人教版高中数学选修2-2（教案）2.1合情推理与演绎推理（含2课时）
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选修2-2（教案）2.1合情推理与演绎推理（含2课时） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 72.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-08-11 15:30:51 | ||
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文档简介
20
年
月
日
第
课时
课题：
2.1.1合情推理
教学目的
１、知识与技能：掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。２、过程与方法：通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。
３、情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
重
点
归纳推理及方法的总结
难
点
归纳推理的含义及其具体应用
教学过程：
（一）问题情境：
1、引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”
①提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？
②探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？
从而引入两则小典故：
A：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？
B：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？
正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。
③思考：整个过程对你有什么启发？
④启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。
SHAPE
\
MERGEFORMAT
2、数学皇冠明珠
追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠
—
“歌德巴赫猜想”。
这是世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是
( http: / / www.21cnjy.com )一位著名的数学家。据说哥德巴赫无意中观察到：3+7=10，3+17=20，13+17=30，于是他对一些偶数进行验证，由此他大胆地猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想，它是数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。许多优秀的数学家都在努力证明这个猜想，而且也取得了很好的进展。
思考：哥德巴赫是如何提出这个猜想的？
学生交流、探讨：他是通过对一些偶数的验证，发现它们总可以表示成两个奇质数之和，而且没有出现反例，从而提出这个猜想。
（二）推进新课
1、归纳推理的定义：
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类
( http: / / www.21cnjy.com )事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。
2、归纳推理的特点：
归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
3、归纳推理的一般步骤：
4、例题讲解：
例1、前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.
结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
例2、前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……
结论：凸n 边形的内角和是（n—2）×1800。
例3、
探究：上述结论都成立吗？
强调：归纳推理的结果不一定成立!
例
4、已知数列｛｝的第1项，且（n=1,2,3，…），试归纳出这个数列的通项公式．
分析：数列的通项公式表示的是数列{}的第n项与序号
n
之间的对应关系．为此，我们先根据已知的递推公式，算出数列的前几项．
解：当n=1时，;
当
n
=2时，；
当n
=3时，
( http: / / www.21cnjy.com )；
当n=4时，
( http: / / www.21cnjy.com )．
观察可得，数列的前
4
项都等于相应序号的倒数．由此猜想，这个数列的通项公式为
．
①思考：怎么求？组织学生进行探究，寻找规律。
②归纳：由学生讨论，归纳技巧：
有整数和分数时，往往将整数化为分数；
当分子分母都在变化时，往往统一分子
(或分母)，再寻找另一部分的变化规律。
在例4和例5中，我们通过归纳得到了关于数列通项公式的一个猜想．虽然猜想是否正确还有待严格的证明，但这个猜想可以为我们的研究提供一种方向．
（三）课堂练习：
（四）课堂小结：
1、归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。
2、归纳推理的一般步骤：
通过观察个别情况发现某些相同的性质
从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）。
（五）布置作业：
教后感：
20
年
月
日
第
课时
课题：
2.1.2演绎推理
教学目的
１、知识与技能：了解演绎推理的含义及特点，会将推理写成三段论的形式２、过程与方法：了解合情推理和演绎推理的区别与联系３、情感、态度与价值观：了解演绎推理在数学证明中的重要地位和日常生活中的作用，养成言之有理论证有据的习惯。
重
点
演绎推理的含义与三段论推理及合情推理和演绎推理的区别与联系
难
点
演绎推理的应用
教学过程：
一、导入新课
现在冰雪覆盖的南极大陆，地质学家说它们曾在
( http: / / www.21cnjy.com )赤道附近，是从热带飘移到现在的位置的，为什么呢？原来在它的地底下，有着丰富的煤矿，煤矿中的树叶表明它们是阔叶树。从繁茂的阔叶树可以推知当时有温暖湿润的气候。所以南极大陆曾经在温湿的热带。
被人们称为世界屋脊的西藏高
( http: / / www.21cnjy.com )原上，一座座高山高入云天，巍然屹立。西藏高原南端的喜马拉雅山横空出世，雄视世界。珠穆郎玛峰是世界第一高峰，登上珠峰顶，一览群山小。谁能想到，喜马拉雅山所在的地方，曾经是一片汪洋，高耸的山峰的前身，竟然是深不可测的大海。地质学家是怎么得出这个结论的呢？
科学家们在喜马拉雅山区考察时，曾经发现
( http: / / www.21cnjy.com )高山的地层中有许多鱼类、贝类的化石。还发现了鱼龙的化石。地质学家们推断说，鱼类贝类生活在海洋里，在喜马拉雅山上发现它们的化石，说明喜马拉雅山曾经是海洋。科学家们研究喜马拉雅变迁所使用的方法，就是一种名叫演绎推理的方法。
二、讲授新课（学生阅读课本，找到定义）
1．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法。
2．演绎推理的一般模式
分析喜马拉雅山所在的地方，曾经是一片汪洋推理过程：
鱼类、贝类、鱼龙，都是海洋生物，它们世世代代生活在海洋里……大前提
在喜马拉雅山上发现它们的化石……小前提
喜马拉雅山曾经是海洋……结论
三段论（1）大前提……已知的一般原理
（2）小前提……所研究的特殊情况
（3）结论……根据一般原理，对特殊情况作出的判断
3．练习把下列推理写成三段论的形式
（1）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行；
（2）在一个标准大气压下，水的沸点是100°C，所以在一个标准大气压下把水加热到100°C时，水会沸腾；
（3）一切奇数都不能被2整除，是奇数，所以不能被2整除；
（4）三角函数都是周期函数，是三角函数，因此是周期函数；
（5）两条直线平行，同旁内角互补。如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A+∠B=180°；
三、例题讲评：
例1．如图所示，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E为垂足，
求证：AB的中点M到D，E的距离相等。
证明：(1)因为有一个内角为直角的三角形是直角三角形，…………大前提
在△ABD中，AD⊥BC，∠ADB＝90,………………………小前提
所以△ABD是直角三角形.
……………………………………结论
同理，△AEB也是直角三角形
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，…………………大前提
而M是Rt△ABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线，………小前提
所以DM＝，……………………………………………………结论
同理，EM＝.
所以DM＝EM
评注：“三段论”可以表示为
大前题：M是P 小前提：S是M 结论：S是P。
用集合论的观点分析：若集合M中的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P。
例2、证明函数f(x)=－x2+2x在(－∞,1]上是增函数。
分析：大前题：增函数的定义。小前提：f(x)在(－∞,1]上满足定义
学生 板演证明过程。
练习：分析下面几个推理是否正确，说明为什么？
(1)
因为指数函数是增函数， (2)
因为无理数是无限小数
而是指数函数 而π是无限小数
所以是增函数 所以π是无理数
（3）因为无理数是无限小数，而(=0.333……)是无限小数，所以是无理数
说明：在应用“三段论”进行推理的过程中，大前提、小前提或推理形式之一错误，都可能导致结论错误。
比较：合情推理与演绎推理的区别与联系
从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个体到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。
从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。
人们在认识世界的过程中，需要通过观
( http: / / www.21cnjy.com )察、实验等获取经验；也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理化，系统化，合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要的角色
就数学而言，演绎推理是证明数学结论
( http: / / www.21cnjy.com )、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理。因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想。
四、练习（自己动手练习巩固，寻找不足当堂解决）
1．用三段论证明：通项公式为的数列为等比数列。
2．用三段论证明：若梯形的两个腰和一个底如果相等，它的对角线必平分另一底上的两个角。
五、小结：
1．俗话说，打鱼人识不完鱼，庄稼人识不完草。
( http: / / www.21cnjy.com )认识事物的任务十分艰巨，把握规律的道路分外漫长。我们不能事事去亲知，事事去实验。但是我们运用这种演绎方法，你就能以一知十，以近知远，以少知多。演绎推理还使人们产生新的创意或新的发现。如一种被称为“铜草”的植物，是铜矿的“指示剂”，因为它们之间相互依存、相伴而生。发现生长良好的“铜草”，往往就能找到铜矿。
2．演绎方法是一种重要的认
( http: / / www.21cnjy.com )识工具，也是科学发现的有用方法。我们面前，一个无限广阔的世界正等待我们去认识，等待着我们去利用，去改造。
许多发明和发现就是运用这一方法得到的，浮法制造玻璃是根据液体自由流平的原理演绎而来，钢笔主要是根据毛细管原理演绎而来等等。
六、作业：
1．用三段论证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，则∠B=∠C。
2．写出三角形内角和定理的证明，并指出每步推理的大前题和小前题。
3．设实数，且函数有最小值—1，
（1）求的值；
（2）设数列的前项和，令，
证明数列是等差数列。
教后感：
生活
观察
猜想
证明
归纳推理的发展过程
概括、推广
实验、观察
猜测一般性结论
年
月
日
第
课时
课题：
2.1.1合情推理
教学目的
１、知识与技能：掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。２、过程与方法：通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。
３、情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
重
点
归纳推理及方法的总结
难
点
归纳推理的含义及其具体应用
教学过程：
（一）问题情境：
1、引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”
①提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？
②探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？
从而引入两则小典故：
A：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？
B：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？
正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。
③思考：整个过程对你有什么启发？
④启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。
SHAPE
\
MERGEFORMAT
2、数学皇冠明珠
追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠
—
“歌德巴赫猜想”。
这是世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是
( http: / / www.21cnjy.com )一位著名的数学家。据说哥德巴赫无意中观察到：3+7=10，3+17=20，13+17=30，于是他对一些偶数进行验证，由此他大胆地猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想，它是数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。许多优秀的数学家都在努力证明这个猜想，而且也取得了很好的进展。
思考：哥德巴赫是如何提出这个猜想的？
学生交流、探讨：他是通过对一些偶数的验证，发现它们总可以表示成两个奇质数之和，而且没有出现反例，从而提出这个猜想。
（二）推进新课
1、归纳推理的定义：
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类
( http: / / www.21cnjy.com )事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。
2、归纳推理的特点：
归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
3、归纳推理的一般步骤：
4、例题讲解：
例1、前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.
结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
例2、前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……
结论：凸n 边形的内角和是（n—2）×1800。
例3、
探究：上述结论都成立吗？
强调：归纳推理的结果不一定成立!
例
4、已知数列｛｝的第1项，且（n=1,2,3，…），试归纳出这个数列的通项公式．
分析：数列的通项公式表示的是数列{}的第n项与序号
n
之间的对应关系．为此，我们先根据已知的递推公式，算出数列的前几项．
解：当n=1时，;
当
n
=2时，；
当n
=3时，
( http: / / www.21cnjy.com )；
当n=4时，
( http: / / www.21cnjy.com )．
观察可得，数列的前
4
项都等于相应序号的倒数．由此猜想，这个数列的通项公式为
．
①思考：怎么求？组织学生进行探究，寻找规律。
②归纳：由学生讨论，归纳技巧：
有整数和分数时，往往将整数化为分数；
当分子分母都在变化时，往往统一分子
(或分母)，再寻找另一部分的变化规律。
在例4和例5中，我们通过归纳得到了关于数列通项公式的一个猜想．虽然猜想是否正确还有待严格的证明，但这个猜想可以为我们的研究提供一种方向．
（三）课堂练习：
（四）课堂小结：
1、归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。
2、归纳推理的一般步骤：
通过观察个别情况发现某些相同的性质
从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）。
（五）布置作业：
教后感：
20
年
月
日
第
课时
课题：
2.1.2演绎推理
教学目的
１、知识与技能：了解演绎推理的含义及特点，会将推理写成三段论的形式２、过程与方法：了解合情推理和演绎推理的区别与联系３、情感、态度与价值观：了解演绎推理在数学证明中的重要地位和日常生活中的作用，养成言之有理论证有据的习惯。
重
点
演绎推理的含义与三段论推理及合情推理和演绎推理的区别与联系
难
点
演绎推理的应用
教学过程：
一、导入新课
现在冰雪覆盖的南极大陆，地质学家说它们曾在
( http: / / www.21cnjy.com )赤道附近，是从热带飘移到现在的位置的，为什么呢？原来在它的地底下，有着丰富的煤矿，煤矿中的树叶表明它们是阔叶树。从繁茂的阔叶树可以推知当时有温暖湿润的气候。所以南极大陆曾经在温湿的热带。
被人们称为世界屋脊的西藏高
( http: / / www.21cnjy.com )原上，一座座高山高入云天，巍然屹立。西藏高原南端的喜马拉雅山横空出世，雄视世界。珠穆郎玛峰是世界第一高峰，登上珠峰顶，一览群山小。谁能想到，喜马拉雅山所在的地方，曾经是一片汪洋，高耸的山峰的前身，竟然是深不可测的大海。地质学家是怎么得出这个结论的呢？
科学家们在喜马拉雅山区考察时，曾经发现
( http: / / www.21cnjy.com )高山的地层中有许多鱼类、贝类的化石。还发现了鱼龙的化石。地质学家们推断说，鱼类贝类生活在海洋里，在喜马拉雅山上发现它们的化石，说明喜马拉雅山曾经是海洋。科学家们研究喜马拉雅变迁所使用的方法，就是一种名叫演绎推理的方法。
二、讲授新课（学生阅读课本，找到定义）
1．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法。
2．演绎推理的一般模式
分析喜马拉雅山所在的地方，曾经是一片汪洋推理过程：
鱼类、贝类、鱼龙，都是海洋生物，它们世世代代生活在海洋里……大前提
在喜马拉雅山上发现它们的化石……小前提
喜马拉雅山曾经是海洋……结论
三段论（1）大前提……已知的一般原理
（2）小前提……所研究的特殊情况
（3）结论……根据一般原理，对特殊情况作出的判断
3．练习把下列推理写成三段论的形式
（1）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行；
（2）在一个标准大气压下，水的沸点是100°C，所以在一个标准大气压下把水加热到100°C时，水会沸腾；
（3）一切奇数都不能被2整除，是奇数，所以不能被2整除；
（4）三角函数都是周期函数，是三角函数，因此是周期函数；
（5）两条直线平行，同旁内角互补。如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A+∠B=180°；
三、例题讲评：
例1．如图所示，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E为垂足，
求证：AB的中点M到D，E的距离相等。
证明：(1)因为有一个内角为直角的三角形是直角三角形，…………大前提
在△ABD中，AD⊥BC，∠ADB＝90,………………………小前提
所以△ABD是直角三角形.
……………………………………结论
同理，△AEB也是直角三角形
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，…………………大前提
而M是Rt△ABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线，………小前提
所以DM＝，……………………………………………………结论
同理，EM＝.
所以DM＝EM
评注：“三段论”可以表示为
大前题：M是P 小前提：S是M 结论：S是P。
用集合论的观点分析：若集合M中的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P。
例2、证明函数f(x)=－x2+2x在(－∞,1]上是增函数。
分析：大前题：增函数的定义。小前提：f(x)在(－∞,1]上满足定义
学生 板演证明过程。
练习：分析下面几个推理是否正确，说明为什么？
(1)
因为指数函数是增函数， (2)
因为无理数是无限小数
而是指数函数 而π是无限小数
所以是增函数 所以π是无理数
（3）因为无理数是无限小数，而(=0.333……)是无限小数，所以是无理数
说明：在应用“三段论”进行推理的过程中，大前提、小前提或推理形式之一错误，都可能导致结论错误。
比较：合情推理与演绎推理的区别与联系
从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个体到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。
从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。
人们在认识世界的过程中，需要通过观
( http: / / www.21cnjy.com )察、实验等获取经验；也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理化，系统化，合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要的角色
就数学而言，演绎推理是证明数学结论
( http: / / www.21cnjy.com )、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理。因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想。
四、练习（自己动手练习巩固，寻找不足当堂解决）
1．用三段论证明：通项公式为的数列为等比数列。
2．用三段论证明：若梯形的两个腰和一个底如果相等，它的对角线必平分另一底上的两个角。
五、小结：
1．俗话说，打鱼人识不完鱼，庄稼人识不完草。
( http: / / www.21cnjy.com )认识事物的任务十分艰巨，把握规律的道路分外漫长。我们不能事事去亲知，事事去实验。但是我们运用这种演绎方法，你就能以一知十，以近知远，以少知多。演绎推理还使人们产生新的创意或新的发现。如一种被称为“铜草”的植物，是铜矿的“指示剂”，因为它们之间相互依存、相伴而生。发现生长良好的“铜草”，往往就能找到铜矿。
2．演绎方法是一种重要的认
( http: / / www.21cnjy.com )识工具，也是科学发现的有用方法。我们面前，一个无限广阔的世界正等待我们去认识，等待着我们去利用，去改造。
许多发明和发现就是运用这一方法得到的，浮法制造玻璃是根据液体自由流平的原理演绎而来，钢笔主要是根据毛细管原理演绎而来等等。
六、作业：
1．用三段论证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，则∠B=∠C。
2．写出三角形内角和定理的证明，并指出每步推理的大前题和小前题。
3．设实数，且函数有最小值—1，
（1）求的值；
（2）设数列的前项和，令，
证明数列是等差数列。
教后感：
生活
观察
猜想
证明
归纳推理的发展过程
概括、推广
实验、观察
猜测一般性结论