5.7 三角函数的应用
【学习目标】
1.会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.
2.体会三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型.
3.通过学习三角函数模型的实际应用,使学生学会把实际问题抽象为数学问题,即学会建立数学模型的思想方法.
◆ 知识点一 函数y=Asin(ωx+φ)中各量的
物理意义
简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0.
(1)A就是这个简谐运动的 ,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的 ;
(2)简谐运动的周期是T= ,它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;
(3)简谐运动的频率由公式 给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;
(4) 称为相位;x=0时的相位φ称为 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=Asin(ωx+φ),x∈R的最大值为A.( )
(2)y=Asin(ωx-φ)的初相为φ. ( )
(3)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s,振幅为5 cm,则该振子在2 s内通过的路程为50 cm. ( )
◆ 知识点二 解答三角函数应用题的基本步骤
应用三角函数模型解决实际问题时,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型.解答三角函数应用题的步骤可分为四步:审题、建模、解模、还原评价.
(1)审题:先审清楚题目条件、要求,理解数学关系.
(2)建模:在细心阅读与深入理解题意、分析题目条件(如周期性等)的基础上,引进数学符号,将试题中的非数学语言转化为数学语言,然后根据题意,列出数量关系,即建立三角函数模型,这时要注意三角函数的定义域应符合实际问题要求,这样便将实际问题转化成了数学问题.
(3)解模:对建立的三角函数模型进行分析研究,运用三角函数的有关知识进行推理、运算,使问题得到解决.
(4)还原评价:把数学结论还原为实际问题的解答.
◆ 探究点一 三角函数模型在物理学中的应用
例1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s=4sin,t∈[0,+∞).用“五点法”作出这个函数的简图,并回答下列问题.
(1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少
(3)经过多长时间小球往复振动一次
变式 已知交流电的电压U(单位:V)随时间t(单位:s)的变化可用U=Asin(ωt+φ)表示,其部分图象如图所示.
(1)求函数U=Asin(ωt+φ)的解析式;
(2)如果电压U在一段时间[t1,t2]内至少达到一次最大值和一次最小值,那么t2-t1的最小值是多少
[素养小结]
三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、交变电流、交变电压等方面,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多,尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.
◆ 探究点二 三角函数模型在日常生活中的应用
例2 某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律,因此第n个月的月平均最高气温G(n)可近似地用函数G(n)=Acos(ωn+φ)+k来刻画,其中正整数n表示月份且n∈[1,12],例如n=1表示1月份,A和k是正整数,ω>0,φ∈(0,π).统计发现,该地区每年各个月份的月平均最高气温基本相同,1月份的月平均最高气温为3 ℃,是一年中月平均最高气温最低的月份,随后逐月递增,直到7月份达到最高,为33 ℃.
(1)求G(n)的解析式;
(2)某植物在月平均最高气温低于13 ℃的环境中才可生存,求一年中该植物在该地区可生存几个月.
变式 [2025·天津河东区高一期末] 某大桥是交通要塞,每天担负着巨大的车流量.已知其车流量y(单位:千辆)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记为y=f(t),下表是某日桥上的车流量的数据:
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/千辆 3.0 1.0 2.9 5.0 3.1 1.0 3.1 5.0 3.1
经长期观察,函数y=f(t)的图象可以近似地看作函数f(t)=Asin(ωt+φ)+b(其中A,b均为整数,A>0,ω>0,b>0,-π≤φ≤0)的图象.
(1)根据以上数据,求函数y=f(t)的解析式.
(2)为了缓解交通压力,有关交通部门规定:当车流量超过4千辆时,核定载质量10吨及以上的大货车将禁止通行.试估计一天内将有多少小时不允许这种货车通行.
[素养小结]
解三角函数应用问题的基本步骤
◆ 探究点三 三角函数模型的拟合
例3 下表是某地某年的月平均气温(单位:℉):
月份 1 2 3 4 5 6
平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6
月份 7 8 9 10 11 12
平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 40.8 27.7
记x=月份-1,平均气温为y.
(1)描出以上各点,并用三角函数的图象去拟合这些数据.
(2)估计这个三角函数的周期T和振幅A.
(3)下面三个函数模型中,哪一个最适合这些数据
①=cos;②=cos;③=cos.
变式 某帆板集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24,单位:时)呈周期性变化,浪高数据如下表:
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0
(1)作出这些数据的散点图;
(2)从y=at+b,y=Asin(ωt+φ)+b和y=Atan(ωt+φ)中选一个合适的函数模型,并求出该模型的解析式;
(3)如果确定在一天内的8时到19时之间,当浪高不低于0.8米时才进行训练,试安排恰当的训练时间.
[素养小结]
根据收集的数据,先画出相应的“散点图”,观察散点图,然后进行函数拟合获得具体的函数模型,最后利用这个模型解决实际问题.
5.7 三角函数的应用
【课前预习】
知识点一
(1)振幅 最大距离 (2)
(3)f== (4)ωx+φ 初相
诊断分析
(1)× (2)× (3)× [解析] (1)函数y=Asin(ωx+φ),x∈R的最大值为|A|.
(2)y=Asin(ωx-φ)的初相为-φ.
(3)该振子在一个周期内通过的路程为20 cm,所以该振子在2 s内通过的路程为20×=100(cm).
【课中探究】
探究点一
例1 解:列表如下:
t -
2t+ 0 π 2π
sin 0 1 0 -1 0
s 0 4 0 -4 0
描点、连线,s=4sin,t∈[0,+∞)的图象如图中实线部分所示.
(1)将t=0代入s=4sin,得s=4sin=2,所以小球在开始振动时的位移是2 cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和-4 cm.
(3)因为振动的周期是π,所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
变式 解:(1)由图象知A=220,最小正周期T=2×=,
所以ω==100π,
则U=220sin(100πt+φ).
结合图象可得,当t=时,U=0,
则220sin=0,
即+φ=π+2kπ,k∈Z,解得φ=2kπ+,k∈Z,
因为|φ|<,所以φ=,
所以U=220sin.
(2)由(1)知T=,所以t2-t1≥=,所以(t2-t1)min=0.01.
探究点二
例2 解:(1)因为1月份的月平均最高气温最低,7月份的月平均最高气温最高,所以最小正周期T=2×(7-1)=12,
所以ω==,所以cos=-1,cos=1.
因为φ∈(0,π),所以φ=.因为1月份的月平均最高气温为3 ℃,7月份的月平均最高气温为33 ℃,
所以-A+k=3,A+k=33,解得A=15,k=18,
所以G(n)的解析式是G(n)=15cos+18,n∈[1,12],n为正整数.
(2)易知G(n)=15cos+18在区间[1,7]上单调递增,在区间[7,12]上单调递减.
因为某植物在月平均最高气温低于13 ℃的环境中才可生存,且G(3)=15cos+18=10.5,G(4)=15cos+18=18,所以该植物在1月份、2月份、3月份可生存.
又G(10)=G(4)=18,G(11)=G(3)=10.5,所以该植物在11月份、12月份也可生存.
故一年中该植物在该地区可生存5个月.
变式 解:(1)根据表格中的数据可得,A===2,b===3,T=12=,解得ω=.
当t=9时,y有最大值,则×9+φ=+2kπ,k∈Z,得φ=-π+2kπ,k∈Z,又-π≤φ≤0,故φ=-π,
所以f(t)=2sin+3.
(2)若车流量超过4千辆,则2sin+3>4,所以sin>,
则2kπ+又0≤t≤24,所以7所以估计一天内将有8小时不允许这种货车通行.
探究点三
例3 解:(1)如图.
(2)最低气温为1月份21.4 ℉,最高气温为7月份73.0 ℉,故估计=7-1=6,所以估计T=12.
估计2A的值等于最高气温与最低气温的差,即2A=73.0-21.4=51.6,所以估计A=25.8.
(3)当x∈[0,6]时,①②中的函数均单调递减,与图象不符,所以应选③.
变式 解:(1)散点图如图所示.
(2)由(1)知选择y=Asin(ωt+φ)+b较合适.
令A>0,ω>0,|φ|<π,
由图可知,A=0.4,b=1,T=12,所以ω==.
把t=0,y=1代入y=0.4sin+1,可得φ=0,故所求模型的解析式为y=0.4sint+1(0≤t≤24).
(3)由y=0.4sint+1≥0.8,
得sint≥-,则-+2kπ≤t≤+2kπ,k∈Z,
所以12k-1≤t≤12k+7,k∈Z,
又0≤t≤24,所以0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24,再结合题意知,应安排在11时到19时训练较恰当.5.7 三角函数的应用
1.简谐运动y=2sin的振幅、频率和初相分别为 ( )
A.2,4π, B.2,,
C.2,,- D.2,4π,-
2.如图,从某点给单摆一个作用力后,单摆开始来回摆动,它离开平衡位置O的距离s(单位:cm)关于时间t(单位:s)的函数解析式为s=5sin,则单摆摆动一次,从最右边到最左边的时间为 ( )
A.2 s B.1 s
C. s D. s
3.定义人流量为每分钟通过入口的人数,某一天的人流量满足函数F(t)=50+4sin(0≤t<24),则人流量在下列时间段持续增加的是 ( )
A.[0,5] B.[5,10]
C.[10,15] D.[15,20]
4.电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数I=Asin(ωt+φ)的部分图象如图所示,则当t=时,电流强度是 ( )
A.-5 A B.5 A
C.5 A D.10 A
5.[2024·长春朝阳区实验中学高一期末] 已知人的血压在不断地变化,心脏每收缩和舒张一次构成一个心动周期,血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压.已知某人某次测量自己的血压得到收缩压为126 mmHg,舒张压为78 mmHg,心动周期约为0.75 s,假设他的血压p(mmHg)关于时间t(s)近似满足函数p(t)=b+asin ωt(a>0,ω>0),当t∈[0,0.75]时,此人的血压在[90,114]内的时长约为 ( )
A.0.125 s B.0.25 s
C.0.375 s D.0.5 s
6.(多选题)如图是一质点做简谐运动的图象,则下列结论正确的是 ( )
A.该质点的运动周期为0.7 s
B.该质点的振幅为5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大
D.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为0
7.简谐运动y=sin(ωx+φ)(ω>0)的初相和频率分别为-π和,则它的周期为 ,相位是 .
8.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 .
9.(13分)某地昆虫种群数量在7月份1~13日的变化如图所示,且满足y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,-π<φ<0),该函数的最小正周期为12.
(1)根据图中数据求函数的解析式;
(2)从7月1日开始,每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰
10.音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术.声音的本质是声波,而声波在空气中的振动可以用三角函数来表示.在音乐中可以用形如y=Asin ωx(ω>0)的正弦型函数来表示单音,将三个或以上的单音相叠加为和弦.若某和弦由三个单音组成,其中一个单音可以用y=sin x表示,另外两个单音的正弦型函数图象如图所示,则该和弦的一个周期可能为 ( )
A. B.π
C.2π D.
11.(多选题)[2024·浙江湖州高一期末] 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用,现有一个筒车按逆时针方向匀速转动.每分钟转动5圈,如图,将该筒车抽象为圆O,筒车上的盛水筒抽象为圆O上的点P,已知圆O的半径为4 m,圆心O距离水面2 m,且当圆O上点P从水中浮现时(位于图中点P0)开始计算时间,点P到水面的距离h(单位:m,当P在水面下时,h为负数)随时间t(单位:s)变化时满足函数模型h(t)=Asin(ωt+φ)+b,则下列说法正确的是 ( )
A.函数h(t)的初相为
B.1 s时,相位为0
C. 4 s时,点P第一次到达最高点
D.7 s和15 s时,点P到水面的距离相同
12.小明给学校设计数学文化长廊,计划将长廊顶部遮雨棚的横截面设计成如图所示的正弦型曲线的形状(遮雨棚的厚度忽略不计).已知入口处EF的高度和出口处CD的高度均为H,遮雨棚最高点和最低点到过D,E两点的直线的距离相等.为使参观者行走方便,要求遮雨棚的最低点到地面的距离不小于遮雨棚的最高点到地面距离的,则遮雨棚横截面正弦型曲线振幅的最大值为 .
13.[2024·武汉二中高一期末] 某公园有一座摩天轮,其旋转半径为30米,最高点距离地面70米,匀速运行一周大约需要18分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮,则第3分钟时,他距地面大约为 米.
14.(15分)如图,弹簧挂着的小球做上下振动,它在t(单位:s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h(单位:cm)由函数关系式h=Asin确定,其中A>0,ω>0,t∈[0,+∞).在振动中,小球两次到达最高点的最短时间间隔为1 s,且最高点与最低点间的距离为10 cm.
(1)求小球相对于平衡位置的高度h和时间t之间的函数关系式;
(2)若小球在[0,t0]内经过最高点的次数恰为25,求t0的取值范围.
15.[2024·北京东城区高一期末] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系式f(t)=10-acost-bsint,t∈[0,24],a,b为正实数,若a=,b=1,则该实验室这一天的最大温差为 ℃;若该实验室这一天的最大温差为10 ℃,则a+b的最大值为 .
16.(15分)[2024·河南驻马店“逐梦计划”高一段考] 某港口的水深y(单位:m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,下面是该港口的水深数据:
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10
一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5 m时就是安全的.
(1)若有以下几个函数模型:y=at+b,y=Asin(ωt+φ),y=Asin ωt+K,你认为哪个模型可以更好地刻画y与t之间的对应关系 请你求出该拟合模型的函数解析式.
(2)如果船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m,那么该船在什么时间段能够安全进港 若该船欲当天安全离港,则它在港内停留的时间最多不能超过多长时间
5.7 三角函数的应用
1.C [解析] 由题意知A=2,f==,初相为-.
2.C [解析] 由题意知周期T==1(s),单摆从最右边到最左边的时间是半个周期,为 s.
3.C [解析] 由2kπ-≤≤2kπ+,k∈Z,知函数F(t)的单调递增区间为[4kπ-π,4kπ+π],k∈Z.当k=1时,t∈[3π,5π].[10,15] [3π,5π],故选C.
4.A [解析] 由题图知A=10,T=2×==,所以ω=100π,则I=10sin(100πt+φ).因为点(0,5)在函数图象上,所以10sin φ=5,即sin φ=,又0<φ<,故φ=,所以I=10sin.当t=时,I=10sin=10sin=-5(A),故选A.
5.B [解析] 由题意可知解得ω==2π×=,则p(t)=24sint+102.由90≤24sint+102≤114得-≤sint≤,令x=t,x∈[0,2π],则-≤sin x≤,函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象如图所示.由图可知,此人的血压在[90,114]内的时长约为×=0.25(s).故选B.
6.BD [解析] 由图象知=0.7-0.3=0.4,∴T=0.8,故A错误;该质点的振幅A=5 cm,故B正确;在0.1 s和0.5 s时,质点位于最高点或最低点,速度为0,故C错误,D正确.故选BD.
7. 3πx-π [解析] 因为频率f=,所以T==,所以ω==3π,所以相位为ωx+φ=3πx-π.
8.8 [解析] 由题图易得ymin=k-3=2,则k=5,∴ymax=k+3=8.
9.解:(1)由题图可知解得由函数的最小正周期T=12=,可得ω=.
将(7,900)代入y=100sin+800,得sin=1,则+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z,又-π<φ<0,所以φ=-,故所求函数的解析式为y=100sin+800.
(2)由题图可知,每隔半个最小正周期种群数量就出现一个低谷或一个高峰,又因为==6,所以从7月1日开始,每隔6天种群数量就出现一个低谷或一个高峰.
10.C [解析] 设题图①和图②所对应的函数分别为f(x)=A1sin ω1x(A1>0,ω1>0),g(x)=A2sin ω2x(A2>0,ω2>0).由图①可得A1=,又函数图象过点,所以sin ω1=-,所以sin ω1=-,结合图象可得ω1=,所以ω1=2,所以f(x)=sin 2x.由图②可得A2=,周期T=2×=,又ω2>0,所以ω2=3,可得g(x)=sin 3x,所以该和弦可以表示为h(x)=sin x+sin 2x+sin 3x.h=cos x-sin 2x-cos 3x≠h(x),故A错误;h(x+π)=-sin x+sin 2x-sin 3x≠h(x),故B错误;h(x+2π)=sin x+sin 2x+sin 3x=h(x),故C正确;h=sin+sin-sin 3x≠h(x),故D错误.故选C.
11.BC [解析] 由题意知,函数h(t)=Asin(ωt+φ)+b中,A=4,b=2,T=60÷5=12,所以ω==.由h(0)=4sin φ+2=0,得sin φ=-,又|φ|<,所以φ=-,即函数h(t)的初相为-,故A错误;h(t)=4sin+2,1 s时,×1-=0,所以相位为0,故B正确;4 s时,×4-=,h(4)=4sin+2=4sin+2=6,点P第一次到达最高点,故C正确;,h(7)=4sin+2=2,h(15)=4sin+2=2+2,所以7 s和15 s时,点P到水面的距离不相同,故D错误.故选BC.
12. [解析] 设遮雨棚横截面正弦型曲线的振幅为A(A>0),则遮雨棚的最低点到地面的距离为H-A,遮雨棚的最高点到地面的距离为H+A,由题意有H-A≥(H+A),解得A≤,所以遮雨棚横截面正弦型曲线振幅的最大值为.
13.25 [解析] 因为摩天轮的旋转半径为30米,最高点距离地面70米,所以摩天轮的最低点距离地面10米,某人在最低点的位置坐上摩天轮,设第t分钟时所在位置的高度为h米,则h=30sin+40(ω>0).由题意知T=18=,则ω=,所以h=30sin+40,当t=3时,h=30sin+40=30sin+40=25.
14.解:(1)因为小球振动过程中最高点与最低点间的距离为10 cm,所以A==5,因为在振动中,小球两次到达最高点的最短时间间隔为1 s,所以周期为1,即T=1=,所以ω=2π,所以h=5sin,t∈[0,+∞).
(2)由题意知,当t=时,小球第一次到达最高点,以后每经过一个周期都到达一次最高点,
因为小球在[0,t0]内经过最高点的次数恰为25,所以+24T≤t0<+25T,因为T=1,所以≤t0<,所以t0的取值范围为.
15.4 5 [解析] 因为f(t)=10-acost-bsint=10-sin,其中tan φ=,所以f(t)的最小正周期T==24,即[0,24]的区间长度正好为一个周期,可知f(t)的最大值为10+,最小值为10-,可得最大温差为(10+)-(10-)=2.若a=,b=1,则最大温差为2=4(℃);若该实验室这一天的最大温差为10 ℃,则2=10,可得a2+b2=25,又因为a,b为正实数,所以≤a2+b2=25,可得a+b≤5,当且仅当a=b=时,等号成立,所以a+b的最大值为5.
16.解:(1)函数y=Asin ωt+K可以更好地刻画y与t之间的对应关系,不妨令A>0,ω>0,根据数据可得
∴又∵T=15-3=12,∴ω==,
∴y=3sint+10(0≤t≤24).
(2)要满足题意,需y≥4.5+7,即3sint+10≥11.5(0≤t≤24),
∴sint≥,∴t∈,k∈Z,解得12k+1≤t≤12k+5,k∈Z.
当k=0时,t∈[1,5],当k=1时,t∈[13,17],
∴t∈[1,5]∪[13,17],∴该船在1:00至5:00或13:00至17:00能够安全进港,若该船欲当天安全离港,则它在港内停留的时间最多不能超过16个小时.(共94张PPT)
5.7 三角函数的应用
探究点一 三角函数模型在物理学中的应用
探究点二 三角函数模型在日常生活中的应用
探究点三 三角函数模型的拟合
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备用素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.
2.体会三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型.
3.通过学习三角函数模型的实际应用，使学生学会把实际问题抽象为
数学问题，即学会建立数学模型的思想方法.
知识点一 函数 中各量的物理意义
简谐运动可以用函数， 表示，其中
， .
（1） 就是这个简谐运动的______，它是做简谐运动的物体离开平
衡位置的__________；
（2）简谐运动的周期是 _ __，它是做简谐运动的物体往复运动一
次所需要的时间；
（3）简谐运动的频率由公式_ __________给出，它是做简谐运动的
物体在单位时间内往复运动的次数；
（4）________称为相位；时的相位 称为______.
振幅
最大距离
初相
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数，的最大值为 .( )
×
[解析] 函数，的最大值为 .
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）的初相为 .( )
×
[解析] 的初相为 .
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）一个弹簧振子做简谐振动的周期为，振幅为 ，则该振
子在内通过的路程为 .( )
×
[解析] 该振子在一个周期内通过的路程为，
所以该振子在 内通过的路程为 .
知识点二 解答三角函数应用题的基本步骤
应用三角函数模型解决实际问题时,首先要把实际问题抽象为数学问
题,通过分析它的变化趋势确定它的周期,从而建立起适当的三角函数
模型.解答三角函数应用题的步骤可分为四步:审题、建模、解模、还
原评价.
（1）审题:先审清楚题目条件、要求,理解数学关系.
（2）建模:在细心阅读与深入理解题意、分析题目条件（如周期性等）
的基础上,引进数学符号,将试题中的非数学语言转化为数学语言,然后
根据题意,列出数量关系,即建立三角函数模型,这时要注意三角函数的
定义域应符合实际问题要求,这样便将实际问题转化成了数学问题.
（3）解模:对建立的三角函数模型进行分析研究,运用三角函数的有
关知识进行推理、运算,使问题得到解决.
（4）还原评价:把数学结论还原为实际问题的解答.
探究点一 三角函数模型在物理学中的应用
例1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位
移随时间的变化规律为， .用
“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题.
解：列表如下：
0
0 1 0 0
0 4 0 0
描点、连线， ，
的图象如图中实线部分所示.
解： 将代入，得 ，
所以小球在开始振动时的位移是 .
（1）小球在开始振动 时的位移是多少？
（2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
解：小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是 和 .
（3）经过多长时间小球往复振动一次？
解：因为振动的周期是 ，所以小球往复振动一次所用的时间是 .
变式 已知交流电的电压（单位： ）随
时间（单位： ）的变化可用
表示，其部分图象如图所示.
（1）求函数 的解析式；
解：由图象知 ，最小正周期 ，
所以 ，则 .
结合图象可得，当时， ，
则 ，
即 ,，
解得 , ，
因为，所以 ，
所以 .
变式 已知交流电的电压（单位： ）随时间
（单位： ）的变化可用
表示，
其部分图象如图所示.
（2）如果电压在一段时间 内至少达到一次最大值和一次最
小值，那么 的最小值是多少？
解：由（1）知,所以 ，
所以 .
［素养小结］
三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、交变电流、交变
电压等方面,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多,尤其
要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.
探究点二 三角函数模型在日常生活中的应用
例2 某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，
因此第个月的月平均最高气温 可近似地用函数
来刻画，其中正整数 表示月份且
，例如表示1月份，和是正整数，，
, ．统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温基本相同，1月份的月平均最高气温为 ，是一年中月平均最高气温最低的月
份，随后逐月递增，直到7月份达到最高，为 .
（1）求 的解析式；
解：因为1月份的月平均最高气温最低,7月份的月平均最高气温最高,
所以最小正周期 ,
所以,所以, .
因为,所以.
因为1月份的月平均最高气温为 ,7月份的月平均最高气温为 ,
所以,,解得, ,
所以的解析式是,, 为正整数.
例2 某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，
因此第个月的月平均最高气温 可近似地用函数
来刻画，其中正整数 表示月份且
，例如表示1月份，和是正整数，，
, ．统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温基本相同，1月份的月平均最高气温为 ，是一年中月平均最高气温最低的月
份，随后逐月递增，直到7月份达到最高，为 .
（2）某植物在月平均最高气温低于 的环境中才可生存，求一年
中该植物在该地区可生存几个月.
解：易知在区间 上单调递增,
在区间 上单调递减.
因为某植物在月平均最高气温低于 的环境中才可生存,
且 ,
,
所以该植物在1月份、2月份、3月份可生存.
又, ,
所以该植物在11月份、12月份也可生存.
故一年中该植物在该地区可生存5个月.
变式 ［2025·天津河东区高一期末］ 某大桥是交通要塞，每天担负
着巨大的车流量.已知其车流量（单位：千辆）是时间 ，
单位：的函数，记为 ，下表是某日桥上的车流量的数据：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
3.0 1.0 2.9 5.0 3.1 1.0 3.1 5.0 3.1
经长期观察，函数 的图象可以近似地看作函数
（其中，均为整数，， ，
， ）的图象.
（1）根据以上数据，求函数 的解析式.
解：根据表格中的数据可得, ，
，,解得 .
当时，有最大值，则 ， ，
得 ，，
又，故 ，所以 .
（2）为了缓解交通压力，有关交通部门规定：当车流量超过4千辆
时，核定载质量10吨及以上的大货车将禁止通行.试估计一天内将有
多少小时不允许这种货车通行.
解：若车流量超过4千辆,则 ,所以 ,
则, ,
所以, ,
又,所以和 满足条件,
所以估计一天内将有8小时不允许这种货车通行.
［素养小结］解三角函数应用问题的基本步骤
探究点三 三角函数模型的拟合
例3 下表是某地某年的月平均气温（单位： ）：
月份 1 2 3 4 5 6
平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6
月份 7 8 9 10 11 12
平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 40.8 27.7
记月份,平均气温为 .
（1）描出以上各点，并用三角函数的图象去拟合这些数据.
解：如图.
例3 下表是某地某年的月平均气温（单位： ）：
月份 1 2 3 4 5 6
平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6
月份 7 8 9 10 11 12
平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 40.8 27.7
记月份，平均气温为 .
（2）估计这个三角函数的周期和振幅 .
解：最低气温为1月份，最高气温为7月份 ，
故估计，所以估计 .
估计 的值等于最高气温与最低气温的差，
即，所以估计 .
例3 下表是某地某年的月平均气温（单位： ）：
月份 1 2 3 4 5 6
平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6
月份 7 8 9 10 11 12
平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 40.8 27.7
记月份，平均气温为 .
（3）下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？
；； .
解：当 时,①②中的函数均单调递减,与图象不符,所以应选③.
变式 某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该
海滨区域的海浪高度 （米）随着时间
，单位：时 呈周期性变化，浪高数
据如下表：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0
（1）作出这些数据的散点图；
解：散点图如图所示.
变式 某帆板集训队在一海滨区域进行集训，
该海滨区域的海浪高度 （米）随着时间
，单位：时 呈周期性变化，浪
高数据如下表：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0
（2）从，和 中选
一个合适的函数模型，并求出该模型的解析式；
解：由（1）知选择 较合适.
令，， ，
由图可知，，， ，
所以 .
把,代入，
可得 ，
故所求模型的解析式为 .
变式 某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该
海滨区域的海浪高度 （米）随着时间
，单位：时 呈周期性变化，浪高
数据如下表：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0
（3）如果确定在一天内的8时到19时之间，当浪高不低于0.8米时才
进行训练，试安排恰当的训练时间.
解：由 ，
得 ，
则 ， ，
所以， ，
又，所以或或 ，
再结合题意知，应安排在11时到19时训练较恰当.
［素养小结］
根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行
函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个模型解决实际问题.
运用三角函数模型解决问题的几种类型
（1）由图象求解析式.首先由图象确定解析式的基本形式,例如:
,然后根据图象特征确定解析式中的
参数,在求解过程中还要结合函数性质与实际意义判断数据是否满足
要求.
（2）由图象研究函数性质.观察分析函数图象,能解决函数的单调性、
奇偶性、对称性、周期性、最值等问题.
（3）利用三角函数研究实际问题.首先分析、归纳实际问题,抽象概
括出数学模型,再利用图象及性质解答数学问题,最后解答出实际问题.
1.三角函数模型应用中的图象与解析式问题
三角函数图象与解析式的对应问题是高考考查的热点之一.解决此问
题的一般方法是根据图象所反映的函数性质建立合适的三角函数模
型,再解决如函数的奇偶性、周期性、单调性、值域等问题.
例1 某地一天的气温单位： 随时间
，单位：时 变化的规律可近似看成
正弦型函数 的图象，如图
所示.
（1）根据图中数据，试求
的解析式；
解：依题意可得解得
由,即,解得 ,
所以 ,
又函数图象过点,
所以,即 ,
所以 ,,解得 , ,
因为,所以,所以 .
例1 某地一天的气温单位： 随时间
,单位：时 变化的规律可近似看
成正弦型函数 的图象,
如图所示.
（2）该地居民老张因身体不适在家休养,医生建议其外出进行活动
时,室外气温不低于 ,根据（1）中模型,老张该日可在哪一时
段外出活动,活动时长最长不超过多长时间？
解：令 ,即 ,
所以 , ,
解得,,
因为 ,所以,
又 ,
所以老张可在11时至19时外出活动,活动时长最长不超过8小时.
2.三角函数模型的应用问题
（1）三角函数模型是描述现实世界中具有周期现象的一种数学模型,
在刻画周期变化规律等方面发挥着十分重要的作用.构建函数模型解
决实际问题,主要体现在三角函数在物理与现实生活中的应用.
（2）解决问题的关键是求出三角函数的解析式，然后利用三角函数
的性质求解.
例2 正弦信号是频率成分最为单一的信号，
复杂的信号，例如电信号，都可以分解为许
多频率不同、幅度不等的正弦信号的叠
加．正弦信号的波形可以用数学上的正弦型
函数 来描述，
其中表示正弦信号的瞬时电压 单位：是关于时间单位： 的
函数，而表示正弦信号的振幅， 是正弦信号的频率，
相应的为正弦信号的最小正周期， 为正弦信号的初相．
由于正弦信号是一种最简单的信号，所以在电路系统设计中，科学
家和工程师们经常以正弦信号作为信号源
（输入信号）去研究整个电路的工作机
理．如图是一种典型的加法器电路图，图中
的三角形图标是一个运算放大器，电路中有
四个电阻，电阻值分别为，，，
单位： ．
和是两个输入信号， 表示的是输出信号，根据加法器的工作原理，
与和 的关系为
．
例如当 ，输入信号
， 时，输出信号
．
（1）若 ，输入信号，，
则 的最大值为____.
[解析] 由题意得，
则的最大值为 .
（2）已知，， ，输入信号 ，
．若，则 __.
[解析] 由题意得 ，
整理得 ，
即 ，
则解得
（3）已知，， ，
且，．若 的最
大值为，则满足条件的一组电阻值， 分
别是_________________________________．
,（答案不唯一）
[解析] 由题意得
又，所以 ，
当时， 取得最大值 ，
，
则 ，整理得 ，
即，解得 ，
又，所以 ，
取,满足题意，
则 , （答案不唯一）.
练习册
1.简谐运动 的振幅、频率和初相分别为( )
A.2， ， B.2，， C.2，， D.2， ，
[解析] 由题意知，，初相为 .
√
2.如图，从某点给单摆一个作用力后，单摆开始来
回摆动，它离开平衡位置的距离（单位： ）
关于时间（单位： ）的函数解析式为
，则单摆摆动一次，从最右边到
最左边的时间为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知周期 ，单摆从最右边到最左边的时间
是半个周期，为 .
√
3.定义人流量为每分钟通过入口的人数，某一天的人流量满足函数
，则人流量在下列时间段持续增加的
是( )
A. B. C. D.
[解析] 由,，
知函数 的单调递增区间为,.
当 时， ，
故选C.
√
4.电流强度随时间 变化的函数
的部分图象如图所示，则
当 时，电流强度是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题图知 ， ，
所以 ，则 .
因为点在函数图象上，
所以 ，即，
又,故，
所以 .
当时， ,故选A.
5.［2024·长春朝阳区实验中学高一期末］已知人的血压在不断地变
化，心脏每收缩和舒张一次构成一个心动周期，血压的最大值、最
小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张
压.已知某人某次测量自己的血压得到收缩压为 ，舒张压
为，心动周期约为，假设他的血压 关于时
间近似满足函数 ，当
时，此人的血压在 内的时长约为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可知 解得
，则 .
由得，
令 ，，则，
函数， 的图象如图所示.
由图可知,此人的血压在 内的时长约为
.
故选B.
6.（多选题）如图是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的
是( )
A.该质点的运动周期为
B.该质点的振幅为
C.该质点在和 时运动速度最大
D.该质点在和 时运动速度为0
√
√
[解析] 由图象知， ，故A错误；
该质点的振幅，故B正确；
在和 时,质点位于最高点或最低点,速度为0,故C错误,D正确.
故选 .
7.简谐运动的初相和频率分别为 和 ，
则它的周期为__，相位是_________.
[解析] 因为频率，所以，所以 ，
所以相位为 .
8.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式
，据此函数可知，这段时间水深（单位： ）
的最大值为___.
8
[解析] 由题图易得，则， .
9.（13分）某地昆虫种群数量在7月份 日的变化如图所示，且
满足 ，该函数的最
小正周期为12.
（1）根据图中数据求函数的解析式；
解：由题图可知 解得
由函数的最小正周期，可得 .
将代入,得 ,
则 ，,解得 ， ,
又,所以 ,
故所求函数的解析式为 .
9.（13分）某地昆虫种群数量在7月份
（2）从7月1日开始,每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰？
解：由题图可知,
每隔半个最小正周期种群数量就出现一个低谷或一个高峰,
又因为 ,
所以从7月1日开始,每隔6天种群数量就出现一个低谷或一个高峰.
日的变化如图所示,且满足 ，该函数的最小正周期为12.
10.音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术.声音的本质是声波，
而声波在空气中的振动可以用三角函数来表示.在音乐中可以用形如
的正弦型函数来表示单音，将三个或以上的单音
相叠加为和弦.若某和弦由三个单音组成，其中一个单音可以用
表示，另外两个单音的正弦型函数图象如图所示，则该和
弦的一个周期可能为( )
①
②
A. B. C. D.
√
[解析] 设题图①和图②所对应的函数分别为
,
.
由图①可得 ,又函数图象过点,
所以,所以 ,
结合图象可得,所以,所以 .
由图②可得,周期,又,所以 ,
①
②
可得,所以该和弦可以表示为 ,故A错误；
,故B错误；
,故C正确；
,故D错误.
故选C.
①
②
11.（多选题）［2024·浙江湖州高一期末］ 筒车是我国古代发明的
一种水利灌溉工具,因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使
用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动.每分钟转动5圈，如图，将
该筒车抽象为圆，筒车上的盛水筒抽象为圆上的点，已知圆 的
半径为，圆心距离水面，且当圆上点 从水中浮现时
（位于图中点）开始计算时间，点到水面的距离（单位： ，
当在水面下时，为负数）随时间（单位： ）变化时满足函数模
型 ，则下列说法正确
的是( )
A.函数的初相为
B. 时，相位为0
C.时，点 第一次到达最高点
D.和时，点 到水面的距离相同
√
√
[解析] 由题意知，函数中,
, ,,
所以 .
由,得 ,
又,所以,即函数 的初相为,故A错误；
,时, ,所以相位为0,故B正确；
时, , ,
点 第一次到达最高点,故C正确；
,
,
所以 和时,点 到水面的距离不相同,故D错误．
故选 ．
12.小明给学校设计数学文化长廊，计划将长廊顶部
遮雨棚的横截面设计成如图所示的正弦型曲线的形状
（遮雨棚的厚度忽略不计）．已知入口处 的高度
和出口处的高度均为 ，遮雨棚最高点和最低点到
过， 两点的直线的距离相等.为使参观者行走方便，要求遮雨棚的
最低点到地面的距离不小于遮雨棚的最高点到地面距离的 ，则遮雨
棚横截面正弦型曲线振幅的最大值为___．
[解析] 设遮雨棚横截面正弦型曲线的振幅为 ，
则遮雨棚的最低点到地面的距离为，
遮雨棚的最高点到地面的距离为 ，
由题意有，解得 ，
所以遮雨棚横截面正弦型曲线振幅的最大值为 ．
13.［2024·武汉二中高一期末］某公园有一座摩天轮，
其旋转半径为30米，最高点距离地面70米，匀速运
行一周大约需要18分钟.某人在最低点的位置坐上摩
天轮，则第3分钟时，他距地面大约为____米.
25
[解析] 因为摩天轮的旋转半径为30米，最高点距离地面70米，
所以摩天轮的最低点距离地面10米，某人在最低点的位置坐上摩天轮，
设第 分钟时所在位置的高度为米，
则 .
由题意知，则，
所以 ，
当时，．
14.（15分）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在
（单位： ）时相对于平衡位置（静止时的位置）的
高度（单位：）由函数关系式
确定，其中，， .在振动中，小
球两次到达最高点的最短时间间隔为 ，且最高点与
最低点间的距离为 .
（1）求小球相对于平衡位置的高度和时间 之间的函数关系式；
解：因为小球振动过程中最高点与最低点间的距离为，
所以 ，
因为在振动中，
小球两次到达最高点的最短时间间隔为 ，
所以周期为1，即，
所以 ，所以 ， .
14.（15分）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在
（单位： ）时相对于平衡位置（静止时的位置）的
高度（单位：）由函数关系式
确定，其中，， .在振动中，小
球两次到达最高点的最短时间间隔为 ，且最高点与
最低点间的距离为 .
（2）若小球在内经过最高点的次数恰为25，求 的取值范围.
解：由题意知，当 时，小球第一次到达最高点，
以后每经过一个周期都到达一次最高点，
因为小球在 内经过最高点的次数恰为25，
所以，
因为 ，所以，
所以的取值范围为 .
15.［2024·北京东城区高一期末］某实验室一天的温度（单位： ）
随时间（单位： ）的变化近似满足函数关系式
，，， 为正实数，若
，，则该实验室这一天的最大温差为___ ；若该实验
室这一天的最大温差为，则 的最大值为_____.
[解析] 因为 ，
其中，所以的最小正周期，
即 的区间长度正好为一个周期，
可知的最大值为 ，最小值为 ，
可得最大温差为.
若， ，则最大温差为 ；
若该实验室这一天的最大温差为，则，
可得，
又因为， 为正实数，所以，
可得 ，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为 .
16.（15分）［2024·河南驻马店“逐梦计划”高一段考］ 某港口的水
深（单位：）是时间,单位： 的函数，下面是该港
口的水深数据：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10
一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于 时就是安全的.
（1）若有以下几个函数模型：， ，
，你认为哪个模型可以更好地刻画与 之间的对应
关系？请你求出该拟合模型的函数解析式.
解：函数可以更好地刻画与 之间的对应关系，
不妨令，，
根据数据可得
又， ，
.
16.（15分）［2024·河南驻马店“逐梦计划”高一段考］ 某港口的水
深（单位：）是时间,单位： 的函数，下面是该港
口的水深数据：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10
一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于 时就是安全的.
（2）如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为 ，那么该船在
什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则它在港内停
留的时间最多不能超过多长时间？
解：要满足题意，需 ，即 ，
，， ，
解得， .
当时，，当时， ，，
该船在1:00至5:00或13:00至17:00能够安全进港，若该船欲当天安全
离港，则它在港内停留的时间最多不能超过16个小时．
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 （1）振幅 最大距离 （2） （3）
（4） 初相 【诊断分析】 （1）× （2）× （3）×
课中探究 探究点一 例1 如图
（1） （2）和 （3）
变式 （1）（2）
探究点二 例2（1）,,为正整数（2）5个月
变式 （1）（2）8小时
探究点三 例3 （1）如图. .
（2）,（3）③ 变式（1）如图 .
（2）较合适
（3）安排在11时到19时训练较恰当
快速核答案（练习册）
1.C 2.C 3.C 4.A 5.B 6.BD 7. 8.8
9.（1） （2）6天
10.C 11.BC 12. 13.25
14.（1）， （2） <
15.
16.（1）函数
（2） 该船在1:00至5:00或13:00至17:00能够安全进港，若该
船欲当天安全离港，则它在港内停留的时间最多不能超过16个小时
