人教版高中数学选修2-2（教案）1.7定积分的简单应用（含2课时）

20
年
月
日
第
课时
课题：
1.7定积分的简单应用（一）
教学目的
１、知识与技能：进一步让学生深刻体会“分割
( http: / / www.21cnjy.com )、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。２、过程与方法：
借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分在实际中的应用３、情感、态度与价值观：
通过定积分在几何和物理中的应用，进一步感受极限的思想
重
点
定积分在几何和物理中的应用
难
点
定积分在几何和物理中的应用
教学过程：
定积分的应用
（一）利用定积分求平面图形的面积
例1．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.
解：，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=，所以=
例2．计算由直线，曲线以及x轴所围图形的面积S.
解：作出直线，曲线的草图，所求面积为图阴影部分的面积．
解方程组
得直线与曲线的交点的坐标为（8,4)
.
直线与x轴的交点为（4,0).
因此，所求图形的面积为S=S1+S2
.
例3.求曲线与直线轴所围成的图形面积。
答案：
练习
1、求直线与抛物线所围成的图形面积。
答案：
2、求由抛物线及其在点M（0，－3）和N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。
略解：，切线方程分别为、
，则所求图形的面积为
3、求曲线与曲线以及轴所围成的图形面积。
略解：所求图形的面积为
4、在曲线上的某点A处作一切线使之与曲线以及轴所围成的面积为.试求：切点A的坐标以及切线方程.
略解：如图由题可设切点坐标为，则切线方程
为，切线与轴的交点坐标为
，则由题可知有
，所以切点坐标与切线方程分别为
总结：
1、定积分的几何意义是：、轴所围成的图形的面积的代数和，即.
2、求曲边梯形面积的方法与步骤：
画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；
确定被积函数；
求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。
3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法：
（1）型区域：
①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（1））；
②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（2））；
③由两条曲线与直线
所围成的曲边梯形的面积：（如图（3））；
图（1）
图（2）
图（3）
（2）型区域：
①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积,可由得，然后利用求出（如图（4））；
②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积，可由先求出，然后利用求出（如图（5））；
③由两条曲线与直线所围成的曲边梯形的面积，可由先分别求出，，然后利用求出（如图（6））；
图（4）
图（5）
图（6）
2．求平面曲线的弧长
设曲线AB方程为，函数在区间上可导，且连续，则曲线AB的弧长为
.
3．求旋转体的体积和侧面积
( http: / / www.21cnjy.com )
由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体体积为
.
其侧面积为
.
四：课堂小结
本节课主要学习了利用定积分求一些
( http: / / www.21cnjy.com )曲边图形的面积与体积，即定积分在几何中应用，要掌握几种常见图形面积的求法，并且要注意定积分的几何意义，不能等同于图形的面积，要注意微积分的基本思想的应用与理解。
教后感：
20
年
月
日
第
课时
课题：
§1.7
定积分的简单应用（二）
教学目的
１、知识与技能：进一步让学生深刻体会“
( http: / / www.21cnjy.com )分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。２、过程与方法：
借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分在实际中的应用３、情感、态度与价值观：
通过定积分在几何和物理中的应用，进一步感受极限的思想
重
点
定积分在几何和物理中的应用
难
点
定积分在几何和物理中的应用
教学过程：
定积分在物理中应用
(1)求变速直线运动的路程
我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v
(t)
(
v(t)
≥0)
在时间区间[a,b]上的定积分，即
例
4。一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7
一3
所示．求汽车在这1
min
行驶的路程．
解：由速度一时间曲线可知：
因此汽车在这
1
min
行驶的路程是：
答：汽车在这
1
min
行驶的路程是
1350m
.
（2）．变力作功
一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移（单位：m)，则力F所作的功为W=Fs
.
探究
如果物体在变力
F(x）的作用下做
( http: / / www.21cnjy.com )直线运动，并且物体沿着与
F
(x)
相同的方向从x
=a
移动到x=b
(a，那么如何计算变力F(x）所作的功W呢？
与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到
例5．如图1·7一4
，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm
处，求克服弹力所作的功．
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解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力
F
(
x
）与弹簧拉伸（或压缩）的长度
x
成正比，即
F
(
x
）=
kx
,
其中常数
k
是比例系数．
由变力作功公式，得到
答：克服弹力所作的功为.
例6．A、B两站相距7.2km，一
( http: / / www.21cnjy.com )辆电车从A站B开往站，电车开出ts后到达途中C点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C点的速度为24m/s，从C点到B点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为（24-1.2t）m/s，在B点恰好停车，试求
（1）A、C间的距离；（2）B、D间的距离；（3）电车从A站到B站所需的时间。
分析：作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即
略解：（1）设A到C的时间为t1则1.2t=24,
t1=20(s),则AC＝
（2）设D到B的时间为t21则24-1.2t2=0,
t21=20(s),
则DB＝
（3）CD=7200-2240=6720(m),则从C到D的时间为280(s),则所求时间为20+280+20=320（s）。
练习：1：如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功（
A
）
A
0.18J
B
0.26J
C
0.12J
D
0.28J
略解：设，则由题可得，所以做功就是求定积分
四：课堂小结
本节课主要学习了定积分在物理学中的
( http: / / www.21cnjy.com )应用，要掌握几种常见图形面积的求法，并且要注意定积分的几何意义，不能等同于图形的面积，要注意微积分的基本思想的应用与理解。
教后感：
A
B
C
D
O
x
x
O
y=x2
A
B
C
y
a
b
x
y
a
b
x
y
a
b
x
y
a
b
x
y
a
b
x
y
a
b
x