5.5.2 简单的三角恒等变换
第1课时 三角函数式的化简与求值
1.[2024·吉林长春十一中高一期末] 若α为锐角,则= ( )
A.sin B.cos
C.sin+cos D.sin-cos
2.若cos α=,α∈(0,π),则sin的值为 ( )
A. B.-
C. D.-
3.利用积化和差公式化简sin αsin的结果为 ( )
A.-[cos(α+β)-cos(α-β)]
B.[cos(α+β)+cos(α-β)]
C.[sin(α+β)-sin(α-β)]
D.[sin(α+β)+sin(α-β)]
4.[2024·江苏盐城东台一中高一期中] 函数f(x)=2sin xcos xcos 2x的最小正周期是( )
A. B.
C.π D.2π
5.[2024·山东青岛高一期中] 已知sin α=,α是第二象限角,则tan= ( )
A.- B.
C. D.3
6.(多选题)若cos α=-,则的值可能为 ( )
A. B.2
C.- D.-2
7.已知sin -cos =,<α<π,则tan= .
8.已知cos α+cos β=,则coscos的值为 .
9.(13分)已知cos β=-,sin(α+β)=,且α∈,β∈.求:
(1)tan的值;
(2)sin α的值.
10.在△ABC中,若sin Asin B=cos2,则△ABC一定是 ( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
11.(多选题)[2024·江苏南京高一期中] 下列选项中,值为的有 ( )
A.sin 75°sin 15°
B.sin 18°sin 54°
C.
D.
12.已知tan α=3,则sin·cos的值为 .
13.若sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β= .
14.(15分)[2024·山西大同高一期末] 计算下列各式的值:
(1);
(2)sin 40°(tan 10°-tan 60°).
15.[2025·南京金陵中学高一期末] 如图所示,已知角α,β的顶点为原点O,始边为x轴非负半轴,终边与单位圆的交点分别为A,B,M为线段AB的中点,射线OM与单位圆交于点C,则以下结论正确的有 .(填序号)
①∠AOB=β-α;
②OM=cos;
③点C的坐标为;
④点M的坐标为.
16.(15分)证明:=tan+.
5.5.2 简单的三角恒等变换
第1课时 三角函数式的化简与求值
1.B [解析] ==
,因为α为锐角,所以为锐角,所以原式可化简为cos.故选B.
2.A [解析] 由题意知∈,所以sin>0,则sin==.故选A.
3.D [解析] sin αsin =sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)],故选D.
4.B [解析] f(x)=2sin xcos xcos 2x=sin 2xcos 2x=sin 4x,则f(x)的最小正周期T==.故选B.
5.D [解析] 因为sin α=,α是第二象限角,所以cos α=-=-,所以tan======3.故选D.
6.CD [解析] ===
=
=.∵cos α=-,∴sin α=±.当cos α=-,sin α=-时,==-;当cos α=-,sin α=时,==-2.故选CD.
7.2 [解析] 由题得=,∴1-sin α=,∴sin α=.∵<α<π,∴cos α=-,∴tan==2.
8. [解析] ∵cos α+cos β=,∴coscos==(cos α+cos β)=×=.
9.解:(1)因为β∈,所以∈,从而tan>0,
又cos β=-,
所以tan==.
(2)因为β∈,cos β=-,
所以sin β==.
又因为α∈,
所以α+β∈,
从而cos(α+β)=-=-=-,
所以sin α=sin[(α+β)-β]=×-×=.
10.A [解析] 在△ABC中,由A+B+C=π,得C=π-(A+B),则cos2==+cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B,所以sin Asin B=-cos Acos B+sin Asin B,所以cos Acos B+sin Asin B=1,则cos(A-B)=1.因为0
11.AB [解析] 对于A选项,sin 75°sin 15°=sin 15°cos 15°=sin 30°=.对于B选项,sin 18°sin 54°=====.对于C选项,方法一:====.
方法二:===.对于D选项,=-×
=-×=.故选AB.
12.- [解析] sin·cos=-,∵sin 2α==,∴sin·cos=-.
13. [解析] 由已知得2sincos=
·=×2sinsin,∵0<<π,∴sin>0,∴tan=,又-<<,∴=,∴α-β=.
14.解:(1)因为tan 60°=tan(20°+40°)==,所以tan 20°+tan 40°=-tan 20°tan 40°,即tan 20°+tan 40°-=-tan 20°tan 40°,
所以=
=
=-.
(2)sin 40°(tan 10°-tan 60°)=sin 40°×=
sin 40°×=
sin 40°×=
-=-=
-=-1.
15.①②③ [解析] 由题得∠AOx=α,∠BOx=β,0<α<β<,所以∠AOB=β-α,①正确;因为M为线段AB的中点,OA=OB=1,所以OM⊥AB,∠AOM=(β-α),所以OM=OAcos ∠AOM=cos,②正确;易得∠COx=α+=,又OC=1,所以点C的坐标为,③正确;因为M为线段AB的中点,A(cos α,sin α),B(cos β,sin β),所以M的坐标为,又=coscos,=sincos,所以M的坐标为,④错误.故填①②③.
16.证明:===tan+,原等式得证.5.5.2 简单的三角恒等变换
第1课时 三角函数式的化简与求值
【学习目标】
1.能用二倍角公式推导出半角公式.
2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想方法.
3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式,并能进行一些简单的应用.
◆ 知识点一 半角公式
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)半角公式对任意角都适用. ( )
(2)cos =. ( )
(3)存在α∈R,使得cos =cos α. ( )
◆ 知识点二 和差化积与积化和差(不要求记忆)
1.和差化积公式
sin θ+sin φ= .
sin θ-sin φ= .
cos θ+cos φ= .
cos θ-cos φ= .
2.积化和差公式
sin αcos β= .
cos αsin β= .
cos αcos β= .
sin αsin β= .
◆ 探究点一 应用半角公式化简与求值
例1 已知sin α=-, <α<2π,求sin ,cos ,tan 的值.
变式 (1)已知0<α<π,且cos α=-,则cos= ( )
A.- B.
C.- D.
(2)已知sin α=-,α∈,则tan= .
[素养小结]
利用半角公式求值的思路:(1)看角,看已知角与待求角的2倍关系;(2)明确范围,求出相应半角的范围,为定符号做准备;(3)选公式,涉及半角的正切时,常用tan==,涉及半角的正、余弦时,常利用sin2=,cos2=计算;(4)下结论,结合(2)求值.
◆ 探究点二 积化和差与和差化积公式
例2 (1)已知<α<π,且cos-cos α=,则cos= ( )
A.- B.
C.- D.
(2)在△ABC中,若B=30°,则cos Asin C的取值范围是 ( )
A.[-1,1] B.
C. D.
变式 (1)若sin α+sin β=,cos α+cos β=,则tan的值为 ( )
A.2 B.
C.-2 D.-
(2)已知sin(α+β)·sin(β-α)=m,则cos2α-cos2β的值为 .
[素养小结]
积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式转化为θ,φ的三角函数式,或者把sin αcos β看作x,cos αsin β看作y,把等式看作x,y的方程,则原问题转化为解方程(组)求x,它们都体现了化归思想.
◆ 探究点三 三角函数式的化简
例3 已知π<α<,化简:+.
变式 设α∈,化简:.
[素养小结]
三角函数式化简的要求、思路和方法:
(1)化简的要求:①能求出值的应求出值;②尽量使三角函数种数最少;③尽量使项数最少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数.
(2)化简的思路:对于和式,基本思路是降次、消项和逆用公式;对于分式,基本思路是分子与分母约分或逆用公式;对于二次根式,注意二倍角公式的逆用.
(3)化简的方法:可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法化简.
第1课时 三角函数式的化简与求值
【课前预习】
知识点一
1-2sin2 2cos2-1
± ±
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)当α=π时,半角的正切公式不成立.
(2)只有当-+2kπ≤≤+2kπ(k∈Z),即-π+4kπ≤α≤π+4kπ(k∈Z)时,cos=才成立.
(3)当cos=时,cos=cos α成立.
知识点二
1.2sincos 2cossin
2coscos -2sinsin
2.[sin(α+β)+sin(α-β)]
[sin(α+β)-sin(α-β)]
[cos(α+β)+cos(α-β)]
-[cos(α+β)-cos(α-β)]
【课中探究】
探究点一
例1 解:∵<α<2π,sin α=-,
∴cos α=,且<<π,
∴sin= =,cos=- =-,
∴tan==-.
变式 (1)D (2) - [解析] (1)因为0<α<π,所以0<<,所以cos==.故选D.
(2)方法一:因为sin α=-,α∈,所以cos α=-.因为α∈,所以∈,所以tan<0,所以tan=-=-.
方法二:因为sin α=-,α∈,所以cos α=-,所以tan===-=-.
探究点二
例2 (1)A (2)C [解析] (1)方法一:cos-cos α=cos αcos+sin αsin-cos α=sin α-cos α=sin=,因为<α<π,所以<α-<,则cos=-.故选A.
方法二:由和差化积公式,得cos-cos α=-2sinsin=sin,因为cos-cos α=,所以sin=,又<α<π,所以<α-<,则cos=-.故选A.
(2)cos Asin C=[sin(A+C)-sin(A-C)]=[sin(180°-B)-sin(A-C)]=[sin 150°-sin(A-C)]=-sin(A-C),因为-1≤sin(A-C)≤1,所以-≤-sin(A-C)≤,即cos Asin C的取值范围为.故选C.
变式 (1)A (2)m [解析] (1)由sin α+sin β=2sincos=,cos α+cos β=2coscos=,两式相除得tan==2.故选A.
(2)由已知得sin(α+β)·sin(β-α)===cos2α-cos2β=m.
探究点三
例3 解:因为π<α<,所以<<,所以cos<0,sin>0.
原式=+=+=-+=-cos.
变式 解:∵α∈,
∴∈,
∴cos α>0,cos <0,故原式=====-cos.(共56张PPT)
5.5 三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换
第1课时 三角函数式的化简与求值
探究点一 应用半角公式化简与求值
探究点二 积化和差与和差化积公式
探究点三 三角函数式的化简
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能用二倍角公式推导出半角公式.
2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思
想方法.
3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式,
并能进行一些简单的应用.
知识点一 半角公式
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）半角公式对任意角都适用.( )
×
[解析] 当 时，半角的正切公式不成立.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2） .( )
×
[解析] 只有当 ，
即时， 才成立.
（3）存在，使得 .( )
√
[解析] 当时， 成立.
知识点二 和差化积与积化和差（不要求记忆）
1.和差化积公式
________________.
_______________.
________________.
________________.
2.积化和差公式
_________________________.
_________________________.
_________________________.
___________________________.
探究点一 应用半角公式化简与求值
例1 已知， ，求，， 的值.
解： ， ，
，且 ，
, ，
.
变式（1）已知 ，且，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，所以 ，
所以 .
故选D.
√
（2）已知，，则 ____.
[解析] 方法一：因为，，所以 .
因为，所以，所以 ，
所以 .
方法二：因为，，所以 ，
所以 .
［素养小结］
利用半角公式求值的思路：
（1）看角，看已知角与待求角的2倍关系；
（2）明确范围，求出相应半角的范围，为定符号做准备；
（3）选公式，涉及半角的正切时，常用，
涉及半角的正、余弦时,常利用,计算；
（4）下结论，结合（2）求值.
探究点二 积化和差与和差化积公式
例2（1）已知 ，且 ，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：
，
因为 ，所以，则 .
故选A.
方法二：由和差化积公式，
得 ，
因为，所以，
又 ，所以，则 .
故选A.
（2）在中，若 ，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] ，
因为，所以，
即 的取值范围为 .
故选C.
√
变式（1）若，，则 的值
为( )
A.2 B. C. D.
[解析] 由 ，
，
两式相除得 .
故选A.
√
（2）已知,则 的值为___.
[解析] 由已知得 .
［素养小结］
积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法，如把 看作
， 看作 ，从而把包含 ， 的三角函数式转化为 ，
的三角函数式，或者把 看作， 看作，把等
式看作，的方程，则原问题转化为解方程（组）求，它们都体现
了化归思想.
探究点三 三角函数式的化简
例3 已知 ，化简:
.
解：因为,所以，所以, .
原式 .
变式 设，化简： .
解： ， ，
， ，
故原式 .
［素养小结］
三角函数式化简的要求、思路和方法：
（1）化简的要求：①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数
最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使
被开方数不含三角函数.
（2）化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；
对于分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，
注意二倍角公式的逆用.
（3）化简的方法：可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法化简.
半角公式
（1）半角公式实质上是倍角公式的逆用变形,它们是用无理式表示的,
根号前面的符号由 对应的原函数值的符号确定.
（2）半角正切公式除了用无理式表示的形式外,还有两个不带根号的式
子,它的好处是回避了“ ”的讨论,一般情况下优先选用这两个式子求解.
1.三角函数求值
（1）若没有给出角的范围,则根号前的正负号需要根据条件讨论.一
般讨论角的终边所在的象限.
（2）由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤如下:
①先化简所求的式子.
②观察已知条件与所求式子之间的联系（从角和三角函数名入手）.
③将已知条件代入所求式子,化简求值.
例1 已知, .
（1）求 的值；
解：因为,所以 ,
所以 ,
所以 .
例1 已知, .
（2）求 的值.
解：由（1）得 ,
所以 ,所以 .
2.三角函数式的化简
解决三角问题时,要注意“三看”.
（1）看角,把角尽量向特殊角或可计算的角转化;
（2）看名称,把式子中不同的名称尽量化成同一名称或相近的名称,
例如把所有的“切”都转化为相应的“弦”或把所有的“弦”转化为相应的
“切”;
（3）看式子,观察式子是否满足三角函数的公式，如果满足，直接使
用,如果不满足，转化一下角或转换一下名称再使用.
例2 化简： .
解：原式 .
例3 化简:
.
解:原式 .
练习册
1.［2024·吉林长春十一中高一期末］若 为锐角，
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] ，
因为为锐角，所以 为锐角，所以原式可化简为 .
故选B.
√
2.若，，则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知，所以，则 .
故选A.
√
3.利用积化和差公式化简 的结果为( )
A. B.
C. D.
[解析] ,
故选D.
√
4.［2024·江苏盐城东台一中高一期中］函数
的最小正周期是( )
A. B. C. D.
[解析] ，
则 的最小正周期 .
故选B.
√
5.［2024·山东青岛高一期中］已知， 是第二象限角，则
( )
A. B. C. D.3
[解析] 因为， 是第二象限角，
所以 ，
所以 .
故选D.
√
6.（多选题）若，则 的值可能为( )
A. B.2 C. D.
√
√
[解析]
.
，.
当 ，时，；
当， 时，.
故选 .
7.已知， ，则 ___.
2
[解析] 由题得，， .
，， .
8.已知,则 的值为__.
[解析] ,
.
9.（13分）已知，，且 ，
．求：
（1） 的值；
解：因为，所以，从而 ，
又 ，所以 ．
9.（13分）已知，，且 ，
．求：
（2） 的值.
解：因为， ，所以 .
又因为 ，所以 ，
从而 ，
所以 ．
10.在中，若，则 一定是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
√
[解析] 在中，由 ，得 ，
则 ，
所以 ，
所以，则.
因为 ， ，所以 ，
所以，即 ，所以为等腰三角形.
无法判断 的大小，故选A.
11.（多选题）［2024·江苏南京高一期中］ 下列选项中，值为 的
有 ( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A选项， .
对于B选项，
.
√
√
对于C选项，方法一： .
方法二： .
对于D选项， .
故选 .
12.已知，则 的值为_____.
[解析] ，
， .
13.若,且, ,则
___.
[解析] 由已知得
,
,,,
又, , .
14.（15分）［2024·山西大同高一期末］ 计算下列各式的值：
（1） ；
解：因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 .
14.（15分）［2024·山西大同高一期末］ 计算下列各式的值：
（2） .
解：
.
15.［2025·南京金陵中学高一期末］如图所示，已
知角 ，的顶点为原点 ，始边
为轴非负半轴，终边与单位圆的交点分别为, ,
为线段的中点，射线与单位圆交于点 ，
则以下结论正确的有________.（填序号）
①②③
；
② ；
③点的坐标为 ；
④点的坐标为 .
[解析] 由题得 , , ，
所以 ，①正确；
因为为线段的中点， ，
所以, ，
所以 ，②正确；
易得，
又，所以点 的坐标为，③正确；
因为为线段 的中点，,，
所以 的坐标为 ，
又 ，
，
所以 的坐标为 ，
④错误.
故填①②③.
16.（15分）证明： .
证明： ,
原等式得证.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一
【诊断分析】 （1）× （2）× （3）√
知识点二 1.
2.
课中探究 探究点一 例1 ,, 变式（1）D（2）
探究点二 例2 （1）A （2）C 变式 （1）A （2）
探究点三 例3 原式 变式 原式
快速核答案（练习册）
1.B 2.A 3.D 4.B 5.D 6.CD
7.2 8. 9.（1）（2）10.A 11.AB 12. 13.
14.（1）（2）<
15.①②③ 16.证明略