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特殊平行四边形（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·龙岗期末）下列选项中，不能被边长为的正方形及其内部所覆盖的图形是（ ）
A．长度为的线段 B．边长为的等边三角形
C．斜边为的直角三角形 D．面积为的菱形
2．（2024九上·顺德期末）已知菱形的边长为13cm，它的一条对角线长为10cm，则该菱形的面积为（ ）
A．60cm2 B．120cm2 C．240cm2 D．480cm2
3．（2024九上·湖南期末）已知菱形的两条对角线长分别为和8cm和10cm，则菱形的面积为（ ）
A． B．40 C． D．
4．（2024九上·红花岗期末）如图，在正方形中，点是边上的一个动点，连接，以为斜边在正方形内部构造等腰直角三角形，连接．以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·清城期末）同学们探究四边形纸板是否为正方形，以下测量方案正确的是（ ）
A．测量四条边是否相等
B．测量四个内角是否相等且一组邻边是否相等
C．测量四个内角是否是直角
D．测量两条对角线是否相等且是否互相垂直
6．（2024九上·雁峰开学考）已知下列命题：
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④对角线垂直且相等的四边形是正方形，其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2024九上·涪城开学考）如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边CD上，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，且BG=CG，连接AG、CF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG=45°；③CE=2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC=.其中正确结论的个数是 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2024九上·浙江期中）如图，矩形ABCD被分割成4个直角三角形和1个小矩形后仍是中心对称图形．设上下两个直角三角形的面积都为S1，左右两个直角三角形的面积都为S2，中间小矩形的面积为S3，若对角线EF∥BC，则矩形ABCD的面积一定可以表示为（ ）
A．4S1 B．8S2 C．8S3 D．2S1+4S3
9．（2023九上·达州期中）如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（ ）
A． B．2 C．4 D．
10．（2024九上·万源期末）如图，在一张矩形纸片中，，点E，F分别在边上，将纸片沿直线折叠，点C落在边上的点H处，点D落在点G处，有下列四个结论：①四边形是菱形；②平分；③线段长的取值范围是；④当点H与点A重合时， 2，其中，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2023九上·潮南期中）如图，将矩形绕点A顺时针旋转后，得到矩形，若，，连接，那么的长是 ．
12．（2023九上·良庆期中）如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边佮好落在边上．若，则的长为 ．
13．（2023九上·六盘水月考）如图，在边长为2的菱形ABCD中， ∠ABC＝120°， E，F分别为AD，CD上的动点，且AE+CF=2，则线段EF长的最小值是 ．
14．（2024九上·重庆市开学考）如图，在矩形中，，将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则四边形的面积为 ．
15．（2024九上·温江期末）如图，在菱形中，，，为边上一动点，将沿折叠为，为边上一点，，则的最小值为 ．
16．（2024九上·合江开学考）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值是 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024·中江模拟）如图，四边形ABCD为菱形，M为BC上一点，连接AM交对角线BD于点G，并且∠ABM=2∠BAM．
（1）求证：AG=BG；
（2）若点M为BC的中点，同时S△BMG=1，求三角形ADG的面积．
18．（2024九上·成都期末）如图，在平行四边形中，，是和的中点，且．在的延长线上取一点，连接，使得．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，求的长．
19．（2024九上·南山期中）如图，在四边形ABCD中，，，E，F分别是边CD，BC上的点，连接BE，DF交于点G，．添加下列条件之一使四边形ABCD成为菱形：①；②，．
（1）你添加的条件是 ▲ （填序号），并证明．
（2）在（1）的条件下，连接CG，若，，，求菱形ABCD的面积．
20．（2023九上·高碑店月考）如图1，在中，点，在对角线上，，，过点作交的延长线于点．
图1
（1）求证：四边形是矩形．
（2）如图2，连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由．
图2
21．（2023九上·永春开学考）四边形是矩形，四边形是正方形，，点在线段的左侧，连接，．
（1）如图，若点在边上时，，，求的长．
（2）如图，连接，若，，求证：三点，，在同一直线上．
22．（2024九上·深圳开学考）如图，已知四边形是平行四边形．
（1）实践与操作：利用尺规作对角线的垂直平分线，分别交、于点E、F；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）证明与计算：在（1）的条件下，连接，，并解决下列问题：
①求证：四边形为菱形；
②若，，，求菱形的边长和对角线的长．
23．（2024九上·高州月考）如图1，在正方形中，E是边上一动点（与C，D不重合），连接，将沿所在的直线折叠得到，延长交于点G，连接，作，交的延长线于点H，连接．
（1）求证：平分；
（2）如图2，过点H作交于点P；在点E运动过程中，四边形能否为菱形？若能，请求出的度数；若不能，无需证明．
（3）连接，若，请直接写出长度的最小值．
24．（2024九上·清远期末） 如图， 在正方形 中， 点 在边 上 (不与点 重合)， 连接 . 点 关于直线 的对称点为点 ， 连接 交 于点 ， 延长 交 的延长线与点 .
（1） 依题意补全图形， 并判断 与 是否相等.
（2） 求 的度数.
（3） 求证： .
25．（2023九上·天河期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、BC上的两点，且．AE、AF分别交正方形的对角线BD于G、H两点，将△ADE绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EF．
（1）求证：FA平分∠QAE．
（2）求证：．
（3）试探索BH、HG、GD三条线段间的数量关系，并加以说明．
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特殊平行四边形（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·龙岗期末）下列选项中，不能被边长为的正方形及其内部所覆盖的图形是（ ）
A．长度为的线段 B．边长为的等边三角形
C．斜边为的直角三角形 D．面积为的菱形
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 正方形的边长为2， ∴ 正方形的对角线为 ，
∴ 长度为的线段能被边长为的正方形及其内部所覆盖 ，故A项不符合题意；
边长为2的等边三角形能被边长为的正方形及其内部所覆盖 ，故B项不符合题意；
斜边为2的直角三角形能被边长为的正方形及其内部所覆盖 ，故C项不符合题意；
面积为4的菱形对角线最长可为8，不能被边长为的正方形及其内部所覆盖 ，故D项符合题意.
故答案为：D.
【分析】先计算出正方形的对角线的长度，根据等边三角形的性质、直角三角形的性质和菱形的性质，即可判断求出.
2．（2024九上·顺德期末）已知菱形的边长为13cm，它的一条对角线长为10cm，则该菱形的面积为（ ）
A．60cm2 B．120cm2 C．240cm2 D．480cm2
【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示：
∵在菱形ABCD中，AB=13cm，AC=10cm，
∴∠AOB=90°，OA=5cm，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据菱形的对角线互相平分求出∠AOB=90°，OA=5cm，再利用勾股定理求出OB的值，最后根据三角形和菱形的面积公式计算求解即可。
3．（2024九上·湖南期末）已知菱形的两条对角线长分别为和8cm和10cm，则菱形的面积为（ ）
A． B．40 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：（一）∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴菱形的面积为四个相等的三角形面积
即：4× × × =40（cm2），
（二）：∵一个菱形的两条对角线长分别为8cm和10cm，
∴这个菱形的面积= ×8×10=40（cm2）．
故选：B.
【分析】(一)菱形性质知菱形的对角线互相垂直平分，再说明菱形的面积为四个相等的三角形面积而解得．（二）根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．
4．（2024九上·红花岗期末）如图，在正方形中，点是边上的一个动点，连接，以为斜边在正方形内部构造等腰直角三角形，连接．以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：证明：过点作，如图所示：
四边形为正方形，
，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
∴，
；
将绕点顺时针旋转得到，
由旋转的性质可知：，，，，
，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
．
故答案为：B．
【分析】先得到，然后把绕点顺时针旋转得到，再根据旋转的性质得到，，，，根据勾股定理求出，然后得到为平行四边形，即可得到结论．
5．（2024九上·清城期末）同学们探究四边形纸板是否为正方形，以下测量方案正确的是（ ）
A．测量四条边是否相等
B．测量四个内角是否相等且一组邻边是否相等
C．测量四个内角是否是直角
D．测量两条对角线是否相等且是否互相垂直
【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵测量四条边是否相等可以得出四边形纸板是否为菱形，∴A不符合题意；
B、∵测量四个内角是否相等且一组邻边是否相等可以得出四边形纸板是否为正方形，∴B符合题意；
C、∵测量四个内角是否是直角 可以得出四边形纸板是否为矩形，∴C不符合题意；
D、∵测量两条对角线是否相等且是否互相垂直不能判断四边形纸板是否为正方形，还要测量两条对角线是否互相平分，∴D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用正方形的判定方法逐项分析判断即可.
6．（2024九上·雁峰开学考）已知下列命题：
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④对角线垂直且相等的四边形是正方形，其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；
②对角线相等的平行四边形是矩形，正确；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误；
④对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误．
综上，①②正确，共2个．
故答案为：B．
【分析】利用平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定和正方形的判定方法逐项分析判断即可.
7．（2024九上·涪城开学考）如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边CD上，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，且BG=CG，连接AG、CF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG=45°；③CE=2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC=.其中正确结论的个数是 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=12，∠B=∠GCE=∠D=90°，
由折叠的性质可得：AF=AD，∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFG=∠B=90°，AB=AF，
∵AG=AG，
∴△ABG≌△AFG，
∴结论①正确；
②∵△ABG≌△AFG，
∴∠BAG=∠FAG，
由折叠的性质可得：∠DAE=∠FAE，
∴，
∴结论②正确；
③由题意可得：BG=CG=GF=6，EF=DE，
设DE=EF=x，则CE=12-x，
∴，
解得：x=4，
∴DE=4，CE=8。
∴CE=2DE，
∴结论③正确；
④∵CG=BG，BG=GF，
∴CG=GF，
∴∠GFC=∠GCF，
∵△ABG≌△AFG，
∴∠AGB=∠AGF，
∵∠AGB+∠AGF=2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GCF，
∴∠AGB=∠GCF，
∴AG//CF，
∴结论④正确；
⑤∵GF=6，EF=4，，
∴，
∴，
∴结论⑤正确；
综上所述：正确结论的个数是5个，
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形的面积公式对每个结论逐一计算求解即可。
8．（2024九上·浙江期中）如图，矩形ABCD被分割成4个直角三角形和1个小矩形后仍是中心对称图形．设上下两个直角三角形的面积都为S1，左右两个直角三角形的面积都为S2，中间小矩形的面积为S3，若对角线EF∥BC，则矩形ABCD的面积一定可以表示为（ ）
A．4S1 B．8S2 C．8S3 D．2S1+4S3
【答案】A
【解析】【解答】解：延长EF和FE分别交CD于点N，交AB于点M，
∵EF||BC
∴∠EFB=∠FBC
∵ABCD为矩形
∴AD||BC
∵EF||BC
∴EF||AD
∴∠ADE=∠DEF
∵EGFH为矩形
∴EH||GF
∴∠DEF=∠EFB
∴∠ADE=∠CBF
又∵AD=BC，∠AED=∠BFC
∴△ADE≌△CBF
∴AE=CF，∠DAE=∠BCF
∴∠EAM=∠FCN
∵∠AME=∠CNF
∴△AEM≌△CFN
∴AM=CN
∴BCNM为矩形
∴BM=CN
∴AM=BM
∴M为AB的中点
同理N为CD的中点
S矩ADNM=2S1，S矩BCNM=2S1
故S矩ABCD=2S1+2S1=4S1，即S矩ABCD=4S1
故答案为：A.
【分析】延长EF两端，结合矩形的性质得△ADE≌△CBF，得AE=CF，于是可证得△AEM≌△CFN，AM=CN，同时BM=CN即得M为AB的中点，即得S矩ADNM=2S1，S矩BCNM=2S1，即得S矩ABCD=4S1.
9．（2023九上·达州期中）如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：作D关于AE的对称点D'，过D'作D'P'⊥AD于P'，如图所示：
∵DD'⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD'，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D'AF，
∴D'是D关于AE的对称点，AD'=AD=4，
∴D'P'即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD'=45°，
∴AP'=P'D'，
∴在Rt△AP'D'中，
P'D'2+AP'2=AD'2，AD'2=16，
∵AP'=P'D'，
2P'D'2=AD'2，即2P'D'2=16，
∴P'D'=2，
即DQ+PQ的最小值为2，
故答案为：A
【分析】作D关于AE的对称点D'，过D'作D'P'⊥AD于P'，先根据三角形全等的判定与性质证明△DAF≌△D'AF得到D'是D关于AE的对称点，AD'=AD=4，进而根据轴对称-最短距离问题得到D'P'即为DQ+PQ的最小值，再根据正方形的性质得到∠DAD'=45°，从而结合题意运用勾股定理即可求解。
10．（2024九上·万源期末）如图，在一张矩形纸片中，，点E，F分别在边上，将纸片沿直线折叠，点C落在边上的点H处，点D落在点G处，有下列四个结论：①四边形是菱形；②平分；③线段长的取值范围是；④当点H与点A重合时， 2，其中，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，故①正确；
∵四边形是菱形，
∴，
若平分，
∴，
∴，
∵点C落在上的一点H处，
∴不一定等于30°
∴不一定平分，故②错误；
当点H与点A重合时，有最小值，
设，则，
在中，，
即，解得，
∴，
若落在上时，有最大值，
∴四边形是正方形，
∴，
∴最大值为4，
∴，故③正确；
如图，过点F作于M，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：C.
【分析】根据直线平行性质可得，根据角之间的关系可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，再根据菱形判定定理可判断①正确；根据菱形性质及角平分线性质，再根据题意可判断②错误；设，则，在中，根据勾股定理列出方程，解方程可得，再根据正方形性质可判断③正确；过点F作于M，根据矩形性质，勾股定理可判断④正确；
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2023九上·潮南期中）如图，将矩形绕点A顺时针旋转后，得到矩形，若，，连接，那么的长是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：在矩形中，，，，
∴，
由旋转性质得，，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、旋转性质.先根据矩形的性质可得：，，，再利用勾股定理可求出，再根据旋转性质得到，，再利用勾股定理可求出的长.
12．（2023九上·良庆期中）如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边佮好落在边上．若，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由折叠可知：
∴
∴矩形是正方形
∴AD'=A'M=1，
在Rt△DA'M中，
∵将沿着折叠，边佮好落在边上
∴，
∵
∴
解得：
∴
故答案为：．
【分析】
由折叠可知：，易得矩形是正方形，则AD'=A'M=1，，根据勾股定理可得：，根据等积法：，即可求解．
13．（2023九上·六盘水月考）如图，在边长为2的菱形ABCD中， ∠ABC＝120°， E，F分别为AD，CD上的动点，且AE+CF=2，则线段EF长的最小值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形是边长为2的菱形，
∴AB=AD=BC=CD=2，∠A=∠C=60°，
∴都是边长为2的正三角形，
AE+DE=AD=2，
∴DE=CF，
又
在和中，
是正三角形，
如图，当即E为AD的中点时，BE取得最小值，
在Rt△ABE中，AB=2，AE=1，
∴BE=，
∴EF的最小值为.
故答案为：.
【解答】根据已知条件，边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=120°，可以得到△ABD、△CBD都是边长为2的正三角形，从而根据SAS证得△BDE≌△BCF，因此证得△BEF是正三角形，由此得EF=BE，从而可得当BE⊥AD，即E为AD的中点时，线段BE长最小，即求得EF的最小值.
14．（2024九上·重庆市开学考）如图，在矩形中，，将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则四边形的面积为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，AD=4，
∴，，∠D=90°，
，
∴DE=4，
，
．
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质、旋转的性质得，AE=AB，∠D=90°，从而求出DE=EF=4，进而利用勾股定理求出AE=AB的值，由，利用矩形、三角形的面积公式即可求解.
15．（2024九上·温江期末）如图，在菱形中，，，为边上一动点，将沿折叠为，为边上一点，，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：作于点，则，
四边形是菱形，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
由折叠得，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】作EF⊥BC于点F，根据菱形的性质得BC=CD=AB=2，由BE=CE得BF=CF=1，而∠B=30°，因此BE=2EF，从而得到BF=EF=1，求得EF=，所以BE=CE=2EF=，根据折叠得CD'=CD=2，因为D'E+CE≥CD'，所以D'E+≥2，则D'E≥2-，即可求得D'E的最小值.
16．（2024九上·合江开学考）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，
当时，则，最小，得到最小值，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，根据菱形的性质证明得到：是的中位线，进而利用三角形中位线定理，可知，最后根据垂线段最短定理即可知：当时，最小，此时利用勾股定理即可求出GH的最小值．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024·中江模拟）如图，四边形ABCD为菱形，M为BC上一点，连接AM交对角线BD于点G，并且∠ABM=2∠BAM．
（1）求证：AG=BG；
（2）若点M为BC的中点，同时S△BMG=1，求三角形ADG的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠ABM=2∠BAM，
∴∠ABD=∠BAM，
∴AG=BG；
（2）解：∵AD∥BC，
∴△ADG∽△MBG，
∴，
∵点M为BC的中点，
∴=2，
∴=（）2=4
∵S△BMG=1，
∴S△ADG=4．
【解析】【解答】（1）根据菱形的对角线平分一组对角，得出∠ABD=∠CBD，再根据∠ABM=2∠BAM，得出∠ABD=∠BAM，然后根据等角对等边证明即可．
（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得．
【分析】此题考查了菱形的性质，相似三角形性质，即相似三角形面积比等于相似比的平方.
18．（2024九上·成都期末）如图，在平行四边形中，，是和的中点，且．在的延长线上取一点，连接，使得．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：平行四边形，
，，
，是和的中点，
，，
，
又，
四边形为平行四边形，
，
，
平行四边形为菱形，
四边形为菱形．
（2）解：如图，作交于点，
由（1）得，四边形为菱形，
，，，，
，
在中，，，
，
，，
在中，，
，
，
又，
，
，
，
在中，，
的长为．
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，然后根据中点得到，即可得到为平行四边形，再根据得到结论即可；
（2）作交于点，利用菱形的性质得到，，再根据面积公式求出的长，然后根据勾股定理求出的长，再在在中运用勾股定理求出长解题．
（1）证明：平行四边形，
，，
，是和的中点，
，，
，
又，
四边形为平行四边形，
，
，
平行四边形为菱形，
四边形为菱形．
（2）解：如图，作交于点，
由（1）得，四边形为菱形，
，，，，
，
在中，，，
，
，，
在中，，
，
，
又，
，
，
，
在中，，
的长为．
19．（2024九上·南山期中）如图，在四边形ABCD中，，，E，F分别是边CD，BC上的点，连接BE，DF交于点G，．添加下列条件之一使四边形ABCD成为菱形：①；②，．
（1）你添加的条件是 ▲ （填序号），并证明．
（2）在（1）的条件下，连接CG，若，，，求菱形ABCD的面积．
【答案】（1）解：②．
证明：∵，，
∴，
在和中
∴（AAS），
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：②；
（2）解：连接BD，AC，相交于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
设，
由勾股定理可得，，
即，解得：，
∴，，
∴，，
∴菱形ABCD的面积．
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得（AAS），则，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）连接BD，AC，相交于O，根据菱形性质可得，设，根据勾股定理建立方程，解方程可得，，再根据菱形面积即可求出答案.
20．（2023九上·高碑店月考）如图1，在中，点，在对角线上，，，过点作交的延长线于点．
图1
（1）求证：四边形是矩形．
（2）如图2，连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由．
图2
【答案】（1）证明：（证法不唯一）在中，，，
．
又，
，
．
，
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
，
四边形是矩形．
（2）解：四边形是正方形．
理由：由（1）知，，
四边形是平行四边形，
，
．
，
．
在矩形中，，
，
，
矩形是正方形．
【解析】【分析】（1）思路是先证明四边形是平行四边形，已知一个角是直角，即可证明是矩形；已知一组边平行，寻求证明这组边相等或者另外一组边平行的条件，在已知四边形的条件下，易通过全等获得等角，可证另外一组边平行，至此整理思路即可；（2）DEFG已经是矩形，再附加条件也只可能是正方形，所以证明的方向就是寻求证明邻边相等；在（1）的基础上根据矩形的性质，易知DEFB是平行四边形，由性质得内错角相等，结合已知等角，等量代换得到，进而可以证明矩形的邻边相等。
21．（2023九上·永春开学考）四边形是矩形，四边形是正方形，，点在线段的左侧，连接，．
（1）如图，若点在边上时，，，求的长．
（2）如图，连接，若，，求证：三点，，在同一直线上．
【答案】（1）解：如图，作于点，
∵四边形是正方形，点在边上，
，，
，
，
，
，
，
，
，
的长是．
（2）证明：如图，连接，
四边形是矩形，四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
点在线段的垂直平分线上，
，，
点、点都在线段的垂直平分线上，
三点，，在同一直线上．
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质：正方形的每条边都相等，每个角都是直角可得，，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得AF=2，根据等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形底边上的高，斜边上的中线，顶角的角平分线三线合一可得AH=FH=EH=1，求得DH=2，根据勾股定理求得，即可求解；
（2）根据矩形的性质：矩形的四个角是直角；正方形的性质：正方形的每条边都相等可得AE=AG，∠EAG=∠DAB=90°，推得∠DAE=∠BAG，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得AD=AB，推得BA=BF，根据线段垂直平分线的判定：如果一个点到线段两端点的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上，可推得点B，点G、点E都在线段AF的垂直平分线上，即可得出结论.
22．（2024九上·深圳开学考）如图，已知四边形是平行四边形．
（1）实践与操作：利用尺规作对角线的垂直平分线，分别交、于点E、F；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）证明与计算：在（1）的条件下，连接，，并解决下列问题：
①求证：四边形为菱形；
②若，，，求菱形的边长和对角线的长．
【答案】（1）解：如图，分别以A、C两点为圆心，大于AC的一半长为半径画弧，两弧交于两点连接，确定出对角线AC的垂直平分线.
所作点E、F如图所示.
（2）解：连接，，
①证明：记交于点，
四边形是平行四边形．
，
，
为的垂直平分线，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形；
②作的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
设，则，
，
，
解得，
菱形的面积，
，
解得，
综上所述，菱形边长为，的长为
【解析】【分析】（1）作AC的垂直平分线EF交AD于E，交BC于点F即可；
(2)①如图：连接AF，CE，证△AOE≌△COF，从而得出四边形AFCE是平行四边形，再由于AE=CE，进而得出结论；
②作AG⊥CB的延长线于点G，设CF=x，则AF=CF=x，根据直三角形的性质和菱形的性质求出CF，再用面积法求出EF，即可解答.
（1）解：所作点E、F如图所示：
（2）解：连接，，
①证明：记交于点，
四边形是平行四边形．
，
，
为的垂直平分线，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形；
②作的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
设，则，
，
，
解得，
菱形的面积，
，
解得，
综上所述，菱形边长为，的长为．
23．（2024九上·高州月考）如图1，在正方形中，E是边上一动点（与C，D不重合），连接，将沿所在的直线折叠得到，延长交于点G，连接，作，交的延长线于点H，连接．
（1）求证：平分；
（2）如图2，过点H作交于点P；在点E运动过程中，四边形能否为菱形？若能，请求出的度数；若不能，无需证明．
（3）连接，若，请直接写出长度的最小值．
【答案】（1）证明：在AB上截取，连接，如图1所示：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：四边形能为菱形，理由如下：
当时，，
∵，
∴四边形为平行四边形，，
由（1）得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：CF长度的最小值 为-1
如图2所示，连接：
∵，，
∴，
由（1）得：，
当A、F、C三点共线时，CF最短，
则CF长度的最小值 ．
【解析】【分析】 (1) 在AB上截取AN=CG，连接NG
由正方形性质四个角是直角四条边相等得到，是等腰直角三角形，由折叠的性质得：，，，为等腰直角三角形，再得到，，从而得到，即CH平分∠DCM。
(2)由，得到四边形为平行四边形，由（1）得：，，，，得到平行四边形为菱形，，，，，；
(3)如图2所示，连接，在Rt△ABC中，由勾股定理得ＡＣ为， 由（1）得：，当A、F、C共线时，CF为最小值。
24．（2024九上·清远期末） 如图， 在正方形 中， 点 在边 上 (不与点 重合)， 连接 . 点 关于直线 的对称点为点 ， 连接 交 于点 ， 延长 交 的延长线与点 .
（1） 依题意补全图形， 并判断 与 是否相等.
（2） 求 的度数.
（3） 求证： .
【答案】（1）解：如图1，连结PA，PB，PD，PD交AE于点F，延长BP、AE交于点H，
AP= AB，理由如下：
∵点P与点D关于直线EF对称
∴AE垂直平分PD
∴AP=AD
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD
∴AP= AB
（2）解：如图1，延长PA到点L
∵AP= AB，AP=AD
∴∠APB= ∠ABP，∠APD= ∠ADP
∴∠LAB= ∠APB+ ∠ABP =2∠APB，∠LAD=∠APD+∠ADP=2∠APD
∴
∵∠BAD = 90°，
∴
∵∠PFH=90°
∴∠AHB=90°-∠HPD=45°
∴AHB的度数是45°
（3）证明：如图2，连结并延长HD，作AK⊥AH交HD的延长线于点K
∵AE垂直平分PD，点H在直线AE上
∴DH=PH
∴∠AHK= ∠AHB = 45°
∵HAK =90°，
∴∠K=∠AHK=45°
∴AK=AH
∴
∵∠HAK=∠BAD=90°
∴∠DAK= ∠BAH =90°-∠DAH
在△DAK和△BAH中
∴△DAK≌△BAH (SAS)
∴DK=BH
∴BH+PH=DK+DH=HK
∴
【解析】【分析】（1）补全图形，根据对称性质可得AE垂直平分PD，则AP=AD，再根据正方形性质可得AB=AD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）延长PA到点L，根据等边对等角可得∠APB= ∠ABP，∠APD= ∠ADP，再根据角之间的关系可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）连结并延长HD，作AK⊥AH交HD的延长线于点K。根据垂直平分线性质可得DH=PH，则∠AHK= ∠AHB = 45°，即∠K=∠AHK=45°，可得AK=AH，再根据勾股定理可得，再根据全等三角形判定定理可得△DAK≌△BAH (SAS)，则DK=BH，再根据边之间的关系即可求出答案.
25．（2023九上·天河期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、BC上的两点，且．AE、AF分别交正方形的对角线BD于G、H两点，将△ADE绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EF．
（1）求证：FA平分∠QAE．
（2）求证：．
（3）试探索BH、HG、GD三条线段间的数量关系，并加以说明．
【答案】（1）证明：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，此时AB与AD重合，由旋转可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴FA平分∠QAE；
（2）证明：∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，此时AB与AD重合，
∴，，，
∴，
因此，点Q，B，F在同一条直线上，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：BH、HG、GD三条线段间的数量关系为．
证明：如图，在正方形ABCD中，，，
∴．
把△ABH绕点A逆时针旋转90°得到△ADM，连接GM．
∴，
∴，，，．
∴，
即．
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
在△AHG和△AMG中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
【解析】【分析】（1）将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，此时AB与AD重合，由旋转可得：，证明，得出，进而得出结论；
（2）将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，此时AB与AD重合，得出，因此，点Q，B，F在同一条直线上，用SAS证明△QAF≌△EAF，得出QF=EF，进而得出结论；
（3）在正方形ABCD中，，，把△ABH绕点A逆时针旋转90°得到△ADM．连接GM，得出，证明，进而用SAS证明△AHG≌△AMG，得出HG=MG，进而根据勾股定理得出结论．
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