5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
5.6.2 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
【学习目标】
1.理解y=Asin(ωx+φ)中ω,φ,A对图象的影响.
2.掌握y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系,并能正确地指出其变换步骤.
3.会用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
◆ 知识点一 φ,ω,A对y=Asin(ωx+φ)
(A>0,ω>0)的图象的影响
1.φ对y=sin(x+φ),x∈R的图象的影响
如图所示,对于函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图象,可以看作是把y=sin x的图象上所有的点向 (当φ>0时)或向 (当φ<0时)平移 个单位长度得到的.
2.ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ),x∈R的图象的影响
如图所示,对于函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象,可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的 坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的.
3.A(A>0)对y=Asin(ωx+φ),x∈R的图象的影响
如图所示,对于函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)的图象上所有点的 坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0
4.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)将函数y=sin x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=cos x的图象. ( )
(2)把函数y=cos x图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到函数y=cos 3x的图象. ( )
(3)将函数y=sin x图象上各点的纵坐标变为原来的2倍,得到函数y=2sin x的图象. ( )
(4)在进行函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换时,必须先左右平移,再进行伸缩变换. ( )
(5)把函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度所得图象对应的函数解析式是y=sin. ( )
◆ 知识点二 用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象
用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的简图时,要找出五个特征点,如下表所示:
x
ωx+φ
y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)用“五点法”作y=2sin 3x+1在一个周期内的图象时,描出的五点的横坐标可以是0,,,,. ( )
(2)用“五点法”作y=3sin+3(x∈R) 在一个周期内的图象时,描出的五点的坐标可以是,,,,.( )
◆ 探究点一 图象变换问题
角度1 平移变换
例1 (1)函数y=sin的图象可以看作是由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到的
(2)函数y=sin x的图象可以看作是由y=sin的图象经过怎样的变换而得到的
变式 (1)将函数y=2sin的图象向左平移个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为 ( )
A.y=2sin x B.y=2sin
C.y=2sin D.y=2sin
(2)要得到函数y=cos 2x的图象,可以将函数y=cos的图象 ( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
[素养小结]
对左右平移变换应先观察函数名是否相同,若函数名不同则先化为同名函数;再观察x的系数,当x的系数不为1时,应提取系数确定平移的单位长度和方向,方向遵循左加右减的原则,且从ωx→ωx+φ的平移量为个单位长度.
角度2 伸缩变换
例2 (1)为了得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin的图象上 ( )
A.所有点的纵坐标伸长为原来的3倍,横坐标不变
B.所有点的横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标不变
C.所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变
D.所有点的纵坐标缩短为原来的,横坐标不变
(2)将函数y=sin的图象上所有点的横坐标不变,纵坐标 (填“伸长”或“缩短”)为原来的 ,就会得到函数y=sin的图象.
变式 把函数y=2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的3倍,得到 的图象.
[素养小结]
解决图象伸缩变换的关注点
(1)两个弄清:弄清是横向还是纵向,弄清是伸还是缩.
(2)两个规律:当ω>0时,横向伸缩的规律为“ω乘伸缩倍数的倒数”;当A>0时,纵向伸缩的规律为“A乘伸缩的倍数”.
角度3 图象的综合变换
例3 (多选题)由曲线C1:y=sin得到曲线C2:y=cos x,下列变换正确的是 ( )
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
C.把C1向左平移个单位长度,再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线C2
D.把C1向左平移个单位长度,再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到曲线C2
变式 (多选题) 有下列四种变换方式,能将y=sin x的图象变为y=sin的图象的是( )
A.向左平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)
B.将图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个单位长度
C.将图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)
[素养小结]
由函数y=sin x的图象得到y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的两种途径可以表示如下.
◆ 探究点二 “ 五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)+b的图象
例4 已知函数f(x)=cos.
(1)填写下表,并画出f(x)在[0,π]上的图象;
2x+
x 0 π
f(x)
(2)将f(x)的图象向下平移1个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),最后向左平移π个单位长度,得到g(x)的图象,求g(x)图象的对称中心.
变式 已知函数f(x)=2sin,x∈R.
(1)在用“五点法”作函数f(x)的图象时,列表如下:
2x- 0 π 2π
x
f(x) 0 2 0 0
完成上述表格,并在坐标系中画出函数y=f(x)在一个周期内的图象;
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.
[素养小结]
(1)利用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象,其实质是利用函数的三个零点及两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
(2)用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的步骤:
第一步:列表.
ωx+φ 0 π 2π
x - - - - -
f(x) 0 A 0 -A 0
第二步:在同一平面直角坐标系中描出各点.
第三步:用光滑曲线连接这些点,形成图象.
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
5.6.2 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
【课前预习】
知识点一
1.左 右 |φ| 2.横
3.纵 A 4.|φ|
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× [解析] (1)将函数y=sin x的图象向左平移个单位长度,得到y=sin=cos x的图象.
(2)把函数y=cos x图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到函数y=cosx的图象.
(3)将函数y=sin x图象上各点的纵坐标变为原来的2倍,得到函数y=2sin x的图象.
(4)在进行函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换时,可以先左右平移,再进行伸缩变换,也可以先进行伸缩变换,再左右平移.
(5)把函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到y=sin 2=sin的图象.
知识点二
0 π 2π
诊断分析
(1)√ (2)√
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)函数y=sin的图象可以看作是把y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度而得到的.
(2)函数y=sin x的图象可以看作是把y=sin的图象上所有的点向左平移个单位长度而得到的.
变式 (1)B (2)D [解析] (1)将函数y=2sin的图象向左平移个单位长度后,可得y=2sin=2sin的图象.故选B.
(2)因为y=cos=cos 2,所以将y=cos的图象向右平移个单位长度可得到函数y=cos 2x的图象,故选D.
例2 (1)C (2)缩短 [解析] (1)将函数y=sin的图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,便可得到函数y=sin的图象,故选C.
(2)将函数y=sin的图象上所有点的横坐标不变,纵坐标缩短为原来的,就会得到函数y=sin的图象.
变式 y=6sinx [解析] 把函数y=2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,得到函数y=2sinx的图象,把函数y=2sinx的图象上所有点的纵坐标变为原来的3倍,得到函数y=6sinx的图象.
例3 AD [解析] 因为C1:y=sin=cos=cos,所以把函数y=cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y=cos的图象,再把y=cos的图象向左平移个单位长度,得到y=cos x的图象,故A正确,B错误;把函数y=cos=cos 2的图象向左平移个单位长度,得到y=cos 2x的图象,再把y=cos 2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y=cos x的图象,故C错误,D正确.故选AD.
变式 AB [解析] A中,将y=sin x的图象向左平移个单位长度,得到y=sin的图象,再将y=sin的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得到y=sin的图象,故A选项符合题意;B中,将y=sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得到y=sin 2x的图象,再将y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,得到y=sin 2=sin的图象,故B选项符合题意;C中,将y=sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得到y=sin 2x的图象,再将y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,得到y=sin 2=sin=cos 2x的图象,故C选项不符合题意;D中,将y=sin x的图象向左平移个单位长度,得到y=sin的图象,再将y=sin的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得到y=sin的图象,故D选项不符合题意.故选AB.
探究点二
例4 解:(1)表格填写如下:
2x+ π 2π
x 0 π
f(x) 0 - 0
描点、连线,画出f(x)在[0,π]上的图象如图所示.
(2)将f(x)的图象向下平移1个单位长度,得到y=cos-1的图象,再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),得到y=cos-1的图象,
最后向左平移π个单位长度,得到g(x)=cos-1=-sin-1的图象.
令x+=kπ(k∈Z),得x=2kπ-(k∈Z),
所以函数g(x)图象的对称中心为(k∈Z).
变式 解:(1)表格填写如下:
2x- 0 π 2π
x
f(x) 0 2 0 -2 0
描点、连线,画出函数y=f(x)在一个周期内的图象如图所示.
(2)由f(x)=2sin,可知最小正周期T==π.
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
5.6.2 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
1.为了得到函数y=sin x的图象,可以将函数y=sin的图象 ( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
2.为了得到函数y=cos x的图象,只需把余弦曲线上所有点的 ( )
A.横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的4倍,横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的,横坐标不变
3.函数y=sin在区间上的简图是 ( )
A B
C D
4.[2024·湖南名校联考联合体高一期末] 将函数y=2sin的图象向右平移个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为 ( )
A.y=2sin 3x
B.y=2sin
C.y=2sin
D.y=2sin
5.将函数f(x)图象上所有的点都向左平移个单位长度后,再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)=cos的图象,则f(x)是 ( )
A.偶函数
B.奇函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
6.(多选题)利用“五点法”作函数y=2sin的图象时,所取点的坐标可以是 ( )
A. B.
C. D.
7.用“五点法”作函数y=cos在一个周期内的图象时,第四个关键点的坐标是 .
8.将函数y=3cos的图象向右平移个最小正周期后,所得图象对应的函数解析式为y= .
9.(13分)已知函数f(x)=sin(x∈R).
(1)填写下表,并用“五点法”画出f(x)在[0,π]上的图象;
2x+
x 0 π
f(x)
(2)将f(x)的图象向上平移1个单位长度,再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移个单位长度,得到g(x)的图象,求g(x)的解析式.
10.将函数y=sin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P',若P'在函数y=cos 2x的图象上,则 ( )
A.t=,s的最小值为
B.t=,s的最小值为
C.t=,s的最小值为
D.t=,s的最小值为
11.[2025·吉林长春九中高一期末] 已知函数f(x)=sin,g(x)=sin x,要得到函数f(x)的图象,可将函数g(x)的图象上所有的点 ( )
A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移个单位长度
B.横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再向右平移个单位长度
C.向右平移个单位长度,再将横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
D.向右平移个单位长度,再将横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
12.把函数f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把所得图象向右平移个单位长度,得到函数y=sin的图象,则f= .
13.[2024·陕西韩城高一期中] 将函数f(x)=cos图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再将所得图象向左平移a(a>0)个单位长度,得到函数g(x)的图象,若g(-x)-g(x)=0,则a的一个可能值为 .
14.(15分)已知函数f(x)=sin x-cos x.
(1)若x∈,且f(x)=,求cos的值;
(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再将所得图象向左平移个单位长度,得到g(x)的图象,求函数g(x)在上的最小值.
15.已知函数f(x)=cos 2x-sin 2x,将f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位长度后可以得到一个奇函数的图象,将f(x)的图象向右平移b(b>0)个单位长度后可以得到一个偶函数的图象,则|a-b|的最小值为 ( )
A.0 B.
C. D.
16.(15分)[2024·浙江嘉兴高一期末] 设函数f(x)=2cos2ωx-2sin ωxcos ωx-1(0<ω<4),若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到曲线C,则曲线C关于y轴对称.
(1)求ω的值;
(2)若直线y=m与曲线y=f(x)在区间[0,π]上从左往右仅相交于A,B,C三点,且|AB|=2|BC|,求实数m的值.
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
5.6.2 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
1.B [解析] 为了得到函数y=sin x的图象,可以将函数y=sin的图象向右平移个单位长度.故选B.
2.D [解析] 将余弦曲线y=cos x上所有点的纵坐标缩短到原来的,横坐标不变,得到y=cos x的图象.故选D.
3.A [解析] 当x=0时,y=sin=-<0,排除B,D;当x=时,y=sin=sin 0=0,排除C.故选A.
4.D [解析] 将函数y=2sin的图象向右平移个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为y=2sin=2sin.故选D.
5.A [解析] 将g(x)=cos图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数y=cos的图象,再将所得函数图象上所有的点都向右平移个单位长度,得到f(x)=cos 2x的图象,∵f(-x)=cos(-2x)=cos 2x=f(x),∴f(x)是偶函数.故选A.
6.ABC [解析] 令2x-=0,,π,,2π,得x=,,,,,故所取点的坐标是,,,,.故选ABC.
7. [解析] 由“五点法”作图知,令4x-=,得x=,∴第四个关键点的坐标为.
8.3cos [解析] 函数y=3cos的最小正周期为,将函数y=3cos的图象向右平移个单位长度,得到函数y=3cos=3cos的图象.
9.解:(1)由题意可得表格如下:
2x+ π 2π
x 0 π
f(x) 0 - 0
描点、连线,可得图象如图所示.
(2)将f(x)的图象向上平移1个单位长度,得到y=sin+1的图象,再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到y=sin+1的图象,再将得到的图象向右平移个单位长度,可得y=sin+1=sin+1的图象,
∴g(x)=sin+1.
10.A [解析] 由题意得t=sin=cos=.由点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P',可得P',将点P'的坐标代入y=cos 2x可得cos 2=sin 2s=,则2s=+2kπ或2s=+2kπ,k∈Z,即s=+kπ或s=+kπ,k∈Z.又s>0,所以s的最小值为.故选A.
11.BC [解析] 将函数g(x)的图象上所有的点横坐标缩短到 原来的,纵坐标不变,得到y=sin 2x的图象,再向右平移个单位长度,得到函数y=sin 2=sin,即f(x)的图象,故A错误,B正确;将函数g(x)的图象上所有的点向右平移个单位长度,得到y=sin的图象,再将横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=sin,即f(x)的图象,故C正确,D错误.故选BC.
12.- [解析] 由题意可得,把函数y=sin的图象向左平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数f(x)的图象,所以f(x)=sin=sin,故f=sin=-sin=-.
13.(答案不唯一) [解析] 将函数f(x)=cos图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=cos的图象,再将所得图象向左平移a(a>0)个单位长度,得到函数g(x)=cos的图象,因为g(-x)-g(x)=0,所以g(x)为偶函数,所以4a-=kπ(k∈Z),解得a=+(k∈Z),取k=0,可得a=.
14.解:(1)由题意可得f(x)=sin x-cos x=2sin,
令f(x)=,得sin=,
由x∈,得x-∈,∴cos=
=,
∴cos=-cos=-cos=-cos=-.
(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再将所得图象向左平移个单位长度,得到g(x)的图象,
∴g(x)=2sin=2sin.
∵x∈,∴2x+∈,∴当2x+=,
即x=时,g(x)min=2×=-1.
15.A [解析] 函数f(x)=cos 2x-sin 2x=cos,将函数f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位长度后所得图象对应的函数解析式为g(x)=cos,因为g(x)为奇函数,所以2a+=kπ+(k∈Z),得a=+(k∈Z),又a>0,所以k∈N.将函数f(x)的图象向右平移b(b>0)个单位长度后所得图象对应的函数解析式为h(x)=cos,因为h(x)为偶函数,所以-2b+=nπ(n∈Z),解得b=-+(n∈Z),又b>0,所以b=+(m∈N),所以|a-b|的最小值为0,故选A.
16.解:(1)方法一:f(x)=(2cos2ωx-1)-2sin ωxcos ωx=cos 2ωx-sin 2ωx=cos,
由题意可知,曲线C为函数y=f=cos的图象,
因为曲线C关于y轴对称,
所以2ω+=kπ,k∈Z,解得ω=-6k,k∈Z,
又因为0<ω<4,所以k=0,ω=.
方法二:f(x)=(2cos2ωx-1)-2sin ωxcos ωx=cos 2ωx-sin 2ωx=cos,由题意可知,函数f(x)的图象关于直线x=-对称,
则2ω+=kπ,k∈Z,解得ω=-6k,k∈Z,
又因为0<ω<4,所以k=0,ω=.
(2)方法一:由(1)可知f(x)=cos,函数f(x)在[0,π]上的图象如图所示.
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),可知0又因为A,B两点关于直线x=对称,所以x1+x2=②.
由①②可得故m=f(x1)=cos=.
方法二:由(1)可知f(x)=cos,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),函数f(x)在[0,π]上的图象如图所示.
由题意可知0又|AB|=2|BC|,所以x2-x1=T=,则x2=x1+.
由f(x1)=f(x2),即cos=cos,
可得cos=cos=cos,
令t=3x1+∈,则cos t=cos,可得t+=2π,
即t=,故m=f(x1)=cos=cos t=.(共80张PPT)
5.6 函数
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
5.6.2 函数 的图象
第1课时 函数 的
图象
探究点一 图象变换问题
探究点二 “五点法”作函数
的图象
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解中 , , 对图象的影响.
2.掌握与 图象间的变换关系,并能正确
地指出其变换步骤.
3.会用“五点法”画函数 的图象.
知识点一 , ,对 的图象的影响
1. 对， 的图
象的影响
如图所示，对于函数
的图象，可
左
右
以看作是把的图象上所有的点向____（当 时）或向
____（当 时）平移____个单位长度得到的.
2.对， 的图象的影响
如图所示，对于函数 的图象，可以看作是把
的图象上所有点的____坐标缩短（当 时）或伸
长（当 时）到原来的___倍（纵坐标不变）而得到的.
横
3.对， 的图
象的影响
如图所示，对于函数
的图象，可以看作
是把 的图象上所有点的____
纵
坐标伸长（当时）或缩短（当 时）到原来的___倍
（横坐标不变）而得到的.
4.函数的图象经变换得到
的图象的步骤
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）将函数的图象向左平移 个单位长度，得到函数
的图象.( )
√
[解析] 将函数的图象向左平移 个单位长度，
得到 的图象.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）把函数 图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍
（纵坐标不变），得到函数 的图象.( )
×
[解析] 把函数 图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍
（纵坐标不变），得到函数 的图象.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）将函数 图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函
数 的图象.( )
√
[解析] 将函数 图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，
得到函数 的图象.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（4）在进行函数 的图象变换时，必须先左右平移，
再进行伸缩变换．( )
×
[解析] 在进行函数 的图象变换时,可以先左右平移，
再进行伸缩变换，也可以先进行伸缩变换，再左右平移.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（5）把函数的图象向左平移 个单位长度所得图象对应的
函数解析式是 .( )
×
[解析] 把函数的图象向左平移 个单位长度得到
的图象.
知识点二 用“五点法”作函数 的图象
用“五点法”画 在一个周期内的简图时，要找出五个
特征点，如下表所示：
___ _ __ ___ ____ ____
0 0 0
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）用“五点法”作 在一个周期内的图象时,描出的五
点的横坐标可以是0,,,, .( )
√
（2）用“五点法”作 在一个周期内的图象
时,描出的五点的坐标可以是，，， ，
.( )
√
探究点一 图象变换问题
角度1 平移变换
例1（1）函数的图象可以看作是由 的图象经
过怎样的变换而得到的？
解：函数的图象可以看作是把 的图象上所有
的点向右平移 个单位长度而得到的.
（2）函数的图象可以看作是由 的图象经过
怎样的变换而得到的？
解：函数的图象可以看作是把 的图象上所有
的点向左平移 个单位长度而得到的.
变式（1）将函数的图象向左平移 个单位长度后，
所得图象对应的函数解析式为( )
A. B.
C. D.
[解析] 将函数的图象向左平移 个单位长度后，
可得 的图象.
故选B.
√
（2）要得到函数的图象，可以将函数 的
图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度
[解析] 因为 ，
所以将的图象向右平移个单位长度可得到
函数 的图象，
故选D.
√
［素养小结］
对左右平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为
同名函数；再观察的系数，当的系数不为1时，应提取系数确定平
移的单位长度和方向，方向遵循左加右减的原则，且从
的平移量为个单位长度.
角度2 伸缩变换
例2（1）为了得到函数 的图象，只需将函数
的图象上( )
A.所有点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变
B.所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变
C.所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变
D.所有点的纵坐标缩短为原来的 ，横坐标不变
[解析] 将函数 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，
纵坐标不变，便可得到函数 的图象，故选C.
√
（2）将函数 的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标
______（填“伸长”或“缩短”）为原来的__，就会得到函数
的图象.
缩短
[解析] 将函数 的图象上所有点的横坐标不变，
纵坐标缩短为原来的，就会得到函数 的图象.
变式 把函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，
纵坐标变为原来的3倍，得到____________的图象.
[解析] 把函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，
得到函数的图象，
把函数 的图象上所有点的纵坐标变为原来的3倍，
得到函数 的图象.
［素养小结］
解决图象伸缩变换的关注点
（1）两个弄清：弄清是横向还是纵向，弄清是伸还是缩.
（2）两个规律：当时，横向伸缩的规律为“ 乘伸缩倍数的
倒数”；当时，纵向伸缩的规律为“乘伸缩的倍数”.
角度3 图象的综合变换
例3 （多选题）由曲线得到曲线 ，
下列变换正确的是( )
A.把 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的
曲线向左平移个单位长度，得到曲线
B.把上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲
线向左平移个单位长度，得到曲线
√
C.把向左平移 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩
短到原来的，纵坐标不变，得到曲线
D.把向左平移 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸
长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线
√
[解析] 因为 ，
所以把函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，
纵坐标不变，得到 的图象，
再把的图象向左平移个单位长度，
得到 的图象，故A正确，B错误；
把函数 的图象向左平移个单位长度，
得到 的图象，
再把 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
得到的图象，故C错误，D正确.
故选 .
变式 （多选题） 有下列四种变换方式，能将 的图象变为
的图象的是( )
A.向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的
（纵坐标不变）
B.将图象上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再将所得图象
向左平移 个单位长度
C.将图象上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再将所得图象
向左平移 个单位长度
D.向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的
（纵坐标不变）
√
√
[解析] A中，将的图象向左平移 个单位长度，
得到的图象，
再将 的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，
得到 的图象，故A选项符合题意；
B中，将 的图象上所有点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变)，
得到的图象，再将 的图象向左平移个单位长度，
得到 的图象，故B选项符合题意；
C中,将 的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),
得到的图象,再将 的图象向左平移 个单位长度，
得到 的图象，
故C选项不符合题意；
D中,将的图象向左平移 个单位长度,得到的图象，
再将 的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),
得到 的图象，故D选项不符合题意.
故选 .
［素养小结］
由函数的图象得到的图象的两种途
径可以表示如下.
探究点二 “ 五点法”作函数 的图象
例4 已知函数 .
（1）填写下表，并画出在 上的图象；
_ _ ___ _ __ ____
0 _ __ __ ___ _ __
__ ___ _ ___ ___ _ _ _ _
0
0
解：描点、连线，画出在 上的
图象如图所示.
（2）将 的图象向下平移1个单位长度，再将所得图象上所有点的
横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），最后向左平移 个单位长度，
得到的图象，求 图象的对称中心．
解：将 的图象向下平移1个单位长度,
得到 的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），
得到 的图象，最后向左平移 个单位长度，
得到 的图象.
令，得 ，
所以函数 图象的对称中心为 .
变式 已知函数， .
（1）在用“五点法”作函数 的图象时，列表如下：
0
_ _ _ __
0 2 0 ____ 0
完成上述表格，并在坐标系中画出函数 在一个周期内的图象；
解：描点、连线，画出函数 在
一个周期内的图象如图所示.
（2）求函数 的最小正周期及单调递增区间.
解：由 ，
可知最小正周期 .
令 ， ，
得 ， ，
所以函数 的单调递增区间为
， .
［素养小结］
（1）利用“五点法”作函数的图象，其实质是利用
函数的三个零点及两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
（2）用“五点法”作函数图象的步骤:
第一步：列表．
0
0 0 0
第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
两种变换的区别
在图象变换时，运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，
向左或向右平移的单位长度不同.由函数 的图象变换到
的图象，若先平移变换后伸缩变换，则平移 个
单位长度，若先伸缩变换后平移变换，则平移 个单位长度．因此
在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否
则会出现错误．
1.异名函数图象之间的变换法
三角函数图象的各种变换往往都是同名三角函数之间进行的变换,但
是实际中会遇到异名函数图象之间进行的变换,这时需要将正弦函数
化为余弦函数或将余弦函数化为正弦函数,使问题得到解决.
例1 （多选题）已知曲线, ,则下列
结论正确的是( )
A.把曲线向左平移 个单位长度,再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原
来的（纵坐标不变）,得到曲线
B.把曲线向左平移 个单位长度,再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原
来的（纵坐标不变）,得到曲线
C.把曲线上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）,再把得到的曲线
向左平移个单位长度,得到曲线
D.把曲线上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）,再把得到的曲线
向左平移个单位长度,得到曲线
√
√
[解析] ,
所以将曲线向左平移个单位长度,得到曲线 ,
再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）,
得到曲线,即曲线，故A正确;
将曲线 上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）,
得到曲线 ,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,
得到曲线,即曲线，故C正确.
故选 .
2.类比法
函数 的图象变换,可类比函数
的图象变换,由 的图象变换得到.
例2 要得到函数的图象，只需将函数 的
图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度 B.向左平移 个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度
√
[解析] ，
要得到函数的图象，
只需将函数 的图象上所有的点向左平移 个单位长度.
练习册
1.为了得到函数的图象，可以将函数 的
图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度
[解析] 为了得到函数的图象，
可以将函数 的图象向右平移 个单位长度.
故选B.
√
2.为了得到函数 的图象，只需把余弦曲线上所有点
的 ( )
A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的 ，横坐标不变
[解析] 将余弦曲线上所有点的纵坐标缩短到原来的 ，
横坐标不变,得到 的图象.
故选D.
√
3.函数在区间 上的简图是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 当时，，排除B，D；
当 时， ，排除C.故选A.
4.［2024·湖南名校联考联合体高一期末］将函数 的
图象向右平移 个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为( )
A. B.
C. D.
[解析] 将函数的图象向右平移 个单位长度后，
所得图象对应的函数解析式为 .
故选D.
√
5.将函数图象上所有的点都向左平移 个单位长度后，再将所得
函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到
函数的图象，则 是( )
A.偶函数 B.奇函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
√
[解析] 将图象上所有点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），得到函数 的图象，再将所得
函数图象上所有的点都向右平移个单位长度，
得到 的图象，
， 是偶函数.
故选A.
6.（多选题）利用“五点法”作函数 的图象时，所取
点的坐标可以是( )
A. B. C. D.
[解析] 令，， ，， ，得，，，， ，
故所取点的坐标是，，，， .
故选 .
√
√
√
7.用“五点法”作函数 在一个周期内的图象时，第四
个关键点的坐标是_ ______.
[解析] 由“五点法”作图知，令，得，
第四个关键点的坐标为 .
8.将函数的图象向右平移 个最小正周期后，所得
图象对应的函数解析式为 _ _____________.
[解析] 函数的最小正周期为 ，
将函数的图象向右平移 个单位长度，
得到函数 的图象.
9.（13分）已知函数 .
（1）填写下表，并用“五点法”画出在 上的图象；
_ _ ___ _ __ ____
0 _ _ _ __ _ __ ____
__ _ _ ___ _ ___ ___ _ _
_ _ ___ _ __ ____
0 _ _ _ __ _ __ ____
__ _ _ ___ _ ___ ___ _ _
[解析] 由题意可得表格如下：
0
0
描点、连线，可得图象如图所示.
9.（13分）已知函数 .
（2）将 的图象向上平移1个单位长度，再将得到的图象上所有
点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再将得到的图象向右平
移个单位长度，得到的图象，求 的解析式.
解：将 的图象向上平移1个单位长度，
得到 的图象，
再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），
得到 的图象，
再将得到的图象向右平移 个单位长度，
可得 的图象，
.
10.将函数图象上的点向左平移 个单
位长度得到点，若在函数 的图象上，则( )
A.，的最小值为 B.，的最小值为
C.，的最小值为 D.，的最小值为
√
[解析] 由题意得.
由点 向左平移个单位长度得到点，可得，
将点 的坐标代入可得，
则 或 ，，
即 或 ， .
又,所以的最小值为 .
故选A.
11.［2025·吉林长春九中高一期末］已知函数 ,
，要得到函数的图象，可将函数 的图象上所有
的点( )
A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度
B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度
C.向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
D.向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
√
√
[解析] 将函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,
得到的图象,再向右平移 个单位长度,
得到函数,即 的图象,
故A错误,B正确；
将函数的图象上所有的点向右平移 个单位长度,
得到的图象,再将横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,
得到函数,即 的图象,故C正确,D错误.
故选 .
12.把函数 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
再把所得图象向右平移个单位长度，得到函数 的图
象，则 _____.
[解析] 由题意可得,把函数的图象向左平移 个单位长度,
再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,
得到函数的图象,
所以 ,
故 .
13.［2024·陕西韩城高一期中］将函数 图象上所
有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再将所得图象向左平移
个单位长度，得到函数的图象，若 ，
则 的一个可能值为_________________.
（答案不唯一）
[解析] 将函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的，
纵坐标不变，得到函数 的图象，
再将所得图象向左平移 个单位长度，
得到函数的图象，
因为 ，所以为偶函数，
所以,解得 ,取,可得 .
14.（15分）已知函数 .
（1）若,且,求 的值；
解：由题意可得 ,
令,得 ,
由,得,
,
.
14.（15分）已知函数 .
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不
变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到 的图象，求函数
在 上的最小值.
解：将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，
再将所得图象向左平移个单位长度，得到 的图象，
.
,， 当 ，
即时， .
15.已知函数，将 的图象向左平移
个单位长度后可以得到一个奇函数的图象，将 的图象
向右平移 个单位长度后可以得到一个偶函数的图象，则
的最小值为( )
A.0 B. C. D.
√
[解析] 函数，
将函数 的图象向左平移 个单位长度后
所得图象对应的函数解析式为，
因为 为奇函数,所以,得,
又 ,所以.
将函数的图象向右平移 个单位长度后
所得图象对应的函数解析式为,
因为 为偶函数,所以,解得,
又 ,所以,所以 的最小值为0,
故选A.
16.（15分）［2024·浙江嘉兴高一期末］ 设函数
，若将函数 的
图象向右平移个单位长度后得到曲线，则曲线关于 轴对称.
（1）求 的值；
解： 方法一：
，
由题意可知，
曲线为函数 的图象，
因为曲线关于 轴对称，
所以 ,，解得, ，
又因为，所以, .
方法二：，
由题意可知，函数 的图象关于直线 对称，
则 ,，解得, ，
又因为，所以, .
16.（15分）［2024·浙江嘉兴高一期末］ 设函数
，若将函数 的
图象向右平移个单位长度后得到曲线，则曲线关于 轴对称.
（2）若直线与曲线在区间 上从左往右仅相交于
,,三点，且，求实数 的值.
解： 方法一：由（1）可知
，
函数在 上的图象如图所示.
设,, ，
可知,，且 ，
由，得 ，
又因为,两点关于直线对称，
所以 .
由①②可得
故 .
方法二：由（1）可知，
设 ,,，
函数在 上的图象如图所示.
由题意可知,，
且 ，
又，
所以，
则 .
由 ，即 ，
可得 ，
令 ，
则 ，
可得 ，
即 ，
故
.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.左 右 2.横 3.纵 4.
【诊断分析】 （1）√ （2）× （3）√ （4）× （5）×
知识点二 【诊断分析】 （1）√ （2）√
课中探究 探究点一 角度1 例1 （1）略（2）略 变式 （1）B （2）D
角度2 例2 （1）C （2）缩短 变式
角度3 例3 AD 变式 AB
探究点二 例4（1） 0 0 图略
（2）
变式 （1） 图略 （2） ,，
快速核答案（练习册）
1.B 2.D 3.A 4.D 5.A 6.ABC 7. 8.
9.（1） 0 0
（2）.
10.A 11.BC 12. 13.（答案不唯一）
14.（1） （2）
15.A 16.（1） （2）