人教版高中数学选修2-2（教案）3.1系数得扩充和复数的概念（含2课时）

20
年
月
日
第
课时
课题：
3.1.1数系的扩充和复数的概念
教学目的
１、知识与技能：
了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i ２、过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律 ３、情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念
重
点
复数的有关概念.
难
点
虚数单位i的引进及复数的概念.
教学过程：
（一）创设情境：
探究一：思考：N、Z、Q、R分别代表什么？它们的如何发展得来的？
学生探究过程：
数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N
随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展
为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然NQ.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集
有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集
因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数，叫做虚数单位.并由此产生的了复数
探究二：判断下列方程在实数集中的解的个数
（1）
（2）
（3）
（4）
探究三：.
人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。
讨论：若给方程一个解，则这个解要满足什么条件？是否在实数集中？
实数与相乘、相加的结果应如何？
（二）新课讲解：
探究四：.复数的概念：
1.虚数单位:
(1)它的平方等于-1，即　;
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.
2.
与－1的关系:
就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－!　
3.
的周期性：4n+1=i,
4n+2=-1,
4n+3=-i,
4n=1
4.定义复数：形如的数叫做复数，通常记为（复数的代数形式），其中叫虚数单位，叫实部，叫虚部，数集叫做复数集。
复数的代数形式:
复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式
5.
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等
强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。如3+5i与4+3i不能比较大小.
6.
复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，
当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；
当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；
当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；
当且仅当a=b=0时，z就是实数
数集的关系：
（三）典型例题
例1请说出复数的实部和虚部，有没有纯虚数？
答：它们都是虚数，它们的实部分别是2，－3，0，－;虚部分别是3，，－，－;－i是纯虚数.
例2
复数－2i+3.14的实部和虚部是什么？
答：实部是3.14，虚部是－2.
易错为：实部是－2，虚部是3.14！
例3（课本例1）实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是:
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
［分析］因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值.
解：(1)当m－1=0，即m=1时，复数z是实数；
(2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；
(3)当m+1=0，且m－1≠0时，即m=－1时，复数z
是纯虚数.
例4　已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x与y.
解：根据复数相等的定义，得方程组，所以x=，y=4
四．整合提升：
1.虚数单位i的引入；
2.复数有关概念：
3.数学的思想方法:转化的思想,数形结合思想
五．课堂达标
1.设集合C=｛复数｝，A=｛实数｝，B=｛纯虚数｝，若全集S=C，则下列结论正确的是(
)
A.A∪B=C
B.
A=B
C.A∩B=
D.B∪B=C
2.复数(2x2+5x+2)+(x2+x－2)i为虚数，则实数x满足(
)
A.x=－
B.x=－2或－
C.x≠－2
D.x≠1且x≠－2
3.已知集合M=｛1，2，(m2－3m－1)+(m2－5m－6)i｝，集合P=｛－1，3｝.M∩P=｛3｝，则实数m的值为(
)
A.－1
B.－1或4
C.6
D.6或－1
4.满足方程x2－2x－3+(9y2－6y+1)i=0的实数对(x，y)表示的点的个数是______.
5.复数z1=a+｜b｜i，z2=c+｜d｜i(a、b、c、d∈R)，则z1=z2的充要条件是______.
6.设复数z=log2(m2－3m－3)+ilog2(3－m)(m∈R)，如果z是纯虚数，求m的值.
7.若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试求实数m的值.
答案：1.D　2.D
3.
解析：由题设知3∈M，∴m2－3m－1+(m2－5m－6)i=3
∴，∴∴m=－1，故选A.
4.
解析：由题意知∴
∴点对有(3，)，(－1，)共有2个.答案：2
5.
解析：z1=z2a=c且b2=d2.答案：a=c且b2=d2
6.解：由题意知∴
∴∴，∴m=－1.
7.
解：方程化为(x2+mx+2)+(2x+m)i=0.∴，
∴x=－，∴∴m2=8，∴m=±2.
六．课后作业：
教后感：
20
年
月
日
第
课时
课题：
3.1.2复数的几何意义
教学目的
１、知识与技能：
.理解复数与以原点为起点的向量的对应关系；了解复数的几何意义；会用复数的几何意义解决有关问题.２、过程与方法：渗透转化、数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题的能力。３、情感、态度与价值观：
引导学生观察现象，发现问题，提出观点，验证结论，培养良好的学习思维品质。
重
点
复数的几何意义
难
点
复数与向量的关系；复数模的几何意义
教学过程：
【知识链接】
1.若，，则；
2.若，，则
【问题探究】
探究一、复数几何意义（一）
引导:复数与有序实数对是
关系；若点Z的横坐标是，纵坐标是，则复数可用点
表示，其中这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做_______，轴叫做_________，轴叫做__________
思考：⑴实轴上的点都表示________，原点表示
，
除了原点外，虚轴上的点都表示
___________.
⑵在复平面内z=－5－3i对应的点______________，z=－3i对应的点______________，
实轴上的点表示实数
，虚轴上的点表示纯虚数_____________，
虚轴上的点表示纯虚数____________；
这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.
点拨：复数是由其实部和虚部共同决定，所以复数与有序实数对是一一对应关系，和复平面内的点也是一一对应关系,这样就建立了复数和复平面内几何图形——点之间的关系，体现了数与形结合思想.
探究二、复数几何意义（二）
引导:复平面内的点与平面向量的对应关系：
因此，我们可以用平面向量来表示复数，即：
同时我们把向量的模叫做复数的模，即有
.
点拨：复数与平面向量建立了一一对应关系，从而可以利用平面向量知识来解决复数问题，实现了数与形的互化.
探究三、共轭复数
引导:像复数和这样，如果两个复数，实部
，虚部________________时，称这两个复数互为共轭复数，且的共轭复数记作.
思考：（1）互为共轭复数的两个数所对应的点有什么关系？
（2）互为共轭复数的两个数的模有什么关系？
点拨：实部相等虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数，互为共轭复数的两个复数有较好的性质，譬如在复平面内对应的点关于轴对称，两个复数的模相等等性质，为后续进一步研究复数提供便利.
【典例分析】
例1已知复数，在复平面内对应的点分别为A、B，求
对应的复数z，z在平面内所对应的点在第几象限？
引导:根据复数的几何意义（一）知复数、对应的点A、B
的坐标，进而可知向量的坐标，即可判断z在平面内所对应
的点在第几象限.
解:
点拨：可根据题意先求出A、B点的坐标.实际上我们发现点z的坐标即是向量的坐标，也即是复数对应的有序数对.
例2如果复数的实部为正数，虚部为3，那么在复平面内，复数对应的点应位于怎样的
图形上。
引导:考虑复数在复平面内对应的点坐标形式为，若，则点所位于的图形即为所求.
解:
点拨：若仅说复数的虚部为3，那么复数对应的点坐标形式当为，满足条件的点形成的是一条直线，而本题限定，当然形成的图形为一条射线.注意复数几何意义的应用.
【目标检测】
1．如果P是复平面内表示复数的点，分别指出在下列条件下点P的位置：（1）；（2）；（3）；（4）；
2.实数取什么值时，复数在复平面内所对应的点：
（1）位于第四象限；（2）位于直线上；
3.已知复数的虚部为，在复平面内复数对应的向量的模为2，求复数.
提示:可设复数，根据复数的模为2建立关于的方程，解之即可.
.在复平面内，复数，，，对应的点
分别为，，，.试求出复数的模，并判断点，，，
是否在同一个圆上，从中你能得到什么结论？
提示：计算复数的模，发现规律，寻求结论，再结合复数模的定义解释你的
结论.
【总结提升】
复数与复平面内的点是一一对应关系，与以原点为起点以
为坐标的向量是一一对应关系，从而建立了复数与复平面内的点及向量之间的关系，这为我们研究复数问题提供了行之有效的方法，也体现了数与形的有机结合.
教后感：
纯虚数集
复数集
实数集
虚数集
0
复数复平面内点
平面向量
复数平面向量
0
x
y
A
B