拓展微课(三) 三角恒等变换中的归纳、猜想、证明
1.(13分)某学习小组在一次研究性学习中发现,以下三个式子的值都等于同一个常数.
cos215°+cos215°-sin 15°sin 15°;
cos280°+cos2(-50°)-sin 80°sin(-50°);
cos2170°+cos2(-140°)-sin 170°·sin(-140°).
(1)求出这个常数;
(2)结合(1)的结果,将该小组的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.
2.(15分)由倍角公式cos 2x=2cos2x-1,可知cos 2x可以表示为cos x的二次多项式,对于cos 3x,有cos 3x=cos(2x+x)=cos 2xcos x-sin 2xsin x=(2cos2x-1)cos x-2(sin xcos x)·sin x=2cos3x-cos x-2(1-cos2x)cos x=4cos3x-3cos x,可见cos 3x可以表示为cos x的三次多项式.一般地,存在一个n次多项式Pn(t),使得cos nx=Pn(cos x),这些多项式Pn(t)称为切比雪夫多项式.
(1)求证:sin 3x=3sin x-4sin3x;
(2)请求出P4(t),即用一个cos x的四次多项式来表示cos 4x;
(3)利用结论cos 3x=4cos3x-3cos x,求出sin 18°的值.
3.(15分)小明在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.
①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°;
②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°;
③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°;
④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°;
⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.
(1)请依据②式求出这个常数;
(2)根据(1)的计算结果,将小明的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
拓展微课(三) 三角恒等变换中的归纳、猜想、证明
1.解:(1)因为cos215°+cos215°-sin 15°sin 15°=2cos215°-sin215°=1+cos 30°-(1-cos 30°)=1+-=,所以这个常数为.
(2)推广:当α+β=30°时,cos2α+cos2β-sin αsin β=.
证明如下:
因为α+β=30°,所以β=30°-α,
故cos2α+cos2β-sin αsin β=cos2α+cos2(30°-α)-sin αsin(30°-α)=cos2α+-sin α=cos2α+cos2α+cos αsin α+sin2α-cos αsin α+sin2α=cos2α+sin2α=.
2.解:(1)证明:sin 3x=sin(x+2x)=sin xcos 2x+cos xsin 2x=sin x(1-2sin2x)+cos x·2sin x·cos x=sin x-2sin3x+(1-sin2x)·2sin x=3sin x-4sin3x.
(2)cos 4x=cos(2×2x)=2cos22x-1=2(2cos2x-1)2-1=2(4cos4x-4cos2x+1)-1=8cos4x-8cos2x+1.
(3)∵sin 36°=cos 54°,
∴2sin 18°cos 18°=4cos318°-3cos 18°,
∴4sin218°+2sin 18°-1=0,∴sin 18°=(负值舍去).
3.解:(1)由②得sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-sin 30°=1-=.
(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=.证明如下:
sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)=sin2α+cos2α+sin αcos α+sin2α-sin αcos α-sin2α=sin2α+cos2α=.拓展微课(三) 三角恒等变换中的归纳、猜想、证明
[题目溯源]
(《必修第一册第186页习题5.2拓广探索第18题》)
(1)分别计算sin4-cos4和sin2-cos2的值,你有什么发现
(2)任取一个α的值,分别计算sin4α-cos4α,sin2α-cos2α,你又有什么发现
(3)证明: x∈R,sin2x-cos2x=sin4x-cos4x.
典型例题
例1 三角比内容丰富,公式很多.若仔细观察、大胆猜想、科学求证,你也能发现其中的一些奥秘.请你完成以下问题:
(1)计算:+= ;+= ;+= .(直接写答案)
(2)根据(1)的计算结果,请你猜出一个一般性的结论.(用数学式子加以表达,并证明你的结论,写出推理过程)
例2 (1)求值:tan 45°+tan 15°+tan 45°·tan 15°.
(2)某同学在学习中发现:下列两个式子①tan 13°+tan 47°+tan 13°·tan 47°;②tan(-20°)+tan 80°+tan(-20°)·tan 80°的值与(1)中计算的结果相同.请你根据这三个式子的结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
[总结拓展]
常用的三角公式
1.两角和与差的公式的常用变形
①sin αsin β+cos(α+β)=cos αcos β;②cos αsin β+sin(α-β)=sin αcos β;
③tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β),
tan αtan β=1-=-1.
2.升降幂公式
①降幂公式:cos2α=,sin2α=.
②升幂公式:1-cos α=2sin2,1+cos α=2cos2,1±sin α=.
拓展微课(三) 三角恒等变换中的归纳、猜想、证明
例1 (1) [解析] +=+=
+=====,
同理可得+=,+=.
(2)解:根据(1)的计算结果,猜出的一般性的结论为+=.
证明如下:+=+=
+===
=
==,故一般性结论为+=.
例2 解:(1)tan 45°=1,tan 15°=tan(45°-30°)==2-,所以原式=1+2-+×1×(2-)=.
(2)若α+β=60°,则tan α+tan β+tan α·tan β=.
证明:因为tan(α+β)=,
所以tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β).
又α+β=60°,所以左边=tan(α+β)(1-tan αtan β)+tan α·tan β=tan 60°(1-tan αtan β)+
tan α·tan β=(1-tan αtan β)+tan α·tan β==右边,所以原等式成立.(共26张PPT)
拓展微课（三） 三角恒等变换中的归纳、
猜想、证明
◆
◆
典型例题
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
［题目溯源］
（《必修第一册第186页习题5.2拓广探索第18题》）
（1）分别计算和 的值，你有什么发现？
（2）任取一个 的值，分别计算 , ，
你又有什么发现？
（3）证明：， .
例1 三角比内容丰富，公式很多.若仔细观察、大胆猜想、科学求证，
你也能发现其中的一些奥秘.请你完成以下问题：
（1）计算：____； ____；
____.（直接写答案）
[解析]
，
同理可得， .
例1 三角比内容丰富，公式很多.若仔细观察、大胆猜想、科学求证，
你也能发现其中的一些奥秘.请你完成以下问题：
（2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般性的结论.
（用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程）
解：根据（1）的计算结果，猜出的一般性的结论为
.
证明如下：
，
故一般性结论为 .
例2（1）求值： .
解： ，
，
所以原式 .
（2）某同学在学习中发现：下列两个式子
；
的值与（1）中计算
的结果相同.请你根据这三个式子的结果，将该同学的发现推广为三
角恒等式，并证明你的结论.
解：若 ，则 .
证明：因为 ，
所以
又 ，
所以左边
右边，
所以原等式成立.
［总结拓展］
常用的三角公式
1.两角和与差的公式的常用变形
；
；
，
.
2.升降幂公式
①降幂公式：, .
②升幂公式：, ,
.
练习册
1.（13分）某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值
都等于同一个常数.
；
；
.
（1）求出这个常数；
解：因为，
所以这个常数为 .
1.（13分）某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值
都等于同一个常数.
；
；
.
（2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，
并证明你的结论.
解：推广：当 时， .
证明如下：因为 ，所以 ，
故
.
2.（15分）由倍角公式，可知 可以表示为
的二次多项式，对于，有 ，
可见可以表示为的三次多项式.一般地，存在一个 次
多项式，使得，这些多项式 称为切比雪
夫多项式.
（1）求证： ；
证明：
.
2.（15分）由倍角公式，可知 可以表示为
的二次多项式，对于，有 ，
可见可以表示为的三次多项式.一般地，存在一个 次
多项式，使得，这些多项式 称为切比雪
夫多项式.
（2）请求出，即用一个的四次多项式来表示 ；
解： .
2.（15分）由倍角公式，可知 可以表示为
的二次多项式，对于，有 ，
可见可以表示为的三次多项式.一般地，存在一个 次
多项式，使得，这些多项式 称为切比雪
夫多项式.
（3）利用结论，求出 的值.
解： ,
，
, （负值舍去）.
3.（15分）小明在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于
同一个常数.
；
；
；
；
.
（1）请依据②式求出这个常数；
解：由②得 .
3.（15分）小明在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于
同一个常数.
；
；
；
；
.
（2）根据（1）的计算结果，将小明的发现推广为三角恒等式，并
证明你的结论.
解：三角恒等式为 .
证明如下：
.
快速核答案（导学案）
典型例题
例1 （1）
（2）. 证明略
例2 （1）
（2）若.则. 证明略
快速核答案（练习册）
1.（1）
（2）推广：当 时,.证明略
2.（1）证明略
（2）
（3）3.（1）
（2）三角恒等式为.证明略
