3.2交变电流是怎样产生的 学案

第2讲　交变电流是怎样产生的
[目标定位]　1.认识交流发电机，了解交流发电机的结构.2.理解交变电流产生的原理，知道中性面的概念.3.能用数学表达式和图象描述正弦交变电流的变化规律，知道最大值、有效值和瞬时值之间的关系.4.能用交变电流的变化规律解决实际问题．
一、交流发电机
1．发电机主要由线圈(电枢)和磁极两部分组成．
2．磁极固定不动，让电枢在磁极中旋转，使穿过线圈的磁通量发生变化而产生感应电动势，这种发电机称为旋转电枢式发电机．反之，称为旋转磁极式发电机．
二、交变电流的产生原理
1．典型模型
图1
想一想　如图1所示，当线圈在磁场中绕OO′轴转动时，哪些边切割磁感线？线圈转到哪些位置时没有感应电流？
答案　当线圈在磁场中绕OO′轴转动时，AB、CD边切割磁感线产生感应电流．线圈转到甲和丙位置时没有感应电流，我们称之为中性面．
2．在线圈连续转动过程中，感应电流的大小和方向都将随时间做周期性变化．线圈每经过中性面1次，感应电流的方向就改变1次；线圈每转动1周，感应电流的方向就改变2次．
三、交变电流的变化规律
1．正弦式交变电流瞬时值表达式
当从中性面开始计时：
瞬时电动势：e＝Emsin_ωt，
瞬时电压：u＝Umsin_ωt，
瞬时电流：i＝Imsin_ωt.
式中Em、Um、Im分别表示电动势、电压、电流的最大值．
2．交流电的图象(如图2所示)
图2
想一想　正弦式交变电流的图象一定是正弦函数曲线吗？
答案　不一定，根据计时起点不同，也可能是余弦函数曲线.
一、交变电流的产生过程
1．正弦式交流电的产生
如图3所示，是线圈ABCD在匀强磁场中绕轴OO′转动时的截面图．线圈从中性面开始转动，角速度为ω，经过时间t转过的角度是ωt.设AB边长为L1，BC边长为L2，磁感应强度为B，AB边和CD边转动时切割磁感线产生感应电动势．
图3
(1)在图甲中，v∥B，eAB＝eCD＝0，e＝0
(2)在图丙中，eAB＝BL1v＝BL1＝BSω
同理eCD＝BSω
所以e＝eAB＋eCD＝BSω
(3)在图乙中，eAB＝BL1vsin
ωt＝BL1L2ωsin
ωt＝
BSωsin
ωt
同理eCD＝BSωsin
ωt
所以e＝eAB＋eCD＝BSωsin
ωt
若线圈有n匝，则e＝nBSωsin
ωt
2．两个特殊位置
(1)中性面(S⊥B位置)
线圈平面与磁场垂直的位置，此时Φ最大，为0，e为0，i为0.
线圈经过中性面时，电流方向就发生改变，线圈转一圈电流方向改变两次．
(2)垂直中性面位置(S∥B位置)
Φ为0，为最大，e最大，i最大．
3．正弦式交流电的峰值
Em＝nBSω
4．正弦式交流电的瞬时值表达式
e＝Emsin
ωt，u＝Umsin
ωt，i＝Imsin
ωt
例1　矩形线框绕垂直于匀强磁场且在线框平面内的轴匀速转动时产生了交变电流，下列说法正确的是(　　)
A．当线框位于中性面时，线框中感应电动势最大
B．当穿过线框的磁通量为零时，线框中的感应电动势也为零
C．当线框经过中性面时，感应电动势或感应电流的方向就改变一次
D．线框经过中性面时，各边切割磁感线的速度为零
答案　CD
解析　线框位于中性面时，线框平面与磁感线垂直，穿过线框的磁通量最大，但此时切割磁感线的两边的速度与磁感线平行，即不切割磁感线，所以电动势等于零，即此时穿过线框的磁通量的变化率等于零，感应电动势或感应电流的方向在此时刻改变；线框垂直于中性面时，穿过线框的磁通量为零，但切割磁感线的两边都是垂直切割，有效切割速度最大，所以感应电动势最大，即此时穿过线框的磁通量的变化率最大．故C、D选项正确．
针对训练　如图4所示，一矩形闭合线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的转轴OO′以恒定的角速度ω转动，从线圈平面与磁场方向平行时开始计时，则在0～这段时间内(　　)
图4
A．线圈中的感应电流一直在减小
B．线圈中的感应电流先增大后减小
C．穿过线圈的磁通量一直在减小
D．穿过线圈的磁通量的变化率一直在减小
答案　AD
解析　题图位置，线圈平面与磁场平行，感应电流最大，因为＝，在0～时间内线圈转过四分之一个圆周，感应电流从最大减小为零，穿过线圈的磁通量逐渐增大，穿过线圈的磁通量的变化率一直在减小．
二、对峰值Em＝nBSω和瞬时值e＝Emsin
ωt的理解
1．对峰值的理解
(1)对转轴的要求：在线圈所在平面内且与磁场垂直．当线圈平面与磁场平行时，线圈中的感应电动势达到峰值，且满足Em＝nBSω.
(2)决定因素：由线圈匝数n、磁感应强度B、转动角速度ω和线圈面积S决定，与线圈的形状无关，与轴的位置无关．
如图5所示的几种情况中，如果n、B、ω、S均相同，则感应电动势的峰值均为Em＝nBSω.
图5
2．对瞬时值的理解
必须明确是从中性面计时，还是从与中性面垂直的位置计时．
(1)从中性面计时，e＝Em
sin
ωt.
(2)从与中性面的垂直位置计时，e＝Emcos
ωt.
例2　如图6所示，匀强磁场磁感应强度B＝0.1
T，所用矩形线圈的匝数N＝100，边长lab＝0.2
m，lbc＝0.5
m，以角速度ω＝100π
rad/s绕OO′轴匀速转动．试求：
图6
(1)交变电动势的峰值；
(2)若从线圈平面垂直磁感线时开始计时，线圈中瞬时感应电动势表达式；
(3)若从线圈平面平行磁感线时开始计时，求线圈在t＝时刻的感应电动势大小．
答案　(1)314
V　(2)e＝314sin
(100πt)
V　(3)157
V
解析　(1)由题可知：S＝lab·lbc＝0.2×0.5
m2＝0.1
m2，感应电动势的峰值Em＝NBSω＝100×0.1×0.1×100π＝100π
V＝314
V.
(2)感应电动势的瞬时值e＝Emsin
ωt
所以e＝314sin
(100πt)
V
(3)从线圈平面平行磁感线时开始计时，感应电动势的瞬时值表达式为
e＝Emcos
ωt，代入数值得e＝314cos
(100πt)
V
当t＝时，e＝314cos
V＝157
V.
三、正弦式交变电流的图象
1．注意：开始计时时线圈所处的位置不同，得到的图象也不同．如图7所示．
图7
2．从图象中可以解读到以下信息：
(1)交变电流的峰值Em、Im和周期T.
(2)可确定线圈位于中性面的时刻以及根据电流最大找出线圈平行磁感线的时刻．
(3)判断线圈中磁通量Φ最小、最大的时刻及磁通量变化率最大、最小时刻．
(4)分析判断i、e大小和方向随时间的变化规律．
例3　线圈在匀强磁场中匀速转动，产生交流电的图象如图8所示，由图可知(　　)
图8
A．在A和C时刻线圈处于中性面位置
B．在B和D时刻穿过线圈的磁通量为零
C．在A时刻到D时刻线圈转过的角度为π弧度
D．在A和C时刻磁通量变化率绝对值最大
答案　D
解析　当线圈在匀强磁场中转到位于中性面时，磁通量最大，感应电动势为零，感应电流为零，B、D两时刻线圈位于中性面；当线圈平面与磁感线平行时，磁通量为零、磁通量的变化率最大，感应电动势最大，感应电流最大，A、C时刻线圈平面与磁感线平行，D正确；在A时刻到D时刻线圈转过的角度为弧度．故选D.
交变电流的产生及规律
1．当交流发电机的线圈转到线圈平面与中性面重合时，下列说法中正确的是(　　)
A．电流将改变方向
B．磁场方向和线圈平面平行
C．线圈的磁通量最大
D．线圈产生的感应电动势最大
答案　AC
解析　当线圈平面与中性面重合时，磁通量最大，磁通量的变化率为零，感应电动势为零，电流将改变方向．故选A、C.
正弦式交变电流的图象
2．一个矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线的轴匀速转动，穿过线圈的磁通量随时间变化的图象如图9甲所示，则下列说法中正确的是(　　)
图9
A．t＝0时刻，线圈平面与中性面垂直
B．t＝0.01
s时刻，Φ的变化率最大
C．t＝0.02
s时刻，交变电动势达到最大
D．该线圈产生的相应交变电动势的图象如图乙所示
答案　B
解析　由题图甲可知t＝0时刻，线圈的磁通量最大，线圈处于中性面，t＝0.01
s时刻，磁通量为零，但变化率最大，所以A项错误，B项正确；t＝0.02
s时，交变电动势应为零，C、D项均错误．
峰值和瞬时值问题
3．交流发电机工作时电动势为e＝Emsin
ωt，若将发电机的转速提高一倍，同时将电枢所围面积减小一半，其他条件不变，则其电动势变为(　　)
A．e′＝Emsin　　　　　B．e′＝2Emsin
C．e′＝Emsin
2ωt
D．e′＝sin
2ωt
答案　C
解析　本题考查交变电压的瞬时值表达式e＝Emsin
ωt，而Em＝nBωS，当ω加倍而S减半时，Em不变，故正确答案为C.
4．有一10匝正方形线框，边长为20
cm，线框总电阻为1
Ω，线框绕OO′轴以10π
rad/s的角速度匀速转动，如图10所示，垂直于线框平面向里的匀强磁场的磁感应强度为0.5
T．问：
图10
(1)该线框产生的交变电流电动势最大值、电流最大值分别是多少？
(2)线框从图示位置转过60°时，感应电动势的瞬时值是多大？
答案　(1)6.28
V　6.28
A　(2)5.44
V
解析　(1)交变电流电动势最大值为Em＝nBSω＝10×0.5×0.22×10π
V＝6.28
V，电流最大值为Im＝＝
A＝6.28
A.
(2)线框从图示位置转过60°时，感应电动势e＝Emsin
60°≈5.44
V.
(时间：60分钟)
题组一　交变电流的产生及规律
1．长为a、宽为b的矩形线圈，在磁感应强度为B的匀强磁场中，绕垂直于磁场的OO′轴以恒定的角速度ω旋转．设t＝0时，线圈平面与磁场方向平行，则此时的磁通量和磁通量的变化率分别是(　　)
A．0,0
B．0，Babω
C.，0
D．Bab，Babω
答案　B
2．如图1所示为演示交变电流产生的装置图，关于这个实验，正确的说法是(　　)
图1
A．线圈每转动一周，指针左右摆动两次
B．图示位置为中性面，线圈中无感应电流
C．图示位置ab边的感应电流方向为a→b
D．线圈平面与磁场方向平行时，磁通量变化率为零
答案　C
解析　线圈在磁场中匀速转动时，在电路中产生呈周期性变化的交变电流，线圈经过中性面时电流改变方向，线圈每转动一周，有两次通过中性面，电流方向改变两次，指针左右摆动一次，故A错；线圈处于图示位置时，ab边向右运动，由右手定则，ab边的感应电流方向为a→b，故C对；线圈平面与磁场方向平行时，ab、cd边垂直切割磁感线，线圈产生的电动势最大，也可以这样认为，线圈平面与磁场方向平行时，磁通量为零，但磁通量的变化率最大，B、D错误．
题组二　正弦式交变电流的图象
3．一个矩形线圈绕垂直于匀强磁场的固定于线圈平面内的轴转动．线圈中感应电动势e随时间t的变化图象如图2所示，下列说法中正确的是(　　)
图2
A．t1时刻通过线圈的磁通量为0
B．t2时刻通过线圈的磁通量最大
C．t3时刻通过线圈的磁通量的变化率最大
D．每当e变换方向时通过线圈的磁通量最大
答案　D
解析　由图可知，t2、t4时刻感应电动势最大，即线圈平面此时与磁场方向平行；在t1、t3时刻感应电动势为零，此时线圈平面与磁场方向垂直．故选D.
4．矩形线圈的匝数为50匝，在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动时，穿过线圈的磁通量随时间的变化规律如图3所示，下列结论正确的是(　　)
图3
A．在t＝0.1
s和t＝0.3
s时，电动势最大
B．在t＝0.2
s和t＝0.4
s时，电动势改变方向
C．电动势的最大值是157
V
D．在t＝0.4
s时，磁通量变化率达最大，其值为3.14
Wb/s
答案　CD
解析　由Φ－t图象可知Φmax＝BS＝0.2
Wb，T＝0.4
s，又因为N＝50，所以Emax＝NBSω＝NΦmax·＝157
V，C正确；t＝0.1
s
和0.3
s时，Φ最大，e＝0，变向；t＝0.2
s和0.4
s时，Φ＝0，e＝Emax最大，故A、B错误；根据线圈在磁场中转动时产生感应电动势的特点知，t＝0.4
s时，最大，＝3.14
Wb/s，D正确．
5．处在匀强磁场中的矩形线圈abcd，以恒定的角速度绕ab边转动，磁场方向平行于纸面并与ab边垂直．在t＝0时刻，线圈平面与纸面重合(如图4所示)，线圈的cd边离开纸面向外运动．若规定a→b→c→d→a方向的感应电流为正，则能反映线圈中感应电流i随时间t变化的图线是(　　)
图4
答案　C
解析　线圈在磁场中绕垂直于磁场方向的轴匀速转动时，可以产生按正弦规律变化的交流电．对于图示起始时刻，线圈的cd边离开纸面向外运动，速度方向和磁场方向垂直，产生的感应电流的瞬时值最大；用右手定则判断出电流方向为逆时针方向，与规定的正方向相同，所以C对．
6.
如图5所示，单匝矩形线圈的一半放在具有理想边界的匀强磁场中，线圈轴线OO′与磁场边界重合，线圈按图示方向匀速转动(ab向纸外，cd向纸内)．若从图示位置开始计时，并规定电流方向沿a→b→c→d→a为正方向，则线圈内感应电流随时间变化的图象是下图中的(　　)
图5
答案　A
解析　由题意知线圈总有一半在磁场中做切割磁感线的匀速圆周运动，所以产生的仍然是正弦交变电流，只是最大值为全部线圈在磁场中匀速转动情况下产生的感应电动势最大值的一半，所以选项B、C错误，再由右手定则可以判断出A选项符合题意．
题组三　峰值和瞬时值问题
7．有一单匝闭合线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴匀速转动，在转动过程中，线圈中的最大磁通量为Φm，最大感应电动势为Em，下列说法中正确的是(　　)
A．当磁通量为零时，感应电动势也为零
B．当磁通量减小时，感应电动势也减小
C．当磁通量等于0.5Φm时，感应电动势为0.5Em
D．角速度ω＝
答案　D
解析　由交变电流的产生原理可知，感应电动势与磁通量的变化率有关，与磁通量的大小无关．磁通量最大时，感应电动势为零；而磁通量为零时，感应电动势最大且Em＝BSω＝Φmω，故选项D正确．
8.
如图6所示，一矩形线圈abcd，已知ab边长为l1，bc边长为l2，在磁感应强度为B的匀强磁场中绕OO′轴以角速度ω从图示位置开始匀速转动，则t时刻线圈中的感应电动势为(　　)
图6
A．0.5Bl1l2ωsin
ωt
B．0.5Bl1l2ωcos
ωt
C．Bl1l2ωsin
ωt
D．Bl1l2ωcos
ωt
答案　D
解析　线圈从题图位置开始转动，感应电动势瞬时值表达式为e＝Emcos
ωt，由题意，Em＝BSω＝Bl1l2ω，所以e＝Bl1l2ωcos
ωt.
9.
如图7所示，一单匝闭合线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴匀速转动，转动过程中线框中产生的感应电动势的瞬时值表达式为e＝0.5sin
(20t)
V，由该表达式可推知以下哪些物理量(　　)
图7
A．匀强磁场的磁感应强度
B．线框的面积
C．穿过线框的磁通量的最大值
D．线框转动的角速度
答案　CD
解析　根据正弦式交变电流的感应电动势的瞬时值表达式：e＝BSωsin
ωt，可得ω＝20
rad/s，而磁通量的最大值为Φm＝BS，所以可以根据BSω＝0.5
V求出磁通量的最大值．
10．一矩形线圈有100匝，面积为50
cm2，线圈内阻r＝2
Ω，在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴匀速转动，从线圈平面与磁场平行时开始计时，已知磁感应强度B＝0.5
T，线圈的转速n＝1
200
r/min，外接一用电器，电阻为R＝18
Ω，试写出R两端电压的瞬时值表达式．
答案　u＝9πcos
(40πt)
V
解析　角速度ω＝2πn＝40π
rad/s，
最大值Em＝NBSω＝100×0.5×50×10－4×40π
V＝10π
V，
线圈中感应电动势e＝Emcos
ωt＝10πcos
(40πt)
V，
由闭合电路欧姆定律i＝，
故R两端电压u＝Ri＝9πcos
(40πt)
V.
11．如图8所示，在匀强磁场中有一个“π”形导线框可绕AB轴转动，已知匀强磁场的磁感应强度B＝
T，线框的CD边长为20
cm，CE、DF长均为10
cm，转速为50
r/s.若从图示位置开始计时：
图8
(1)写出线框中感应电动势的瞬时值表达式；
(2)在e－t坐标系中作出线框中感应电动势随时间变化关系的图象．
答案　(1)e＝10cos
(100πt)
V
(2)见解析图
解析　(1)线圈转动，开始计时的位置为线圈平面与磁感线平行的位置，在t时刻线框转过的角度为ωt，此时刻e＝Bl1l2ωcos
ωt，即e＝BSωcos
ωt.其中B＝
T，
S＝0.1×0.2
m2＝0.02
m2，
ω＝2πn＝2π×50
rad/s＝100π
rad/s.
故e＝×0.02×100πcos
(100πt)
V，
即：e＝10cos
(100πt)
V.
(2)线框中感应电动势随时间变化关系的图象如图所示：