九年级数学上册苏科版 1.3 一元二次方程的根与系数间的关系 试题（含答案）

1.3 一元二次方程的根与系数间的关系
一、单选题
1．若是方程 的两个根，则的值为（ ）
A． B．1 C．6 D．
2．若，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则m的值为（ ）．
A．1 B． C．2 D．
4．已知关于x的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，错误的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．两根互为相反数
C．两根异号 D．实数根的个数与实数b的取值无关
5．已知，是关于x的方程的两个根，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2028 B．2026 C．2024 D．2022
7．已知实数满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．阅读材料：方程（b，c为常数）的两实根为，，所以方程可表示为．将等号左边展开得，与原方程对比，得到，．根据材料解决问题：一元三次方程（b，c，d为常数）的三个实根分别为，，，则（ ）
A． B．
C． D．
9．已知为互不相等的实数，且，，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．2
二、填空题
10．已知，是关于x的一元二次方程的两个根．若，则a的值为 ．
11．若关于的一元二次方程的两根为，且，则的值是 ．
12．若一元二次方程的两个实数根是某直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的周长为 ．
13．若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，且其面积为4，则该菱形的边长为 ．
14．已知是一元二次方程的两个根，且，求整数 ．
15．若关于的一元二次方程．
（1）该方程根的情况是 （填“两个相等实根”、“两个不相等实根”或“无实根”）；
（2）当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，则的值为 ．
三、解答题
16．设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．
(1) (2)
17．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取任何实数时，方程总有两个实数根．
(2)若方程的两个实数根满足，请求出m的值．
18．已知实数m、n满足，，且．
(1)试说明的值恒为正数；
(2)求证：
19．已知关于x的一元二次方程，有两个实数根
(1)求的取值范围；
(2)若方程两个实数根的差为且为整数，求的值．
20．已知 ABC的两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边BC的长为5．
(1)k为何值时，是以为斜边的直角三角形？
(2)k为何值时，是等腰三角形？并求的周长．
参考答案
一、单选题
1．A
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴．
故选：A．
2．A
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，
，
，
故选：．
3．B
【详解】解：一元二次方程，韦达定理指出两根、有．
在方程中，，，，
∴，
解得 ．
故选：B
4．B
【详解】解：，
该方程有两个不相等的实数根，实数根的个数与实数b的取值无关，故A,D正确不符合题意；
，
两根异号，两根不一定互为相反数，故B错误，符合题意，C正确不符合题意，
故选：B．
5．A
【详解】解：∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∵，是关于x的方程的两个根，
∴；故A正确，B错误；
∴，
∴异号或其中一个的值为0，的值不一定大于0；故C，D错误；
故选A．
6．A
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
即，
∴
．
故选：A．
7．B
【详解】解：∵实数满足，，
∴是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
故选：．
8．C
【详解】解：∵一元三次方程（b，c，d为常数）的三个实根分别为，，，
∴方程可表示为：，
∴，
∴，
∴，，；故选项C正确，选项B，D错误；
∵，
∴；故选项A错误；
故选C．
9．A
【详解】解：∵，，
∴，．
∵为互不相等的实数，
∴m和n可以看作方程的两个根，
∴，
∴．
故选A．
二、填空题
10．
【详解】∵
若
则
解得
11．
【详解】解：由题意得：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
12．
【详解】解：设两条直角边的长分别是，，
则，，
，
直角三角形斜边的长是，
这个直角三角形的周长为：．
故答案为：．
13．
【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b，
由题意得：，
∵菱形面积为4，
∴，解得：，
∴菱形的边长为
，
故答案为：．
14．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，且，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴整数或，
当时，，方程有两等根，不合题意；
当时，，方程有两不等根，符合题意；
故答案为：．
15． 两个不相等实根
【详解】解：（1）∵，
∴故该方程有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两个根为：，
则，，
∴，
∴
∴
故答案为．
三、解答题
16．（1）解：∵是方程的两个根，
∴，
∴
；
（2）解：∵是方程的两个根，
∴，
∴
．
17．（1）证明：∵关于x的一元二次方程，
∴方程总有2个实数根；
（2）解：由题意，得：，，
∵，
∴，
∴，解得：．
18．（1）证明：∵实数m、n满足，，且，
∴实数m、n可以看做是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴的值恒为正数；
（2）证明：由（1）可得实数m、n可以看做是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，即．
19．（1）解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根 ，，
整理得 ，
，
即，
∴a的取值范围为 且
（2）方程两个实数根的差为
即
是方程 的两个实数根，
整理得
解得 或 (不是整数，舍去)，
20．（1）解：∵ ABC的两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
当 ABC是以为斜边的直角三角形时，，
∴，解得：或（舍去），
当时， ABC是以为斜边的直角三角形；
（2）∵ ABC是等腰三角形，
∴当时， ，
解得不存在；
当时，，
∴，,
解得或4，
∴或4，
∴ ABC的周长为或．