第二章 检测试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数y=的定义域为( )
A.(-1,+∞)
B.[-1,+∞)
C.(-1,0)∪(0,+∞)
D.[-1,0)∪(0,4)∪(4,+∞)
【答案】 D
【解析】 要使函数y=有意义,
则解得x≥-1,且x≠0,x≠4.
故选D.
2.已知幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm-6的图象不过原点,且关于y轴对称,则( )
A.m=4 B.m=-1
C.m=4或m=-1 D.-1
【答案】 A
【解析】 由题意得m2-3m-3=1,解得m=4或 m=-1.当m=4时,f(x)=x-2=,图象不过原点,且关于y轴对称,满足题意;当m=-1时,f(x)=x-7=,其图象关于原点中心对称,不满足题意.故选A.
3.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增且是奇函数的是( )
A.y= B.y=x2
C.y=|x| D.y=x-
【答案】 D
【解析】 对于A,函数y=的定义域为[0,+∞),关于原点不对称,
故函数y=为非奇非偶函数,故A不符合题意.
对于B,函数y=f(x)=x2的定义域为R,
因为f(-x)=x2=f(x),
所以函数y=x2为偶函数,故B不符合题意.
对于C,函数y=f(x)=|x|的定义域为R,
因为f(-x)=|x|=f(x),
所以函数y=|x|为偶函数,故C不符合题意.
对于D,函数y=f(x)=x-的定义域为{x|x≠0},
因为f(-x)=-x+=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数.
又因为函数y=x,y=-都在区间(0,+∞)上单调递增,
所以函数y=x-在区间(0,+∞)上单调递增,故D符合题意.故选D.
4.函数f(x)=x3-的图象大致是( )
A B
C D
【答案】 B
【解析】 根据题意,函数f(x)=x3-的定义域为{x|x≠0},有f(-x)=-f(x),则 f(x)为奇函数,排除A,C.
当x>0时,函数y=x3和y=-都单调递增,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,排除D.故选B.
5.函数y=的单调递增区间为( )
A.[0,+∞) B.(0,2)
C.(-∞,0] D.(-2,0)
【答案】 B
【解析】 根据题意,4-x2>0,则-26.已知函数f(x)=若对任意x1≠x2,<0恒成立,则a的取值范围为( )
A.[-3,0) B.(0,3]
C.[-4,-3] D.(-4,-3]
【答案】 C
【解析】 若对任意x1≠x2,<0恒成立,
不妨假设x2>x1,由<0,得f(x2)所以解得-4≤a≤-3.
因此,实数a的取值范围是[-4,-3].故选C.
7.定义域为R的函数f(x)满足f(3-x)=f(3+x),且当x2>x1>3时,>0恒成立,设 a=
f(2x2-x+5),b=f(),c=f(x2+4),则( )
A.c>a>b B.c>b>a
C.a>c>b D.b>c>a
【答案】 C
【解析】 依题意,定义域为R的函数f(x)满足f(3-x)=f(3+x),所以f(x)的图象关于直线x=3对称.又当x2>x1>3时,>0恒成立,所以f(x)在区间(3,+∞)上单调递增.因为b=f()=
f(3-)=f(3+)=f(),2x2-x+5=2(x-)2+≥,x2+4≥4,2x2-x+5-(x2+4)=x2-x+1=(x-)2+>0,所以 2x2-x+5>x2+4>,所以a>c>b.故选C.
8.设奇函数f(x)的定义域为R,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有不等式>0,且f(-2)=-1,则不等式f(x-1)>的解集是( )
A.(-1,3)
B.(-∞,-1)∪(3,+∞)
C.(-∞,-1)∪(1,3)
D.(-1,1)∪(3,+∞)
【答案】 D
【解析】 令g(x)=xf(x),
因为f(x)为奇函数,即f(-x)=-f(x),
所以g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),即 g(x)为偶函数.
对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有不等式>0,
即>0,
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增.
因为f(-2)=-1,所以g(-2)=-2f(-2)=2,即g(2)=2,
则不等式f(x-1)>可转化为>,
即>0,
故或
则或
解得x>3或-1二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列函数中是偶函数,且在区间(0,1)上单调递增的是( )
A.y=x2-2 B.y=
C.y=|x|+ D.y=
【答案】 AD
【解析】 y=是奇函数,不符合题意;当x∈(0,1)时,y=|x|+=x+在(0,1)上单调递减,不符合题意;y=x2-2是偶函数,且在(0,1)上单调递增,符合题意;y==|x|是偶函数,且在(0,1)上单调递增,符合题意.故选A,D.
10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列命题正确的是( )
A.f(0)=0
B.若f(x)在[0,+∞)上有最小值-1,则f(x)在(-∞,0]上有最大值1
C.若f(x)在[1,+∞)上单调递增,则f(x)在(-∞,-1]上单调递减
D.若x>0,f(x)=x2-2x,则当x<0时,f(x)=-x2-2x
【答案】 ABD
【解析】 根据题意,函数f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-x)=-f(x),当x=0时,有f(0)=-f(0),变形可得f(0)=0,A正确;
若f(x)在[0,+∞)上有最小值-1,即x≥0时,f(x)≥-1,则有-x≤0,f(-x)=-f(x)≤1,即f(x)在(-∞,0]上有最大值1,B正确;
奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,若f(x)在[1,+∞)上单调递增,则f(x)在(-∞,-1]上单调递增,C错误;
设x<0,则-x>0,则f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,则f(x)=-f(-x)=-(x2+2x)=-x2-2x,D正确.故选A,B,D.
11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)>0,f(2)=4,则( )
A.f(5)=10
B.f(x)为奇函数
C.f(x)在R上单调递减
D.当x<-1时,f(x)-2>f(2x)
【答案】 ABD
【解析】 A选项,在f(x+y)=f(x)+f(y)中,令x=y=1,得f(2)=f(1)+f(1).又f(2)=4,故 f(1)=2.
在f(x+y)=f(x)+f(y)中,令x=y=2,得 f(4)=f(2)+f(2)=8,
令x=4,y=1,得f(4+1)=f(4)+f(1)=8+2=10,即f(5)=10,A正确.
B选项,在f(x+y)=f(x)+f(y)中,令x=y=0,
得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0.在f(x+y)=f(x)+f(y)中,令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)=0,故f(x)为奇函数,B正确.
C选项,在f(x+y)=f(x)+f(y)中,令x=x1,y=x2-x1,且x2>x1,
故f(x1+x2-x1)-f(x1)=f(x2-x1),
即 f(x2)-f(x1)=f(x2-x1).
又当x>0时,f(x)>0,故f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)>0,即f(x2)>f(x1),故f(x)在R上单调递增,C错误.
D选项,f(1)=2,f(x)-2=f(x)-f(1)=f(x-1).又x<-1,所以x-1>2x.又f(x)在R上单调递增,所以f(x)-2=f(x-1)>f(2x),D正确.故选A,B,D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若f(x)=为奇函数,则 a= .
【答案】 6
【解析】 因为函数f(x)的定义域为{x|x≠0},且f(x)为奇函数,
所以g(x)=(2x+3)(4x-a)=8x2+(12-2a)x-3a为偶函数,则-=0,
解得a=6.
13.已知偶函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(-∞,0)上单调递增,若f(-3)=0,则不等式x·f(x-1)≤0的解集是 .
【答案】 [-2,0)∪[4,+∞)
【解析】 因为f(x)为偶函数,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(-∞,0)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.
又f(-3)=0,
则f(3)=0,函数大致图形如图所示.
①当x<0时,有f(x-1)≥0,故-3≤x-1<0,
解得-2≤x<0;
②当x>0时,有f(x-1)≤0,故x-1≥3,解得 x≥4.
综上所述,原不等式的解集为[-2,0)∪[4,+∞).
14.若存在常数k和b,使得函数F(x)和G(x)对其公共定义域上的任意实数x都满足:F(x)≥
kx+b和G(x)≤kx+b恒成立,则称直线y=kx+b为F(x)和G(x)的“隔离直线”.已知函数f(x)=
2x2-5x,g(x)=(x<0),若函数f(x)和g(x)之间存在隔离直线y=-2x+b,则实数b的取值范围是 .
【答案】 [-2,0]
【解析】 f(x)和g(x)的公共定义域为(-∞,0).
由2x2-5x≥-2x+b,得b≤2x2-3x,x∈(-∞,0).令y=2x2-3x=2(x-)2-,则函数在(-∞,0)上单调递减,ymin>0,故b≤0.
由≤-2x+b,得+2x≤b,x∈(-∞,0).y=+2x=-(-2x)≤-2=-2,当且仅当=-2x,即x=-时,等号成立,故b≥-2.
综上所述,-2≤b≤0.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
求解下列问题:
(1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9,求f(x)的解析式;
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,求f(x)的解析式.
【解】 (1)设f(x)=kx+b(k≠0),
由3f(x+1)-f(x)=2x+9,
得3[k(x+1)+b]-(kx+b)=2x+9,
即2kx+3k+2b=2x+9,
所以解得
所以f(x)=x+3.
(2)依题意,f(x)是定义在R上的偶函数,
当x≥0时,f(x)=x2-2x,
当x<0时,-x>0,
所以f(x)=f(-x)=(-x)2-2×(-x)=x2+2x,所以f(x)=
16.(本小题满分15分)
已知函数f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,函数的解析式为f(x)=.
(1)求f(2),f(-2)的值.
(2)用定义证明f(x)在(0,+∞)上单调递减.
(1)【解】 因为x>0时,
函数的解析式为f(x)=,
所以f(2)=.
因为f(x)为R上的奇函数,
所以f(-2)=-f(2)=-.
(2)【证明】 设0则1<1+x1<1+x2,所以>.
因为x>0时,f(x)==2+,
则f(x1)-f(x2)=->0,
所以f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.
17.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=-x2+2x+2.
(1)求f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值;
(2)若g(x)=f(x)-mx在[2,4]上是单调函数,求m的取值范围.
【解】 (1)因为f(x)=-x2+2x+2=-(x-1)2+3,其图象是对称轴为直线x=1,且开口向下的抛物线,所以函数f(x)在[0,1]上单调递增,在[1,3]上单调递减.
当x∈[0,3]时,f(x)max=f(1)=3.
又因为f(0)=2,f(3)=-1,
则f(x)min=f(3)=-1,
所以f(x)在区间[0,3]上的最大值是3,最小值是-1.
(2)g(x)=f(x)-mx=-x2+(2-m)x+2,
函数g(x)的图象是对称轴为直线x=,且开口向下的抛物线.
又g(x)=f(x)-mx在[2,4]上是单调函数,
当函数g(x)在[2,4]上单调递增时,≥4,
解得m≤-6;
当函数g(x)在[2,4]上单调递减时,≤2,
解得m≥-2.
综上所述,实数m的取值范围是(-∞,-6]∪[-2,+∞).
18.(本小题满分17分)
已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)讨论函数f(x)的单调性及最小值.
【解】 (1)由题意得f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=x2+|-x-a|+1=x2+|x+a|+1.
①当a=0时,f(-x)=f(x),此时f(x)为偶函数;
②当a≠0时,f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),此时f(x)为非奇非偶函数.
(2)当x>a时,
f(x)=x2+x-a+1=(x+)2+-a;
当x≤a时,f(x)=x2-x+a+1=(x-)2++a.
①当a≤-时,函数f(x)在x∈(-∞,-)上单调递减,在x∈(-,+∞)上单调递增,所以f(x)min=
f(-)=-a.
②当-f(a)=a2+1.
③当a≥时,函数f(x)在x∈(-∞,)上单调递减,在x∈(,+∞)上单调递增,
所以f(x)min=f()=+a.
综上,f(x)min=
19.(本小题满分17分)
某企业投资生产一批新型机器,其中年固定成本为1 000万元,每生产x台,需另投入生产成本 R(x)万元.当年产量不足25台时,R(x)=3x2+kx;当年产量不小于25台时R(x)=202x+
-1 330,且当年产量为10台时需另投入生产成本1 100万元.若每台设备售价200万元,通过市场分析,该企业生产的这批机器能全部销售完.
(1)求k的值;
(2)求该企业投资生产这批新型机器的年利润W(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:台)的函数关系式(利润=销售额-成本);
(3)这批新型机器年产量为多少台时,该企业所获利润最大 并求出最大利润.
【解】 (1)当x=10时,R(x)=1 100代入R(x)=3x2+kx,得3×100+10k=1 100 k=80.
(2)由题意可得,
当0≤x<25时,
W(x)=200x-3x2-80x-1 000,
当x≥25时,
W(x)=200x-202x-+1 330-1 000,
所以年利润W(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:台)的函数关系式为
W(x)=
(3)由(2)得,当0≤x<25时,W(x)=-3x2+120x-1 000=-3(x-20)2+200,
当x=20时,W(x)max=200.
当x≥25时,
W(x)=-2x-+330=-2(x+10+)+350≤-2×2+350=190,
当且仅当x+10=,
即x=30时,等号成立,
W(x)max=190.
因为200>190,所以当x=20时,利润最大.
综上所述,当年产量为20台时,该企业所获利润最大,最大利润是200万元.
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章末复习提升
『网络建构』
『知识辨析』
判断对错.(正确的画“√”,错误的画“×”)
1.直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有一个交点.( )
2.函数y=f(x)(x∈A)的图象的集合表示形式为{(x,y)|y=f(x),x∈A}.( )
3.若两个函数的定义域、值域分别相同,则函数是同一个函数.( )
4.函数y=f(x)是偶函数时,其定义域一定关于原点对称.( )
×
√
√
√
5.函数y=f(x)是奇函数的充要条件是f(0)=0.( )
6.幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种.( )
7.幂函数的图象都过点(1,1).( )
×
×
√
核心题型突破
题型一 函数的定义域
C
【解析】 (1)由题意可知mx2+2mx+1>0恒成立,显然当m=0时,符合题意;
当m≠0时,有m>0,且Δ=4m2-4m<0,解得0B
·规律方法·
求函数的定义域
(1)给定函数的解析式求函数的定义域,根据各式有意义列出关于变量x的不等式(组)求解即可.
(2)求复合函数的定义域.
①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出;
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.
题型二 分段函数及其性质
A
B
B
·规律方法·
(1)分段函数求值、解分段方程(不等式).
①分段函数求值:首先判断自变量所在区间,然后代入对应解析式求值,对于“嵌套”求值问题,要从内往外逐层计算.
②解分段方程(不等式):若方程(不等式)一边含有自变量,则按自变量在不同区间讨论求解,最后求并集;若方程(不等式)两边都含有自变量,则可以画出分段函数图象,利用数形结合法求解,也可以通过分段函数的单调性转化求解.
·规律方法·
③由分段方程(不等式)求参数:与分段函数求值类似,讨论参数所在区间,代入相应解析式求解即可.
(2)分段函数的单调性与最值问题:分段函数的单调性需要判断每一段区间上的图象单调性,还要比较分界点的函数值;最值问题可以借助函数的单调性求解或求出每个单调区间上的最值,然后比较得到分段函数的最值.
题型三 函数性质的综合应用
[典例3] 已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0},对定义域内的任意x1,x2都有f(x1·x2)=
f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0,f(2)=1.
(1)求证:f(x)是偶函数.
(1)【证明】 令x1=x2=1,
得f(1)=2f(1),所以 f(1)=0.
令x1=x2=-1,得f(-1)=0,
所以f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x).
又f(x)的定义域{x|x≠0}关于原点对称,所以 f(x)是偶函数.
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(3)解不等式f(2x2-1)<2.
·规律方法·
(1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或画出图象辅助解答,重点是利用好奇函数、偶函数的概念及对称性、函数的单调性与最值.
(2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义,同时注意根据解题需要给x灵活赋值.
(3)涉及与函数有关的不等式恒成立问题,应转化为最值问题求解.
题型四 函数的图象及应用
A
·规律方法·
函数的图象是函数的重要表示方法,它具有明显的直观性,通过函数的图象能够掌握函数重要的性质,如单调性、奇偶性等.反之,利用函数的性质,有助于正确画出图象.章末复习提升
网络建构
知识辨析
判断对错.(正确的画“√”,错误的画“×”)
1.直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有一个交点.( √ )
2.函数y=f(x)(x∈A)的图象的集合表示形式为{(x,y)|y=f(x),x∈A}.( √ )
3.若两个函数的定义域、值域分别相同,则函数是同一个函数.( × )
4.函数y=f(x)是偶函数时,其定义域一定关于原点对称.( √ )
5.函数y=f(x)是奇函数的充要条件是f(0)=0.( × )
6.幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种.( × )
7.幂函数的图象都过点(1,1).( √ )
题型一 函数的定义域
[典例1] (1)已知函数f(x)= 的定义域是R,则实数m的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,1]
C.[0,1) D.[0,1]
(2)已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3],则函数y=的定义域为( )
A.[-,1] B.[-,-1)∪(-1,1]
C.[-3,7] D.[-3,-1)∪(-1,7]
【答案】 (1)C (2)B
【解析】 (1)由题意可知mx2+2mx+1>0恒成立,显然当m=0时,符合题意;
当m≠0时,有m>0,且Δ=4m2-4m<0,解得0(2)由题意得-2≤2x+1≤3,解得-≤x≤1.由x+1≠0,解得x≠-1,故函数y=的定义域是[-,-1)∪(-1,1].故选B.
求函数的定义域
(1)给定函数的解析式求函数的定义域,根据各式有意义列出关于变量x的不等式(组)求解即可.
(2)求复合函数的定义域.
①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出;
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.
题型二 分段函数及其性质
[典例2] (1)已知函数f(x)=则f(f(-))等于( )
A. B.-
C.或- D.
(2)已知实数a≠0,函数f(x)=
若f(1-a)=f(1+2a),则a的值为( )
A.1 B.- C.-1 D.2
(3)已知函数f(x)=在R上是单调的,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-]
B.(3,4]
C.(-∞,-]∪(3,4]
D.(-∞,-)∪(3,4]
【答案】 (1)A (2)B (3)B
【解析】 (1)因为f(-)=(-)2=,
所以f(f(-))=f()=2×=.故选A.
(2)当a>0时,有1-a<1,1+2a>1.因为 f(1-a)=f(1+2a),所以2(1-a)+a=-(1+2a)-2a,解得a=-1,不符合a>0,舍去.当a<0时,有1-a>1,1+2a<1.因为f(1-a)=f(1+2a),所以-(1-a)-2a=2(1+2a)+a,解得a=-.故选B.
(3)当a=0时,f(x)=不满足题意.若f(x)在R上单调递增,
则解得3若f(x)在R上单调递减,则
a无解.所以实数a的取值范围是(3,4].
故选B.
(1)分段函数求值、解分段方程(不等式).
①分段函数求值:首先判断自变量所在区间,然后代入对应解析式求值,对于“嵌套”求值问题,要从内往外逐层计算.
②解分段方程(不等式):若方程(不等式)一边含有自变量,则按自变量在不同区间讨论求解,最后求并集;若方程(不等式)两边都含有自变量,则可以画出分段函数图象,利用数形结合法求解,也可以通过分段函数的单调性转化求解.
③由分段方程(不等式)求参数:与分段函数求值类似,讨论参数所在区间,代入相应解析式求解即可.
(2)分段函数的单调性与最值问题:分段函数的单调性需要判断每一段区间上的图象单调性,还要比较分界点的函数值;最值问题可以借助函数的单调性求解或求出每个单调区间上的最值,然后比较得到分段函数的最值.
题型三 函数性质的综合应用
[典例3] 已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0},对定义域内的任意x1,x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0,f(2)=1.
(1)求证:f(x)是偶函数.
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(3)解不等式f(2x2-1)<2.
(1)【证明】 令x1=x2=1,
得f(1)=2f(1),所以 f(1)=0.
令x1=x2=-1,得f(-1)=0,
所以f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x).
又f(x)的定义域{x|x≠0}关于原点对称,所以 f(x)是偶函数.
(2)【证明】 设x2>x1>0,则f(x2)-f(x1)=f(x1·)-f(x1)=f(x1)+f()-f(x1)=f().
因为x2>x1>0,
所以>1.
所以f()>0,
即f(x2)-f(x1)>0.
所以f(x2)>f(x1).
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(3)【解】 因为f(2)=1,所以f(4)=f(2)+f(2)=2.
又因为f(x)是偶函数,所以不等式f(2x2-1)<2可化为f(|2x2-1|)又因为函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以|2x2-1|<4,
解得-又2x2-1≠0,解得x≠±,所以不等式f(2x2-1)<2的解集为(-,-)∪(-,)∪(,).
(1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或画出图象辅助解答,重点是利用好奇函数、偶函数的概念及对称性、函数的单调性与最值.
(2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义,同时注意根据解题需要给x灵活赋值.
(3)涉及与函数有关的不等式恒成立问题,应转化为最值问题求解.
题型四 函数的图象及应用
[典例4] 已知f(x)=若x1的取值范围是( )
A.(-∞,) B.(-∞,2)
C.(-∞,) D.(,)
【答案】 A
【解析】 f(x)=的图象如图所示.
设f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=a,则a∈(0,3).由对称性可得x1+x2=-4,且x1∈(-4,-3),x2∈(-1,0),其中+====.因为x2∈(-1,0),所以(x2+2)2-4∈(-3,0),故+=
∈(-∞,-).又-3=3-,所以+=3.所以+++∈(-∞,).故选A.
函数的图象是函数的重要表示方法,它具有明显的直观性,通过函数的图象能够掌握函数重要的性质,如单调性、奇偶性等.反之,利用函数的性质,有助于正确画出图象.
第二章 检测试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数y=的定义域为( )
A.(-1,+∞)
B.[-1,+∞)
C.(-1,0)∪(0,+∞)
D.[-1,0)∪(0,4)∪(4,+∞)
【答案】 D
【解析】 要使函数y=有意义,
则解得x≥-1,且x≠0,x≠4.
故选D.
2.已知幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm-6的图象不过原点,且关于y轴对称,则( )
A.m=4 B.m=-1
C.m=4或m=-1 D.-1【答案】 A
【解析】 由题意得m2-3m-3=1,解得m=4或 m=-1.当m=4时,f(x)=x-2=,图象不过原点,且关于y轴对称,满足题意;当m=-1时,f(x)=x-7=,其图象关于原点中心对称,不满足题意.故选A.
3.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增且是奇函数的是( )
A.y= B.y=x2
C.y=|x| D.y=x-
【答案】 D
【解析】 对于A,函数y=的定义域为[0,+∞),关于原点不对称,
故函数y=为非奇非偶函数,故A不符合题意.
对于B,函数y=f(x)=x2的定义域为R,
因为f(-x)=x2=f(x),
所以函数y=x2为偶函数,故B不符合题意.
对于C,函数y=f(x)=|x|的定义域为R,
因为f(-x)=|x|=f(x),
所以函数y=|x|为偶函数,故C不符合题意.
对于D,函数y=f(x)=x-的定义域为{x|x≠0},
因为f(-x)=-x+=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数.
又因为函数y=x,y=-都在区间(0,+∞)上单调递增,
所以函数y=x-在区间(0,+∞)上单调递增,故D符合题意.故选D.
4.函数f(x)=x3-的图象大致是( )
A B
C D
【答案】 B
【解析】 根据题意,函数f(x)=x3-的定义域为{x|x≠0},有f(-x)=-f(x),则 f(x)为奇函数,排除A,C.
当x>0时,函数y=x3和y=-都单调递增,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,排除D.故选B.
5.函数y=的单调递增区间为( )
A.[0,+∞) B.(0,2)
C.(-∞,0] D.(-2,0)
【答案】 B
【解析】 根据题意,4-x2>0,则-26.已知函数f(x)=若对任意x1≠x2,<0恒成立,则a的取值范围为( )
A.[-3,0) B.(0,3]
C.[-4,-3] D.(-4,-3]
【答案】 C
【解析】 若对任意x1≠x2,<0恒成立,
不妨假设x2>x1,由<0,得f(x2)所以解得-4≤a≤-3.
因此,实数a的取值范围是[-4,-3].故选C.
7.定义域为R的函数f(x)满足f(3-x)=f(3+x),且当x2>x1>3时,>0恒成立,设 a=
f(2x2-x+5),b=f(),c=f(x2+4),则( )
A.c>a>b B.c>b>a
C.a>c>b D.b>c>a
【答案】 C
【解析】 依题意,定义域为R的函数f(x)满足f(3-x)=f(3+x),所以f(x)的图象关于直线x=3对称.又当x2>x1>3时,>0恒成立,所以f(x)在区间(3,+∞)上单调递增.因为b=f()=
f(3-)=f(3+)=f(),2x2-x+5=2(x-)2+≥,x2+4≥4,2x2-x+5-(x2+4)=x2-x+1=(x-)2+>0,所以 2x2-x+5>x2+4>,所以a>c>b.故选C.
8.设奇函数f(x)的定义域为R,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有不等式>0,且f(-2)=-1,则不等式f(x-1)>的解集是( )
A.(-1,3)
B.(-∞,-1)∪(3,+∞)
C.(-∞,-1)∪(1,3)
D.(-1,1)∪(3,+∞)
【答案】 D
【解析】 令g(x)=xf(x),
因为f(x)为奇函数,即f(-x)=-f(x),
所以g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),即 g(x)为偶函数.
对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有不等式>0,
即>0,
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增.
因为f(-2)=-1,所以g(-2)=-2f(-2)=2,即g(2)=2,
则不等式f(x-1)>可转化为>,
即>0,
故或
则或
解得x>3或-1二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列函数中是偶函数,且在区间(0,1)上单调递增的是( )
A.y=x2-2 B.y=
C.y=|x|+ D.y=
【答案】 AD
【解析】 y=是奇函数,不符合题意;当x∈(0,1)时,y=|x|+=x+在(0,1)上单调递减,不符合题意;y=x2-2是偶函数,且在(0,1)上单调递增,符合题意;y==|x|是偶函数,且在(0,1)上单调递增,符合题意.故选A,D.
10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列命题正确的是( )
A.f(0)=0
B.若f(x)在[0,+∞)上有最小值-1,则f(x)在(-∞,0]上有最大值1
C.若f(x)在[1,+∞)上单调递增,则f(x)在(-∞,-1]上单调递减
D.若x>0,f(x)=x2-2x,则当x<0时,f(x)=-x2-2x
【答案】 ABD
【解析】 根据题意,函数f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-x)=-f(x),当x=0时,有f(0)=-f(0),变形可得f(0)=0,A正确;
若f(x)在[0,+∞)上有最小值-1,即x≥0时,f(x)≥-1,则有-x≤0,f(-x)=-f(x)≤1,即f(x)在(-∞,0]上有最大值1,B正确;
奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,若f(x)在[1,+∞)上单调递增,则f(x)在(-∞,-1]上单调递增,C错误;
设x<0,则-x>0,则f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,则f(x)=-f(-x)=-(x2+2x)=-x2-2x,D正确.故选A,B,D.
11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)>0,f(2)=4,则( )
A.f(5)=10
B.f(x)为奇函数
C.f(x)在R上单调递减
D.当x<-1时,f(x)-2>f(2x)
【答案】 ABD
【解析】 A选项,在f(x+y)=f(x)+f(y)中,令x=y=1,得f(2)=f(1)+f(1).又f(2)=4,故 f(1)=2.
在f(x+y)=f(x)+f(y)中,令x=y=2,得 f(4)=f(2)+f(2)=8,
令x=4,y=1,得f(4+1)=f(4)+f(1)=8+2=10,即f(5)=10,A正确.
B选项,在f(x+y)=f(x)+f(y)中,令x=y=0,
得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0.在f(x+y)=f(x)+f(y)中,令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)=0,故f(x)为奇函数,B正确.
C选项,在f(x+y)=f(x)+f(y)中,令x=x1,y=x2-x1,且x2>x1,
故f(x1+x2-x1)-f(x1)=f(x2-x1),
即 f(x2)-f(x1)=f(x2-x1).
又当x>0时,f(x)>0,故f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)>0,即f(x2)>f(x1),故f(x)在R上单调递增,C错误.
D选项,f(1)=2,f(x)-2=f(x)-f(1)=f(x-1).又x<-1,所以x-1>2x.又f(x)在R上单调递增,所以f(x)-2=f(x-1)>f(2x),D正确.故选A,B,D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若f(x)=为奇函数,则 a= .
【答案】 6
【解析】 因为函数f(x)的定义域为{x|x≠0},且f(x)为奇函数,
所以g(x)=(2x+3)(4x-a)=8x2+(12-2a)x-3a为偶函数,则-=0,
解得a=6.
13.已知偶函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(-∞,0)上单调递增,若f(-3)=0,则不等式x·f(x-1)≤0的解集是 .
【答案】 [-2,0)∪[4,+∞)
【解析】 因为f(x)为偶函数,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(-∞,0)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.
又f(-3)=0,
则f(3)=0,函数大致图形如图所示.
①当x<0时,有f(x-1)≥0,故-3≤x-1<0,
解得-2≤x<0;
②当x>0时,有f(x-1)≤0,故x-1≥3,解得 x≥4.
综上所述,原不等式的解集为[-2,0)∪[4,+∞).
14.若存在常数k和b,使得函数F(x)和G(x)对其公共定义域上的任意实数x都满足:F(x)≥
kx+b和G(x)≤kx+b恒成立,则称直线y=kx+b为F(x)和G(x)的“隔离直线”.已知函数f(x)=
2x2-5x,g(x)=(x<0),若函数f(x)和g(x)之间存在隔离直线y=-2x+b,则实数b的取值范围是 .
【答案】 [-2,0]
【解析】 f(x)和g(x)的公共定义域为(-∞,0).
由2x2-5x≥-2x+b,得b≤2x2-3x,x∈(-∞,0).令y=2x2-3x=2(x-)2-,则函数在(-∞,0)上单调递减,ymin>0,故b≤0.
由≤-2x+b,得+2x≤b,x∈(-∞,0).y=+2x=-(-2x)≤-2=-2,当且仅当=-2x,即x=-时,等号成立,故b≥-2.
综上所述,-2≤b≤0.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
求解下列问题:
(1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9,求f(x)的解析式;
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,求f(x)的解析式.
【解】 (1)设f(x)=kx+b(k≠0),
由3f(x+1)-f(x)=2x+9,
得3[k(x+1)+b]-(kx+b)=2x+9,
即2kx+3k+2b=2x+9,
所以解得
所以f(x)=x+3.
(2)依题意,f(x)是定义在R上的偶函数,
当x≥0时,f(x)=x2-2x,
当x<0时,-x>0,
所以f(x)=f(-x)=(-x)2-2×(-x)=x2+2x,所以f(x)=
16.(本小题满分15分)
已知函数f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,函数的解析式为f(x)=.
(1)求f(2),f(-2)的值.
(2)用定义证明f(x)在(0,+∞)上单调递减.
(1)【解】 因为x>0时,
函数的解析式为f(x)=,
所以f(2)=.
因为f(x)为R上的奇函数,
所以f(-2)=-f(2)=-.
(2)【证明】 设0则1<1+x1<1+x2,所以>.
因为x>0时,f(x)==2+,
则f(x1)-f(x2)=->0,
所以f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.
17.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=-x2+2x+2.
(1)求f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值;
(2)若g(x)=f(x)-mx在[2,4]上是单调函数,求m的取值范围.
【解】 (1)因为f(x)=-x2+2x+2=-(x-1)2+3,其图象是对称轴为直线x=1,且开口向下的抛物线,所以函数f(x)在[0,1]上单调递增,在[1,3]上单调递减.
当x∈[0,3]时,f(x)max=f(1)=3.
又因为f(0)=2,f(3)=-1,
则f(x)min=f(3)=-1,
所以f(x)在区间[0,3]上的最大值是3,最小值是-1.
(2)g(x)=f(x)-mx=-x2+(2-m)x+2,
函数g(x)的图象是对称轴为直线x=,且开口向下的抛物线.
又g(x)=f(x)-mx在[2,4]上是单调函数,
当函数g(x)在[2,4]上单调递增时,≥4,
解得m≤-6;
当函数g(x)在[2,4]上单调递减时,≤2,
解得m≥-2.
综上所述,实数m的取值范围是(-∞,-6]∪[-2,+∞).
18.(本小题满分17分)
已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)讨论函数f(x)的单调性及最小值.
【解】 (1)由题意得f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=x2+|-x-a|+1=x2+|x+a|+1.
①当a=0时,f(-x)=f(x),此时f(x)为偶函数;
②当a≠0时,f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),此时f(x)为非奇非偶函数.
(2)当x>a时,
f(x)=x2+x-a+1=(x+)2+-a;
当x≤a时,f(x)=x2-x+a+1=(x-)2++a.
①当a≤-时,函数f(x)在x∈(-∞,-)上单调递减,在x∈(-,+∞)上单调递增,所以f(x)min=
f(-)=-a.
②当-f(a)=a2+1.
③当a≥时,函数f(x)在x∈(-∞,)上单调递减,在x∈(,+∞)上单调递增,
所以f(x)min=f()=+a.
综上,f(x)min=
19.(本小题满分17分)
某企业投资生产一批新型机器,其中年固定成本为1 000万元,每生产x台,需另投入生产成本 R(x)万元.当年产量不足25台时,R(x)=3x2+kx;当年产量不小于25台时R(x)=202x+
-1 330,且当年产量为10台时需另投入生产成本1 100万元.若每台设备售价200万元,通过市场分析,该企业生产的这批机器能全部销售完.
(1)求k的值;
(2)求该企业投资生产这批新型机器的年利润W(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:台)的函数关系式(利润=销售额-成本);
(3)这批新型机器年产量为多少台时,该企业所获利润最大 并求出最大利润.
【解】 (1)当x=10时,R(x)=1 100代入R(x)=3x2+kx,得3×100+10k=1 100 k=80.
(2)由题意可得,
当0≤x<25时,
W(x)=200x-3x2-80x-1 000,
当x≥25时,
W(x)=200x-202x-+1 330-1 000,
所以年利润W(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:台)的函数关系式为
W(x)=
(3)由(2)得,当0≤x<25时,W(x)=-3x2+120x-1 000=-3(x-20)2+200,
当x=20时,W(x)max=200.
当x≥25时,
W(x)=-2x-+330=-2(x+10+)+350≤-2×2+350=190,
当且仅当x+10=,
即x=30时,等号成立,
W(x)max=190.
因为200>190,所以当x=20时,利润最大.
综上所述,当年产量为20台时,该企业所获利润最大,最大利润是200万元.
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