本章总结提升
◆ 题型一 任意角与弧度制、三角函数的概念
[类型总述] (1)终边相同的角的表示;(2)弧度制、弧长公式与扇形面积公式;(3)应用三角函数的概念求三角函数值;(4)利用各象限角的函数值的符号规律求角.
例1 (1)[2025·天津红桥区高一期末] 集合中的角的终边所表示的范围(阴影部分)是 ( )
(2)(多选题)[2025·山东新泰一中高一期中] 某日,分针长为6 cm的时钟从20:10走到20:35,分针转动的弧度为α,分针的针尖走过的弧长为l,则 ( )
A.α=-
B.α=
C.l=5π cm
D.l=6π cm
例2 已知角α的终边经过点P(3m-9,m+2).
(1)若m=2,求5sin α+3tan α的值;
(2)若cos α≤0,且sin α>0,求实数m的取值范围.
变式 (1)(多选题)[2025·江苏无锡高一段测] 若角α是第二象限角,则下列说法正确的是 ( )
A.sin>0 B.tan>0
C.sin 2α<0 D.cos 2α<0
(2)(多选题)已知函数f(x)=loga|x-2|+2(a>0且a≠1)的图象经过定点A,且点A在角θ的终边上,则+的值可能是 ( )
A. B.
C. D.
(3)若角α的终边在直线y=3x上,sin α<0,P(m,n)是角α终边上一点,且|OP|=,其中O为坐标原点,求m,n,sin α,cos α,tan α.
◆ 题型二 同角三角函数的基本关系和诱导公式的应用
[类型总述] (1)三角函数求值;(2)三角函数式的化简与证明.
例3 已知f(α)=.
(1)若角α的终边过点P(-12,5),求f(α);
(2)若f(α)=2,求4sin2α-3sin αcos α的值.
变式 (1)(多选题)[2025·江苏盐城高一期末] 已知θ∈(0,π)且sin θ+cos θ=,下列说法正确的是 ( )
A.sin θcos θ=-
B.sin θ-cos θ=-
C.tan θ=-
D.sin4θ+cos4θ=
(2)[2024·广东深圳二中高一期末] 已知角α的终边上有一点P的坐标是(m,2m),m≠0,则= .
◆ 题型三 复合三角函数的定义域与值域
[类型总述] (1)求复合三角函数的定义域;(2)求复合三角函数的值域(最值).
角度1 定义域
例4 (1)函数f(x)=的定义域为 .
(2)函数y=lg(1+tan x)的定义域为 .
角度2 值域
例5 (1)函数y=-sin2x+4cos x-6的最小值是 ( )
A.-11 B.-10
C.-7 D.-2
(2)函数y=tan2x-2tan x的值域为 .
(3)求函数f(x)=2sin xcos x+sin x+cos x的最大值.
◆ 题型四 三角函数的图象与性质
[类型总述] (1)根据图象求解析式;(2)根据解析式求最值、单调区间、对称轴、对称中心等.
例6 (1)[2022·新高考全国Ⅰ卷] 记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T,若
A.1 B. C. D.3
(2)(多选题)[2024·新课标Ⅱ卷] 对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法正确的有 ( )
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
(3)(多选题)[2025·湖南衡阳部分学校高一月考] 已知函数f(x)=3cos,则下列结论正确的是 ( )
A.是f(x)的一个周期
B.f(x)的图象关于点对称
C.f为奇函数
D.f(x)在区间上的最大值为3
变式 (1)[2024·北京石景山区高一期末] 函数y=Asin(ωx-φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则其解析式为 ( )
A.y=2sin
B.y=2sin
C.y=2sin
D.y=sin
(2)[2024·天津卷] 已知函数f(x)=sin 3(ω>0)的最小正周期为π,则函数f(x)在上的最小值是 ( )
A.- B.- C.0 D.
(3)[2024·新课标Ⅰ卷] 当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
(4)(多选题)[2024·浙江丽水高一期末] 已知函数f(x)=tan,则 ( )
A.f(x)的最小正周期是
B.f(x)的定义域是
C.f(x)的图象关于点对称
D.f(x)在上单调递增
◆ 题型五 三角函数的图象变换
[类型总述] (1)三角函数图象的变换和解析式的确定;(2)通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质.
例7 (1)[2024·河南驻马店高一段考] 把函数y=f(x)的图象上的各点向右平移个单位长度,再把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),最后把纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),所得图象的解析式是y=3sin,则f(x)的解析式是 ( )
A.f(x)=-2cos x B.f(x)=2sin x
C.f(x)=2cos x D.f(x)=-2sin x
(2)(多选题)[2024·河北唐山高一期末] 要得到y=cos的图象,可以 ( )
A.将曲线y=cos 2x上所有的点向右平移个单位长度
B.将曲线y=cos 2x上所有的点向右平移个单位长度
C.将曲线y=cos上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
D.将曲线y=cos上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
变式 (1)[2024·江苏常州高一期末] 将正弦曲线y=sin x向左平移个单位长度得到曲线C1,再将曲线C1上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到曲线C2,最后将曲线C2上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)得到曲线C3.若曲线C3恰好是函数f(x)的图象,则f(x)在区间上的取值范围是 ( )
A.[-1,1] B.[-1,2]
C.[1,2] D.[-2,2]
(2)(多选题)[2024·湖北襄阳鄂北六校高一期中] 把函数f(x)=4sincos(0<ω<π)的图象向左平移个单位长度,得到的函数图象恰好关于y轴对称,则下列说法正确的是 ( )
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)在区间上单调递增
C.当x∈时,f(x)的取值范围为[0,1]
D.若f(x)在区间[-π,a]上至少存在六个零点,则实数a的取值范围为
◆ 题型六 三角函数式的化简
[类型总述] (1)弦切互化;(2)利用倍角公式升幂或降幂;(3)辅助角公式的应用.
例8 化简:
(1)(0<θ<π);
(2)·.
变式 化简:.
◆ 题型七 三角函数求值
[类型总述] 三角函数求值主要有三种类型:
(1)给角求值;(2)给值求值;(3)给值求角.
例9 (1)[2024·新课标Ⅰ卷] 已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)= ( )
A.-3m B.-
C. D.3m
(2)[2023·新课标Ⅰ卷] 已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)= ( )
A. B.
C.- D.-
(3)[2024·四川成都树德中学高一期中] 求值:= ( )
A. B. C.1 D.
变式 (1)[2023·新课标Ⅱ卷] 已知α为锐角,cos α=,则sin= ( )
A. B.
C. D.
(2)[2022·新高考全国Ⅱ卷] 若sin(α+β)+cos(α+β)=2cossin β,则 ( )
A.tan(α+β)=-1
B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1
D.tan(α-β)=1
(3)[2024·上海五爱高级中学高一期中] 已知α,β均为锐角,tan α=,cos β=,则α+β= .
◆ 题型八 三角恒等变换与三角函数的综合问题
[类型总述] (1)辅助角公式、倍角公式;(2)利用三角函数的图象特征求解析式与性质;(3)根据三角函数性质求参数值或范围.
例10 [2025·长春东北师大附中高一期末] 已知函数f(x)=2cos2-2cos2x-+1.
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)若f(x)在上存在最小值,求实数m的取值范围.
变式 [2024·湖北孝感高一期中] 已知函数f(x)=2sincos-2cos2+1,ω>0,x∈R,在曲线y=f(x)与直线y=2的交点中,相邻交点间的距离为π.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若x∈,解不等式f(x)≥-;
(3)若x∈,且关于x的方程[f(x)]2-(a+1)f(x)+a=0有三个不等的实根,求实数a的取值范围.
◆ 题型九 三角函数的综合应用
[类型总述] (1)三角函数模型的应用;(2)三角函数在实际生活中的应用.
例11 [2024·萍乡高一期中] 筒车是一种古老的水利灌溉工具,距今已有1000多年的历史,它以水流作动力,取水灌田.为了打造传统农耕文化,某景区的景观筒车的直径为12米,有24个盛水筒均匀分布,分别寓意一年12个月和24节气,筒车转一周需48秒,其最高点到水面的距离为10米,每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动,盛水筒A(视为质点)的初始位置为P0,如图,且P0到水面的距离为7米.
(1)盛水筒A经过t秒后到水面的距离为h米(当A在水面下时,h为负数),求筒车转动一周的过程中,h关于t的函数解析式;
(2)为了把水引到高处,在筒车中心O正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽,筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后,把水倒入盛水槽,求盛水筒A转一圈的过程中,有多长时间能把水倒入盛水槽.
变式 (多选题)血压是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力,它是推动血液在血管内流动的动力.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压.在未使用抗高血压药的前提下,18岁以上成人收缩压≥140 mmHg或舒张压≥90 mmHg,则说明这位成人有高血压.设从未使用过抗高血压药的小王今年26岁,从某天早晨6点开始计算(即早晨6点起,t=0),他的血压p(t)(单位:mmHg)与经过的时间t(单位:h)满足关系式p(t)=116+22sin,则 ( )
A.血压p(t)的最小正周期为6
B.当天下午3点,小王的血压为105 mmHg
C.当天小王有高血压
D.当天小王的收缩压与舒张压之差为44 mmHg
本章总结提升
【素养提升】
题型一
例1 (1)C (2)AC [解析] (1)当k=2n(n∈Z)时,2nπ≤α≤2nπ+(n∈Z),此时α的终边所表示的范围即为当0≤α≤时α的终边所表示的范围;当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π≤α≤2nπ+π+(n∈Z),此时α的终边所表示的范围即为当π≤α≤π+时α的终边所表示的范围.故选C.
(2)因为分针是按照顺时针旋转的,所以转动的弧度为负数,可得α=-×2π=-.由分针长为6 cm,可得弧长l=r|α|=5π(cm).故选AC.
例2 解:设点P到原点的距离为r.
(1)若m=2,则P(-3,4),所以x=-3,y=4,r=5,所以sin α=,cos α=-,tan α=-,
故5sin α+3tan α=5×+3×=4-4=0.
(2)由题意知,cos α=≤0,sin α=>0,
则x≤0且y>0,所以
解得-2变式 (1)BC (2)BD [解析] (1)因为角α是第二象限角,所以2kπ+<α<2kπ+π,k∈Z,所以kπ+<0,sin 2α<0,B,C正确;当是第三象限角时,sin<0,A错误;当2α是第四象限角时,cos 2α>0,D错误.故选BC.
(2)因为函数f(x)=loga|x-2|+2的图象经过定点A,所以A(3,2)或A(1,2).当点A(3,2)在角θ的终边上时,sin θ==,tan θ=,此时+=+=,B正确;当点A(1,2)在角θ的终边上时,sin θ==,tan θ=2,此时+=+=,D正确.故选BD.
(3)解:∵sin α<0,且角α的终边在直线y=3x上,
∴角α的终边在第三象限.
又P(m,n)为角α终边上一点,∴m<0,n<0.
由可得
∴sin α===-,
cos α===-,
tan α===3.
题型二
例3 解:(1)f(α)===-tan α,
若角α的终边过点P(-12,5),
则tan α=-,所以f(α)=.
(2)若f(α)=-tan α=2,则tan α=-2,
所以4sin2α-3sin αcos α=
===.
变式 (1)AD (2)-3
[解析] (1)由解得或又θ∈(0,π),则sin θ>0,所以sin θ=,cos θ=-,可得sin θcos θ=-,sin θ-cos θ=,tan θ==-3,sin4θ+cos4θ=,故A,D正确,B,C错误.故选AD.
(2)由角α的终边上有一点P的坐标是(m,2m),m≠0,可得tan α=2,则=
===-3.
题型三
例4 (1),k∈Z
(2),k∈Z
[解析] (1)要使函数f(x)有意义,则需满足cos2x-sin2x≥0,即cos2x≥sin2x,即|cos x|≥|sin x|,∴函数f(x)的定义域为,k∈Z.
(2)由题意得1+tan x>0,即tan x>-1,故x∈,k∈Z.
例5 (1)B (2)[-1,3+2]
[解析] (1)因为y=-sin2x+4cos x-6=cos2x+4cos x-7=(cos x+2)2-11,所以当cos x=-1时,ymin=-10.故选B.
(2)令u=tan x,∵|x|≤,∴由正切函数的单调性可知u∈[-,],∴原函数可化为y=u2-2u,u∈[-,].∵二次函数y=u2-2u=(u-1)2-1的图象开口向上,对称轴为直线u=1,∴当u=1时,ymin=-1,当u=-时,ymax=3+2,∴原函数的值域为[-1,3+2].
(3)解:令t=sin x+cos x=sin∈[-,],
则t2=1+2sin xcos x,得y=t2+t-1=-∈,故函数f(x)的最大值为1+.
题型四
例6 (1)A (2)BC (3)BD
[解析] (1)因为(2)方法一:f(x)的最小正周期为=π,最大值为1,g(x)的最小正周期为=π,最大值为1,故B,C均正确;因为g(x)=sin=sin 2,所以将f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位长度可得g(x)的图象,又<×=,所以f(x)与g(x)的零点不相同,f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同,故A,D均不正确.故选BC.
方法二:f(x)的最小正周期为=π,最大值为1,g(x)的最小正周期为=π,最大值为1,故B,C均正确;令f(x)=sin 2x=0,得x=,k∈Z,令g(x)=sin=0,得x=+,k∈Z,故f(x)与g(x)的零点不相同,A不正确;令2x=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,令2x-=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同,D不正确.故选BC.
(3)对于A,函数f(x)的最小正周期为=π,故A错误;对于B,因为f=3cos=0,所以f(x)的图象关于点对称,故B正确;对于C,f=3cos=3cos不是奇函数,故C错误;对于D,当x∈时,2x-∈,所以当2x-=0,即x=时,f(x)取得最大值3,故D正确.故选BD.
变式 (1)B (2)A (3)C (4)ACD
[解析] (1)由题图可得,函数的最大值为2,最小值为-2,故A=2,=-=,故T==π,解得ω=2,故y=2sin(2x-φ).将的坐标代入可得2sin=2,则-φ=2kπ+(k∈Z),解得φ=-2kπ+(k∈Z).∵0<φ<π,∴φ=,∴y=2sin.故选B.
(2)f(x)=sin 3=sin(3ωx+π)=-sin 3ωx,由f(x)的最小正周期为π,得=π,解得ω=,则f(x)=-sin 2x.当x∈时,2x∈,易知f(x)=-sin 2x在上单调递减,所以f(x)在上的最小值为f=-sin=-.故选A.
(3)画出函数y=sin x与y=2sin在[0,2π]上的图象,如图所示,由图可知两曲线共有6个交点.故选C.
(4)由函数f(x)=tan,可得f(x)的最小正周期T=,所以A正确;令2x-≠+kπ,k∈Z,解得x≠+,k∈Z,即函数f(x)的定义域为,所以B不正确;令2x-=,k∈Z,解得x=+,k∈Z,当k=0时,可得x=,所以函数f(x)的图象关于点对称,所以C正确;由x∈,可得2x-∈,根据正切函数的性质,可得函数f(x)在上单调递增,所以D正确.故选ACD.
题型五
例7 (1)C (2)BD [解析] (1)先将y=3sin的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变),得到y=2sin的图象,再将y=2sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin的图象,最后将y=2sin的图象上所有的点向左平移个单位长度,得到y=2sin=2sin=2cos x的图象,故f(x)=2cos x.故选C.
(2)要得到y=cos的图象,可以将曲线y=cos 2x上所有的点向右平移个单位长度,故选项A错误,选项B正确;也可将曲线y=cos上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,故选项C错误,选项D正确.故选BD.
变式 (1)B (2)BCD [解析] (1)将正弦曲线y=sin x向左平移个单位长度得到曲线C1:y=sin,再将曲线C1上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到曲线C2:y=sin,最后将曲线C2上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)得到曲线C3:y=2sin.又曲线C3恰好是函数f(x)的图象,所以f(x)=2sin.当x∈时,2x+∈,故sin∈,故2sin∈[-1,2],故f(x)在区间上的取值范围是[-1,2].故选B.
(2)f(x)=4sincos=4sin=
4sin=
2sincos-2sinsin=sin ωx+cos ωx-1=2sin-1,则f=2sin-1=2sin-1,因为f的图象关于y轴对称,所以=+kπ,k∈Z,所以ω=2+6k,k∈Z,因为0<ω<π,所以ω=2,即f(x)=2sin-1.对于A,f(x)的最小正周期T==π,故A错误;对于B,令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,当k=0时,单调递增区间为,所以函数f(x)在区间上单调递增,故B正确;对于C,因为x∈,所以2x+∈,当2x+=或,即x=0或x=时,函数f(x)有最小值,且f(x)min=2sin-1=0,当2x+=,即x=时,函数f(x)有最大值,且f(x)max=2sin-1=1,所以当x∈时,f(x)的取值范围为[0,1],故C正确;对于D,令f(x)=0,则2sin-1=0,即sin=,解得x=kπ或x=+kπ,k∈Z,故f(x)在区间[-π,a]上的零点从小到大依次为-π,-,0,,π,,2π,…,要使f(x)在区间[-π,a]上至少存在六个零点,则a≥,故D正确.故选BCD.
题型六
例8 解:(1)原式===.
因为0<θ<π,所以0<<,
所以cos>0,所以原式=-cos θ.
(2)原式=·=·
=
·=.
变式 解:原式====cos 2x.
题型七
例9 (1)A (2)B (3)D
[解析] (1)∵tan αtan β=2,∴sin αsin β=2cos αcos β,又cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=m,∴cos αcos β=-m,sin αsin β=-2m,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m.故选A.
(2)方法一:因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,cos αsin β=,所以sin αcos β=,所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,所以cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=.
方法二:由cos αsin β==,sin(α-β)=,可得sin(α+β)=,所以cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=.
(3)因为sin 50°=cos 40°,1+tan 10°==
=,1-cos 20°=2sin210°,
所以===
==.故选D.
变式 (1)D (2)C (3) [解析] (1)由倍角公式可知cos α=1-2sin2,则sin2===.因为α为锐角,所以∈,则0(2)方法一:由sin(α+β)+cos(α+β)=sin=2cossin β,可知sin=2cossin β,即sincos β+cossin β=2cossin β,即sincos β-cossin β=0,即sin=0,所以α-β+=kπ,k∈Z,所以α-β=-+kπ,k∈Z,所以tan(α-β)=tan=-1,k∈Z,故选C.
方法二:取β=0,则sin α+cos α=0,取α=π,则tan(α+β)=tan(α-β)=tanπ=-1,排除B,D;取α=0,则sin β+cos β=2sin β,即sin β=cos β,取β=,则tan(α+β)=tan=1,排除A.故选C.
(3)由cos β=,β为锐角,得sin β==,则tan β===,故tan(α+β)===1,又α,β均为锐角,则α+β∈(0,π),故α+β=.
题型八
例10 解:(1)f(x)=2cos2-2cos2x-+1=-(2cos2x-1)=cos-cos 2x=sin 2x-cos 2x=2sin,令+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),
则+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
即f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
(2)令2x-=+kπ(k∈Z),解得x=+(k∈Z),
即直线x=+(k∈Z)是函数f(x)图象的对称轴,
又由(1)可知函数f(x)在区间上单调递增,
结合对称性可知当此时函数f(x)在上不存在最小值.
当≤m<时,f=f≥f(m),f(x)在区间上的最小值在x=m处取得.
当m≥时,当2x-=2nπ-,
即x=nπ-(n∈N*)时,f(x)取得最小值.
综上,实数m的取值范围为.
变式 解:(1)由f(x)=2sincos-2cos2+1,ω>0,x∈R可得f(x)=sin ωx-cos ωx=2sin,故f(x)的最大值为2.
由曲线y=f(x)与直线y=2的交点中相邻交点间的距离为π,可得T=π,
故ω=2,所以f(x)=2sin.
(2)由不等式f(x)=2sin≥-,可得sin≥-,解得-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,所以-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
因为x∈,所以≤x≤或≤x≤π,
故所求解集为.
(3)关于x的方程[f(x)]2-(a+1)f(x)+a=0有三个不等的实根,
即[f(x)-1][f(x)-a]=0极有三个不等的实根,即f(x)=1或f(x)=a共有三个不等实根.
作出函数f(x)=2sin在上的图象,如图所示.
结合函数图象可知,f(x)=1有一个根,故f(x)=a有两个不等实数根,
所以-2题型九
例11 解:(1)以筒车中心O为原点,与水面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图.
由题知,h=6sin∠AOx+4=6sin(∠AOP0+∠P0Ox)+4,
又筒车的半径为6,点P0的纵坐标为3,则∠P0Ox=,由题知,=,解得∠AOP0=t,t∈[0,48],
故h=6sin+4,t∈[0,48].
(2)如图,作弦CD平行且等于盛水槽MN,CD交y轴于点H,
则在△OCD中,|OC|=6,|OD|=6,|CD|=4,则|OH|=4,
则CD距离水面的高度为4+4,
盛水筒转到盛水槽MN的正上方(即上),能把水倒入盛水槽,
即当h=6sin+4≥4+4时符合题意,
此时sin≥,
即≤t+≤,解得≤t≤.
因为-=,所以盛水筒A转一圈的过程中,能把水倒入盛水槽的时间约为秒.
变式 BCD [解析] 对于选项A,由函数解析式可得函数的最小正周期T==12,故A错误;对于选项B,当t=9时,p(9)=116+22sin=116-22×=116-11=105,故B正确;对于选项C,当t+=,即t=1时,p(t)max=116+22×1=138<140,当t+=,即t=7时,p(t)min=116-22×1=94>90,所以当天小王有高血压,故C正确;对于选项D,由选项C可得138-94=44,即当天小王的收缩压与舒张压之差为44 mmHg,故D正确.故选BCD.(共81张PPT)
本章总结提升
题型一 任意角与弧度制、三角函数的概念
题型二 同角三角函数的基本关系和诱导公式的
应用
题型三 复合三角函数的定义域与值域
题型四 三角函数的图象与性质
题型五 三角函数的图象变换
题型六 三角函数式的化简
题型七 三角函数求值
题型八 三角恒等变换与三角函数的综合问题
题型九 三角函数的综合应用
答案核查
题型一 任意角与弧度制、三角函数的概念
［类型总述］（1）终边相同的角的表示；
（2）弧度制、弧长公式与扇形面积公式；
（3）应用三角函数的概念求三角函数值;
（4）利用各象限角的函数值的符号规律求角.
例1（1）［2025·天津红桥区高一期末］集合
中的角的终边所表示的范围（阴影部分）
是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当时,,
此时的终边所表示的范围即为当时的终边所表示的范围；
当时,,
此时 的终边所表示的范围即为当时 的终边所表示的范围.
故选C.
（2）（多选题）［2025·山东新泰一中高一期中］ 某日,分针长为
的时钟从20:10走到,分针转动的弧度为 ,分针的针尖
走过的弧长为 ,则( )
A. B. C. D.
[解析] 因为分针是按照顺时针旋转的,
所以转动的弧度为负数,可得.
由分针长为 ，可得弧长.
故选 .
√
√
例2 已知角 的终边经过点 .
（1）若，求 的值；
解：设点到原点的距离为 .
若，则，所以，， ，
所以，， ，
故 .
例2 已知角 的终边经过点 .
（2）若，且，求实数 的取值范围.
解：设点到原点的距离为 .
由题意知，， ，
则且，所以
解得，即实数的取值范围为 .
变式（1）（多选题）［2025·江苏无锡高一段测］ 若角 是第二象
限角，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 因为角是第二象限角,所以 ,,
所以, , ,,
所以当为偶数时, 是第一象限角,当为奇数时,是第三象限角,
是第三象限角或是第四象限角或终边位于轴的非正半轴上,
所以, ,B,C正确;当是第三象限角时,,A错误；
当 是第四象限角时,,D错误.
故选 .
（2）（多选题）已知函数且 的
图象经过定点，且点在角 的终边上，则 的值可能
是 ( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 因为函数的图象经过定点 ，
所以或.
当点在角 的终边上时，，，
此时 ，B正确；
当点在角 的终边上时， ，
，此时，D正确.
故选 .
（3）若角 的终边在直线上,,是角 终边上
一点,且,其中为坐标原点,求,, , , .
解：,且角 的终边在直线 上,
角 的终边在第三象限.
又为角 终边上一点,, .
由可得
,
,
.
题型二 同角三角函数的基本关系和诱导公式的应用
［类型总述］（1）三角函数求值;（2）三角函数式的化简与证明.
例3 已知 .
（1）若角 的终边过点,求 ；
解：
，
若角 的终边过点 ，
则，所以 .
例3 已知 .
（2）若，求 的值.
解：若，则 ，
所以
.
变式（1）（多选题）［2025·江苏盐城高一期末］ 已知 且
，下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 由解得或
又，则，所以, ，
可得，， ，
，故A，D正确，B，C错误.
故选 .
（2）［2024·广东深圳二中高一期末］已知角 的终边上有一点 的
坐标是，，则 ____.
[解析] 由角 的终边上有一点的坐标是， ，
可得，
则 .
题型三 复合三角函数的定义域与值域
［类型总述］（1）求复合三角函数的定义域;（2）求复合三角函数
的值域（最值）.
角度1 定义域
例4（1）函数 的定义域为_________________
______.
，
[解析] 要使函数有意义，则需满足 ，
即，即，
函数 的定义域为， .
（2）函数 的定义域为________________________.
，
[解析] 由题意得，即 ，
故， .
角度2 值域
例5（1）函数 的最小值是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为
，
所以当时， .
故选B.
√
（2）函数 的值域为_____________.
[解析] 令，，
由正切函数的单调性可知，
原函数可化为，
二次函数 的图象开口向上，
对称轴为直线，
当时，，
当 时，，
原函数的值域为 .
（3）求函数 的最大值.
解：令， ，
则 ，
得，
故函数 的最大值为 .
题型四 三角函数的图象与性质
［类型总述］（1）根据图象求解析式;（2）根据解析式求最值、单
调区间、对称轴、对称中心等.
例6（1）［2022·新高考全国Ⅰ卷］记函数
的最小正周期为，若 ,且
的图象关于点中心对称，则 ( )
A.1 B. C. D.3
√
[解析] 因为 ,即 ，所以 .
因为的图象关于点中心对称，
所以 ，且， ,解得,,
又 ，所以,,所以 ，
所以 .
（2）（多选题）［2024·新课标Ⅱ卷］对于函数 和
,下列说法正确的有( )
A.与 有相同的零点
B.与 有相同的最大值
C.与 有相同的最小正周期
D.与 的图象有相同的对称轴
√
√
[解析] 方法一：的最小正周期为 ,最大值为1，
的最小正周期为 ,最大值为1，故B，C均正确；
因为,
所以将 的图象向右平移个单位长度可得的图象，
又，所以与 的零点不相同，
与 的图象的对称轴不相同，故A，D均不正确.
故选 .
方法二：的最小正周期为 ,最大值为1，
的最小正周期为 ,最大值为1，故B，C均正确；
令 ,得,,
令,得,,
故 与的零点不相同，A不正确；
令,,得 , ,
令,,得,,
故与 的图象的对称轴不相同，D不正确.
故选 .
（3）（多选题）［2025·湖南衡阳部分学校高一月考］ 已知函数
，则下列结论正确的是( )
A.是 的一个周期
B.的图象关于点 对称
C. 为奇函数
D.在区间 上的最大值为3
√
√
[解析] 对于A，函数的最小正周期为 ，故A错误；
对于B，因为，
所以 的图象关于点 对称，故B正确；
对于C， 不是奇函数，
故C错误；
对于D，当时，，
所以当 ，即时，取得最大值3，故D正确.
故选 .
变式（1）［2024·北京石景山区高一
A.
B.
C.
D.
期末］函数 的部分图象如图所示，
则其解析式为( )
√
[解析] 由题图可得，函数的最大值为2，最小值为，
故 ，，
故 ，解得，故 .
将 的坐标代入可得 ，
则 ，
解得
，， . 故选B.
（2）［2024·天津卷］已知函数 的最小
正周期为 ，则函数在 上的最小值是( )
A. B. C.0 D.
[解析] ,
由 的最小正周期为,得,解得,则
当时,,易知在 上单调递减,
所以在上的最小值为 .故选A.
√
（3）［2024· 新课标Ⅰ卷］当时,曲线 与
的交点个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
[解析] 画出函数 与在 上的图象,
如图所示,由图可知两曲线共有6个交点.
故选C.
√
（4）（多选题）［2024·浙江丽水高一期末］ 已知函数
，则( )
A.的最小正周期是
B.的定义域是
C.的图象关于点 对称
D.在 上单调递增
√
√
√
[解析] 由函数，可得的最小正周期 ，
所以A正确；
令 ,，解得, ，
即函数的定义域为 ，所以B不正确；
令,，解得,，当时，可得 ，
所以函数的图象关于点对称，所以C正确；
由 ，可得，根据正切函数的性质，
可得函数在 上单调递增，所以D正确.
故选 .
题型五 三角函数的图象变换
［类型总述］（1）三角函数图象的变换和解析式的确定;（2）通过
对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质.
例7（1）［2024·河南驻马店高一段考］把函数 的图象上的
各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的 （纵坐标不
变），最后把纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不变），所得图象的
解析式是，则 的解析式是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 先将 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的
（横坐标不变），得到 的图象，
再将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍
（纵坐标不变），得到 的图象，
最后将的图象上所有的点向左平移 个单位长度，
得到 的图象,故 .
故选C.
（2）（多选题）［2024·河北唐山高一期末］ 要得到
的图象，可以( )
A.将曲线上所有的点向右平移 个单位长度
B.将曲线上所有的点向右平移 个单位长度
C.将曲线上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
D.将曲线上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
√
√
[解析] 要得到的图象，可以将曲线 上所有
的点向右平移 个单位长度，故选项A错误，选项B正确；
也可将曲线上所有点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变，
故选项C错误，选项D正确.
故选 .
变式（1）［2024·江苏常州高一期末］将正弦曲线 向左平
移个单位长度得到曲线，再将曲线 上所有点的横坐标变为原来
的（纵坐标不变）得到曲线，最后将曲线 上所有点的纵坐标变
为原来的2倍（横坐标不变）得到曲线.若曲线恰好是函数 的
图象，则在区间 上的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 将正弦曲线向左平移 个单位长度得到曲线
，再将曲线上所有点的横坐标变为原来的
（纵坐标不变）得到曲线,最后将曲线 上所有点
的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）得到曲线.
又曲线恰好是函数 的图象，所以.
当时， ，故，
故，故在区间 上的取值范围是 .
故选B.
（2）（多选题）［2024·湖北襄阳鄂北六校高一期中］ 把函数
的图象向左平移 个单位长度，
得到的函数图象恰好关于 轴对称，则下列说法正确的是( )
A.的最小正周期为
B.在区间 上单调递增
C.当时，的取值范围为
D.若在区间上至少存在六个零点，则实数 的取值范围为
√
√
√
[解析]
，
则 ,
因为的图象关于轴对称,
所以 , ,所以,,
因为 ,所以 ,即.
对于A,的最小正周期 ,故A错误；
对于B,令, ,
解得,,
所以函数 的单调递增区间为,,
当时,单调递增区间为 ,
所以函数在区间 上单调递增,故B正确；
对于C,因为,所以,
当或,即 或时,
函数有最小值,且 ,
当,即时,函数 有最大值,且,
所以当时, 的取值范围为,故C正确；
对于D,令,则 ,即,
解得 或 ,,
故 在区间上的零点从小到大依次为,,0,,,,,,
要使在区间上至少存在六个零点,则 ,故D正确.
故选 .
题型六 三角函数式的化简
［类型总述］（1）弦切互化;（2）利用倍角公式升幂或降幂;（3）
辅助角公式的应用.
例8 化简：
（1） ；
解：原式 .
因为 ,所以 ,
所以，所以原式 .
例8 化简：
（2） .
解：原式
.
变式 化简： .
解：原式
.
题型七 三角函数求值
［类型总述］ 三角函数求值主要有三种类型:
（1）给角求值；（2）给值求值；（3）给值求角.
例9（1）［2024· 新课标Ⅰ卷］已知, ,
则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] , ,
又,
,,
故选A.
（2）［2023· 新课标Ⅰ卷］已知， ，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：因为 ，
，所以 ，
所以 ，
所以 .
方法二：由， ，
可得，所以 .
（3）［2024·四川成都树德中学高一期中］求值：
( )
A. B. C.1 D.
√
[解析] 因为 ，
，
，
所以
.
故选D.
变式（1）［2023· 新课标Ⅱ卷］已知 为锐角， ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 由倍角公式可知 ，
则.
因为 为锐角，所以 ，则，所以 ，
故选D.
√
（2）［2022·新高考全国Ⅱ卷］若
,则( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 方法一：
由,
可知 ，
即 ，
即，即 ，
所以 ,,所以 , ,
所以, ，故选C.
方法二：取，则,
取 ,则，排除B，D；
取 ，则 ,即 ，
取 ,则 ，排除A.故选C.
（3）［2024·上海五爱高级中学高一期中］已知 ， 均为锐角，
，，则 __.
[解析] 由， 为锐角，得 ，
则，故 ，
又 ， 均为锐角，则，故 .
题型八 三角恒等变换与三角函数的综合问题
［类型总述］（1）辅助角公式、倍角公式；（2）利用三角函数的
图象特征求解析式与性质；（3）根据三角函数性质求参数值或范围.
例10 ［2025·长春东北师大附中高一期末］已知函数
.
例10 ［2025·长春东北师大附中高一期末］已知函数
.
（1）求 的单调递减区间；
解：
，
令 ，
则 ，
即的单调递减区间为 .
例10 ［2025·长春东北师大附中高一期末］已知函数
.
（2）若在上存在最小值，求实数 的取值范围.
解：令，解得 ，
即直线是函数 图象的对称轴，
又由（1）可知函数在区间 上单调递增，
结合对称性可知当时， ，
此时函数在 上不存在最小值.
当时，，
在区间 上的最小值在 处取得.
当时，当 ，
即时， 取得最小值.
综上，实数的取值范围为 .
变式 ［2024·湖北孝感高一期中］已知函数
，， ，在曲线
与直线的交点中，相邻交点间的距离为 .
（1）求函数 的解析式；
解：由，，
可得，故 的最大值为2.
由曲线与直线的交点中相邻交点间的距离为可得 ，
故，所以 .
变式 ［2024·湖北孝感高一期中］已知函数
，， ，在曲线
与直线的交点中，相邻交点间的距离为 .
（2）若，解不等式 ；
解：由不等式，可得 ，
解得 ， ，
所以 , .
因为，所以或 ，
故所求解集为 .
变式 ［2024·湖北孝感高一期中］已知函数
，， ，在曲线
与直线的交点中，相邻交点间的距离为 .
（3）若，且关于的方程 有
三个不等的实根，求实数 的取值范围.
解：关于的方程 有三个不等的实根，
即极有三个不等的实根，
即 或 共有三个不等实根.
作出函数在 上的图象，如图所示.
结合函数图象可知， 有一个根，
故 有两个不等实数根，
所以，
故 的取值范围为 .
题型九 三角函数的综合应用
［类型总述］（1）三角函数模型的应用;（2）三角函数在实际生活
中的应用.
例11 ［2024·萍乡高一期中］筒车是一种古老的水利灌溉工具，距今
已有1000多年的历史，它以水流作动力，取水灌田.为了打造传统农耕
文化，某景区的景观筒车的直径为12米，有24个盛水筒均匀分布，分
别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的
距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒
（视为质点）的初始位置为，如图，且 到水面的距离为7米.
（1）盛水筒经过秒后到水面的距离为米（当在水面下时， 为
负数），求筒车转动一周的过程中，关于 的函数解析式；
解：以筒车中心为原点,与水面平行的直线为轴建立平面直角坐标系,
如图.
由题知, ,
又筒车的半径为6,点的纵坐标为3,则 ,
由题知,,解得, ,
故, .
（2）为了把水引到高处，在筒车中心 正上方距离水面8米处正中间
设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，
把水倒入盛水槽，求盛水筒 转一圈的过程中，有多长时间能把水倒
入盛水槽（参考数据： ）
解：如图，作弦平行且等于盛水槽，交轴于点 ，
则在中，，，，则 ，
则距离水面的高度为 ，
盛水筒转到盛水槽的正上方（即 上），
能把水倒入盛水槽，
即当 时符合题意，
此时 ，
即，解得 .
因为，所以盛水筒 转一圈的过程中，能把水倒入盛水槽
的时间约为 秒.
变式 （多选题）血压是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管
壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力．血压的最大值、
最小值分别称为收缩压和舒张压．在未使用抗高血压药的前提下，
18岁以上成人收缩压或舒张压 ，则说明这
位成人有高血压．设从未使用过抗高血压药的小王今年26岁，从某
天早晨6点开始计算（即早晨6点起，），他的血压
（单位：）与经过的时间（单位： ）满足关系式
，则( )
A.血压 的最小正周期为6
B.当天下午3点，小王的血压为
C.当天小王有高血压
D.当天小王的收缩压与舒张压之差为
√
√
√
[解析] 对于选项A,由函数解析式可得函数的最小正周期,
故A错误；
对于选项B,当 时,
,故B正确；
对于选项C,当,即 时,,
当,即 时, ,
所以当天小王有高血压,故C正确；
对于选项D,由选项C可得 ,即当天小王的收缩压与舒张压
之差为,故D正确.
故选 .
快速核答案
素养提升 题型一 例1（1）C （2）AC 例2 （1）0 （2）
变式（1）BC （2）BD （3） ,,
题型二 例3 （1）（2） 变式 （1）AD （2）
题型三 角度1 例4 （1）, （2）,
角度2 例5 （1）B （2） （3）
题型四 例6 （1）A （2）BC （3）BD 变式（1）B （2）A （3）C （4）ACD
题型五 例7 （1）C （2）BD 变式 （1）B （2）BCD
题型六 例8 （1）原式 （2）原式 变式 原式
题型七 例9 （1）A （2）B （3）D 变式 （1）D （2）C （3）
题型八 例10 （1）的单调递减区间为 （2）
变式 （1） （2） （3）
题型九 例11 （1）, （2）约秒 变式 BCD