2x-=π,解得x=或x=,所以f(x)在区间(0,π)上有两个零点,,故D正确.故选CD.
12.0 [解析] 由题意得函数f(x)的最小正周期T==,∴ω=4,∴f(x)=tan 4x,∴f=tan π=0.
13. [解析] 令-+kπ<2x-φ<+kπ,k∈Z,解得-++kπ14.解:(1)由-≠kπ+(k∈Z),解得x≠2kπ+(k∈Z),
∴f(x)的定义域为.
(2)令-+kπ<-<+kπ(k∈Z),解得-+2kπ∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z),无单调递减区间.
(3)由f(x)≤,得-+kπ<-≤+kπ(k∈Z),解得-+2kπ∴不等式f(x)≤的解集为(k∈Z).
15.(-1,1) [解析] ∵y=+2mtan,∴当x∈时,y=-2tan+2mtan=(-2+2m)tan,当x∈时,y=2tan+2mtan=(2+2m)tan.∵当x∈时,函数y=+2mtan不单调,∴(-2+2m)(2+2m)<0,∴-116.解:(1)当θ=-时,f(x)=x2-x-1=-.
∵x∈[-1,],∴当x=时,f(x)取得最小值-,
当x=-1时,f(x)取得最大值.
(2)f(x)=(x+tan θ)2-1-tan2θ是关于x的二次函数,其图象的对称轴为直线x=-tan θ.
∵f(x)在区间[-1,]上单调,
∴-tan θ≤-1或-tan θ≥,
即tan θ≥1或tan θ≤-.
又θ∈,∴θ的取值范围是∪.(共64张PPT)
5.4 三角函数的图象与性质
5.4.3 正切函数的性质与图象
探究点一 正切函数的定义域、值域
探究点二 正切函数的奇偶性、周期性
探究点三 正切函数的单调性及应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能根据正切函数的性质画出正切函数的图象;知道正切函数的周期
性、单调性及最值、奇偶性（对称性）等.
2.能根据图象描述正切函数在 上的性质,并能根据这些性质解
决简单的三角函数问题.
知识点 正切函数的图象与性质
1.正切函数的图象：如图所示,正切曲线是由被与 轴平行的一系列直
线_________________所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.
,
2.正切函数的性质
解析式
图象 ___________________________________________________________
定义域 _ __________________________
值域 ___
最小正周期 ___
奇偶性 ________
单调性 在每一个区间_ _____________________上都单调递增
对称中心
奇函数
续表
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）正切函数的定义域和值域都是 .( )
×
（2）正切函数在每一个开区间 上都单调递
增.( )
√
（3）函数与的最小正周期相等,都是 .( )
√
（4）正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心．( )
√
探究点一 正切函数的定义域、值域
例1（1）［2025·镇江实验高级中学高一期末］函数
的定义域是____________________.
[解析] 由 ,,得, ，
故函数的定义域为 .
（2）函数， 的值域为_________.
[解析] ， ，
， 函数的值域为 .
变式（1）［2025·吉林G8教考联盟高一期末］ 的定
义域为( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 令，,
则函数 的定义域为，
函数的定义域为 ，
所以，可得 ，
所以的定义域为 .
故选A.
（2）函数， 的最大值与最小值之和
为__.
[解析] 令，，则 ，
则的图象所在抛物线的对称轴方程为 ，
所以在上单调递减，在 上单调递增，
所以当时，，当时， ，
所以函数， 的最大值与最小值之和为
.
［素养小结］
（1）求函数的定义域时，要将
视为一个整体，令，，求解即可.
（2）求与正切函数有关的函数值域的方法：
①对于的值域，可以把 看
成整体，结合图象，利用单调性求值域；
②对于与相关的二次函数，可以把看成整体，利用配
方法求值域.
探究点二 正切函数的奇偶性、周期性
例2（1）［2024·广东佛山高一期中］函数 的最小正
周期为( )
A.2 B.1 C. D.
[解析] 函数的最小正周期为 .故选B.
√
（2）函数 为( )
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数
[解析] 的定义域为
，关于原点对称.
又 ，
所以函数 为奇函数，故选A.
√
（3）函数 的图象的对称中心为______________
____.
,
[解析] 的图象的对称中心为,，
令,，得,，
的图象的对称中心为, .
变式（1）函数 的最小正周期是( )
A. B. C.2 D.4
[解析] 的最小正周期为 .故选C.
√
（2）函数的图象关于点中心对称，则常数
的一个取值为___________________.
（答案不唯一）
[解析] 因为的图象关于点 中心对称，
所以,，解得,，
所以常数 的一个取值为 .
［素养小结］
（1）形如的函数的最小正周期，
也可以利用函数图象判断.
（2）正切曲线的对称中心为，解关于对称中心的题目
时要从整体性入手求出具体范围.
探究点三 正切函数的单调性及应用
角度1 求正切函数的单调区间
例3 函数 的单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由 ，
可得，
所以函数 的单调递增区间为 ，
故选C.
变式 函数 的单调递减区间为__________________
__________.
[解析] ，
由 ,得，
所以 的单调递减区间为 .
［素养小结］
的单调区间的求法是把 看成一个整
体，解 ，即可.当时，先用
诱导公式把的系数化为正值再求单调区间.
角度2 比较大小
例4 不求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小.
（1）与 ；
解：因为， ，
且，在 上单调递增，
所以 ，
即 .
例4 不求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小.
（2）与 .
解：因为， ，
且，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
即 .
变式 ,,, 的大小关系为_______________________
_____.（用“ ”连接）
[解析] 因为在区间 上单调递增,
且, ,
所以 .
［素养小结］
运用正切函数的单调性比较大小的步骤：
（1）运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内；
（2）运用正切函数的单调性比较大小.
1.正切函数的图象与性质
（1）正切函数的图象是被与 轴平行的一系列直线
分割而成的平行曲线.把直线 称
为正切曲线的渐近线，正切曲线无限接近渐近线.
（2）正切函数的图象关于原点对称，正切曲线是中心对称图形，其
对称中心是 .正切曲线不是轴对称图形，不存在对称轴.
2.在每一个区间， 内都单调递增，在
整个定义域内不具有单调性，它不会在某一个区间内单调递减.
1.利用正切函数的图象解不等式
解含有正切函数的不等式时,可先画出正切函数在一个周期内的图象,
由图象可得到在一个周期内满足不等式的解,然后再加上周期的整数
倍,即可得到满足不等式的解.
例1 解下列不等式：
（1） ；
解：作出函数在区间 内的图象如图，
因为 ，
所以此时满足的的取值范围是 ，
又函数的最小正周期为 ，
所以满足的的取值范围是 .
例1 解下列不等式：
（2） .
解：作出函数在区间 内的图象如图.
因为，,
所以此时满足 的的取值范围是 ，
又函数的最小正周期为 ，
所以满足的 的取值范围是 .
2.含正切函数的复合函数的单调性
要注意正切函数在每一个区间， 上单调递增，
对每一个由正切函数构成的复合函数的单调性利用“同增异减”的法
则求解．其方法如下：从定义域出发，先确定内层函数的单调性，
再判断外层函数的单调性，最后利用“同增异减”的法则得到复合函
数的单调性．
例2 讨论函数且 的单调性．
解：，，设 .
当时，是增函数，
在区间 上单调递增，
函数在区间 上单调递增；
当时，是减函数，
在区间 上单调递增，
函数在区间 上单调递减.
练习册
1.函数 的定义域是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由，，得， ，
则该函数的定义域是 .
故选D.
√
2.函数， 的值域为( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，
所以，则 ，
所以所求函数的值域为 .
故选A.
√
3.下列点中是函数 的图象的对称中心的
是 ( )
A. B. C. D.
[解析] 令,，解得,，
当 时，，此时函数图象的对称中心为 ，
故选D.
√
4.［2025·兰州西北师大附中高一月考］函数 是( )
A.最小正周期为 的奇函数 B.最小正周期为 的奇函数
C.最小正周期为 的偶函数 D.最小正周期为 的偶函数
[解析] 由，得，
所以 的定义域为 , ，
又，
所以函数为奇函数， 的最小正周期 .
故选B.
√
5.函数 的部分图象为( )
A. B.
C. D.
√
[解析]
其定义域为．
当时, ；当时,；
当 时,；当时, .
结合定义域可知B中图象符合题意.
故选B.
6.（多选题）下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] ,且,
在 上单调递增, ,选项A中不等式成立;
,
,
由正切函数的单调性得,即,
选项B中不等式不成立;
,在上单调递增， ,
选项C中不等式成立;
,选项D中不等式不成立.
故选 .
7.函数 的单调递增区间为______________________.
，
[解析] 由 ， ，
解得，，
故函数 的单调递增区间为， .
8.不等式 的解集为_________________________.
[解析] 由不等式，得 ，，
解得 ， ，
所以不等式的解集为 .
9.（13分）画出函数 的图象，并根据图象判断其单调区间、
奇偶性、周期性.
解：由 ，得
故该函数的图象如图所示.
由图象可知，函数 是偶函数，单调递增区间为
，单调递减区间为 ，
最小正周期为 .
10.若函数的最小正周期为 ，则( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由函数的最小正周期为 ，
可得 ，解得，则 ，
令,,得, ，
当时，，即函数在 上单调递增，
又,， ，
所以 .
故选C.
11.（多选题）关于函数 ，下列说法正确的
是 ( )
A.函数的最小正周期为
B.在 上单调递增
C.的图象关于点, 对称
D.在区间 上有两个零点
√
√
[解析] 对于选项A，函数的最小正周期 ，故A错误；
对于选项B,例如取,则,可知此时 无意义，
所以在上不单调，故B错误；
对于选项C，令 , ，解得,，
所以的图象关于点 , 对称，故C正确；
对于选项D，因为 ，所以，
令或 ，解得 或，
所以在区间上有两个零点， ，故D正确.
故选 .
12.已知函数的图象的相邻两支截直线 所
得的线段长为,则 的值是___.
0
[解析] 由题意得函数的最小正周期, ,
, .
13.［2024·江西南昌19中高一期末］已知函数
的单调递增区间是
，则在 上的最大值为___.
[解析] 令 , ，
解得 ,，
故 且，解得，所以.
当 时，，所以在上单调递增，
故在 上的最大值为 .
14.（15分）［2025·江西部分学校高一月考］ 已知函数
.
（1）求函数 的定义域；
解：由，解得 ，
的定义域为 .
14.（15分）［2025·江西部分学校高一月考］ 已知函数
.
（2）求函数 的单调区间；
解：令 ，
解得 ，
的单调递增区间为 ，
无单调递减区间.
14.（15分）［2025·江西部分学校高一月考］ 已知函数
.
（3）求不等式 的解集.
解：由，得 ，
解得 ，
不等式的解集为 .
15.［2024·驻马店高一期末］已知当 时，函数
不单调，其中，则实数
的取值范围是_______.
[解析] ，
当 时，
，
当 时,
.
当时，函数 不单调，
， .
16.（15分）已知函数， ，其中
.
（1）当时，求函数 的最大值和最小值；
解：当时， .
， 当时，取得最小值 ，
当时，取得最大值 .
16.（15分）已知函数， ，其中
.
（2）若在区间上单调，求 的取值范围.
解： 是关于 的二次函数，
其图象的对称轴为直线 .
在区间 上单调，
或 ，
即或 .
又， 的取值范围是 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点 1. ,
2. 奇函数
【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）√ （4）√
课中探究 探究点一 例1（1） （2）
变式 （1）A （2）
探究点二 例2 （1）B （2）A （3）,
变式 （1）C （2）（答案不唯一）
探究点三 角度1 例3 C 变式
角度2 例4 （1）（2）<
变式
快速核答案（练习册）
1.D 2.A 3.D 4.B 5.B 6.AC 7.，
8. 9. 如图所示
单调递增区间为，
单调递减区间为，最小正周期为
10.C 11.CD 12.0 13.
14.（1）（2）单调递增区间为，
无单调递减区间（3）
15. 16.（1）最小值,最大值（2）
