人教版高中数学选修2-2（教案）1.5定积分的概念

20
年
月
日
第
课时
课题：
1.5定积分的概念
教学目的
１、知识与技能：1．过求曲边梯形的面积和变
( http: / / www.21cnjy.com )速直线运动的路程，了解定积分的背景；借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分；理解掌握定积分的几何意义；２、过程与方法：通过问题的探究体会逼近、以直代曲的数学思想方法。３、情感、态度与价值观：通过分割、逼近的观点体会定积分的来历，使学生从本质上理解定积分的几何意义，从而激发学生学习数学的兴趣。
重
点
定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义
难
点
定积分的概念、定积分的几何意义
教学过程：
一、自主探究
复习：
回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：
分割→以直代曲→求和→取极限（逼近
2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．
二、交流点拨
1．定积分的概念
一般地，设函数在区间上连续，用分点
将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：
如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：
其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。
说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是．
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：
（3）曲边图形面积：；变速运动路程；
变力做功
2．定积分的几何意义
说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．
分析：一般的，设被积函数，若在上可取负值。
考察和式
不妨设
于是和式即为
阴影的面积—阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积）
2．定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1
性质2
（其中k是不为0的常数）
（定积分的线性性质）
性质3
（定积分的线性性质）性质4
（定积分对积分区间的可加性）
说明：①推广：
②推广:
③性质解释：
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三、拓展建构
例1．计算定积分
分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为。
即：
变式练习：1．
解：
2．
解：
例2．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.
【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
解：，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=，所以=
【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：
1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；
4.微积分基本定理求定积分。
计算下列定积分
1、定积分
（c为常数）的几何意义是
2、由y=sinx,
x=0,x=,y=0所围成图形的面积写成定积分的形式是
3、定积分的大小
（
）
A、与和积分区间有关，与的取法无关
B、与有关，与区间及的取法无关
C、与和的取法有关，与积分区间无关
D、与、区间和的取法都有关
4、下列等式成立的个数是（
）
①
②
③
④
A、1
B、2
C、3
D、4
5、计算下列定积分
1．
2．
教后感：
性质4
性质1
1
2
y
x
o
A
B
C
D
O