人教版高中数学选修2-2（教案）2.2直接证明与间接证明（含2课时）

20
年
月
日
第
课时
课题：
2.2.1综合法和分析法
教学目的
１、知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
重
点
了解分析法和综合法的思考过程、特点
难
点
分析法和综合法的思考过程、特点
教学过程：
学生探究过程：
合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。
若要证明下列问题：
已知a,b>0,求证
教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。
学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法
设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义
证明:因为,
所以,
因为,
所以.
因此,
.
P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论
1.
综合法
综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法
用综合法证明不等式的逻辑关系是：
综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法
例1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,且A,B,C成等差数列,
成等比数列,求证△ABC为等边三角形.
分析：将
A
,
B
,
C
成等差数列，转化为符号语言就是2B
=A
+
C;
A
,
B
,
C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A
+
B
+
C
=；
a
,
b，c成等比数列，转化为符号语言就是．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．
证明：由
A,
B,
C成等差数列，有
2B=A
+
C
．
①
因为A,B,C为△ABC的内角，所以A
+
B
+
C=．
⑧
由①②
，得B=.
由a,
b，c成等比数列，有.
由余弦定理及③，可得
.
再由④，得.
,
因此.
从而A=C.
由②③⑤，得
A=B=C=.
所以△ABC为等边三角形．
解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如
( http: / / www.21cnjy.com )把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．
例2、已知求证
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1)
差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设
，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设
故原不等式得证。
注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。
讨论：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？
2.
分析法
证明数学命题时，还经常从要证的结论
Q
出
( http: / / www.21cnjy.com )发，反推回去，寻求保证
Q
成立的条件，明尸
2
成立，再去寻求尸
2
成立的充分条件尸
3
件、定理、定义、公理等）为止．乞，再去寻求尸
1
成立的充分条件尸
2
；为了证
…
…
直到找到一个明显成立的条件（已知条即使
Q
成立的充分条件尸
1
．为了证明尸
1
成立，
分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法
用分析法证明不等式的逻辑关系是：
分析法的思维特点是：执果索因
分析法的书写格式：
要证明命题B为真，
只需要证明命题为真，从而有……
这只需要证明命题为真，从而又有……
……
这只需要证明命题A为真
而已知A为真，故命题B必为真
例3、求证
证明：因为都是正数，所以为了证明
只需证明
展开得
即
因为成立，所以
成立
即证明了
说明：①分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法
②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，
这只需要证明命题B1为真，从而有……
这只需要证明命题B2为真，从而又有……
这只需要证明命题A为真
而已知A为真，故B必真
在本例中，如果我们从“21<25
”出发，
( http: / / www.21cnjy.com )逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。
事实上，在解决问题时，我们
( http: / / www.21cnjy.com )经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q‘；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论
P‘．若由P‘可以推出Q‘成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．
例4
已知，且
①
②
求证：。
分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角，因此第一步工作可以从已知条件中消去.观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系，于是，由
①2一2×②
得．把与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数．把结论转化为,再与比较，发现只要把中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的．
证明：因为，所以将
①
②
代入，可得
.
③
另一方面，要证
即证
，
即证，
即证，
即证。
由于上式与③相同，于是问题得证。
例5
证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大
分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为，截面积为；周长为L的正方形边长为，截面积为所以本题只需证明
证明：设截面的周长为L，依题意，截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管的截面面积为，所以本题只需证明
为了证明上式成立，只需证明
两边同乘以正数，得
因此，只需证明
上式是成立的，所以
这就证明了，通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大
说明：对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的
巩固练习：
课后作业：
例1、已知a，b，c是不全相等的正数，求证：
证明：∵≥2bc,a＞0,
∴≥2abc
①
同理
≥2abc
②
≥2abc
③
因为a，b，c不全相等，所以≥2bc,
≥2ca,
≥2ab三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=”号
∴
例2、已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，
求证：
证明：左－右=2（ab+bc－ac）
∵a，b，c成等比数列，∴
又∵a，b，c都是正数，所以≤
∴
∴
∴
例3、若实数，求证：
证明：采用差值比较法：
=
=
=
=
∴
∴
例4、已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤
分析一:用分析法
证法一:(1)当ac+bd≤0时,显然成立
(2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,
只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)
即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
即证2abcd≤b2c2+a2d2
即证0≤(bc-ad)2
因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,
综合(1)、(2)可知:原不等式成立
分析二:用综合法
证法二:(a2+b2)(c2+d2)=
( http: / / www.21cnjy.com )a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)
=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2
∴≥|ac+bd|≥ac+bd
故命题得证
分析三:用比较法
证法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,
∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
∴≥|ac+bd|≥ac+bd,
即ac+bd≤
例5、设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．

证明：(用分析法思路书写)

要证
a3+b3＞a2b+ab2成立，

只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，

即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需证a2-2ab+b2＞0成立，

即需证(a-b)2＞0成立。

而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。

(以下用综合法思路书写)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab
即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证.
教后感：
20
年
月
日
第
课时
课题：
§2.2.2反证法
教学目的
１、知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
重
点
了解反证法的思考过程、特点
难
点
反证法的思考过程、特点
教学过程：
学生探究过程：
(1)、反证法

反证法
( http: / / www.21cnjy.com )是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
上，都需要翻转奇数次，所以
3
枚
( http: / / www.21cnjy.com )硬币全部反面朝上时，需要翻转
3
个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转
2
枚硬币，
3
枚硬币被翻转的次数只能是
2
的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使
3
枚硬币全部反面朝上．一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法
(
reduction
to
absurdity
)
.
例1、已知直线和平面，如果，且，求证。
证明：因为,
所以经过直线a
,
b
确定一个平面。
因为，而，
所以
与是两个不同的平面．
因为，且，
所以.
下面用反证法证明直线a与平面没有公共点．假设直线a
与平面有公共点，则，即点是直线
a
与b的公共点，这与矛盾．所以
.
点评：线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
推理模式：．
例2、求证：不是有理数
分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如（互质，
”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．
证明：假设不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数，使得，从而有,
因此，，
所以
m
为偶数．于是可设
(
k
是正整数），从而有
，即
所以n也为偶数．这与
m
,
n
互质矛盾！
由上述矛盾可知假设错误，从而是无理数．
正是的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与
1
是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐。
例3、已知，求证：（且）
证明：假设不大于，即或.
∵a＞0，b＞0
∴由
(注：应由学生讨论回答上述步骤转化的目的是什么 )
a＜b(推理利用了不等式的传递性).
又由
但这些都与已知条件，a＞b＞0相矛盾.
∴成立.
例4、设，求证
证明：假设，则有，从而
因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不等式成立。
例5、设二次函数，求证：中至少有一个不小于.
证明：假设都小于，则
（1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
（2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。
议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三
( http: / / www.21cnjy.com )步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？
巩固练习：
课后作业：
1．设0
<
a,
b,
c
<
2，求证：(2
a)c,
(2
b)a,
(2
c)b,不可能同时大于1
反证法：(2
a)c>1,
(2
b)a>1,
(2
c)b>1,则(2
a)c(2
b)a(2
c)b>1
…①
又因为设0
<
a,
b,
c
<
2，(2
a)
a,
同理
(2
b)
b≤1,
(2
c)
c≤1,所以(2
a)c(2
b)a
(2
c)b≤1此与①矛盾
2．若x,
y
>
0，且x
+
y
>2，则和中至少有一个小于2
反证法：设≥2，≥2
∵x,
y
>
0，可得x
+
y
≤2
与x
+
y
>2矛盾。
3．设0
<
a,
b,
c
<
1，求证：(1
a)b,
(1
b)c,
(1
c)a,不可能同时大于
证：设(1
a)b
>,
(1
b)c
>,
(1
c)a
>,
则三式相乘：ab
<
(1
a)b (1
b)c (1
c)a
<
①
又∵0
<
a,
b,
c
<
1
∴
同理：,
以上三式相乘：
(1
a)a (1
b)b (1
c)c≤
与①矛盾
∴原式成立
4．已知a
+
b
+
c
>
0，ab
+
bc
+
ca
>
0，abc
>
0，求证：a,
b,
c
>
0
证：设a
<
0,
∵abc
>
0,
∴bc
<
0
又由a
+
b
+
c
>
0,
则b
+
c
=
a
>
0
∴ab
+
bc
+
ca
=
a(b
+
c)
+
bc
<
0
与题设矛盾
又：若a
=
0，则与abc
>
0矛盾，
∴必有a
>
0
同理可证：b
>
0,
c
>
0
教后感：