5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时 两角差的余弦公式
【学习目标】
1.了解两角差的余弦公式的推导过程.
2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算.
◆ 知识点一 三角表示与单位圆
在平面直角坐标系xOy中,设角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点P,将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q(x2,y2),则x2= .若按逆时针方向旋转,则x2= .
◆ 知识点二 两角差的余弦公式
cos(α-β)= .(C(α-β))
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于任意α,β∈R,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β都成立. ( )
(2)对于任意α,β∈R,cos(α-β)=cos α-cos β都不成立. ( )
(3)cos 30°cos 120°+sin 30°sin 120°=0. ( )
2.观察下表中的数据,写出你的发现: .
cos(60°-30°) cos 60° cos 30° sin 60° sin 30°
cos(120°-60°) cos 120° cos 60° sin 120° sin 60°
-
◆ 探究点一 给角求值
例1 (1)计算:cos(-15°)= .
(2)①化简:cos θcos(θ+π)+sin θsin(θ+π)= .
②[2024·哈尔滨六中高一期末] 已知a=cos 72°cos 12°-sin 108°cos 102°,则a= .
变式 化简求值.
①cos 56°cos 26°+sin 56°sin 26°= ;
②cos(θ+21°)cos(θ-39°)+sin(θ+21°)sin(θ-39°)= ;
③cos+cos= .
[素养小结]
1.解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路:
(1)把非特殊角转化为特殊角的差的形式,正用两角差的余弦公式直接求值;
(2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.
2.两角差的余弦公式的结构特点:
(1)同名三角函数相乘,即两角余弦乘余弦,正弦乘正弦;
(2)把所得的积相加.
◆ 探究点二 给值求值
例2 (1)若sin θ=,θ是第二象限角,sin=-,φ是第三象限角,求cos(θ-φ)的值.
(2)已知α,β为锐角,且cos α=,cos(α+β)=-,求cos β的值.
变式 若α∈(0,π),且cos=,则cos α等于 ( )
A. B.
C. D.
[素养小结]
给值求值问题的解题策略:
(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值时,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,然后进行拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.
常见角的变换:
①α=(α-β)+β;②α=+;
③2α=(α+β)+(α-β);④2β=(α+β)-(α-β).
拓展 已知sin α-sin β=1-,cos α-cos β=,则cos(α-β)= .
◆ 探究点三 给值求角
例3 已知cos α=,cos(α+β)=-,且α,β∈,求β的大小.
变式 若cos 2α=-,sin(α-β)=,且α∈,β∈,求α+β的值.
[素养小结]
“给值求角”问题,实际上也可转化为“给值求值”问题,求一个角的大小,可分以下三步进行:
(1)求角的某一三角函数值;(2)确定角所在的范围(找区间);(3)确定角的大小.
用所求角的哪种三角函数值,要根据具体题目而定.
提醒:由三角函数值求角时,易忽视角的范围,而得到错误答案.
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时 两角差的余弦公式
【课前预习】
知识点一
-sin α cos
知识点二
cos αcos β+sin αsin β
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)√ [解析] (1)该结论为两角差的余弦公式.
(2)当α=-45°,β=45°时,cos(α-β)=cos(-45°-45°)=cos(-90°)=0,cos α-cos β=cos(-45°)-cos 45°=0,此时cos(α-β)=cos α-cos β.
(3)cos 30°cos 120°+sin 30°sin 120°=cos(120°-30°)=cos 90°=0.
2.cos(60°-30°)=cos 60°cos 30°+sin 60°sin 30°;cos(120°-60°)=cos 120°cos 60°+sin 120°sin 60°
【课中探究】
探究点一
例1 (1) (2)①-1 ②
[解析] (1)方法一:cos(-15°)=cos(45°-60°)=cos 45°cos 60°+sin 45°sin 60°=×+×=.
方法二:cos(-15°)=cos(30°-45°)=cos 30°cos 45°+sin 30°sin 45°=×+×=.
(2)①原式=cos[θ-(θ+π)]=cos(-π)=cos π=-1.
②a=cos 72°cos 12°-sin 108°cos 102°=cos 72°cos 12°-sin 72°(-sin 12°)=cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°=cos(72°-12°)=cos 60°=.
变式 ① ② ③ [解析] ①原式=cos(56°-26°)=cos 30°=.
②原式=cos[(θ+21°)-(θ-39°)]=cos 60°=.
③原式=coscos+sincos=coscos+sinsin=cos=cos=.
探究点二
例2 解:(1)因为sin θ=,θ是第二象限角,所以cos θ=-.
因为sin=cos φ=-,且φ是第三象限角,所以sin φ=-,
所以cos(θ-φ)=cos θcos φ+sin θsin φ=×+×=.
(2)因为0<α,β<,所以0<α+β<π.由cos(α+β)=-,得sin(α+β)===.
因为cos α=,所以sin α=,
所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+×=.
变式 C [解析] 因为α∈(0,π),且cos=,所以sin=,所以cos α=cos=coscos+sinsin=×+×=.故选C.
拓展 [解析] 因为sin α-sin β=1-,所以sin2α-2sin αsin β+sin2β=①.因为cos α-cos β=,所以cos2α-2cos αcos β+cos2β=②.①+②得1-2cos(α-β)+1=1-++,所以-2cos(α-β)=-,所以cos(α-β)=.
探究点三
例3 解:∵α,β∈,且cos α=,cos(α+β)=-,
∴α+β∈,∴sin α==,sin(α+β)==.
∵β=(α+β)-α,∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+×=,∴β=.
变式 解:∵α∈,∴2α∈,∴sin 2α==.
∵β∈,∴α-β∈,∴cos(α-β)=-=-,
∴cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos 2αcos(α-β)+sin 2αsin(α-β)=-×+×=.
∵α+β∈,∴α+β=-.5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时 两角差的余弦公式
1.cos 52°cos 22°+sin 52°sin 22°= ( )
A. B.
C.sin 74° D.cos 74°
2.cos(-75°)的值是 ( )
A. B.
C. D.
3.[2024·江西师大附中高一期中] 化简-sin(x+y)sin(x-y)-cos(x+y)cos(x-y)的结果是 ( )
A.sin 2y B.cos 2y
C.-cos 2y D.-sin 2y
4.已知点P(1,2)是角α终边上一点,则cos等于 ( )
A. B.
C.- D.
5.已知α∈,sin=,则cos α的值为 ( )
A. B. C. D.
6.(多选题)[2024·江苏启东中学高一月考] 若α∈[0,2π],sinsin+coscos=0,则α的值可能是 ( )
A. B. C. D.
7.若cos=1,则cos θ= .
8.计算:sin +cos = .
9.(13分)(1)计算:.
(2)[2025·江苏无锡高一期末] 已知α,β均为锐角,且sin α=,cos(α+β)=-,求cos β的值.
10.已知cos=,则cos x+cos= ( )
A.-1 B.1
C. D.
11.(多选题)已知α,β,γ∈,sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,则 ( )
A.cos(β-α)= B.cos(β-α)=-
C.β-α= D.β-α=-
12.[2025·吉林白城实验高级中学高一期末] 已知cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α=m,且β为第三象限角,则sin β= .
13.若0<α<,-<β<0,cos=,cos=,则cos= .
14.(15分)已知点A为单位圆上一点,∠xOA=,若将点A沿单位圆按逆时针方向旋转角α后与点B重合,求cos α的值.
15.(多选题)若-sin x+cos x=cos(x-φ),则φ的值可能是 ( )
A.- B.- C. D.
16.(15分)已知<α<,0<β<,sin=,cos(α+β)=-.
(1)求cos α的值;
(2)求cos的值.
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时 两角差的余弦公式
1.B [解析] cos 52°cos 22°+sin 52°sin 22°=cos(52°-22°)=cos 30°=.故选B.
2.C [解析] cos(-75°)=cos(45°-120°)=cos 45°·cos 120°+sin 45°sin 120°=×+×=.故选C.
3.C [解析] 原式=-[cos(x+y)cos(x-y)+sin(x+y)sin(x-y)]=-cos 2y.故选C.
4.A [解析] 由题意可得sin α=,cos α=,则cos=coscos α+sinsin α=×+×=.故选A.
5.A [解析] 因为α∈,所以α-∈,所以cos>0,所以由sin=可得cos=,故cos α=cos=coscos-sinsin=cos-sin=.故选A.
6.CD [解析] 因为α∈[0,2π],sinsin+coscos=cos α=0,所以α=或α=.故选CD.
7. [解析] 因为cos=1,所以sin=0,所以cos θ=cos=coscos+sinsin=1×+0×=.
8. [解析] 原式=2=2=2cos=2cos =.
9.解:(1)原式==
=
=cos 15°=cos(60°-45°)=cos 60°cos 45°+sin 60°sin 45°=.
(2)因为α为锐角,且sin α=,
所以cos α==.
因为cos(α+β)=-,且0<α+β<π,所以sin(α+β)==,
所以cos β=cos [(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=.
10.B [解析] ∵cos=,∴cos x+cos=cos x+cos x+sin x==cos=×=1.故选B.
11.AC [解析] sin γ=sin β-sin α,cos γ=cos α-cos β,两式分别平方再相加,得(sin β-sin α)2+(cos α-cos β)2=1,∴-2cos(β-α)=-1,∴cos(β-α)=,∴A正确,B错误.∵α,β,γ∈,∴sin γ=sin β-sin α>0,∴β>α,∴β-α=,∴C正确,D错误.故选AC.
12.- [解析] ∵cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α=cos[(α-β)-α]=m,∴cos β=m.又∵β为第三象限角,∴sin β=-=-.
13. [解析] ∵0<α<,∴<+α<,又cos=,∴sin=.∵-<β<0,∴<-<,又cos=,∴sin=,则cos=cos =coscos+sinsin=×+×=.
14.解:由题得A,
即A,且cos=-,sin=,
∴cos α=cos=coscos+sinsin=-×+×=.
15.AC [解析] 由两角差的余弦公式知,cos φ=,sin φ=-,故φ=-和φ=满足题意,φ=-和φ=不满足题意,故选AC.
16.解:(1)∵<α<,
∴α+∈,
又cos2+sin2=1,sin=,
∴cos=-,
∴cos α=cos ==.
(2)∵<α<,0<β<,∴α+β∈,
又sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,cos(α+β)=-,
∴sin(α+β)=,∴cos=cos=cos(α+β)cos+sin(α+β)sin=-×+×=.(共51张PPT)
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时 两角差的余弦公式
探究点一 给角求值
探究点二 给值求值
探究点三 给值求角
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解两角差的余弦公式的推导过程.
2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进
行求值、计算.
知识点一 三角表示与单位圆
在平面直角坐标系中，设角 的始边与 轴的非负半轴重合，终
边与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转 后
与单位圆交于点，则________.若按逆时针方向旋转 ，
则 ___________.
知识点二 两角差的余弦公式
_____________________
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）对于任意 ，， 都
成立.( )
√
[解析] 该结论为两角差的余弦公式.
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）对于任意 ，， 都不成立.
( )
×
[解析] 当 ， 时，
，
，
此时 .
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3） .( )
√
[解析]
.
2.观察下表中的数据,写出你的发现：___________________________
___________________________________________________________
_______________________________________________.
;
探究点一 给角求值
例1（1）计算: _ _____.
[解析] 方法一：
.
方法二： .
（2）①化简: ___.
-1
[解析] 原式 .
②［2024·哈尔滨六中高一期末］已知
，则 __.
[解析]
.
变式 化简求值.
① _ __；
[解析] 原式 .
变式 化简求值.
② __；
[解析] 原式 .
变式 化简求值.
③ ___.
[解析] 原式
.
［素养小结］
1.解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路：
（1）把非特殊角转化为特殊角的差的形式，正用两角差的余弦公式
直接求值；
（2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的
结构形式，然后逆用公式求值.
2.两角差的余弦公式的结构特点：
（1）同名三角函数相乘，即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦；
（2）把所得的积相加.
探究点二 给值求值
例2（1）若， 是第二象限角，， 是
第三象限角，求 的值.
解：因为， 是第二象限角，所以 .
因为，且 是第三象限角，
所以 ，
所以 .
（2）已知 ， 为锐角，且，，求
的值.
解：因为 ，，所以 .
由 ，
得 .
因为，所以 ，
所以 .
变式 若，且，则 等于( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，且，所以 ，
所以
.
故选C.
√
［素养小结］
给值求值问题的解题策略：
（1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要
注意观察已知角与所求表达式中角的关系，然后进行拆角与凑角.
（2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要
灵活地进行拆角或凑角.
常见角的变换：
；；
；.
拓展 已知， ，则
___.
[解析] 因为 ，
所以.
因为 ，所以.
得，
所以 ，所以 .
探究点三 给值求角
例3 已知,,且,,求 的大小.
解： ,,且, ,,
, .
,
,
.
变式 若,,且 ,
,求 的值.
解：,, .
,
, ,
.
, .
［素养小结］
“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的
大小，可分以下三步进行：
（1）求角的某一三角函数值；（2）确定角所在的范围（找区间）；
（3）确定角的大小.
用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.
提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.
对两角差的余弦公式的理解
（1）公式中的 ， 都是任意角.
（2）差角的余弦公式不能按分配律展开，即一般情况下，
.
（3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用
更能简捷地处理问题.如由 能迅速地
想到 ，
又如 .
（4）记忆：公式右边的两部分为同名三角函数的积，其连接符号与
左边角的连接符号相反.
三角函数给值求值（角）问题
利用两角差的余弦公式求解给值求值（角）问题时，要注意公式的
结构特征，从本质上使用公式,即把所求的角分解成某两个角的差,并
且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的,再代入公式即可求
解，注意所求角的范围.
例1 ［2024·浙江嘉兴高一期末］已知, 都是锐角，
,，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为 , 都是锐角，所以 ，
则, ，
所以
.
故选B.
例2 ［2024·安徽阜阳高一期末］已知 .
（1）化简 ；
解：原式 .
例2 ［2024·安徽阜阳高一期末］已知 .
（2）若 , 均为锐角，,，求 的值.
解：因为，所以 ，
又 , 均为锐角，所以 , ，
则由，得 ，
所以 ，
故 .
练习册
1. ( )
A. B. C. D.
[解析] .
故选B.
√
2. 的值是( )
A. B. C. D.
[解析] .
故选C.
√
3.［2024·江西师大附中高一期中］化简
的结果是( )
A. B. C. D.
[解析] 原式 .
故选C.
√
4.已知点是角 终边上一点，则 等于( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得， ，
则 .
故选A.
√
5.已知，，则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以，所以 ，
所以由可得 ，
故
.
故选A.
√
6.（多选题）［2024·江苏启东中学高一月考］ 若 ，
，则 的值可能是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为， ，
所以或.
故选 .
√
√
7.若，则 __.
[解析] 因为，所以，
所以 .
8.计算： ____.
[解析] 原式 .
9.（13分）
（1）计算： .
解：原式
.
9.（13分）
（2）［2025·江苏无锡高一期末］已知 , 均为锐角，且
,，求 的值.
解：因为 为锐角，且 ，
所以 .
因为，且 ，
所以 ,
所以 .
10.已知，则 ( )
A. B.1 C. D.
[解析] ，
.
故选B.
√
11.（多选题）已知 ， ，， ，
，则( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] ， ，
两式分别平方再相加，得 ，
，，正确，B错误.
， ，，， ，
，正确，D错误.
故选 .
12.［2025·吉林白城实验高级中学高一期末］已知
，且 为第三象限角，则
__________.
[解析] ，
.
又 为第三象限角，
.
13.若，，， ，
则 _ ___.
[解析] ,,
又 ,.
, ,又,,
则
.
14.（15分）已知点为单位圆上一点，，若将点 沿单位
圆按逆时针方向旋转角 后与点重合，求 的值.
解：由题得 ,即,且, ,
.
15.（多选题）若，则 的值可能
是( )
A. B. C. D.
[解析] 由两角差的余弦公式知，， ，
故和满足题意，和不满足题意，
故选 .
√
√
16.（15分）已知，， ，
.
（1）求 的值；
解： ， ，
又， ，
，
.
16.（15分）已知，， ，
.
（2）求 的值.
解：，， ，
又， ，
， .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一
知识点二
【诊断分析】 1.（1）√ （2）× （3）√
2.;
课中探究 探究点一 例1 （1） （2）①-1 ②
变式 ① ② ③
探究点二 例2（1）（2） 变式 C 拓展
探究点三 例3 变式
快速核答案（练习册）
1.B 2.C 3.C 4.A 5.A 6.CD
7. 8. 9.（1）（2）
10.B 11.AC
12. 13. 14.
15.AC 16.（1）（2）
