(共59张PPT)
5.5 三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换
第2课时 三角函数公式的应用
探究点一 辅助角公式的应用
探究点二 三角恒等式证明
探究点三 三角恒等变换的实际应用问题
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
知识点 辅助角公式
辅助角公式的正弦和余弦转化
（1） ___________________（利用正弦值表
示）,其中_______,_______, __.
（2） ___________________（利用余弦值表
示）,其中_ ______,_______, __.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） .( )
√
[解析] .
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2） .( )
×
[解析] 方法一： .
方法二： .
探究点一 辅助角公式的应用
例1（1） 化简的结果可以是( )
A. B. C. D.
[解析] ，
故选B.
√
（2）已知函数，且是 图象的一条
对称轴，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
[解析] ，其中,
又是 图象的一条对称轴，
所以，解得，
即 ,可取,所以 ，
所以 .
故选B.
√
变式（1）已知函数 是奇函数，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 由 ，
又函数为奇函数，所以 ， ，
解得， ，
所以 .
故选D.
√
（2）若关于的方程无解，则实数 的取值范围是
______________________.
[解析] 由题意可知与 的图象没有交点，
因为，且 ，
所以，
从而可知 ，
所以实数的取值范围是 .
［素养小结］
研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角
函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转
化后的函数的性质.在这个过程中通常利用辅助角公式，将
转化为或的
形式，以便研究函数的性质.
探究点二 三角恒等式证明
例2 ［2024·重庆西南大学附中高一期末］证明：
．
证明：
.
变式 求证： .
证明：左边
右边. 原等式成立.
［素养小结］
对三角恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右
边推到左边,也可以用左右归一、变更论证等方法.常应用定义法、化
弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法等,要熟练掌
握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.
探究点三 三角恒等变换的实际应用问题
例3 如图，在扇形中，，半径.在 上取一点
，连接，过点分别向半径，作垂线，垂足分别为， ，
得到一个四边形 .
（1）设，将四边形的面积
表示成 的函数，并写出 的取值范围；
解：
.
由题意，要得到四边形 ，则,
所以 ， .
例3 如图，在扇形中， ，半
径.在上取一点，连接 ，过点
分别向半径， 作垂线，垂足分别为
，，得到一个四边形 .
（2）求四边形的面积 的最大值.
解：由（1）知 ，
因为，所以 ，
所以当，即时，四边形的面积 取得最大值，
最大值为 .
变式 ［2024·北京石景山区高一期末］ 如图，在
扇形中，半径，圆心角，
是扇形弧上的动点，过作的平行线交于 .
记 ．
（1）求的长（用 表示）；
解：过，作的垂线，垂足分别为， ，
则 ， ， ，
．
变式 ［2024·北京石景山区高一期末］ 如图，在
扇形中，半径，圆心角，
是扇形弧上的动点，过作的平行线交于 .
记 ．
（2）求面积的最大值，并求此时角 的大小．
解：
．
， ，
当,即时, 取得最大值,最大值为，
当时， 面积的最大值为 ．
［素养小结］
应用三角函数解决实际问题的方法:解答此类问题,关键是合理引入辅
助角,确定各量之间的关系,将实际问题转化为三角函数问题,再利用三
角函数的有关知识求解.在求解过程中,要注意三点:①充分借助平面
几何性质,寻找数量关系;②注意实际问题中变量的范围;③重视三角
函数有界性的影响.要特别注意在利用三角变换解决实际问题时,不要
因忽视角的范围而致误.
1.辅助角公式
辅助角公式的实质是和（差）角的正、余弦公式的逆应用,可以把两
个同角的正弦和余弦三角式转化成一个正弦（或余弦）三角式,从而
对三角函数的求值、化简、证明起到积极的作用,在解决三角函数问
题中起着非常重要的作用.
2.三角恒等变换
在进行三角恒等变换时，除了要注意运用一般的数学思想方法
（如换元思想、方程思想、化归思想等）来分析解决问题外，还要
注意下列基本的三角恒等变换思想方法的灵活运用.
3.常值代换
用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数，
代换后能运用相关公式使化简得以顺利进行.我们把这种代换称为常
值代换.如前面所讲到的“1”的代换就是一种特殊的常值代换.
4.切化弦
当待化简式中既含有正弦、余弦，又含有正切时，利用同角三角函
数的基本关系 将正切化为正弦和余弦，这就是“切化弦”
的思想方法，切化弦的好处在于减少了三角函数名称的种类.
5.降幂与升幂
将变形后得到公式 ，
，运用此公式降幂.
反过来，直接运用倍角公式或变形公式 ，
，这就是升幂.
6.公式的逆用和变形
灵活逆用和变形公式可以丰富三角恒等变换的方法.例如： 可
变形为 ；
或
实为或 的逆用.
1.三角恒等式的证明
（1）在恒等式的证明中,“化繁为简”是化简一个三角函数式的一般原
则,由复杂的一边化到简单的一边,按照目标确定化简思路.如果两边都
比较复杂,也可以采用左右归一的方法.
（2）化简与证明的常用方法:①“切”化“弦”;②积化和差,和差化积;③
平方降次;④异角化同角,异次化同次,异名化同名.
例1 求证： .
证明：左边右边.
等式成立.
2.三角函数综合题
此类题目的最终目的是求函数的最大（小）值、单调区间、周期等,
所以要利用公式把函数形式变为有利于求这些性质的形式.在进行三
角变换过程中,往往会用到和、差角的特殊形式,因此对于一些常见辅
助角的变换要熟悉,如 .
例2 ［2024·湖北荆州高一期末］已知函数
.
（1）求函数 的最小正周期及单调递减区间；
解：
，
所以 的最小正周期 .
令, ，
得 ， ，
故的单调递减区间为 .
例2 ［2024·湖北荆州高一期末］已知函数
.
（2）当时，求函数 的取值范围.
解：由，得，所以 ，
所以，
故函数在 上的取值范围为 .
练习册
1. ( )
A. B. C. D.
[解析] .
故选B.
√
2. 的值是( )
A. B. C. D.
[解析] .
故选B.
√
3.［2024·广东茂名高一期中］函数
, 的最小值和最小正周期
分别是( )
A., B., C., D.,
[解析] ，，
所以函数的最小值为 ，最小正周期为 .
故选B.
√
4.［2024·重庆南开中学高一期末］已知函数
的图象关于点对称，则 的值为( )
A. B.1 C. D.
[解析] 由辅助角公式,得，
其中 .
由的图象关于点 对称,得，
故 ， ，即，，
则，解得 .
故选B.
√
5.把截面半径为5的圆形木头锯成面积为 的矩形木料，
如图，点为圆心，，设 ，把面
积表示为 的表达式，则( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题知， ，，
所以在 中，, ，
所以矩形木料的面积
.
故选D.
√
6.（多选题）［2024·江苏镇江实验高级中学高一调研］ 计算下列各
式，结果为 的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 对于选项A，由辅助角公式得
，故选项A正确；
对于选项B,
，故选项B错误；
对于选项C， ，故选项C错误；
对于选项D， ，
故选项D正确.
故选 .
7.［2024·榆林高一期末］已知 ，则
____.
[解析] 因为
，即 ，
所以 .
8.［2025·杭州高一期中］函数
的值域为________.
[解析] 由题意知
，
因为,所以 ，
故，
所以的值域为 .
9.（13分）［2025·唐山二中高一月考］ 已知函数
.
（1）求 的最小正周期；
解： ，
所以 ，
即的最小正周期为 .
9.（13分）［2025·唐山二中高一月考］ 已知函数
.
（2）若，，求 的值.
解：由（1）知 ，
若，则，所以 ，
由，得，则 ，
所以，即 ，
所以
.
10.［2024·南昌一中高一期中］当 时，不等式
恒成立,则实数 的取值范
围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根据题意可得
，
，， .
根据题意可得解得 .
故选D.
11.（多选题）函数 可化为( )
A.
B.
C.
D.
√
√
[解析] .
.
故选 .
12.［2025·河北保定高一期中］如图，圆与轴的正半轴的交点为 ，
点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为 ，
.若，则 的值为__.
[解析] 因为的坐标为 ，
所以，故在单位圆上.
设以 为终边的角为 ,，
因为 ，所以,,，
所以 ，故 ，
则
.
13.如图，要把半径为 的半圆形木料截成长方形,
则长方形面积的最大值是____.
[解析] 设长方形的面积为 ，
，
则 ， ，
所以．
当 取得最大值，即时，长方形的面积最大，
此时 ，长方形面积的最大值为 ．
14.（15分）［2025·杭州高一期中］ 已知函数
的最大值为1.
（1）求常数 的值；
解：由题意知函数 ，
即，
的最大值为1，
，解得 .
14.（15分）［2025·杭州高一期中］ 已知函数
的最大值为1.
（2）求函数 的单调递减区间；
解：由（1）可知 ,
令， ，
解得， ，
的单调递减区间为, .
14.（15分）［2025·杭州高一期中］ 已知函数
的最大值为1.
（3）求使成立的 的取值集合.
解：由题意得,即 ,可得 ，
,,解得 , ，
使成立的的取值集合是 .
15.函数 的最大值为_ ___，最小值为_____.
[解析] 由已知得 ，
则 .
令 ,,则①式可化为 ，
即，则，解得 ，
故， .
16.（15分）［2024·山东枣庄高一期末］ 如图，
是边长为80米的正方形菜园，计划在矩形
区域种植蔬菜.，分别在，上， 在弧
上，米，设矩形的面积为
（单位：平方米）.
（1）若 ，请写出（单位：平方米）关于 的函数关系式；
解：延长交于 ，
则 米， 米，
则米，
米，
故 .
16.（15分）［2024·山东枣庄高一期末］ 如图，
是边长为80米的正方形菜园，计划在矩形
区域种植蔬菜.，分别在，上， 在弧
上，米，设矩形的面积为
（单位：平方米）.
（2）求 的最小值.
解：由（1）得
.
令 ，则 .
因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为，所以当时， ，
即当时，
矩形 面积的最小值为1400平方米.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点（1）
（2）
【诊断分析】 （1）√ （2）×
课中探究 探究点一 例1（1）B （2）B
变式（1）D （2）
探究点二 例2 证明略 变式 证明略
，.（2）
变式（1） （2）当时,面积的最大值为
快速核答案（练习册）
1.B 2.B 3.B 4.B 5.D 6.AD
7. 8. 9.（1） （2）
10.D 11.AC 12. 13.
14.（1）（2）,
（3）
15.
16.（1）
（2）1400平方米第2课时 三角函数公式的应用
◆ 知识点 辅助角公式
辅助角公式的正弦和余弦转化
(1)y=asin x+bcos x= (利用正弦值表示),其中cos φ= ,sin φ= ,tan φ= .
(2)y=asin x+bcos x= (利用余弦值表示),其中cos φ= ,sin φ= ,tan φ= .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)3sin x-cos x=2sin. ( )
(2)2sin θ+2cos θ=2cos. ( )
◆ 探究点一 辅助角公式的应用
例1 (1)2cos α-2sin α化简的结果可以是 ( )
A.cos B.4cos
C.cos D.4cos
(2)已知函数f(x)=sin 3x+acos 3x,且x=是f(x)图象的一条对称轴,则f(x)的最小值为 ( )
A.-1 B.-
C.- D.-2
变式 (1)已知函数f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)是奇函数,则tan φ= ( )
A. B.-
C. D.-
(2)若关于x的方程sin x-cos x=k无解,则实数k的取值范围是 .
[素养小结]
研究三角函数的性质,如单调性和最值问题,通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换,转化为一种简单的三角函数,再研究转化后的函数的性质.在这个过程中通常利用辅助角公式,将y=asin x+bcos x转化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,以便研究函数的性质.
◆ 探究点二 三角恒等式证明
例2 [2024·重庆西南大学附中高一期末] 证明:=-4.
变式 求证:tan-tan=.
[素养小结]
对三角恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证等方法.常应用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法等,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.
◆ 探究点三 三角恒等变换的实际应用问题
例3 如图,在扇形AOB中,∠AOB=,半径OA=2.在上取一点M,连接OM,过点M分别向半径OA,OB作垂线,垂足分别为E,F,得到一个四边形MEOF.
(1)设∠AOM=x,将四边形MEOF的面积S表示成x的函数,并写出x的取值范围;
(2)求四边形MEOF的面积S的最大值.
变式 [2024·北京石景山区高一期末] 如图,在扇形OPQ中,半径OP=1,圆心角
∠POQ=,A是扇形弧上的动点,过A作OP的平行线交OQ于B.记∠AOP=α.
(1)求AB的长(用α表示);
(2)求△OAB面积的最大值,并求此时角α的大小.
[素养小结]
应用三角函数解决实际问题的方法:解答此类问题,关键是合理引入辅助角,确定各量之间的关系,将实际问题转化为三角函数问题,再利用三角函数的有关知识求解.在求解过程中,要注意三点:①充分借助平面几何性质,寻找数量关系;②注意实际问题中变量的范围;③重视三角函数有界性的影响.要特别注意在利用三角变换解决实际问题时,不要因忽视角的范围而致误.
第2课时 三角函数公式的应用
【课前预习】
知识点
(1)sin(x+φ)
(2)cos(x-φ)
诊断分析
(1)√ (2)× [解析] (1)3sin x-cos x=2=
2=
2sin.
(2)方法一:2sin θ+2cos θ=2=2sin≠2cos.
方法二:2sin θ+2cos θ=2=2cos≠2cos.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2)B [解析] (1)2cos α-2sin α=4=4cos,故选B.
(2)f(x)=sin 3x+acos 3x=sin(3x+θ),其中tan θ=a,又x=是f(x)图象的一条对称轴,所以=,解得a=1,即tan θ=1,可取θ=,所以f(x)=sin 3x+cos 3x=sin,所以f(x)min=-.故选B.
变式 (1)D (2)(-∞,-)∪(,+∞)
[解析] (1)由f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)=2sin,又函数f(x)为奇函数,所以φ+=kπ,k∈Z,解得φ=-+kπ,k∈Z,所以tan φ=tan=-tan=-.故选D.
(2)由题意可知y=sin x-cos x与y=k的图象没有交点,因为y=sin x-cos x=sin,且sin∈[-1,1],所以y=sin∈[-,],从而可知k [-,],所以实数k的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).
探究点二
例2 证明:===
==-4.
变式 证明:左边=tan-tan=-==
====右边.∴原等式成立.
探究点三
例3 解:(1)S=S△MOE+S△MOF=×2sin x×2cos x+×2sin×2cos=sin 2x+sin=sin 2x-cos 2x=sin.由题意,要得到四边形MEOF,
则x∈,所以S=sin,x∈.
(2)由(1)知S=sin,
因为x∈,所以2x-∈,
所以当2x-=,即x=时,四边形MEOF的面积S取得最大值,最大值为.
变式 解:(1)过A,B作OP的垂线,垂足分别为D,C,
则OD=cos α,BC=sin α,∴OC=,
∴AB=CD=cos α-sin α.
(2)S△OAB=AB×BC=sin α=sin 2α-(1-cos 2α)=-=sin-.
∵0<α<,∴<2α+<,
∴当2α+=,即α=时,S△OAB取得最大值,最大值为-=,∴当α=时,△OAB面积的最大值为.第2课时 三角函数公式的应用
1.cos x-sin x= ( )
A.2cos B.2cos
C.2cos D.2cos
2.sin 15°+cos 15°的值是 ( )
A.- B.
C. D.
3.[2024·广东茂名高一期中] 函数f(x)=sin-cos,x∈R的最小值和最小正周期分别是 ( )
A.-, B.-2,
C.-,π D.-,2π
4.[2024·重庆南开中学高一期末] 已知函数f(x)=asin 2x+cos 2x的图象关于点对称,则a的值为 ( )
A.-1 B.1
C. D.-
5.把截面半径为5的圆形木头锯成面积为y的矩形木料,如图,点O为圆心,OA⊥AB,设∠AOB=θ,把面积y表示为θ的表达式,则 ( )
A.y=50cos 2θ B.y=25sin θ
C.y=25sin 2θ D.y=50sin 2θ
6.(多选题)[2024·江苏镇江实验高级中学高一调研] 计算下列各式,结果为的是 ( )
A.sin 15°+cos 15°
B.cos215°-sin 15°cos 75°
C.
D.
7.[2024·榆林高一期末] 已知sin-sin x=,则cos= .
8.[2025·杭州高一期中] 函数f(x)=sin2x+sin x·cos x-的值域为 .
9.(13分)[2025·唐山二中高一月考] 已知函数f(x)=cos4x-2sin xcos x-sin4x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若f(x0)=,x0∈,求cos 2x0的值.
10.[2024·南昌一中高一期中] 当x∈时,不等式mA. B.
C. D.
11.(多选题)函数f(x)=sin x(sin x+cos x)可化为 ( )
A.f(x)=sin+
B.f(x)=sin-
C.f(x)=cos+
D.f(x)=sin+1
12.[2025·河北保定高一期中] 如图,圆O与x轴的正半轴的交点为A,点C,B在圆O上,且点C位于第一象限,点B的坐标为,∠AOC=α.若BC=1,则cos2-sincos-的值为 .
13.如图,要把半径为R的半圆形木料截成长方形,则长方形面积的最大值是 .
14.(15分)[2025·杭州高一期中] 已知函数f(x)=sin+sin+cos x+a的最大值为1.
(1)求常数a的值;
(2)求函数f(x)的单调递减区间;
(3)求使f(x)≥0成立的x的取值集合.
15.函数y=的最大值为 ,最小值为 .
16.(15分)[2024·山东枣庄高一期末] 如图,ABCD是边长为80米的正方形菜园,计划在矩形ECFG区域种植蔬菜.E,F分别在BC,CD上,G在弧MN上,AM=60米,设矩形ECFG的面积为S(单位:平方米).
(1)若∠GAM=θ,请写出S(单位:平方米)关于θ的函数关系式;
(2)求S的最小值.
第2课时 三角函数公式的应用
1.B [解析] cos x-sin x=2=2=2cos.故选B.
2.B [解析] sin 15°+cos 15°=×=sin(15°+45°)=sin 60°=.故选B.
3.B [解析] f(x)=sin-cos=2sin=2sin,x∈R,所以函数f(x)的最小值为-2,最小正周期为=.故选B.
4.B [解析] 由辅助角公式,得f(x)=asin 2x+cos 2x=sin(2x+φ),其中tan φ=.由f(x)的图象关于点对称,得f=sin=0,故-+φ=kπ,k∈Z,即φ=kπ+,k∈Z,则tan=1=,解得a=1.故选B.
5.D [解析] 由题知OB=5,∠AOB=θ,OA⊥AB,所以在△AOB中,OA=5cos θ,AB=5sin θ,所以矩形木料的面积y=2OA×2AB=4×25sin θcos θ=100sin θcos θ=50sin 2θ.故选D.
6.AD [解析] 对于选项A,由辅助角公式得sin 15°+cos 15°=2sin(15°+45°)=2sin 60°=,故选项A正确;对于选项B,cos215°-sin 15°cos 75°=sin 75°cos 15°-sin 15°cos 75°=sin(75°-15°)=sin 60°=,故选项B错误;对于选项C,==,故选项C错误;对于选项D,==tan(45°+15°)=tan 60°=,故选项D正确.故选AD.
7.- [解析] 因为sin-sin x=sin x+cos x-sin x=cos x-sin x=cos,即cos=,所以cos=cos 2=2cos2-1=-.
8. [解析] 由题意知f(x)=×+sin 2x-=sin 2x-cos 2x=sin,因为x∈,所以-≤2x-≤,故-≤sin≤1,所以f(x)的值域为.
9.解:(1)f(x)=cos4x-2sin xcos x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-2sin xcos x=cos 2x-sin 2x=cos,
所以T==π,
即f(x)的最小正周期为π.
(2)由(1)知f(x)=cos,
若f(x0)=,则cos=,所以cos=,
由x0∈,得2x0+∈,则2x0+∈,
所以sin>0,即sin==,
所以cos 2x0=cos=coscos+sinsin==.
10.D [解析] 根据题意可得sin x(cos x-sin x)+=sin xcos x-sin2x+=sin,∵x∈,∴2x+∈,∴sin∈.根据题意可得解得-111.AC [解析] f(x)=sin xcos x+sin2x=sin 2x+=sin 2x-cos 2x+=+=sin+.f(x)=sin xcos x+sin2x=sin 2x+=sin 2x-cos 2x+=+=cos+.故选AC.
12. [解析] 因为B的坐标为,所以+=1,故B在单位圆上.设以OB为终边的角为β,β∈,因为BC=1,所以∠BOC=,sin β=-,cos β=,所以α-β=,故α=β+,则cos2-sincos-=-×2sincos=cos α-sin α=cos=cos=cos=-sin β=.
13.R2 [解析] 设长方形的面积为S,∠AOB=α,则AB=Rsin α,OB=Rcos α,所以S=(Rsin α)·(2Rcos α)=2R2sin αcos α=R2sin 2α.当sin 2α取得最大值,即sin 2α=1时,长方形的面积最大,此时α=,长方形面积的最大值为R2.
14.解:(1)由题意知函数f(x)=sin+sin+cos x+a,
即f(x)=sin xcos+cos xsin+sin xcos-cos xsin+cos x+a=sin x+cos x+a=2sin+a,∵sin的最大值为1,
∴f(x)max=2×1+a=1,解得a=-1.
(2)由(1)可知f(x)=2sin-1,
令2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,解得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z,
∴f(x)的单调递减区间为,k∈Z.
(3)由题意得f(x)≥0,即2sin-1≥0,可得sin≥,
∴2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,解得2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z,
∴使f(x)≥0成立的x的取值集合是.
15. - [解析] 由已知得ycos x+2y-sin x=0,则=2y①.令cos φ=,sin φ=,则①式可化为sin(x-φ)=2y,即sin(x-φ)=∈[-1,1],则0≤≤1,解得y∈,故ymax=,ymin=-.
16.解:(1)延长FG交AB于H,
则GH=60sin θ米,AH=60cos θ米,
则GE=HB=(80-60cos θ)米,FG=(80-60sin θ)米,
故S=(80-60cos θ)(80-60sin θ).
(2)由(1)得S=400×[16-12(sin θ+cos θ)+9sin θcos θ].
令t=sin θ+cos θ,
则sin θcos θ=.
因为t=sin θ+cos θ=sin,
所以t∈[1,],所以S=400×=1800+1400,
因为t∈[1,],所以当t=时,Smin=1400,即当sin θ+cos θ=时,矩形ECFG面积的最小值为1400平方米.
