滚动习题(十)
(时间:45分钟 分值:105分)
一、单项选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)
1.已知sin α=,则cos 2α= ( )
A.- B.
C. D.-
2.函数f(x)=cos2x+2sin xcos x-sin2x的最小正周期T= ( )
A. B.π
C.2π D.4π
3.[2024·河南新乡高一期末] 若tan α=2,tan(2α+β)=8,则tan(α+β)= ( )
A. B.- C. D.
4.[2025·河北衡水冀州中学高一期中] 函数f(x)=cos的单调递减区间是 ( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.[2kπ,2kπ+π],k∈Z
5.[2025·北京顺义区高一期末] 下列四个结论中正确的是 ( )
A.若α,β均为第一象限角,且α<β,则tan αB.函数y=tan的定义域为
C.函数y=tan在上的最大值为
D.函数y=tan的最小正周期为π
6.[2024·广东佛山顺德区高一期中] sin 50°(1+tan 10°)的值为 ( )
A. B.
C.2 D.1
7.函数f(x)=sin x+cos x+sin xcos x(x∈R)的最大值为 ( )
A.- B.+
C.1+ D.
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
8.下列函数中,最小正周期为π,且为偶函数的有 ( )
A.y=tan B.y=sin
C.y=sin|2x| D.y=|sin x|
9.[2025·河北保定部分高中高一期中] 已知0<β<α<,且sin(α-β)=,tan α=4tan β,则 ( )
A.sin αcos β= B.sin βcos α=
C.sin 2αsin 2β= D.α+β=
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.已知函数f(x)=sin,若函数y=f(x-φ)是偶函数,则φ= .
11.[2025·湖南衡阳部分学校高一月考] 形如的式子叫作行列式,其运算法则为=ad-bc,则行列式的值是 .
12.已知0<α<π,则sin(-α)+tan(1+cos α)+= .
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
13.(13分)[2024·江西景德镇高一期中] 已知函数f(x)=1-sin x.
(1)先补充下列表格,然后用五点法画出函数f(x)在区间[0,2π]上的图象;
x 0 π 2π
y=sin x 0 0 0
y=1-sin x 1 0 1
(2)求函数f(x)在区间上的取值范围.
14.(15分)[2025·河北保定部分高中高一期中] 已知以下四个式子的值都等于同一个常数:
sin226°+cos234°-sin 26°cos 34°;
sin239°+cos221°-sin 39°cos 21°;
sin2(-52°)+cos2112°-sin(-52°)cos 112°;
sin230°+cos230°-sin 30°cos 30°.
(1)试从上述四个式子中选择一个,求出这个常数.
(2)根据(1)的计算结果,推广为三角恒等式,并证明你的结论.
15.(15分)[2024·长春十一中高一期末] 为了迎接亚运会,某地决定改造一个公园,准备在道路AB的一侧建一个四边形花圃种薰衣草(如图).已知道路AB长为4 km,四边形的另外两个顶点C,D设计在以AB为直径的半圆O上.记∠COB=α.
(1)为了观赏效果, 需要保证∠COD=,若薰衣草的种植面积不能少于(3+)km2,则α应设计在什么范围内
(2)若BC=AD, 求当α为何值时,四边形ABCD的周长最大,并求出此最大值.
滚动习题(十)
1.C [解析] 因为sin α=,所以cos 2α=1-2sin2α=1-2×=.故选C.
2.B [解析] f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin,∴T==π.故选B.
3.D [解析] tan(α+β)=tan(2α+β-α)===.故选D.
4.A [解析] f(x)=cos=cos,令2kπ≤x-≤2kπ+π,k∈Z,得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z,所以函数f(x)=cos的单调递减区间为,k∈Z.故选A.
5.B [解析] 对于A,α=<β=π,α,β均为第一象限角,而tan α=>tan β=,故A错误;对于B,由2x+≠kπ+,可得x≠+,故定义域为,故B正确;对于C,当x=时,函数值为tan=>,故C错误;对于D,由周期公式可知最小正周期为,故D错误.故选B.
6.D [解析] sin 50°(1+tan 10°)=sin 50°·=sin 50°·===1.故选D.
7.B [解析] 令t=sin x+cos x=sin,则t∈[-,],由(sin x+cos x)2=sin2x+cos2x+2sin xcos x=1+2sin xcos x,故sin xcos x=,故g(t)=t+=(t+1)2-1,又t∈[-,],故g(t)的最大值为(+1)2-1=+,即f(x)的最大值为+.故选B.
8.BD [解析] 对于A,y=tan的最小正周期为π,且为非奇非偶函数,故A错误;对于B,y=sin=-cos 2x的最小正周期为π,且为偶函数,故B正确;对于C,y=sin|2x|的最小正周期为,且为偶函数,故C错误;对于D,y=|sin x|的最小正周期为π,且为偶函数,故D正确.故选BD.
9.BCD [解析] 因为所以所以解得故A错误,B正确;sin 2αsin 2β=(2sin αcos α)(2sin βcos β)=4(sin αcos β)(sin βcos α)=4××=,故C正确;因为sin αcos β+sin βcos α=sin(α+β)=+=,且0<β<α<,所以α+β∈,所以α+β=,故D正确.故选BCD.
10. [解析] 函数f(x)=sin,所以函数y=f(x-φ)=sin.因为函数f(x)为偶函数,所以-2φ+=kπ+(k∈Z),解得φ=--(k∈Z),又0<φ<,所以当k=-1时,φ=.
11.-1 [解析] 因为=sin 15°-cos 15°=2=2sin(15°-45°)=-2sin 30°=-1,所以的值是-1.
12.- [解析] 由半角公式得tan===,所以(1+cos α)tan=sin α,又1-cos 2α=2sin2α,0<α<π,故sin α>0,所以原式=-sin α+sin α+=-.
13.解:(1)
x 0 π 2π
y=sin x 0 1 0 -1 0
y=1-sin x 1 0 1 2 1
函数f(x)在区间[0,2π]上的图象为
(2)当x∈时,sin x∈,即-sin x∈,
所以f(x)∈,
即函数f(x)在区间上的取值范围为.
14.解:(1)选择第四个式子,sin230°+cos230°-sin 30°cos 30°=+-=.
(2)三角恒等式为:sin2α+cos2(60°-α)-sin αcos(60°-α)=.
证明如下:
sin2α+cos2(60°-α)-sin αcos(60°-α)=sin2α+-sin α=sin2α+cos2α+sin αcos α+sin2α-sin αcos α-sin2α=.
15.解:(1)S四边形ABCD=S△OBC+S△OCD+S△OAD=×2×2×sin α+×2×2×sin+×2×2×sin=2sin α++cos α+sin α=+2sin ,
由题意知+2sin≥3+,即sin≥.
因为0<α<,所以≤α+<π,解得≤α<.
(2)由BC = AD可知,∠AOD=∠COB=α ,∠COD=π-2α,
故AB+BC+CD+DA=4+2×2sin+2×2sin+2×2sin=4+8sin+4cos α=4+8sin+4=-8sin2+8sin+8=-8+10,
故四边形ABCD周长的最大值是10 km, 当且仅当sin=, 即α=时取等号.(共29张PPT)
滚动习题（十）范围5.4～5.5
一、单项选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
1.已知，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 .
故选C.
√
2.函数的最小正周期 ( )
A. B. C. D.
[解析] ， .
故选B.
√
3.［2024·河南新乡高一期末］若， ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] .
故选D.
√
4.［2025·河北衡水冀州中学高一期中］函数 的单
调递减区间是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
√
[解析] ，
令， ，
得， ，
所以函数的单调递减区间为 , .
故选A.
5.［2025·北京顺义区高一期末］下列四个结论中正确的是( )
A.若 , 均为第一象限角，且 ，则
B.函数的定义域为
C.函数在上的最大值为
D.函数的最小正周期为
√
[解析] 对于A， ， ， 均为第一象限角，
而，故A错误；
对于B，由 ，可得，
故定义域为 ，故B正确；
对于C，当时，函数值为 ，故C错误；
对于D，由周期公式可知最小正周期为 ，故D错误.
故选B.
6.［2024·广东佛山顺德区高一期中］ 的值
为 ( )
A. B. C.2 D.1
[解析] .
故选D.
√
7.函数 的最大值为( )
A. B. C. D.
[解析] 令，则 ，
由 ，
故，故 ，
又，
故的最大值为,即 的最大值为 .
故选B.
√
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
8.下列函数中，最小正周期为 ，且为偶函数的有( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 对于A，的最小正周期为 ,且为非奇非偶函数，
故A错误；
对于B， 的最小正周期为,且为偶函数，
故B正确；
对于C，的最小正周期为 ，且为偶函数，故C错误；
对于D，的最小正周期为 ，且为偶函数，故D正确.
故选 .
9.［2025·河北保定部分高中高一期中］已知 ，且
， ，则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 因为所以
所以解得
故A错误，B正确；
，故C正确；
因为,且 ，
所以，所以，故D正确.
故选 .
三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）
10.已知函数，若函数 是
偶函数，则 ___.
[解析] 函数 ,
所以函数.
因为函数 为偶函数，
所以，解得 ，
又，所以当时， .
11.［2025·湖南衡阳部分学校高一月考］形如 的式子叫作行列
式，其运算法则为，则行列式 的值是
____.
[解析] 因为
，
所以的值是 .
12.已知 ，则
_____.
[解析] 由半角公式得 ，
所以 ，
又 ， ，
故，所以原式 .
四、解答题（本大题共3小题,共43分）
13.（13分）［2024·江西景德镇高一期中］已知函数 .
（1）先补充下列表格，然后用五点法画出函数在区间 上
的图象；
0
0 ___ 0 ___ 0
1 0 1 ___ ___
1
-1
2
1
解：函数在区间 上的
图象为
13.（13分）［2024·江西景德镇高一期中］ 已知函数
.
（2）求函数在区间 上的取值范围.
解：当时，，即 ,
所以 ，
即函数在区间上的取值范围为 .
14.（15分）［2025·河北保定部分高中高一期中］ 已知以下四个式
子的值都等于同一个常数：
；
；
；
.
（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.
解：选择第四个式子，
.
14.（15分）［2025·河北保定部分高中高一期中］ 已知以下四个式
子的值都等于同一个常数：
；
；
；
.
（2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论.
解：三角恒等式为: .
证明如下：
.
15.（15分）［2024·长春十一中高一期末］ 为了迎
接亚运会，某地决定改造一个公园，准备在道路
的一侧建一个四边形花圃种薰衣草（如图）.已知道
（1）为了观赏效果，需要保证 ，若薰衣草的种植面积不
能少于，则 应设计在什么范围内
路长为，四边形的另外两个顶点，设计在以 为直径的
半圆上.记 .
解：
由题意知 ，即 .
因为，所以 ，解得 .
，
15.（15分）［2024·长春十一中高一期末］ 为了
迎接亚运会，某地决定改造一个公园，准备在道路
的一侧建一个四边形花圃种薰衣草（如图）.已
（2）若，求当为何值时，四边形 的周长最大，并
求出此最大值.
知道路长为，四边形的另外两个顶点，设计在以 为直
径的半圆上.记 .
解：由可知， ， ，
故四边形周长的最大值是 ，
当且仅当，即 时取等号.
故 ，
快速核答案
一、1.C 2.B 3.D 4.A 5.B 6.D 7.B
二、8.BD 9.BCD
三、10. 11. 12.
四、13.（1）1 -1 2 1 如图. .
（2）
14.（1）选择第四个式子，
（2）三角恒等式为.证明略
15.（1）（2）当时，四边形的周长最大，最大值是
