九年级数学上册苏科版 第1章《一元二次方程》单元检测卷（含答案）

第1章《一元二次方程》单元检测卷
一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。）
1．若是一元二次方程，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．若是关于x的一元二次方程的根，则的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
3．已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D． 且
4．已知关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和为52，则m的值为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．
5．如图，小军的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ）
A．或 B． C．或 D．
6．从，5，三个数中任意选取两个数作为方程的根，可得到三个方程：，，．分别计算，，的值，其中最大的值是（　　）
A．9 B．19 C．35 D．65
二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分．）
7．已知m是方程的一个根，则的值是 ．
8．若一元二次方程配方后为，则 ．
9．淇淇七年级时的体重是，到九年级时，体重增加到，则她的体重平均每年的增长率为 ．
10．已知是关于的一元二次方程的两个实数根．若，则的值为 ．
11．对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
12．若m和n是关于x的一元二次方程的两根，则代数式的值是 ．
13．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的最大整数值是 ．
14．如图所示的是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第1行有1个点，第2行有2个点，……，第n行有n个点，容易发现，三角形点阵中前4行的点数和是10．若三角形点阵中前a行的点数之和为120，则a的值为 ．
15．在解关于x的一元二次方程时，小明看错了一次项系数b，得到的解为；小刚看错了常数项c，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程： ．
16．已知关于的分式方程解为整数，且关于的一元二次方程有实数根，则满足条件的整数a的和为 ．
三、解答题（本题共11小题，共88分．）
17．（6分）已知关于的一元二次方程有一个根为1，有一个根为，求的值．
18．（8分）已知是方程的根，求代数式的值．
19．（8分）选择适当的方法解方程：
(1) (2)
20．（8分）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若，是该方程的两根，且满足，求m的值．
21．（8分）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度．
22．（8分）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．）
23．（8分）阅读下列材料：
方程两边同时除以，得，即．因为，所以．
根据以上材料解答下列问题：
(1)已知方程，则_____；_____．
(2)若m是方程的根，求的值．
24．（8分）已知等腰三角形的三边长为、、1，且，的长是关于的一元二次方程的两个根，求的值．
25．如图，在四边形中，，，，．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，取中点，连接．设运动时间为．解答下列问题：
(1)当为何值时，线段的长为？
(2)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由；
(3)是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
26．（8分）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
材料：为解方程，可将方程变形为，
然后设，则，原方程化为，
解得，，
当时，无意义，舍去；
当时，，解得；
所以原方程的解为或．
问题：
(1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　；
(2)利用以上学习到的方法解下面方程：
27．（10分）素材1：如图，某农户规划在一个长为300米，宽为200米的长方形果园上修建三条通道，使其中两条与平行，满足通道宽；另一条与平行，并使两条通道的宽，其余六块部分种植草莓．
素材2：经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．
任务1：要使每一块种植草莓的面积都为8550平方米，则通道的宽应设计成多少米？
任务2：若农户预期一个月的总利润（总利润销售利润承包费）为52万元，为了让购买草莓的客户获得更大的优惠，那么应该降价多少元？
参考答案
一、选择题
1．B
【详解】解：∵是一元二次方程，
∴且，
解得，
故选：．
2．C
【详解】把代入，得，，
3．D
【详解】解：方程为一元二次方程，故，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴需满足，
解得：，
∴的取值范围为且，
故选：D．
4．A
【详解】解：∵于x的一元二次方程，
∴设方程两个实数根分别为，
∴，，
∵两个实数根的平方和为52，
∴，
∴，
∴，解得：，
∵，
∴，
故选：A．
5．B
【详解】解：设长为，则的长为，
由题意可得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴长为，
故选：B．
6．C
【详解】解：当、5是方程的根时，
，
解得：
，
当5、是方程的根时，
，
解得：
，
当、是方程的根时，
，
解得：，
，
，
的值最大为，
故选：C．
二、填空题
7．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
故答案为：．
8．2
【详解】解：由可得，
∴，，
∴，
故答案为：2．
9．
【详解】解：设她的体重平均每年的增长率为，则她七年级时的体重是，九年级时的体重是，
由题意得：，
解得：，（舍去），
她的体重平均每年的增长率为，
故答案为：．
10．
【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，
，
，
，
．
故答案为：．
11．
【详解】解：根据新运算，对于，有：
整理为
因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式
即
解得
12．1
【详解】解：∵m和n是关于x的一元二次方程的两根，
∴，，则，
∴，
故答案为：1．
13．4
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实根，
∴且，
解得：且，
m的最大整数解为4．
故答案为：4．
14．15
【详解】解：根据题意，得，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴．
故答案为：15．
15．
【详解】解：∵小明看错了一次项系数b，得到的解为，
．
小刚看错了常数项c，得到的解为，
，
．
∴正确的一元二次方程为．
故答案为：．
16．1
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵分式方程有整数解，
∴或或或或或，
即或或或或或，
∵，
∴，
∴，
∴或或或或，
又∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴，
∴或，
∴满足条件的所有整数的和为，
故答案为：．
三、解答题
17．解：∵和是一元二次方程的两个根，
∴代入可得：，
∴两式相加得：．
18．解：是方程的根，
，
．
19．（1）解：，
因式分解，得，
于是得，或，
，
（2）解：
∴，
∴，或，
∴，或，
∴，或，
∴，或，
∴，
20．（1）证明：
，
故无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：，，
，
，
，
，．
故m的值为或．
21．解：设小路的宽度为，
由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
答：小路的宽度为．
22．解：设周瑜去世的年龄十位数字为，则个位数字为，
则根据题意：，
整理得：，解得，，
由题意，而立之年督东吴，则舍去，
∴周瑜去世的年龄为岁，
23．（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4；18；
（2）解：∵m是方程的根，
∴，
∴（时不满足原方程），
∴，
∴，
∴，
∴．
24．解：∵
，
∴无论取何值，此方程必有实数根；
当腰1时，则或有一条边为腰，
的解为1，
∴，
解得：，
∵时，
解得原方程两根为1和3，此时三角形三边为1，1，3，这样的三角形不存在，
∴不合题意，应舍去，
当1为底时，则为腰，
方程有两个相等的实数根，
，解得，
∴，
方程两根为，此时三角形三边为1，3，3，这样的三角形存在，
综上所述，的值．
25．（1）解：由题意，，，
，
，
，，
，
解得或，
故或时，线段的长为；
（2）解：不存在．
由题意：，
整理得，
，
方程无解，故不存在；
（3）解：存在，建立如图平面直角坐标系．
由题意，，，
，
，
点在线段的垂直平分线上，
，
，
解得或（舍去）．
故时，点在的垂直平分线上．
26．（1）解：根据题意可得，化为一般式为，
故答案为：；
（2）解：设，则原方程化为，
整理，得，解得或，
当时，即，解得或
当时，即，方程无解；
综上所述，原方程的解为或．
27．解：任务1：设通道的宽应设计成米，则通道的宽米，
由题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
∴，
答：通道的宽应设计成10米；
任务2：设每平方米草莓应该降价y元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
∵让购买草莓的客户获得更大的优惠，
∴每平方米草莓应该降价40元．
答：每平方米草莓应该降价40元．