(共24张PPT)
章末复习提升
『网络建构』
『知识辨析』
判断对错.(正确的画“√”,错误的画“×”)
1.必然事件可能不发生,不可能事件一定不能发生.( )
2.若事件A与B互为对立事件,则事件A与B一定为互斥事件.( )
3.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件.( )
4.古典概型中每一个样本点出现的可能性相等.( )
5.古典概型中的任意两个样本点都是互斥的.( )
×
√
×
√
√
6.某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化.( )
7.“P(AB)=P(A)P(B)”是“事件A,B相互独立”的充要条件.( )
8.频率是客观存在的,与试验次数无关.( )
×
√
×
√
核心题型突破
题型一 互斥事件与对立事件的概率
[典例1] 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;
【解】 记事件A表示“该车主购买甲种保险”,事件B表示“该车主购买乙种保险但不购买甲种保险”,事件C表示“该车主至少购买甲、乙两种保险中的1
种”,事件D表示“该车主甲、乙两种保险都不购买”.
(1)由题意得P(A)=0.5,P(B)=0.3,又C=A∪B,
所以P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8.
(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.
【解】 (2)因为D与C是对立事件,所以P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2.
·规律方法·
求复杂事件的概率常用的两种方法
(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和.
题型二 古典概型
D
A
·规律方法·
题型三 频率与概率
[典例3] 对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下:
抽取台数 50 100 200 300 500 1 000
优等品数 40 92 192 285 478 954
(1)根据表中数据分别计算6次试验中抽到优等品的频率;
【解】 (1)抽到优等品的频率分别为0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.
(2)该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少
【解】 (2)由表中数据可估计优等品的概率为0.95.
·规律方法·
随机事件概率的理解及求法
(1)理解:概率可看作频率理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.当试验的次数越来越多时,频率越来越趋近于概率.当次数足够多时,所得频率就近似地看作随机事件的概率.
题型四 相互独立事件的概率
C
·规律方法·
利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路
(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和.
(2)将彼此互斥的简单事件中的简单事件,转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件.
(3)代入概率的积、加法公式求解.
题型五 概率统计的综合应用
[典例5] 为了更好地培养国家需要的人才,某校拟开展一项名为“书香致远,阅读润心”的读书活动.为了更好地服务全校学生,需要对全校学生的周平均阅读时间进行调查,现从该校学生中随机抽取200名学生,将他们的周平均阅读时间(单位:h)数据分成5组:[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12],根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值,并估计全校学生周平均阅读时间的平均数(同一组中数据用该组区间中点值作代表);
【解】 (1)依题意可得(0.02+0.05+0.10+a+0.18)×2=1,解得a=0.15.
又(3×0.02+5×0.18+7×0.15+9×0.10+11×0.05)×2=6.92,
即估计全校学生周平均阅读时间的平均数为6.92 h.
(2)用比例分配的分层随机抽样的方法从周平均阅读时间不小于8 h的学生中抽出6人,再随机选出2人作为该活动的形象大使,求这2人都来自[8,10)这组的概率.
·规律方法·
概率与统计的综合应用的关注点
概率与统计相结合,所涉及的统计知识是基础知识,所涉及的概率往往是古典概型,虽然是综合题,但是难度不大.在解决问题时,要对图表进行观察、分析、提炼,挖掘出图表所给予的有用信息,排除有关数据的干扰,进而抓住问题的实质,达到求解的目的.第七章 检测试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列事件是必然事件的是( )
A.从分别标有数字1,2,3,4,5的5张标签中任取1张,得到标有数字4的标签
B.函数y=logax(a>0且a≠1)为增函数
C.平行于同一条直线的两条直线平行
D.随机选取一个实数x,得2x<0
【答案】 C
【解析】 A是随机事件,5张标签都可能被取到;B是随机事件,当a>1时,函数y=logax为增函数,当0
0.故选C.
2.抛掷2枚质地均匀的硬币,设事件M=“第一枚硬币正面向上”,事件N=“第二枚硬币反面向上”,下列结论正确的是( )
A.P(M)=P(N) B.M与N是互斥事件
C.M与N相等 D.M与N是对立事件
【答案】 A
【解析】 因为P(M)=,P(N)=,所以P(M)=P(N),故A正确;事件M与N可能同时发生,所以M与N不是互斥事件,故B错误;事件M与N可能同时发生,也可能不同时发生,所以M与N不相等,故C错误;事件M与N可能同时发生,所以M与N不是对立事件,故D错误.故选A.
3.甲、乙、丙3人端午节来A市旅游的概率分别是,,,假定3人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人来A市旅游的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 由题意可得3人中没有人来A市旅游的概率为(1-)×(1-)×(1-)=××=,所以这段时间内至少有1人来A市旅游的概率为1-=.
故选D.
4.某次竞赛的多项选择题规定:在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对且没有选错的得2分.若某多选题正确答案是BCD,某同学在不会做该题的情况下打算随机选1个到3个选项作为答案,每种答案都等可能(例如,选A,AB,ABC是等可能的),则该同学该题得2分的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 随机地选1个或2个或3个选项,有A,B,C,D,AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,
ACD,BCD,共14种选法,得2分的选法为BC,BD,CD,B,C,D,共6种,故能得2分的概率为=.故选B.
5.若甲、乙、丙三人通过考试的概率分别为,,,则事件“三人中恰有两人通过考试”发生的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 设事件A为“甲通过考试”,事件B为“乙通过考试”,事件C为“丙通过考试”,则事件为“甲没通过考试”,事件为“乙没通过考试”,事件为“丙没通过考试”,由已知得P(A)=,P(B)=,P(C)=,P()=,P()=,P()=,所以事件“三人中恰有两人通过考试”可表示为AB+AC+BC,所以P(AB+AC+BC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=P(A)P(B)P()+
P(A)P()P(C)+P()P(B)P(C)=××+××+××=.故选D.
6.分别抛掷3枚质地均匀的硬币,设事件M=“至少有2枚正面朝上”,则与事件M相互独立的是( )
A.3枚硬币都正面朝上
B.有正面朝上,也有反面朝上
C.恰好有1枚反面朝上
D.至多有2枚正面朝上
【答案】 B
【解析】 样本空间为Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)},而事件M={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正)},所以P(M)==,设事件A为“3枚硬币都正面朝上”={(正,正,正)},所以P(A)=,P(AM)=,所以P(AM)≠P(M)P(A),事件A与M不相互独立,故选项A不正确;设事件B为“有正面朝上,也有反面朝上”={(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正)},所以P(B)==,P(BM)=,所以P(BM)=P(M)P(B),事件B与M相互独立,故选项B正确;设事件C为“恰好有1枚反面朝上”={(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正)},所以P(C)=,P(CM)=,所以P(CM)≠P(M)P(C),事件C与M不相互独立,故选项C不正确;设事件D为“至多有2枚正面朝上”={(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)},所以P(D)=,P(DM)=,所以P(DM)≠P(M)P(D),事件D与M不相互独立,故选项D不正确.故选B.
7.某大学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员,已知大一某新生对这三个社团都很感兴趣,决定三个考核都参加,假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为,m,n,且他是否通过每个考核相互独立,若他三个社团考核都通过的概率为,三个社团考核都没有通过的概率为,则m+n等于( )
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 因为他三个社团考核都通过的概率为,
所以mn=,即mn=,
又三个社团考核都没有通过的概率为,
所以(1-)(1-m)(1-n)=,
整理可得1-(m+n)+mn=,
所以m+n=1+mn-=.故选B.
8.某人有两把雨伞用于上下班,如果一天上午上班时他在家而且这天下雨,只要有雨伞可取,他将拿一把去办公室,如果一天下午下班时他在办公室而且这天下雨,只要有雨伞可取,他将拿一把回家;如果这天不下雨,那么他不带雨伞.假设每天上午上班和下午下班时下雨的概率均为,不下雨的概率均为,且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里,那么连续上班两天,他至少有一天淋雨的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 “至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”,连续上班两天,上午上班、下午下班的次数共有4次.
(1)有1次下雨但不淋雨,则第一天或第二天上班时下雨,概率为2××()3=;
(2)4次均不下雨,概率为()4=;
(3)有2次下雨但不淋雨,共3种情况:
①同一天上下班均下雨;②两天上班时下雨,下班时不下雨;③第一天上班时下雨,下班时不下雨,第二天上班时不下雨,下班时下雨,概率为2×()2×()2+×××+×××=;
(4)有3次下雨但不淋雨,则第一天或第二天下班时不下雨,概率为2×()3×=;
(5)4次均下雨,概率为()4=,
两天都不淋雨的概率为++++=,
所以至少有一天淋雨的概率为1-=.故选D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.设A,B是两个随机事件,则下列说法正确的是( )
A.A+B表示两个事件至少有一个发生
B.B+A表示两个事件至少有一个发生
C.表示两个事件均不发生
D. 表示两个事件均不发生
【答案】 ACD
【解析】 因为A,B是两个随机事件,所以A+B表示两个事件至少有一个发生,故选项A正确;B+A表示两个事件恰有一个发生,故选项B错误;表示两个事件均不发生,故选项C正确; 表示两个事件均不发生,故选项D正确.故选A,C,D.
10.样本空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8},若事件A={2,4,6,8},事件B={1,3,5,8},事件C={1,6,7,8},则下列结论正确的是( )
A.事件A,B相互独立
B.事件A,C相互独立
C.事件B,C相互独立
D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
【答案】 BCD
【解析】 因为事件A={2,4,6,8},
事件B={1,3,5,8},事件C={1,6,7,8}.
所以A∩B∩C={8},A∩B={8},
A∩C={6,8},B∩C={1,8}.
所以P(A)=P(B)=P(C)=,
P(AB)=,P(AC)=,
P(BC)=,P(ABC)=,
A选项,P(AB)≠P(A)P(B),
事件A,B不相互独立,A错误;
B选项,P(AC)=P(A)P(C),
事件A,C相互独立,B正确;
C选项,P(BC)=P(B)P(C),
事件B,C相互独立,C正确;
D选项,P(ABC)=P(A)P(B)P(C),D正确.故选B,C,D.
11.某区四所高中各自组建了排球队(分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”)进行单循环比赛(即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛),最后按各队的积分排列名次,积分规则为每队胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为,则在比赛结束时( )
A.甲队积分为9分的概率为
B.四支球队的积分总和可能为15分
C.甲队胜3场且乙队胜1场的概率为
D.甲队负一场且积分超过其余每支球队积分的概率为
【答案】 ABD
【解析】 对于选项A,若甲队积分为9分,则甲队胜乙队、丙队、丁队,所以甲队积分为9分的概率为××=,故A正确;
对于选项B,四支球队共6场比赛,例如甲队胜乙队、丙队、丁队,而乙队、丙队、丁队之间平,
则甲队得9分,乙队、丙队、丁队各得2分,
所以四支球队的积分总和可能为15分,故B正确;
对于选项C,每场比赛中两队胜、平、负的概率都为,
则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为()3×2××=,故C错误;
对于选项D,甲队负一场且积分超过其余每支球队积分,三队中选一队与甲队比赛,甲负,3×,例如是丙甲,
若甲与乙、丁的两场比赛一胜一平,则甲队积分为4分,
这时丙乙、丙丁两场比赛中丙只能负,否则丙的积分不小于4分,不合题意,在丙负的情况下,乙、丁已有3分,
那么它们之间的比赛无论什么情况,乙、丁中有一队积分不小于4分,不合题意;
若甲全胜(概率是()2)时,甲积分为6分,其余球队积分最高为5分,
这时丙乙、丙丁两场比赛中丙不能胜否则丙的积分不小于6分,只有全平或全负,
①若丙一平一负,概率2×()2,如平乙,负丁,则乙丁比赛时,丁不能胜,概率为;
②若丙两场均平,概率是()2,乙丁这场比赛无论结果如何均符合题意;
③若两场丙都负,概率是()2,乙丁这场比赛只能平,概率是,
综上概率为3××()2×[2×()2×+()2+()2×]=,故D正确.故选A,B,D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.分别从1,2,3,4和5,6,7,8两组数字中随机各选择一个,则它们互素的概率是 .
【答案】
【解析】 由列表或树状图可知,从1,2,3,4和5,6,7,8两组数字中随机各选择一个的试验有16个样本点,其中互素的有(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(2,5),(2,7),(3,5),(3,7),(3,8),(4,5),(4,7),共11个,所以它们互素的概率是.
13.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{0,1,2,3,…,9},若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为 .
【答案】
【解析】 试验发生的所有事件是从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字中任取两个,且可以重复,共有10×10=100(种)不同的结果,则|a-b|≤1的情况有(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),
(7,7),(8,8),(9,9),(0,1),(1,0),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5),(6,7),(7,6),(7,8),(8,7),(8,9),(9,8),共28种情况,所以他们“心有灵犀”的概率为P==.
14.设样本空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8},事件A={1,2,3,4},事件B={1,2,3,5},事件C={1,m,n,8},
P(ABC)=P(A)P(B)P(C),且满足A,B,C两两不独立,则m+n= .
【答案】 13
【解析】 由题意,P(A)=P(B)=P(C)=,所以P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=,所以1是A,B,C唯一共同的样本点,所以m,n不可以为2或3,又A,B,C两两不独立,即P(AB)≠,P(BC)≠,P(AC)≠,所以m,n不可以为4或5,所以m,n为6或7,即m+n=13.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
某市高二年级期末考试的数学试卷满分150分,现从整个高二年级的学生中随机抽取了100名学生的成绩,按照成绩为[90,100),[100,110),…,[140,150]分成了6组,制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于90分).
(1)求频率分布直方图中的x的值,并估计所抽取的100名学生成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)若利用分层随机抽样的方法从样本中成绩位于[120,140)的两组学生中抽取6人,再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会,试求[130,140)这组中至少有1人被抽到的概率.
【解】 (1)由频率分布直方图,得(0.005+0.03+0.03+x+0.01+0.005)×10=1,解得x=0.02.
所以估计所抽取的100名学生成绩的平均分为95×0.05+105×0.3+115×0.3+125×0.2+135×
0.1+145×0.05=116.5.
(2)由频率分布直方图得出成绩位于[120,130)和[130,140)内的人数的比值为=2,则抽取的6人中成绩位于[120,130)内的有4人,编号为1,2,3,4,位于[130,140)内的有2人,编号为a,b,从这6人中随机抽取2人的样本点有12,13,14,1a,1b,23,24,2a,2b,34,3a,3b,4a,4b,ab,共15个,其中[130,140)这组中至少有1人被抽到的样本点有1a,1b,2a,2b,3a,3b,4a,4b,ab,共9个,所以所求概率P==.
16.(本小题满分15分)
甲、乙两人进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得1分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的人获得最终胜利.已知甲在三个项目中获胜的概率分别为,p,q(p(1)求p,q的值;
(2)甲、乙两人谁获得最终胜利的可能性大 并说明理由.
【解】 (1)因为
且p解得
(2)甲得2分的概率P1=××(1-)+×(1-)×+(1-)××=,所以甲得2分或3分的概率P=+=,那么乙得2分或3分的概率为,所以甲获得最终胜利的可能性大.
17.(本小题满分15分)
某学校举行数学文化节活动,其中一项活动是数独比赛.甲、乙两名同学进入了最后决赛,进行冠军的争夺.决赛规则如下:进行两轮数独比赛,每人每轮比赛在规定时间内做对得1分,没做对得0分,两轮结束总得分高的为冠军,得分相同则进行加赛.根据以往成绩分析,已知甲每轮做对的概率为0.8,乙每轮做对的概率为0.75,且每轮比赛中甲、乙是否做对互不影响,各轮比赛甲、乙是否做对也互不影响.
(1)求两轮比赛结束乙得1分的概率;
(2)求不进行加赛甲就获得冠军的概率.
【解】 (1)设Ai=“甲第i轮做对”(i=1,2),设 Bi=“乙第i轮做对”(i=1,2),设Ci=“两轮比赛甲得i分”(i=0,1,2),设Di=“两轮比赛乙得i分”(i=0,1,2).P(D1)=P(B1∪B2)=P(B1)+P(B2)=
P(B1)P()+P()P(B2)=×+×=.所以两轮比赛结束乙得1分的概率为.
(2)设E=“不进行加赛甲就获得冠军”.P(D0)=P()=P()P()=×=,P(C1)=P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=P(A1)P()+P()P(A2)=×+×=,P(C2)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=×=,P(E)=P(C2D1∪C2D0∪C1D0)=P(C2D1)+P(C2D0)+P(C1D0)=P(C2)P(D1)+P(C2)P(D0)+P(C1)P(D0)=×+×+×=.所以不进行加赛甲就获得冠军的概率为.
18.(本小题满分17分)
某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试,规定每人最多投3次,每次投篮的结果相互独立.在A处每投进一球得3分,在B处每投进一球得2分,否则得0分.将学生得分逐次累加并用X表示,如果X的值高于3分就判定为通过测试,立即停止投篮,否则应继续投篮,直到投完三次为止.现有两种投篮方案:方案1,先在A处投一球,以后都在B处投;方案2,都在B处投篮.已知甲同学在A处投篮的命中率为,在B处投篮的命中率为.
(1)若甲同学选择方案1,求他测试结束后所得总分X的所有可能取值以及相应的概率;
(2)你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大 说明理由.
【解】 (1)设甲同学在A处投中为事件A,在B处第i次投中为事件Bi(i=1,2),由已知得P(A)=,P()=,P(Bi)=(i=1,2),P()=(i=1,2),可知X的所有可能取值为0,2,3,4,5,P(X=0)
=P( )=P()P()P()=××=,
P(X=2)=P(B1)+P( B2)=××+××=,P(X=3)=P(A)=××=,
P(X=4)=P(B1B2)=××=,P(X=5)=P(AB1)+P(AB2)=×+××=.
(2)甲同学选择方案1通过测试的概率为P1,
则P1=P(X=4)+P(X=5)=+=.
选择方案2通过测试的概率为P2,在B处第i次投中为事件Bi(i=1,2,3),由已知P(Bi)=(i=1,
2,3),P()=(i=1,2,3),P2=P(B1B2)+P(B1B3)+P(B2B3)=×+××+××=,因为P2>P1,所以甲同学选择方案2通过测试的可能性更大.
19.(本小题满分17分)
在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为p1(0(1)已知p1=,p2=.
①若采用单次传输方案,重复发送信号0两次,求至少收到一次0的概率;
②若采用单次传输方案,依次发送0,0,1,证明:事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立;
(2)若发送1,采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率,求p2的取值范围.
(1)①【解】 记事件A为“至少收到一次0”,
则P(A)=2××+×=.
②【证明】 记事件B为“第三次收到的信号为1”,
则P(B)=1-=.
记事件C为“三次收到的数字之和为2”,
则P(C)=××+××+××=.
因为P(BC)=××+××==P(B)P(C),所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立.
(2)【解】 记事件M为“采用三次传输方案时译码为0”,则P(M)=3(1-p2)+.
记事件N为“采用单次传输方案时译码为0”,
则P(N)=p2.
根据题意可得P(M)>P(N),
即3(1-p2)+>p2,
因为0所以3p2(1-p2)+>1,2-3p2+1<0,
解得故p2的取值范围为(,1).
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网络建构
知识辨析
判断对错.(正确的画“√”,错误的画“×”)
1.必然事件可能不发生,不可能事件一定不能发生.( × )
2.若事件A与B互为对立事件,则事件A与B一定为互斥事件.( √ )
3.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件.( × )
4.古典概型中每一个样本点出现的可能性相等.( √ )
5.古典概型中的任意两个样本点都是互斥的.( √ )
6.某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化.( × )
7.“P(AB)=P(A)P(B)”是“事件A,B相互独立”的充要条件.( √ )
8.频率是客观存在的,与试验次数无关.( × )
9.若事件A与B相互独立,则B与相互独立.( √ )
题型一 互斥事件与对立事件的概率
[典例1] 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;
(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.
【解】 记事件A表示“该车主购买甲种保险”,事件B表示“该车主购买乙种保险但不购买甲种保险”,事件C表示“该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”,事件D表示“该车主甲、乙两种保险都不购买”.
(1)由题意得P(A)=0.5,P(B)=0.3,又C=A∪B,
所以P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8.
(2)因为D与C是对立事件,所以P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2.
求复杂事件的概率常用的两种方法
(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和.
(2)先求其对立事件的概率,然后再应用公式P(A)=1-P()求解.
题型二 古典概型
[典例2] (1)从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数,若这三个数之积为偶数,则它们之和大于8的概率为( )
A. B. C. D.
(2)设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】 (1)D (2)A
【解析】 (1)从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数可得样本点包含(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),
(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10个,若这三个数之积为偶数,则有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共9个,它们之和大于8的有(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共5个,所以从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数,若这三个数之积为偶数,则它们之和大于8的概率为P=.故选D.
(2)从O,A,B,C,D这5点中任取3点有
(O,A,B),(O,A,C),(O,A,D),(O,B,C),(O,B,D),(O,C,D),(A,B,C),(A,B,D),(A,C,D),(B,C,D),共10种不同取法,
3点共线只有(O,A,C)与(O,B,D),共2种情况,
由古典概型的概率计算公式知,
取到的3点共线的概率为=.故选A.
古典概型的计算关键要分清样本点的总数n与事件A包含的样本点的个数m,再利用公式P(A)=求解.有时需要用列举法把样本点一一列举出来,在列举时必须按某一顺序做到不重不漏.
题型三 频率与概率
[典例3] 对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下:
抽取台数 50 100 200 300 500 1 000
优等品数 40 92 192 285 478 954
(1)根据表中数据分别计算6次试验中抽到优等品的频率;
(2)该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少
【解】 (1)抽到优等品的频率分别为0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.
(2)由表中数据可估计优等品的概率为0.95.
随机事件概率的理解及求法
(1)理解:概率可看作频率理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.当试验的次数越来越多时,频率越来越趋近于概率.当次数足够多时,所得频率就近似地看作随机事件的概率.
(2)求法:通过公式fn(A)==计算出频率,再由频率估计概率.
题型四 相互独立事件的概率
[典例4] 猜灯谜是中国元宵节特色活动之一.已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜,分别放入三个完全相同的小球,三人约定每人随机选一个球(不放回),猜出自己所选球内的灯谜者获胜.若他们每人必能猜对自己写的灯谜,并有的概率猜对其他人写的灯谜,则甲独自获胜的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 记事件A:“甲独自获胜”,
因为每人随机选一个球(不放回),用(x,y,z)表示甲、乙、丙选到谁写的灯谜,有(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,丙,甲),(乙,甲,丙),(丙,乙,甲),(丙,甲,乙),共有6种选法,又因为每人必能猜对自己写的灯谜,并有的概率猜对其他人写的灯谜,当甲选到自己写的灯谜,乙、丙选到对方写的灯谜时,甲独自获胜的概率为P1=×(1-)×(1-)=,
当甲选到乙写的灯谜,乙选到丙写的灯谜,丙选到甲写的灯谜时,甲独自获胜的概率为P2=××(1-)×(1-)=,当甲选到丙写的灯谜,乙选到甲写的灯谜,丙选到乙写的灯谜时,甲独自获胜的概率为P3=××(1-)×(1-)=,
所以P(A)=++=.故选C.
利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路
(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和.
(2)将彼此互斥的简单事件中的简单事件,转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件.
(3)代入概率的积、加法公式求解.
题型五 概率统计的综合应用
[典例5] 为了更好地培养国家需要的人才,某校拟开展一项名为“书香致远,阅读润心”的读书活动.为了更好地服务全校学生,需要对全校学生的周平均阅读时间进行调查,现从该校学生中随机抽取200名学生,将他们的周平均阅读时间(单位:h)数据分成5组:[2,4),[4,6),
[6,8),[8,10),[10,12],根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值,并估计全校学生周平均阅读时间的平均数(同一组中数据用该组区间中点值作代表);
(2)用比例分配的分层随机抽样的方法从周平均阅读时间不小于8 h的学生中抽出6人,再随机选出2人作为该活动的形象大使,求这2人都来自[8,10)这组的概率.
【解】 (1)依题意可得(0.02+0.05+0.10+a+0.18)×2=1,解得a=0.15.
又(3×0.02+5×0.18+7×0.15+9×0.10+11×0.05)×2=6.92,
即估计全校学生周平均阅读时间的平均数为6.92 h.
(2)由频率分布直方图可知[8,10)和[10,12]两组的频数的比为0.10∶0.05=2∶1,
所以用比例分配的分层随机抽样的方法抽出6人,这两组被抽出的人数分别为6×=4,
6×=2,
记[8,10)中的4人分别为a1,a2,a3,a4,[10,12]中的2人分别为b1,b2,
从这6人中随机选出2人,则样本空间
Ω={a1a2,a1a3,a1a4,a2a3,a2a4,a3a4,a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,a3b1,a3b2,a4b1,a4b2,b1b2}共15个样本点,
设事件A:“选出的2人都来自[8,10)”,
则A={a1a2,a1a3,a1a4,a2a3,a2a4,a3a4}共 6个样本点,所以P(A)==.
概率与统计的综合应用的关注点
概率与统计相结合,所涉及的统计知识是基础知识,所涉及的概率往往是古典概型,虽然是综合题,但是难度不大.在解决问题时,要对图表进行观察、分析、提炼,挖掘出图表所给予的有用信息,排除有关数据的干扰,进而抓住问题的实质,达到求解的目的.
第七章 检测试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列事件是必然事件的是( )
A.从分别标有数字1,2,3,4,5的5张标签中任取1张,得到标有数字4的标签
B.函数y=logax(a>0且a≠1)为增函数
C.平行于同一条直线的两条直线平行
D.随机选取一个实数x,得2x<0
【答案】 C
【解析】 A是随机事件,5张标签都可能被取到;B是随机事件,当a>1时,函数y=logax为增函数,当00.故选C.
2.抛掷2枚质地均匀的硬币,设事件M=“第一枚硬币正面向上”,事件N=“第二枚硬币反面向上”,下列结论正确的是( )
A.P(M)=P(N) B.M与N是互斥事件
C.M与N相等 D.M与N是对立事件
【答案】 A
【解析】 因为P(M)=,P(N)=,所以P(M)=P(N),故A正确;事件M与N可能同时发生,所以M与N不是互斥事件,故B错误;事件M与N可能同时发生,也可能不同时发生,所以M与N不相等,故C错误;事件M与N可能同时发生,所以M与N不是对立事件,故D错误.故选A.
3.甲、乙、丙3人端午节来A市旅游的概率分别是,,,假定3人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人来A市旅游的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 由题意可得3人中没有人来A市旅游的概率为(1-)×(1-)×(1-)=××=,所以这段时间内至少有1人来A市旅游的概率为1-=.
故选D.
4.某次竞赛的多项选择题规定:在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对且没有选错的得2分.若某多选题正确答案是BCD,某同学在不会做该题的情况下打算随机选1个到3个选项作为答案,每种答案都等可能(例如,选A,AB,ABC是等可能的),则该同学该题得2分的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 随机地选1个或2个或3个选项,有A,B,C,D,AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,
ACD,BCD,共14种选法,得2分的选法为BC,BD,CD,B,C,D,共6种,故能得2分的概率为=.故选B.
5.若甲、乙、丙三人通过考试的概率分别为,,,则事件“三人中恰有两人通过考试”发生的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 设事件A为“甲通过考试”,事件B为“乙通过考试”,事件C为“丙通过考试”,则事件为“甲没通过考试”,事件为“乙没通过考试”,事件为“丙没通过考试”,由已知得P(A)=,P(B)=,P(C)=,P()=,P()=,P()=,所以事件“三人中恰有两人通过考试”可表示为AB+AC+BC,所以P(AB+AC+BC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=P(A)P(B)P()+
P(A)P()P(C)+P()P(B)P(C)=××+××+××=.故选D.
6.分别抛掷3枚质地均匀的硬币,设事件M=“至少有2枚正面朝上”,则与事件M相互独立的是( )
A.3枚硬币都正面朝上
B.有正面朝上,也有反面朝上
C.恰好有1枚反面朝上
D.至多有2枚正面朝上
【答案】 B
【解析】 样本空间为Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)},而事件M={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正)},所以P(M)==,设事件A为“3枚硬币都正面朝上”={(正,正,正)},所以P(A)=,P(AM)=,所以P(AM)≠P(M)P(A),事件A与M不相互独立,故选项A不正确;设事件B为“有正面朝上,也有反面朝上”={(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正)},所以P(B)==,P(BM)=,所以P(BM)=P(M)P(B),事件B与M相互独立,故选项B正确;设事件C为“恰好有1枚反面朝上”={(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正)},所以P(C)=,P(CM)=,所以P(CM)≠P(M)P(C),事件C与M不相互独立,故选项C不正确;设事件D为“至多有2枚正面朝上”={(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)},所以P(D)=,P(DM)=,所以P(DM)≠P(M)P(D),事件D与M不相互独立,故选项D不正确.故选B.
7.某大学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员,已知大一某新生对这三个社团都很感兴趣,决定三个考核都参加,假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为,m,n,且他是否通过每个考核相互独立,若他三个社团考核都通过的概率为,三个社团考核都没有通过的概率为,则m+n等于( )
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 因为他三个社团考核都通过的概率为,
所以mn=,即mn=,
又三个社团考核都没有通过的概率为,
所以(1-)(1-m)(1-n)=,
整理可得1-(m+n)+mn=,
所以m+n=1+mn-=.故选B.
8.某人有两把雨伞用于上下班,如果一天上午上班时他在家而且这天下雨,只要有雨伞可取,他将拿一把去办公室,如果一天下午下班时他在办公室而且这天下雨,只要有雨伞可取,他将拿一把回家;如果这天不下雨,那么他不带雨伞.假设每天上午上班和下午下班时下雨的概率均为,不下雨的概率均为,且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里,那么连续上班两天,他至少有一天淋雨的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 “至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”,连续上班两天,上午上班、下午下班的次数共有4次.
(1)有1次下雨但不淋雨,则第一天或第二天上班时下雨,概率为2××()3=;
(2)4次均不下雨,概率为()4=;
(3)有2次下雨但不淋雨,共3种情况:
①同一天上下班均下雨;②两天上班时下雨,下班时不下雨;③第一天上班时下雨,下班时不下雨,第二天上班时不下雨,下班时下雨,概率为2×()2×()2+×××+×××=;
(4)有3次下雨但不淋雨,则第一天或第二天下班时不下雨,概率为2×()3×=;
(5)4次均下雨,概率为()4=,
两天都不淋雨的概率为++++=,
所以至少有一天淋雨的概率为1-=.故选D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.设A,B是两个随机事件,则下列说法正确的是( )
A.A+B表示两个事件至少有一个发生
B.B+A表示两个事件至少有一个发生
C.表示两个事件均不发生
D. 表示两个事件均不发生
【答案】 ACD
【解析】 因为A,B是两个随机事件,所以A+B表示两个事件至少有一个发生,故选项A正确;B+A表示两个事件恰有一个发生,故选项B错误;表示两个事件均不发生,故选项C正确; 表示两个事件均不发生,故选项D正确.故选A,C,D.
10.样本空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8},若事件A={2,4,6,8},事件B={1,3,5,8},事件C={1,6,7,8},则下列结论正确的是( )
A.事件A,B相互独立
B.事件A,C相互独立
C.事件B,C相互独立
D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
【答案】 BCD
【解析】 因为事件A={2,4,6,8},
事件B={1,3,5,8},事件C={1,6,7,8}.
所以A∩B∩C={8},A∩B={8},
A∩C={6,8},B∩C={1,8}.
所以P(A)=P(B)=P(C)=,
P(AB)=,P(AC)=,
P(BC)=,P(ABC)=,
A选项,P(AB)≠P(A)P(B),
事件A,B不相互独立,A错误;
B选项,P(AC)=P(A)P(C),
事件A,C相互独立,B正确;
C选项,P(BC)=P(B)P(C),
事件B,C相互独立,C正确;
D选项,P(ABC)=P(A)P(B)P(C),D正确.故选B,C,D.
11.某区四所高中各自组建了排球队(分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”)进行单循环比赛(即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛),最后按各队的积分排列名次,积分规则为每队胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为,则在比赛结束时( )
A.甲队积分为9分的概率为
B.四支球队的积分总和可能为15分
C.甲队胜3场且乙队胜1场的概率为
D.甲队负一场且积分超过其余每支球队积分的概率为
【答案】 ABD
【解析】 对于选项A,若甲队积分为9分,则甲队胜乙队、丙队、丁队,所以甲队积分为9分的概率为××=,故A正确;
对于选项B,四支球队共6场比赛,例如甲队胜乙队、丙队、丁队,而乙队、丙队、丁队之间平,
则甲队得9分,乙队、丙队、丁队各得2分,
所以四支球队的积分总和可能为15分,故B正确;
对于选项C,每场比赛中两队胜、平、负的概率都为,
则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为()3×2××=,故C错误;
对于选项D,甲队负一场且积分超过其余每支球队积分,三队中选一队与甲队比赛,甲负,3×,例如是丙甲,
若甲与乙、丁的两场比赛一胜一平,则甲队积分为4分,
这时丙乙、丙丁两场比赛中丙只能负,否则丙的积分不小于4分,不合题意,在丙负的情况下,乙、丁已有3分,
那么它们之间的比赛无论什么情况,乙、丁中有一队积分不小于4分,不合题意;
若甲全胜(概率是()2)时,甲积分为6分,其余球队积分最高为5分,
这时丙乙、丙丁两场比赛中丙不能胜否则丙的积分不小于6分,只有全平或全负,
①若丙一平一负,概率2×()2,如平乙,负丁,则乙丁比赛时,丁不能胜,概率为;
②若丙两场均平,概率是()2,乙丁这场比赛无论结果如何均符合题意;
③若两场丙都负,概率是()2,乙丁这场比赛只能平,概率是,
综上概率为3××()2×[2×()2×+()2+()2×]=,故D正确.故选A,B,D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.分别从1,2,3,4和5,6,7,8两组数字中随机各选择一个,则它们互素的概率是 .
【答案】
【解析】 由列表或树状图可知,从1,2,3,4和5,6,7,8两组数字中随机各选择一个的试验有16个样本点,其中互素的有(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(2,5),(2,7),(3,5),(3,7),(3,8),(4,5),(4,7),共11个,所以它们互素的概率是.
13.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{0,1,2,3,…,9},若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为 .
【答案】
【解析】 试验发生的所有事件是从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字中任取两个,且可以重复,共有10×10=100(种)不同的结果,则|a-b|≤1的情况有(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),
(7,7),(8,8),(9,9),(0,1),(1,0),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5),(6,7),(7,6),(7,8),(8,7),(8,9),(9,8),共28种情况,所以他们“心有灵犀”的概率为P==.
14.设样本空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8},事件A={1,2,3,4},事件B={1,2,3,5},事件C={1,m,n,8},
P(ABC)=P(A)P(B)P(C),且满足A,B,C两两不独立,则m+n= .
【答案】 13
【解析】 由题意,P(A)=P(B)=P(C)=,所以P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=,所以1是A,B,C唯一共同的样本点,所以m,n不可以为2或3,又A,B,C两两不独立,即P(AB)≠,P(BC)≠,P(AC)≠,所以m,n不可以为4或5,所以m,n为6或7,即m+n=13.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
某市高二年级期末考试的数学试卷满分150分,现从整个高二年级的学生中随机抽取了100名学生的成绩,按照成绩为[90,100),[100,110),…,[140,150]分成了6组,制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于90分).
(1)求频率分布直方图中的x的值,并估计所抽取的100名学生成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)若利用分层随机抽样的方法从样本中成绩位于[120,140)的两组学生中抽取6人,再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会,试求[130,140)这组中至少有1人被抽到的概率.
【解】 (1)由频率分布直方图,得(0.005+0.03+0.03+x+0.01+0.005)×10=1,解得x=0.02.
所以估计所抽取的100名学生成绩的平均分为95×0.05+105×0.3+115×0.3+125×0.2+135×
0.1+145×0.05=116.5.
(2)由频率分布直方图得出成绩位于[120,130)和[130,140)内的人数的比值为=2,则抽取的6人中成绩位于[120,130)内的有4人,编号为1,2,3,4,位于[130,140)内的有2人,编号为a,b,从这6人中随机抽取2人的样本点有12,13,14,1a,1b,23,24,2a,2b,34,3a,3b,4a,4b,ab,共15个,其中[130,140)这组中至少有1人被抽到的样本点有1a,1b,2a,2b,3a,3b,4a,4b,ab,共9个,所以所求概率P==.
16.(本小题满分15分)
甲、乙两人进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得1分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的人获得最终胜利.已知甲在三个项目中获胜的概率分别为,p,q(p(1)求p,q的值;
(2)甲、乙两人谁获得最终胜利的可能性大 并说明理由.
【解】 (1)因为
且p解得
(2)甲得2分的概率P1=××(1-)+×(1-)×+(1-)××=,所以甲得2分或3分的概率P=+=,那么乙得2分或3分的概率为,所以甲获得最终胜利的可能性大.
17.(本小题满分15分)
某学校举行数学文化节活动,其中一项活动是数独比赛.甲、乙两名同学进入了最后决赛,进行冠军的争夺.决赛规则如下:进行两轮数独比赛,每人每轮比赛在规定时间内做对得1分,没做对得0分,两轮结束总得分高的为冠军,得分相同则进行加赛.根据以往成绩分析,已知甲每轮做对的概率为0.8,乙每轮做对的概率为0.75,且每轮比赛中甲、乙是否做对互不影响,各轮比赛甲、乙是否做对也互不影响.
(1)求两轮比赛结束乙得1分的概率;
(2)求不进行加赛甲就获得冠军的概率.
【解】 (1)设Ai=“甲第i轮做对”(i=1,2),设 Bi=“乙第i轮做对”(i=1,2),设Ci=“两轮比赛甲得i分”(i=0,1,2),设Di=“两轮比赛乙得i分”(i=0,1,2).P(D1)=P(B1∪B2)=P(B1)+P(B2)=
P(B1)P()+P()P(B2)=×+×=.所以两轮比赛结束乙得1分的概率为.
(2)设E=“不进行加赛甲就获得冠军”.P(D0)=P()=P()P()=×=,P(C1)=P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=P(A1)P()+P()P(A2)=×+×=,P(C2)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=×=,P(E)=P(C2D1∪C2D0∪C1D0)=P(C2D1)+P(C2D0)+P(C1D0)=P(C2)P(D1)+P(C2)P(D0)+P(C1)P(D0)=×+×+×=.所以不进行加赛甲就获得冠军的概率为.
18.(本小题满分17分)
某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试,规定每人最多投3次,每次投篮的结果相互独立.在A处每投进一球得3分,在B处每投进一球得2分,否则得0分.将学生得分逐次累加并用X表示,如果X的值高于3分就判定为通过测试,立即停止投篮,否则应继续投篮,直到投完三次为止.现有两种投篮方案:方案1,先在A处投一球,以后都在B处投;方案2,都在B处投篮.已知甲同学在A处投篮的命中率为,在B处投篮的命中率为.
(1)若甲同学选择方案1,求他测试结束后所得总分X的所有可能取值以及相应的概率;
(2)你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大 说明理由.
【解】 (1)设甲同学在A处投中为事件A,在B处第i次投中为事件Bi(i=1,2),由已知得P(A)=,P()=,P(Bi)=(i=1,2),P()=(i=1,2),可知X的所有可能取值为0,2,3,4,5,P(X=0)
=P( )=P()P()P()=××=,
P(X=2)=P(B1)+P( B2)=××+××=,P(X=3)=P(A)=××=,
P(X=4)=P(B1B2)=××=,P(X=5)=P(AB1)+P(AB2)=×+××=.
(2)甲同学选择方案1通过测试的概率为P1,
则P1=P(X=4)+P(X=5)=+=.
选择方案2通过测试的概率为P2,在B处第i次投中为事件Bi(i=1,2,3),由已知P(Bi)=(i=1,
2,3),P()=(i=1,2,3),P2=P(B1B2)+P(B1B3)+P(B2B3)=×+××+××=,因为P2>P1,所以甲同学选择方案2通过测试的可能性更大.
19.(本小题满分17分)
在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为p1(0(1)已知p1=,p2=.
①若采用单次传输方案,重复发送信号0两次,求至少收到一次0的概率;
②若采用单次传输方案,依次发送0,0,1,证明:事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立;
(2)若发送1,采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率,求p2的取值范围.
(1)①【解】 记事件A为“至少收到一次0”,
则P(A)=2××+×=.
②【证明】 记事件B为“第三次收到的信号为1”,
则P(B)=1-=.
记事件C为“三次收到的数字之和为2”,
则P(C)=××+××+××=.
因为P(BC)=××+××==P(B)P(C),所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立.
(2)【解】 记事件M为“采用三次传输方案时译码为0”,则P(M)=3(1-p2)+.
记事件N为“采用单次传输方案时译码为0”,
则P(N)=p2.
根据题意可得P(M)>P(N),
即3(1-p2)+>p2,
因为0所以3p2(1-p2)+>1,2-3p2+1<0,
解得故p2的取值范围为(,1).
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