九年级数学上册苏科版 1.2 一元二次方程的解法 试题（含答案）

1.2 一元二次方程的解法
一、单选题
1．用配方法解一元二次方程时，下列变形中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．方程的根是（ ）
A． B．
C． D．
3．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有实数根 D．无实数根
4．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．不能确定根的情况
5．已知是实数，且满足则的值为（ ）
A． B．或 C．或 D．
6．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
7．若关于x的一元二次方程有一根为2025，则关于x的一元二次方程的其中一个根必为（ ）
A．2022 B．2024 C．2025 D．2028
8．若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（ ）
A．2018 B．2020 C．2025 D．2030
二、填空题
9．将方程化成的形式是 ．
10．若关于x的一元二次方程有一个根是1，则 ．
11．已知关于x的一元二次方程恰有一个根小于，则k的取值范围为 ．
12．把方程化成一般形式是 ，其中
13．已知实数满足方程，则的值是 ．
14．定义，若，则的值为 ．
三、解答题
15．用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)； (2)； (3)
16．已知关于x的一元二次方程.
(1)若该方程有一个根是，求k的值.
(2)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
17．小李与小王两位同学解方程的过程如下框：
小李： 解：两边同除以，得 ， 则． 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程．
18．阅读材料：若是的一个因式，我们不难得到，易知．现在我们用另一种方法来求的值：观察上面的等式，可以发现当时，，也就是说是方程的一个根，由此可以得到，解得．
问题：若是的一个因式，请运用上述方法求出的值．
19．已知一元二次方程的两根都是整数，且不相等，若其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是整根方程．例如：的两根为，．因为2是的倍，所以是整根方程．
(1)求证：方程是整根方程；
(2)若存在正整数，使关于的一元二次方程是整根方程，且关于的一元二次方程有实数根，求的值．
20．材料阅读：材料1：符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如．
材料2：我们已经学习过求解一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等方程的解法，虽然各类方程的解法不尽相同，但是蕴含了相同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，还可以解一些新的方程．例如，求解部分一元二次方程时，我们可以利用因式分解把它转化为一元一次方程来求解．如解方程：．，．故或．因此原方程的解是，．
根据材料回答以下问题．
(1)二阶行列式__________；
(2)求解中的值；
(3)结合材料，若，，且，求的值．
参考答案
一、单选题
1．A
【详解】解：由变形得：，
配方得：，即；
所以选：A．
2．A
【详解】解：将方程化为一般式，
∴a=2，b=-8，c=-3，
∴Δ==64-4×2×（-3）=88＞0，
∴
故选： A．
3．A
【详解】由题意得方程，即 ．
整理得：
计算判别式：
由于，方程有两个不相等的实数根．
故选A．
4．A
【详解】解：对于一元二次方程，其中，， ．
∴判别式 ．
∴方程有两个实数根．
故选A ．
5．A
【详解】解：设，则有
，
，
解得：，（舍去），
，
故选：A．
6．C
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴二次项系数，即．
令，即，
解得．
∴且
故选：C．
7．A
【详解】解：由题意得，，
代入到方程，得，
整理得：，
，
，
，
，
解得：，，
关于x的一元二次方程的其中一个根必为2022．
故选：A．
8．B
【详解】解：由题意，得：第二个方程可以写成的形式，展开得：
∴，，，
解得：，
∴，
∴能取的最小值是2020；
故选B．
二、填空题
9．
【详解】解：，
等式变形得，，
等式两边同时加上得，，
∴配方得，，
故答案为： ．
10．
【详解】解：一元二次方程有一个根是1，
，
解得：，
故答案为：．
11．
【详解】解：由题意可得：，
∴此方程总有两个实数根，
∴，
∴，，
∵关于x的一元二次方程恰有一个根小于，
∴，
∴，
故答案为：．
12． 65
【详解】解：
去括号得：，
移项、合并同类项得：
∴
∴把方程化成一般形式是，其中．
故答案为：，65．
13．3
【详解】解：令，
则原式为，
解得，
当时，，方程有实数根，
当时，，方程没有实数根，
，
故答案为：3．
14．0或4
【详解】解：当时，，
经检验，符合题意；
当时，，
解得：或（舍），
综上，的值为0或4，
故答案为：0或4．
三、解答题
15．（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得，；
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得，；
（3）解：
解得，．
16．（1）解：把代入，得，
解得；
（2）解：由题意，得，
解得.
17．×；×
解：
，．
18．解：是的一个因式，
∴是 的一个根，
把代入方程得：
，
．
19．（1）证明：，
，，
是3的倍，
是整根方程；
（2）解：
，，
总有实数根，
，
解得：，
正整数，使得关于的一元二次方程是整根方程，
时，的根为，，不是整根方程，
时，的根为，，是整根方程，
．
20．（1）解：由题意得，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得；
（3）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得．