第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
【学习目标】
1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
2.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式,并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换.
◆ 知识点一 两角和与差的正弦、余弦公式
1.两角差的余弦公式:
cos(α-β)= .(C(α-β))
2.两角和的余弦公式:
cos(α+β)= .(C(α+β))
3.两角和的正弦公式:
sin(α+β)= .(S(α+β))
4.两角差的正弦公式:
sin(α-β)= .(S(α-β))
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的. ( )
(2)存在α,β∈R,使sin(α-β)=sin α-sin β成立. ( )
(3)对于任意α,β∈R,sin(α+β)=sin α+sin β都不成立. ( )
(4)sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x)=1. ( )
◆ 知识点二 两角和与差的正切公式
1.两角和的正切公式:
tan(α+β)= .(T(α+β))
2.两角差的正切公式:
tan(α-β)= .(T(α-β))
3.两角和的正切公式的变形
=tan(α+β),1-tan αtan β=,tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),tan αtan β=1-.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于任意α,β∈R,tan(α+β)=都成立. ( )
(2)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tan α+tan β成立. ( )
(3)tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°=1. ( )
◆ 探究点一 给角求值
例1 求下列各式的值.
(1)cos 75°;
(2)sin 15°;
(3)sin 81°cos 69°+cos 81°sin 69°;
(4).
变式 (1)sin 109°cos 296°+cos 71°sin 64°= ( )
A. B. C. D.1
(2)的值为 ( )
A. B.1 C. D.2
[素养小结]
解决给角求值问题的策略:
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,若整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形;
(2)在逆用两角和与差的正弦、余弦、正切公式时,首先要看结构是否符合公式特点,其次看角是否满足要求.
◆ 探究点二 给值求值
例2 已知α∈,β∈,tan α=,cos(α-β)=.
(1)求sin;
(2)求sin β.
例3 已知sin α=,α∈,tan(π-β)=,则tan(α-β)= ,tan(α+β)= .
变式 已知sin α=,sin β=,α∈,β∈,求cos(α+β),sin(α+β),tan(α-β)的值.
[素养小结]
解决给值求值与给式求值问题时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、凑角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角,其具体做法如下:(1)当条件中有两角时,一般把所求角表示为已知两角的和或差;(2)当已知角有一个时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角.
◆ 探究点三 给值求角
例4 已知sin α=,cos β=,且α,β∈,求α+β的值.
变式 [2024·江苏启东中学高一月考] 已知tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两根,且-<α<,-<β<.求:
(1)tan(α+β);
(2)α+β.
[素养小结]
解决给值求角问题的关键是求出所求角的某一三角函数值,而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定,当所求角的范围是(0,π)或(π,2π)时,选取求余弦值,当所求角的范围是或时,选取求正弦值.
第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
【课前预习】
知识点一
1.cos αcos β+sin αsin β
2.cos αcos β-sin αsin β
3.sin αcos β+cos αsin β
4.sin αcos β-cos αsin β
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)× (4)√
[解析] (1)根据公式的推导过程可得.
(2)当α=45°,β=0°时,sin(α-β)=sin α-sin β.
(3)当α=30°,β=-30°时,sin(α+β)=sin α+sin β成立.
(4)sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x)=sin[(54°-x)+(36°+x)]=sin 90°=1.
知识点二
1. 2.
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)当α=时,等式不成立.
(2)当α=,β=π时,tan(α+β)=tan=tan=1,tan α+tan β=tan+tan π=1,故正确.
(3)∵=tan(12°+33°)=tan 45°=1,∴tan 12°+tan 33°=1-tan 12°tan 33°,∴tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°=1.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)cos 75°=cos(45°+30°)=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°=×-×=.
(2)方法一:sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°=×-×=.
方法二:sin 15°=sin(60°-45°)=sin 60°cos 45°-cos 60°sin 45°=×-×=.
方法三:sin 15°=cos 75°=.
(3)sin 81°cos 69°+cos 81°sin 69°=sin(81°+69°)=sin 150°=sin 30°=.
(4)=tan(43°+17°)=tan 60°=.
变式 (1)B (2)A [解析] (1)sin 109°cos 296°+cos 71°sin 64°=sin(180°-71°)cos(360°-64°)+cos 71°sin 64°=sin 71°cos 64°+cos 71°sin 64°=sin(71°+64°)=sin 135°=.故选B.
(2)==tan(45°-15°)=tan 30°=.故选A.
探究点二
例2 解:(1)因为α∈,所以sin α>0,cos α>0,
由可得
所以sin=sin αcos+cos αsin=×+×=.
(2)因为α∈,β∈,所以-π<α-β<0,所以sin(α-β)<0,
所以sin(α-β)=-=-=-,
所以sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=.
例3 - -2 [解析] 因为sin α=,α∈,所以cos α=-,所以tan α=-.因为tan(π-β)=-tan β=,所以tan β=-,所以tan(α-β)===-,tan(α+β)===-2.
变式 解:∵sin α=,sin β=,α∈,β∈,
∴cos α==,cos β=-=-,
∴tan α=,tan β=,
故cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-,
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+×=-,
tan(α-β)==.
探究点三
例4 解:因为sin α=,cos β=,且α,β∈,
所以cos α=,sin β=,
所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-.
因为α,β∈,所以0<α+β<π,故α+β=.
变式 解:(1)因为tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两根,所以tan α+tan β=-3,tan αtan β=4,所以tan(α+β)===.
(2)因为tan α+tan β=-3,tan αtan β=4,所以tan α<0,tan β<0,
又-<α<,-<β<,故-<α<0,-<β<0,
所以-π<α+β<0,所以α+β=-.第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1.sin 75°= ( )
A. B.
C. D.
2.cos 14°cos 16°-cos 76°sin 16°= ( )
A. B.
C.- D.-
3.在△ABC中,A=,cos B=,则sin C等于 ( )
A. B.-
C. D.-
4.若tan α=,tan(α+β)=,则tan β等于 ( )
A. B.
C. D.
5.[2025·甘肃兰州一中高一期中] 若α,β为锐角,sin α=,cos(α+β)=,则sin β等于 ( )
A. B.
C. D.
6.(多选题)下面各式化简正确的是 ( )
A.cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°=cos 60°
B.cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°=cos 15°
C.sin(α+45°)sin α+cos(α+45°)cos α=cos 45°
D.cos=cos α+sin α
7.若sin=,则sin α+cos α= .
8.[2024·辽宁大连育明中学高一期中] 已知tan α=,tan β=,0<α<,π<β<,则α+β= .
9.(13分)已知P是角α的终边上一点.
(1)求sin的值;
(2)若tan(α+β)=,求tan β的值.
10.[2025·河北衡水冀州中学高一期中] 已知α,β∈,且sin α=tan β(1+cos α),则 ( )
A.2α+β= B.α+2β=
C.α=2β D.2α=β
11.(多选题)已知0<α<β<,且tan α,tan β是方程21x2-10x+1=0的两根,则下列选项中正确的是 ( )
A.tan(α+β)=
B.=
C.tan(α-β)=-
D.α+2β=
12.[2024·广东佛山顺德区高一期中] 已知0<β<α<,cos(α-β)=,且sin(α+β)=,则sin 2α的值为 .
13.[2024·湖北部分重点高中高一联考] 若α+β=,则(1-tan α)(1-tan β)的值为 .
14.(15分)已知0<α<,-<β<0,cos=,cos=.
(1)求cos的值;
(2)求sin β的值;
(3)求α-β的值.
15.帕普斯是古希腊数学家,伟大的几何学家,著有《数学汇编》,此书对数学史具有重大的意义,对前辈学者的著作进行了系统整理,并发展了前辈的某些思想,保存了很多古代珍贵的数学证明的资料.如图,利用帕普斯的几何图形直观证明思想,能简明快捷地证明一个数学公式,这个公式是 ( )
① ②
A.sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
B.sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
C.cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
D.cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
16.(15分)已知α,β都是锐角,且=cos(α+β).
(1)求证:tan β=;
(2)当tan β取最大值时,求tan(α+β)的值.
第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1.A [解析] sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=×+×=.
2.B [解析] 因为cos 76°=cos(90°-14°)=sin 14°,所以cos 14°cos 16°-cos 76°sin 16°=cos 14°cos 16°-sin 14°sin 16°=cos(14°+16°)=cos 30°=.故选B.
3.A [解析] 因为cos B=,且04.A [解析] tan β=tan[(α+β)-α]===.故选A.
5.A [解析] 因为α,β为锐角,sin α=,cos(α+β)=,所以cos α=,sin(α+β)=,则sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×-×=.故选A.
6.AC [解析] cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°=cos(80°-20°)=cos 60°,A正确;cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°=cos(45°+30°)=cos 75°≠cos 15°,B错误;sin(α+45°)sin α+cos(α+45°)cos α=cos(α+45°)cos α+sin(α+45°)sin α=cos[(α+45°)-α]=cos 45°,C正确;cos=cos αcos+sin αsin=cos α+sin α,D错误.故选AC.
7. [解析] 因为sin=sincos α+cossin α=,即cos α+sin α=,所以sin α+cos α=.
8. [解析] 因为tan α=,tan β=,0<α<,π<β<,所以tan(α+β)===1,又π<α+β<2π,所以α+β=.
9.解:(1)∵P在角α的终边上,
∴sin α=,cos α=-,
∴sin=sincos α+cossin α=cos α+sin α=×+×=.
(2)由(1)知sin α=,cos α=-,
∴tan α=-,
∴tan(α+β)===,∴tan β=2.
10.C [解析] 由sin α=tan β(1+cos α),可得sin αcos β=sin β(1+cos α),即sin αcos β-cos αsin β=sin β,∴sin(α-β)=sin β,又α,β∈,∴α-β∈,∴α-β=β,即α=2β.故选C.
11.AD [解析] 因为tan α,tan β是方程21x2-10x+1=0的两根,0<α<β<,所以tan α=,tan β=,所以tan(α+β)===,A选项正确;===,B选项错误;tan(α-β)===-,C选项错误;由0<α<β<,tan(α+β)=,得0<α+β<,所以0<α+2β<π,又tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]===1,所以α+2β=,D选项正确.故选AD.
12. [解析] ∵0<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=,∴0<α-β<,0<α+β<,∴sin(α-β)==,cos(α+β)==,∴sin 2α=sin[(α-β)+(α+β)]=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)=×+×=.
13.2 [解析] 因为α+β=,所以tan(α+β)=tan,即=-1,所以tan α+tan β=tan αtan β-1,所以(1-tan α)(1-tan β)=1-(tan α+tan β)+tan αtan β=1-(tan αtan β-1)+tan αtan β=2.
14.解:(1)∵0<α<,∴<α+<,
又cos=,
∴sin=.
∵-<β<0,∴<-<,
又cos=,
∴sin=,
∴cos=cos=coscos+sinsin=×+×=.
(2)∵cos=,sin=,
∴sin β=cos=cos=coscos-sinsin=-=-.
(3)cos α=cos=coscos+sinsin=×+×=,∵0<α<,∴sin α==.
由(2)知sin β=-,
∵-<β<0,∴cos β==,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×-×=,
又0<α-β<π,∴α-β=.
15.C [解析] 由题图①知cos(α+β)=OD,由题图②知cos αcos β=OA,sin αsin β=EB,又结合图形知,OD=OA-EB,即cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.故选C.
16.解:(1)证明:∵tan β==
==
sin αcos α-sin2αtan β,
∴(1+sin2α)tan β=sin αcos α,
∴tan β====.
(2)∵tan α>0,tan β>0,∴tan β=≤=,
当且仅当=2tan α,即tan α=时,等号成立,
∴(tan β)max=,此时tan(α+β)==×=.(共65张PPT)
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第2课时 两角和与差的正弦、余弦、
正切公式
探究点一 给角求值
探究点二 给值求值
探究点三 给值求角
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,
了解它们的内在联系.
2.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式,并能灵活运用这些公式
进行简单的恒等变换.
知识点一 两角和与差的正弦、余弦公式
1.两角差的余弦公式:
_____________________
2.两角和的余弦公式:
_____________________
3.两角和的正弦公式:
_____________________
4.两角差的正弦公式:
_____________________
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角 ， 是任意的.( )
√
[解析] 根据公式的推导过程可得.
（2）存在 ，，使 成立.( )
√
[解析] 当 ， 时， .
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）对于任意 ，， 都不成立.
( )
×
[解析] 当 ， 时， 成立.
（4） .( )
√
[解析] .
知识点二 两角和与差的正切公式
1.两角和的正切公式:
___________
2.两角差的正切公式:
___________
3.两角和的正切公式的变形
, ,
,
.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）对于任意 ,, 都成立.( )
×
[解析] 当 时,等式不成立.
（2）存在 ，，使 成立.( )
√
[解析] 当， 时， ，
，故正确.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3） .( )
√
[解析] ,
,
.
探究点一 给角求值
例1 求下列各式的值.
（1） ;
解： .
例1 求下列各式的值.
（2） ；
解：方法一：
.
方法二： .
方法三： .
例1 求下列各式的值.
（3） ；
解： .
（4） .
解： .
变式（1） ( )
A. B. C. D.1
[解析]
.
故选B.
√
（2） 的值为( )
A. B.1 C. D.2
[解析] .
故选A.
√
［素养小结］
解决给角求值问题的策略：
（1）对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局
部的基本原则，若整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进
行各局部的变形；
（2）在逆用两角和与差的正弦、余弦、正切公式时，首先要看结构
是否符合公式特点，其次看角是否满足要求.
探究点二 给值求值
例2 已知，，， .
（1）求 ；
解：因为，所以， ，
由可得
所以 .
例2 已知，，， .
（2）求 .
解：因为，，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
例3 已知，，，则
_____， ___.
-2
[解析] 因为,,所以 ,所以.
因为，所以 ，
所以 ，
.
变式 已知，，， ，求
，， 的值.
解：，，， ，
， ，
， ，
故 ，
，
.
［素养小结］
解决给值求值与给式求值问题时,一定要注意已知角与所求角之间的
关系,恰当地运用拆角、凑角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代
换化异角为同角,其具体做法如下:（1）当条件中有两角时,一般把所
求角表示为已知两角的和或差;（2）当已知角有一个时,可利用诱导
公式把所求角转化为已知角.
探究点三 给值求角
例4 已知,，且 ,，求 的值.
解：因为,,且 , ,
所以, ,
所以 .
因为 ,,所以 ,故 .
变式 ［2024·江苏启东中学高一月考］ 已知 ， 是方程
的两根，且, .求：
（1） ；
解：因为 ， 是方程 的两根，
所以, ，
所以 .
变式 ［2024·江苏启东中学高一月考］ 已知 ， 是方程
的两根，且, .求：
（2） .
解：因为,，
所以 , ，
又, ，
故, ，
所以，所以 .
［素养小结］
解决给值求角问题的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角
函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角的范围是
或时，选取求余弦值，当所求角的范围是或
时，选取求正弦值.
1.对两角和与差的正弦、余弦公式的理解
（1）两角和与差的正弦公式与两角差的余弦公式一样，公式对分配
律不成立，即一般情况下， .
（2）和（差）角公式是诱导公式的推广，诱导公式是和（差）角公
式的特例.如
.
当 或 中有一个角是 的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便.
（3）使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简
时，不要将 和
展开，而应采用整体思想，进行如下变形：
.
（4）注意公式的结构特征和符号规律：
对于公式， 可记为“同名相乘，符号反”；对于公式
， 可记为“异名相乘，符号同”.
2.对两角和与差的正切公式的理解
（1）公式的适用范围：由正切函数的定义可知 ， ，
或的终边不能落在 轴上.
（2）公式的逆用：一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值
代换，如，， 等.特别要注意
， .
（3）对于公式， 可记为“分子同，分母异”.
（4）公式的变形：只要见到 ， 时，要有灵
活应用公式的意识.特别是 ， 容易
与根与系数的关系联系，应注意此类题型.
1.三角函数求值问题
利用两角和与差的三角公式求值时,不能机械地从表面去套公式,而要
变通地从本质上使用公式,即把所求的角分解成某两个角的和或差,并
且这两个角的正、余弦函数值或正切值是已知的或可求的,再代入公
式即可求解.
例1 在平面直角坐标系中，两个锐角 ， 的终边分别与单位圆相
交于点，，已知，的横坐标分别为， .求：
（1） 的值；
解：由已知条件得，.
, 为锐角, , ，
故， ，
.
例1 在平面直角坐标系中，两个锐角 ， 的终边分别与单位圆相
交于点，，已知，的横坐标分别为， .求：
（2） 的值.
解： ，
， 为锐角，， .
2.三角函数式的化简
化简的常用方法:①“切”化“弦”;②异角化同角,异次化同次,异名化同
名;③活用公式:正用、逆用、变形用;④巧用“1”的代换.
例2（1） ___.
1
[解析]
.
（2） _______.
[解析] 方法一：原式 .
方法二：原式 .
练习册
1. ( )
A. B. C. D.
[解析] .
√
2. ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，
所以 .
故选B.
√
3.在中，，，则 等于( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，且 ，所以 ，
又，，
所以
.
故选A.
√
4.若，，则 等于( )
A. B. C. D.
[解析] .
故选A.
√
5.［2025·甘肃兰州一中高一期中］若 , 为锐角， ,
，则 等于( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 , 为锐角，,，
所以, ，
则
.
故选A.
√
6.（多选题）下面各式化简正确的是( )
A.
B.
C.
D.
√
√
[解析] ，
A正确；
， B错误；
，C正确；
，D错误.
故选 .
7.若，则 ___.
[解析] 因为 ，
即，
所以 .
8.［2024·辽宁大连育明中学高一期中］已知， ，
，，则 ___.
[解析] 因为，，， ，
所以，
又 ，所以 .
9.（13分）已知是角 的终边上一点．
（1）求 的值；
解：在角 的终边上，， ，
.
9.（13分）已知是角 的终边上一点．
（2）若，求 的值.
解：由（1）知， ， ，
， .
10.［2025·河北衡水冀州中学高一期中］已知 , ，且
，则( )
A. B. C. D.
[解析] 由 ，可得，
即 ， ，
又 ,， ， ，即 .
故选C.
√
11.（多选题）已知，且 , 是方程
的两根，则下列选项中正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为, 是方程 的两根,，
所以, ，所以 ，
A选项正确；
√
√
，B选项错误；
，C选项错误；
由,,得 ,所以,
又 ,
所以,D选项正确.
故选 .
12.［2024·广东佛山顺德区高一期中］已知 ，
，且，则 的值为___.
[解析] ，， ，
， ，
，
，
.
13.［2024·湖北部分重点高中高一联考］若 ，则
的值为___.
2
[解析] 因为,所以 ,即，
所以，
所以
.
14.（15分）已知,, ,
.
（1）求 的值；
解： , ，又 , .
, ，又 , ，
.
14.（15分）已知,, ,
.
（2）求 的值；
解：,，
.
14.（15分）已知,, ,
.
（3）求 的值.
解：,
， .
由（2）知 ,
, ,
，
又 , .
15.帕普斯是古希腊数学家，伟大的几何学家，著有《数学汇编》，
此书对数学史具有重大的意义，对前辈学者的著作进行了系统整理，
并发展了前辈的某些思想，保存了很多古代珍贵的数学证明的资料.
如图，利用帕普斯的几何图形直观证明思想，能简明快捷地证明一
个数学公式，这个公式是( )
①
②
A.
B.
C.
D.
[解析] 由题图①知，
由题图②知 ，，
又结合图形知， ，
即 .
故选C.
√
16.（15分）已知 ， 都是锐角，且 .
（1）求证： ；
证明：
，
，
.
16.（15分）已知 ， 都是锐角，且 .
（2）当 取最大值时，求 的值.
解：，，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
，此时 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1. 2.
3. 4.
【诊断分析】 （1）√ （2）√ （3）× （4）√
知识点二 1. 2. 【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）√
课中探究 探究点一 例1（1）（2）（3）<（4） 变式（1）B（2）A
探究点二 例2（1）（2）
例3 -2 变式 ，，
探究点三 例4 变式 （1） （2）
快速核答案（练习册）
1.A 2.B 3.A 4.A 5.A 6.AC
7. 8. 9.（1）（2）
10.C 11.AD 12. 13.2
14.（1）（3）
15.C 16.（1）证明略（2）
