第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
【学习目标】
1.会从两角差的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换,并能灵活地将公式变形应用.
◆ 知识点一 倍角公式
1.sin(α+β)= ,令β=α,得sin 2α= .
2.cos(α+β)= ,令β=α,得cos 2α= = = .
3.tan(α+β)= ,令β=α,得tan 2α= .
公式说明:
1.角的倍半关系是相对而言的,2α是α的二倍,4α是2α的二倍,是的二倍等;
2.当α=kπ+(k∈Z)时,tan α的值不存在,求tan 2α的值可利用诱导公式.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)10α是5α的倍角,5α是的倍角. ( )
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角. ( )
(3)存在角α,使sin 2α=2sin α成立. ( )
◆ 知识点二 倍角公式的变形
1.公式的逆用
2sin αcos α= ,sin αcos α= ,
cos2α-sin2α= ,= .
2.倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式
升幂公式:
1+cos 2α= ,1-cos 2α= ,
1+cos α= ,1-cos α= .
降幂公式:
cos2α= ,sin2α= .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)sin 15°cos 15°=. ( )
(2)1-2sin222.5°=. ( )
2.试着用sin α与cos α表示1±sin 2α.
◆ 探究点一 直接利用倍角公式求值
例1-1 [教材P221例5] 已知sin 2α=,<α<,求sin 4α,cos 4α,tan 4α的值.
例1-2 求值:(1);
(2);
(3)coscoscos.
变式 化简与求值:
(1)sincoscos;
(2)2cos2-1;
(3);
(4).
[素养小结]
对于直接利用倍角公式求值问题的求解,一般直接正用或逆用倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知角进行转化.
◆ 探究点二 给值求值
例2 (1)若sin(π-α)=,则cos 2α= ( )
A.- B. C.- D.
(2)已知sin θ-cos θ=0,则tan 2θ= ( )
A.-2 B.2 C. D.
(3)设sin α=,2π<α<3π,则sin+cos= ( )
A.- B. C. D.-
变式 (1)[2024·湖南邵阳高一期末] 若sin=,则sin= .
(2)已知<α<π,cos α=-,则tan 2α= ,的值为 .
[素养小结]
解决给值求值问题的方法:
注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向:
①有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;
②寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
◆ 探究点三 利用倍角公式证明等式
例3 (1)(sin 2α-cos 2α)2=1-sin 4α;
(2)=cos φ+sin φ;
(3)=tan2θ.
变式 证明:(1)=;
(2)=tan θ.
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
【课前预习】
知识点一
1.sin αcos β+cos αsin β 2sin αcos α
2.cos αcos β-sin αsin β cos2α-sin2α 2cos2α-1 1-2sin2α
3.
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ [解析] (1)10α是5α的2倍,5α是的2倍.
(2)二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的,而二倍角的正切公式,要求α≠+kπ(k∈Z)且α≠±+kπ(k∈Z).
(3)当α=kπ(k∈Z)时,sin 2α=2sin α.
知识点二
1.sin 2α sin 2α cos 2α tan 2α
2.2cos2α 2sin2α 2cos2 2sin2
(1+cos 2α) (1-cos 2α)
诊断分析
1.(1) × (2)√ [解析] (1)sin 15°cos 15°=sin 30°=.
(2)1-2sin222.5°=cos 45°=.
2.解:1±sin 2α=sin2α±2sin αcos α+cos2α=(sin α±cos α)2.
【课中探究】
探究点一
例1-1 解:由<α<,得<2α<π.
又sin 2α=,
所以cos 2α=-=-.于是sin 4α=sin[2×(2α)]=2sin 2αcos 2α=2××=-;
cos 4α=cos[2×(2α)]=1-2sin22α=1-2×=;
tan 4α==-×=-.
例1-2 解:(1)=sin2-cos2=-cos=-.
(2)=====-2.
(3)∵cos=-cos,cos=-cos,
∴coscoscos=coscoscos=
=
====-.
变式 解:(1)原式=cos=
sincos==sin=.
(2)原式=cos=cos=cos=.
(3)==.
(4)====2.
探究点二
例2 (1)C (2)B (3)A [解析] (1)依题意得sin α=,所以cos 2α=1-2sin2α=1-2×=-.故选C.
(2)由sin θ-cos θ=0,得tan θ=,则tan 2θ===2.故选B.
(3)∵sin α=,∴=1+sin α=,又2π<α<3π,∴π<<,∴sin+cos=-.故选A.
变式 (1)- (2)- -
[解析] (1)sin=sin=-cos 2=2sin2-1=2×-1=-.
(2)由<α<π,cos α=-,得sin α=,所以tan α=-,故tan 2α==-,=
==-.
探究点三
例3 证明:(1)左边=sin22α+cos22α-2sin 2αcos 2α=1-sin 4α=右边.
(2)左边==sin φ+cos φ=右边.
(3)左边==tan2θ=右边.
变式 证明:(1)左边====右边.
(2)左边==
=
=tan θ=右边.第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
1.[2024·北京一零一中学高一期末] sincos的值为 ( )
A. B.
C. D.
2.已知tan x=2,则tan 2x= ( )
A.- B.
C.- D.
3.已知cos 2α=,则sin2α= ( )
A. B.
C. D.
4.[2025·河北定州中学高一月考] 已知tan α=2,则= ( )
A.3 B.
C.2 D.
5.[2025·黑龙江大庆实验中学高一期末] 已知sin=,则sin= ( )
A. B.-
C.- D.
6.(多选题)[2024·浙江杭州高一期末] 下列各式的值为的是 ( )
A.sin(-930°)
B.2sinsin
C.cos 33°cos 27°+sin 33°sin 27°
D.
7.化简:+= .
8.[2024·徐州高一期末] 已知α∈,且2+3sin α=cos 2α,则α= .
9.(13分)已知α是第一象限角,且cos=-,求cos 2α的值.
10.[2024·陕西安康高一期中] 已知sin(α+β)=,cos αsin β=,则cos(2α-2β)= ( )
A. B.
C.- D.-
11.(多选题)[2024·连云港高一期中] 已知θ为锐角,则下列式子中与相等的是 ( )
A.
B.
C.
D.
12.若等腰三角形的底角的正弦值为,则这个三角形的顶角的正切值为 .
13.已知sin=,其中α∈,则cos= ,sin= .
14.(15分)已知sin α=2-4cos2.
(1)若α为第二象限角,求cos 2α-2sin αcos α的值;
(2)已知β∈,且tan2β-2tan β-3=0,求tan(α+2β)的值.
15.若α,β∈,且(1+cos 2α)(1+sin β)=sin 2αcos β,则下列结论正确的是 ( )
A.α+β= B.α+= C.2α-β= D.α-β=
16.(15分)[2024·江苏泰州中学高一期中] 由倍角公式cos 2θ=2cos2θ-1,可知cos 2θ可以表示为cos θ的二次多项式.对于cos 3θ,我们有cos 3θ=cos(2θ+θ)=cos 2θcos θ-sin 2θsin θ=(2cos2θ-1)cos θ-2sin2θcos θ=2cos3θ-cos θ-2(1-cos2θ)cos θ=4cos3θ-3cos θ,可见cos 3θ也可以表示成cos θ的三次多项式.
(1)利用上述结论,求sin 18°的值;
(2)化简cos(60°-θ)cos(60°+θ)cos θ,并利用此结果求sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°的值.
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
1.C [解析] sincos=sin=.故选C.
2.C [解析] 由tan x=2,得tan 2x==-,故选C.
3.D [解析] cos 2α=1-2sin2α=,∴sin2α=.故选D.
4.D [解析] ===.故选D.
5.D [解析] ∵sin=,∴sin=sin=cos=1-2sin2=1-2×=.故选D.
6.ABD [解析] 对于A,sin(-930°)=sin(-3×360°+150°)=sin 150°=,A正确;对于B,2sinsin=2sinsin=2sincos=sin=,B正确,对于C,cos 33°cos 27°+sin 33°sin 27°=cos(33°-27°)=cos 6°≠,C错误;对于D,=·=tan 45°=,D正确.故选ABD.
7.-tan 2θ [解析] +===
-=-tan 2θ.
8.-或- [解析] 由2+3sin α=cos 2α,得2+3sin α=1-2sin2α,即2sin2α+3sin α+1=0,解得sin α=-1或sin α=-,因为α∈,所以α=-或-.
9.解:方法一:因为α是第一象限角,
且cos=-<0,所以+α为第二象限角,所以sin==,
则cos 2α=cos=sin 2=2sincos=-.
方法二:因为α是第一象限角,
且cos=-<0,所以+α为第二象限角,所以sin==,
所以cos α=cos=coscos+sinsin=-×+×=,
则cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-.
10.A [解析] 由sin(α+β)=,得sin αcos β+cos αsin β=,又cos αsin β=,所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=-2×=,所以cos(2α-2β)=cos 2(α-β)=1-2sin2(α-β)=1-2×=.故选A.
11.BCD [解析] 因为θ为锐角,所以===tan θ+.对于A,==tan2θ+tan θ+,不满足题意;对于B,满足题意;对于C,===tan θ+,满足题意;对于D,===tan θ+,满足题意.故选BCD.
12.- [解析] 设等腰三角形的底角为α,则α必为锐角,顶角为π-2α.由题意可知,sin α=,∴cos α=,∴tan α=,则tan 2α===,故tan(π-2α)=-tan 2α=-.
13.- - [解析] 因为sin=,所以cos=cos=sin=sin=sin=sin=-sin=-.因为α∈,所以α-∈,则sin==,
所以sin=sin 2=2sincos=2××=-.
14.解:(1)由sin α=2-4cos2=2-4×,得sin α=-2cos α,则tan α=-2,
故cos 2α-2sin αcos α=
=
==.
(2)∵β∈,∴tan β>0.
由tan2β-2tan β-3=0,得(tan β-3)(tan β+1)=0,解得tan β=3或tan β=-1 (舍),
故tan 2β===-,
∴tan(α+2β)===.
15.C [解析] 因为(1+cos 2α)(1+sin β)=sin 2αcos β,所以2cos2α(1+sin β)=2sin αcos αcos β,即cos α(1+sin β)=sin αcos β,所以cos α=sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β),所以sin=sin(α-β),又α,β∈,所以-<α-β<,0<-α<,又y=sin x在上单调递增,所以-α=α-β,即2α-β=.故选C.
16.解:(1)因为90°=2×18°+3×18°,所以cos 54°=sin 36°,所以4cos318°-3cos 18°=2sin 18°cos 18°.
因为cos 18°>0,所以4cos218°-3=2sin 18°,即4(1-sin218°)-3=2sin 18°,
即4sin218°+2sin 18°-1=0,
又sin 18°>0,所以sin 18°=.
(2)cos(60°-θ)cos(60°+θ)cos θ=cos θ=cos θ=cos θ=(4cos3θ-3cos θ)=cos 3θ,
故sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°=cos 70°cos 50°cos 10°=cos(60°+10°)cos(60°-10°)cos 10°=×cos 30°=.(共67张PPT)
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正
切公式
探究点一 直接利用倍角公式求值
探究点二 给值求值
探究点三 利用倍角公式证明等式
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.会从两角差的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、
正切公式.
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换,并能灵活地将
公式变形应用.
知识点一 倍角公式
1.______________________,令 ,得 ______
______.
2.______________________,令 ,得 _____
______________________ ___________.
3._ __________,令 ,得 ________.
公式说明：
1.角的倍半关系是相对而言的， 是 的二倍， 是 的二
倍，是 的二倍等；
2.当时， 的值不存在，求 的值可利
用诱导公式.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） 是 的倍角， 是 的倍角.( )
√
[解析] 是 的2倍， 是 的2倍.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( )
×
[解析] 二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，
而二倍角的正切公式，要求且
（3）存在角 ，使 成立.( )
√
[解析] 当时， .
知识点二 倍角公式的变形
1.公式的逆用
_______, ________，
________, _______.
2.倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式
升幂公式:
________, ________,
________, _______.
降幂公式:
______________, _____________.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） .( )
×
[解析] .
（2） .( )
√
[解析] .
2.试着用 与 表示 .
解： .
探究点一 直接利用倍角公式求值
例1-1 ［教材P221例 已知，，求 ，
， 的值.
解：由，得 .
又 ，所以 .
于是 ；
；
.
例1-2 求值：
（1） ；
解： .
（2） ;
解： .
例1-2 求值：
（3） .
解：， ，
.
变式 化简与求值：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解： .
变式 化简与求值：
（4） .
解： .
［素养小结］
对于直接利用倍角公式求值问题的求解,一般直接正用或逆用倍角公
式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知角进行转化.
探究点二 给值求值
例2（1）若，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意得 ，
所以 .
故选C.
√
（2）已知，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，
则 .
故选B.
√
（3）设, ，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] ， ，
又 ，， .
故选A.
√
变式（1）［2024·湖南邵阳高一期末］若 ，则
____.
[解析] .
（2）已知 ，，则_____，
的值为____.
[解析] 由 ，，得，所以 ，
故，
.
［素养小结］
解决给值求值问题的方法：
注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
①有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
②寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的
变换和角之间的二倍关系.
探究点三 利用倍角公式证明等式
例3（1） ；
证明：左边 右边.
（2） ；
证明： 左边 右边.
（3） .
证明： 左边 右边.
变式 证明：
（1） ；
证明：左边
右边.
（2） .
证明： 左边
右边.
1.对倍角公式的理解
（1）公式的特征:公式左边是含 的三角函数的一次式,右边是含
的三角函数的二次式,即从左到右是升幂缩角,从右到左是降幂扩角.
（2）成立的条件:在公式,中,角 可以为任意角；只有当
且时公式 才成立.
（3）倍角公式中的“倍角”是相对的,不仅限于是 的二倍形式，
只要两个角的比值等于2即可，如是的二倍，是的二
倍，是的二倍，是的二倍，是的二倍，是的二
倍，是的二倍等.
（4）一般情况下,,只有当,时,
才成立.同理，,在
一般情况下也不成立.
2.倍角公式的有关变形
（1） ;
; .
（2）, .
3.三倍角公式:
,
.
1.与倍角有关的求值问题
正确处理角的倍角关系是求三角函数值的关键,在解决这种题型时,要
正确处理角的倍半关系.如 是 的二倍, 是 的二倍, 是
的二倍, 是 的二倍.同时要把已知角与所求角联系起来,
适当进行角的变换、幂的变换及结构的变换,既要结合已知条件,又要
增强目标意识,灵活运用所学的各种公式.
（1）求 的值；
解：方法一：，且， ,
,
，
，
所以 .
例1 已知，且, .
方法二：，且 ，
,
,
.
例1 已知，且, .
（2）求 的值.
解：,，
又 , .
，，，
，，
, .
2.用倍角公式化简
切化弦、 （1的变形）、降幂与升幂是三角变形中
的常用技巧.通分、配方、因式分解则是三角变形中常用的代数变形
技巧.
例2 化简:
.
解：原式 .
3.用倍角公式证明
（1）观察式子两边的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都
比较复杂，那就将两边都化简，即采用“两头凑”的思想.
（2）证明的一般步骤：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方
面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“切化弦”等原则，设
法消除差异，达到证明的目的.
例3 求证:
（1） ；
证明：因为 ， ，
所以 ，
，
故左边
右边，原等式得证.
例3 求证:
（2） .
证明：
，原等式得证.
练习册
1.［2024·北京一零一中学高一期末］ 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] .故选C.
√
2.已知，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，故选C.
√
3.已知，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] ， .故选D.
√
4.［2025·河北定州中学高一月考］已知，
则 ( )
A.3 B. C.2 D.
[解析] .故选D.
√
5.［2025·黑龙江大庆实验中学高一期末］已知 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] ，
.
故选D.
√
6.（多选题）［2024·浙江杭州高一期末］ 下列各式的值为 的
是 ( )
A.
B.
C.
D.
√
√
√
[解析] 对于A, ,
A正确；
对于B, ,
B正确；
对于C, ,
C错误；
对于D, ,D正确.
故选 .
7.化简： ________.
[解析]
.
8.［2024·徐州高一期末］已知，且 ，
则 _________.
或
[解析] 由，得 ，
即，解得或 ，
因为，所以或 .
9.（13分）已知 是第一象限角，且，求 的值.
解：方法一：因为 是第一象限角，且，
所以 为第二象限角，所以 ，
则
.
方法二：因为 是第一象限角，且，
所以 为第二象限角，所以 ，
所以
，
则 .
10.［2024·陕西安康高一期中］已知， ，
则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，得 ，
又 ，
所以，
所以 .
故选A.
11.（多选题）［2024·连云港高一期中］ 已知 为锐角，则下列式
子中与 相等的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 因为 为锐角，
所以 .
对于A， ，
不满足题意；
对于B，满足题意；
对于C， ，
满足题意；
对于D， ，
满足题意.
故选 .
12.若等腰三角形的底角的正弦值为 ,则这个三角形的顶角的正切值
为_____.
[解析] 设等腰三角形的底角为 ,则 必为锐角,顶角为 .
由题意可知,,, ,
则,
故 .
13.已知，其中，则 ____，
_ _____．
[解析] 因为 ，
所以 .
因为，所以 ，
，
所以 .
14.（15分）已知 .
（1）若 为第二象限角，求 的值；
解：由，得 ，
则 ，
故
.
14.（15分）已知 .
（2）已知，且，求 的值.
解：， .
由，得 ，
解得或 （舍），
故 ，
.
15.若 ，，且 ，则
下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以，
又 ,，所以 ，，
又在 上单调递增,所以,即 .
故选C.
16.（15分）［2024·江苏泰州中学高一期中］ 由倍角公式
，可知 可以表示为 的二次多项式.
对于 ，
（1）利用上述结论，求 的值；
我们有 ，可见 也可以表示成 的三次多项式.
解：因为 ，所以 ，
所以 .
因为，所以 ，
即 ，
即 ，
又，所以 .
16.（15分）［2024·江苏泰州中学高一期中］ 由倍角公式
，可知 可以表示为 的二次多项式.
对于 ，
（2）化简 ，并利用此结果求
的值.
我们有 ，可见 也可以表示成 的三次多项式.
解： ，
故 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.
2.
3. 【诊断分析】（1）√ （2）× （3）√
知识点二 1. 2.
【诊断分析】 1.（1）× （2）√ 2.
课中探究 探究点一 例1-1 ；；
例1-2（1） （2） （3） 变式（1） （2） （3） （4）
探究点二 例2 （1）C （2）B （3）A 变式（1） （2）
探究点三 例3 证明略 变式 证明略
快速核答案（练习册）
1.C 2.C 3.D 4.D 5.D 6.ABD
7. 8.或 9.
10.A 11.BCD 12. 13.
14.（1）（2） 16.（1）
（2）化简；m>
