人教版高中数学选修2-2（教案）2.3数学归纳法（含2课时）

20
年
月
日
第
课时
课题：
2.3数学归纳法（1）
教学目的
１、知识与技能：了解数学归纳法原理，理解数学归纳法的概念；２、过程与方法：掌握数学归纳法的证明步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。教学重点:
重
点
了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
难
点
用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
教学过程：
学生探究过程：
我们已经用归纳法得到许多结论，例如，等差数列的通项公式，
自然数平方和公式．这些命题都与自然数有关，自然数有无限多个，我们无法对所有的自然数逐一验证．
怎样证明一个与自然数有关的命题呢？
讨论以下两个问题的解决方案：
（1）在本章引言的例子中，因为袋子里的东
( http: / / www.21cnjy.com )西是有限的，迟早可以把它摸完，这样总可以得到一个肯定的结论．因此，要弄清袋子里究竟装了什么东西是一件很容易的事．但是，当袋子里的东西是无限多个的时候，那怎么办呢？
（2）我们有时会做一种游戏，在一个平面上摆
( http: / / www.21cnjy.com )一排砖（每块砖都竖起），假定这排砖有无数块，我们要使所有的砖都倒下，只要做两件事就行了．第一，使第一块砖倒下；第二，保证前一块砖倒下后一定能击倒下一块砖．
一、复习引入：
问题1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办？
方法一：把它倒出来看一看就可以了．
特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性．
方法二：一个一个拿，拿一个看一个．
比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．
特点：有顺序，有过程．
问题2：在数列中，，先算出a2，a3，a4的值，再推测通项an的公式．
过程：，，，由此得到：，
解决以上两个问题用的都是归纳法.
再请看数学史上的两个资料：
资料1:
费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．但是，费马曾认为，当n∈N时，一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4时的值分别为3,5,17,257,65537作了验证后得到的．
18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了当n=5时，
=4
294
967
297=6
700
417×641，从而否定了费马的推测．
有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！
资料2：f（n）=n2+n+41，当n∈N时，f（n）是否都为质数？
f（0）=41，f（1）=43，f（2）=47，f（3）=53，f（4）=61，
f（5）=71，f（6）=83，f（7）=97，f（8）=113，f（9）=131，
f（10）=151，…
f（39）=1
601．
但是f（40）=1
681=412是合数
算了39个数不算少了吧，但还不行！我们介绍
( http: / / www.21cnjy.com )以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来．
对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准．对于数学问题，应寻求数学证明
课件展示：多媒体课件(游戏：多米诺骨牌)
,多米诺骨牌游戏要取得成功，必须靠两条：
（1）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒；
（2）第一张牌被推倒．
用这种思想设计出来的，用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明方法就是数学归纳法．
数学运用
例1．用数学归纳法证明：等差数列中，为首项，为公差，则通项公式为．①
证：（1）当时，等式左边，等式右边，等式①成立．
（2）假设当时等式①成立，即，
那么，当时，有．
这就是说，当时等式也成立．
根据（1）和（2），可知对任何，等式①都成立．
注意：（1）这两个步骤是缺一不可的．数学归纳法的步骤（1）是命题论证的基础，步骤（2）是判断命题的正确性能否递推下去的保证；
（2）在数学归纳法证明有关问题的关键，在第二步，即时为什么成立？时成立是利用假设时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出时成立，而不是直接代入，否则时也成假设了，命题并没有得到证明；
（3）用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．
数学归纳法产生的过程分二个
( http: / / www.21cnjy.com )阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束．
理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k时命题成立这个条件
变式：用数学归纳法证明：等比数列中，为首项，为公比，则通项公式为．
例2．用数学归纳法证明：当时，．
证：（1）当时，等式左边，等式右边，等式成立．
（2）假设当时等式成立，即，
那么，当时，有
．
这就是说，当时等式也成立．
根据（1）和（2），可知对任何，等式都成立．
例3．用数学归纳法证明：当时，．
证：（1）当时，，，结论成立．
（2）假设时，结论成立，即，
那么
．
所以当时，命题也成立．
根据（1）和（2），可知结论当时都成立．
变式：用数学归纳法证明：，
解：（1）当时，等式左边，等式右边，所以，等式成立．
（2）假设时，等式成立，即
那么，当时，
即时等式成立．
根据（1）和（2），可知对任何，等式都成立．
例4．已知数列,计算,根据计算结果,猜想的表达式,并用数学归纳法进行证明．
证：；
；
；
.
可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数一致,分母可用项数表示为.于是可以猜想
.
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1）当时，左边=,
右边=,
猜想成立．
（2）假设()时，猜想成立,即
,
那么
．
所以当时，猜想也成立．
根据（1）和（2），可知猜想对任何时都成立．
巩固练习：
课外作业：
1.对一切自然数n，猜出使成立的最小自然数t
2.平面上有n条直线，其中无两条平行，无三条共点，
问：(1)这n条直线共有几个交点f(n)？（
(2)这n条直线互相分割成多少条线段（或射线）？(条)
(3)平面被这n条直线分割成多少块区域？（）
3.已知数列｛an｝中，a1=,
an+1=求a2,
a3,
a4，猜测通项公式an
教后感：
20
年
月
日
第
课时
课题：
2.3
数学归纳法（2）
教学目的
１、知识与技能：理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤；２、过程与方法：通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径；３、情感、态度与价值观：学会数学归纳法在整除问题、几何问题、归纳猜想问题及不等式问题中的应用．
重
点
体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径，学会数学归纳法的应用．
难
点
用数学归纳法证明猜想问题及不等式问题，学会数学归纳法的应用．
教学过程：
教学过程:
1.
归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：特殊→一般
2.
不完全归纳法:
根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.
3.
完全归纳法:
把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.
完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有
( http: / / www.21cnjy.com )限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法.
4.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN
，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
5.
数学归纳法的基本思想：即先验
( http: / / www.21cnjy.com )证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N
)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.
6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；
(2)假设当n=k(k∈N
，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确　
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.
学生探究过程：数学归纳法公理；
用数学归纳法证明：当时．
数学运用
例1．设，．
（1）当时，计算的值；
（2）你对的值有何感想？用数学归纳法证明你的猜想．
解：（1）当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
（2）猜想：当时，能被8整除．
①当时，有能被8整除，命题成立．
②假设当时，命题成立，即能被8整除，
那么当时，有
．
这里，和均为奇数，它们的和必为偶数，从而能被8整除．又依归纳假设，能被8整除，所以能被8整除．这就是说，当时，命题也成立．
根据（1）和（2），可知命题对任何都成立．
变式：求证当取正奇数时，能被整除。
证明：（1）时，，能被整除，命题成立。
（2）假设
(为正奇数)时，有能被整除,
当时，
∵以上两项均能被整除，∴能被整除，即当时命题仍成立。
由（1）、（2）可知，对一切正奇数，都有能被整除．
例2．在平面上画条直线，且任何两条直线都相交，其中任何三条直线不共点．问：这条直线将平面分成多少个部分？
解：记条直线把平面分成个部分，我们通过画出图形观察的情况：
( http: / / www.21cnjy.com )
从图中可以看出
，
，
，
，
．
由此猜想
．
接下来用数学归纳法证明这个猜想．
（1）当时，结论均成立；
（2）假设当时，结论成立，即，
当时，第条直线与前面的条直线都相交，有个交点，这个交点将这条直线分成段，且每一段将原有的平面部分分成两个部分，
所以，结论也成立．
根据（1）和（2），可知对，均有，即．
例3．已知，求证：．
证明：（1）当时，，即时命题成立．
（2）假设当时命题成立，即，
当时，
故当时，命题成立．
由（1）和（2）可知，对，不等式都成立．
巩固练习：1.
证明对，成立．
2．
课本练习
课外作业：
教后感：