第三章 检测试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若b-6a=1,则等于( )
A.1 B. C. D.
【答案】 C
【解析】 =====.故选C.
2.若3<()x<27,则实数x的取值范围为( )
A.(-1,3) B.(-∞,-1)∪(3,+∞)
C.(-3,-1) D.(1,3)
【答案】 C
【解析】 因为3<3-x<33,所以1<-x<3.
所以-3
3.函数y=+的定义域为( )
A.[0,1) B.(-∞,1)
C.(0,1] D.(1,2)
【答案】 A
【解析】 y=+的定义域满足解得0≤x<1.故选A.
4.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=2x+x+m,则f(-3)等于( )
A.-10 B.-4 C.4 D.10
【答案】 A
【解析】 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=20+0+m=0,解得m=-1.所以f(-3)=-f(3)=-(23+3-1)=-10.故选A.
5.已知a=()-0.5,b=20.6,c=1.,则( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.a>c>b
【答案】 B
【解析】 因为a=()-0.5=20.5=,b=20.6,c=1.,且幂函数y=是定义域[0,+∞)上的增函数,所以>1.,即a>c.又指数函数y=2x是定义域R上的增函数,所以20.6>20.5,即b>a.所以b>a>c.
故选B.
6.设函数f(x)=a-x-2(a>0,且a≠1)的图象经过第二、第三、第四象限,则不等式f(1-m)A.(-2,1) B.(0,1)
C.(-2,1] D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
【答案】 A
【解析】 因为函数f(x)=a-x-2=()x-2的图象过第二、第三、第四象限,所以0<<1,所以a>1.所以f(x)是定义域R上的减函数.所以不等式f(1-m)m2-1,即m2+m-2<0,解得-27.已知奇函数f(x)=ax+b·a-x(a>0,且a≠1)在[-1,1]上的最大值为,则a等于( )
A.或3 B.或2 C.3 D.2
【答案】 A
【解析】 由奇函数的性质可知,f(0)=0,所以1+b=0,所以b=-1,经检验,b=-1符合题意,所以f(x)=ax-a-x.
当a>1时,f(x)=ax-a-x在[-1,1]上单调递增,
所以f(x)max=f(1)=a-a-1=,解得a=3或a=-(舍去);当08.已知函数f(x)=在R上单调递减,则实数a的取值范围为( )
A.(0,) B.(-,+∞)
C.(-,0) D.[0,)
【答案】 D
【解析】 因为函数f(x)=在R上单调递减,所以
解得0≤a<.所以实数a的取值范围是[0,).故选D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列选项中正确的有( )
A.=a
B.若a∈R,则(a2-a+1)0=1
C.=+y
D. =
【答案】 BD
【解析】 对于A,当n为偶数时,=|a|,故=a不一定成立,故A错误;对于B,因为a2-a+1=(a-)2+≠0,所以(a2-a+1)0=1,故B正确;对于C,显然不成立,如当x=y=1时,左边为,右边为2,故C错误;对于D,==,故D正确.故选B,D.
10.已知a>0,则函数f(x)=ax+2a-2的图象可能是( )
A B C D
【答案】 BCD
【解析】 对于A,结合选项可知,
此时a不存在,A不符合题意;对于B,结合选项可知,解得a>1,B有可能;对于C,结合选项可知,f(x)=ax+2a-2为大于零的常数,故a=1,C有可能;对于D,结合选项可知,解得a=,D有可能.故选B,C,D.
11.下列说法中,正确的是( )
A.任取x∈R,都有3x>2x
B.y=()-x是增函数
C.y=2|x|的最小值为1
D.在同一坐标系中,y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称
【答案】 CD
【解析】 对于A,取x=0,有30=20,故A错误;
对于B,y=()-x=()x是减函数,故B错误;
对于C,由于|x|≥0,且y=2t在[0,+∞)上单调递增,所以y=2|x|的最小值为y=2|0|=1,故C正确;
对于D,由指数函数性质可知y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称,故D正确.故选C,D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知函数f(x)=2x+m+n的图象经过定点(-2,2),则f(1)= .
【答案】 9
【解析】 因为函数f(x)=2x+m+n的图象经过定点(-2,2),则解得可知f(x)=2x+2+1,所以f(1)=23+1=9.
13.已知不等式<()3x-3与不等式x2+ax+b<0解集相同,则a+b= .
【答案】 -5
【解析】 不等式<()3x-3可化为<23-3x,因为y=2x在R上单调递增,所以x2-2x-3<3-3x,整理得x2+x-6<0.
由题意知两不等式的解集相同,则a=1,b=-6,所以a+b=-5.
14.已知函数f(x)=,则f(x)的单调递减区间为 .
【答案】 (1,+∞)
【解析】 f(x)=可由y=3t,
t=-x2+2x复合而成,
由于函数y=3t在定义域内单调递增,
而函数t=-x2+2x在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以f(x)=的单调递减区间为(1,+∞).
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
计算下列各式的值:
(1)+()+[(-2)6-×;
(2)(5)·(-x-1)·(-),其中x,y>0.
【解】 (1)原式=π-3+()+-×=π-3++8-16=π-.
(2)原式=5××·=.
16.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1).
(1)若函数f(x)的图象过(0,2)和(2,10)两点,求f(x)在[0,1]上的值域;
(2)若函数f(x)在区间[2,3]上的最大值比最小值大,求a的值.
【解】 (1)由题意,f(0)=a0+b=1+b=2,
f(2)=a2+b=10,
又a>0,解得a=3,b=1,所以f(x)=3x+1.
因为f(x)在[0,1]上单调递增,
所以3x+1∈[2,4].
所以f(x)在[0,1]上的值域为[2,4].
(2)当0所以f(x)max=f(2)=a2+b,f(x)min=f(3)=a3+b,
因此(a2+b)-(a3+b)=,解得a=或a=0(舍去);
当a>1时,f(x)在区间[2,3]上单调递增,
所以f(x)max=f(3)=a3+b,f(x)min=f(2)=a2+b,
因此(a3+b)-(a2+b)=,解得a=或a=0(舍去).
所以a的值为或.
17.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=a·3x+是定义域为R的偶函数.
(1)求a的值;
(2)若g(x)=9x+9-x+mf(x)+m2-1,求函数g(x)的最小值.
【解】 (1)f(x)=a·3x+=a·3x+3·3-x,
则f(-x)=a·3-x+3·3x.因为f(x)是定义域为R的偶函数,所以a·3-x+3·3x=a·3x+3·3-x,即(3-a)(3x-3-x)=0对任意x∈R恒成立,则a=3.
(2)由(1)知,f(x)=3(3x+3-x),则g(x)=32x+3-2x+3m(3x+3-x)+m2-1=(3x+3-x)2+3m(3x+3-x)+m2-3,令t=3x+3-x,可得 t≥2=2,当且仅当x=0时,等号成立,则g(x)化为h(t)=t2+3mt+m2-3,t∈[2,+∞).
①当-≤2,即m≥-时,h(t)=t2+3mt+m2-3在[2,+∞)上单调递增,则h(t)min=h(2)=m2+6m+1,即g(x)min=m2+6m+1;
②当->2,即m<-时,h(t)=t2+3mt+m2-3在[2,-)上单调递减,在(-,+∞)上单调递增,则h(t)min=h(-)=(-)2+3m·(-)+m2-3=-m2-3,即g(x)min=-m2-3.
综上所述,g(x)min=
18.(本小题满分17分)
已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点(4,4).
(1)求a的值;
(2)比较f(-2)与f(m2-2m)(m∈R)的大小;
(3)求函数g(x)=a|x-1|(-3≤x≤3)的值域.
【解】 (1)因为f(x)=ax的图象经过点(4,4),所以a4=4.又a>0,且a≠1,所以a=.
(2)因为>1,所以f(x)=()x在R上单调递增.又因为m2-2m-(-2)=(m-1)2+1>0,所以m2-2m>-2,所以f(-2)(3)当-3≤x≤3时,-4≤x-1≤2,则0≤|x-1|≤4,所以()0≤()|x-1|≤()4,即1≤()|x-1|≤4,所以g(x)的值域为[1,4].
19.(本小题满分17分)
已知函数f(x)=为奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)判断f(x)在R上的单调性并说明理由;
(3)解关于t的不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)<0.
【解】 (1)由f(x)为定义域R上的奇函数,得 x∈R,都有f(-x)=-f(x),且f(0)=0.
令x=0,可得f(0)===0,解得a=1,所以f(x)=,此时满足f(-x)==-=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,所以a=1.
(2)f(x)在R上单调递增,理由如下:
f(x)==1-,令u=3x+1,则u∈(1,+∞),函数u=3x+1在x∈R上单调递增,函数y=1-在u∈(1,+∞)上单调递增,由复合函数的单调性可知f(x)=1-在R上单调递增.
(3)因为f(x)为奇函数,所以f(t2-2t)<-f(2t2-1)=f(1-2t2).又f(x)在R上单调递增,所以t2-2t<1-2t2,解得-21世纪教育网(www.21cnjy.com)章末复习提升
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知识辨析
判断对错.(正确的画“√”,错误的画“×”)
1.a2·=a.( × )
2.指数函数的图象一定在x轴上方.( √ )
3.函数y=2x-1是指数函数.( × )
4.因为a0=1(a>0,且a≠1),所以函数y=ax恒过点(0,1).( √ )
5.函数y=ax(a>0,且a≠1)的最小值为0.( × )
6.函数y=2x与y=()x的图象关于y轴对称.( √ )
7.0的任何分数指数幂都等于0.( × )
8.与一定相等.( × )
题型一 有理数指数幂的运算
[典例1] 化简:(1)(×(÷;
(2)()4()4(a>0).
【解】 (1)原式=(×(1÷1=2-1×103×1=2-1×1=.
(2)原式={[(a9}4·{[(a9}4
=a2·a2
=a4(a>0).
指数式的运算首先要注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算,其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.
题型二 指数函数图象
[典例2] 一元二次函数y=ax2+bx与指数函数y=()x的图象只可能为( )
A B
C D
【答案】 C
【解析】 根据指数函数y=()x可知a,b同号且不相等,则一元二次函数y=ax2+bx的图象的对称轴方程x=-<0,故可排除B,D.又因为一元二次函数y=ax2+bx的图象过坐标原点,所以C正确.故选C.
求解与指数函数的图象有关的问题,首先应明确指数函数的单调性与底数的大小有关以及指数函数一定过定点的性质.而涉及指数型复合函数的图象,还要综合利用函数图象的平移、对称变换等知识.
题型三 指数函数性质的综合应用
[典例3] 已知函数f(x)=,g(x)=.
(1)判断函数f(x)的奇偶性及其单调性;
(2)若对任意的x1∈[-2,2],存在x2∈(0,),使得+-mf(x1)>g(x2)成立,求实数m的取值范围.
【解】 (1)函数f(x)=的定义域为R,关于原点对称.因为f(x)==2x+2-x,f(-x)=2-x+2x=
f(x),所以f(x)为偶函数.
设t=2x,则t=2x在R上单调递增,且t=2x>0.
设y=t+(t>0),由对勾函数的单调性知,y=t+在t∈(0,1)上单调递减,在t∈(1,+∞)上单调
递增.
当t=2x∈(0,1)时,x∈(-∞,0),当t=2x∈(1,+∞)时,x∈(0,+∞),故根据复合函数的单调性可知,
f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
(2)g(x)==x+,当x2∈(0,)时,g(x2)=x2+≥2=2,当且仅当x2=,即x2=1时,等号
成立,
故由题意得,对任意的x1∈[-2,2],+-mf(x1)>2恒成立,得++2-mf(x1)-4>0,即(+)2-mf(x1)-4>0,即[f(x1)]2-mf(x1)-4>0.
又f(x1)>0,则m由(1)可知f(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞),又f(0)=2,f(2)=f(-2)=,所以当x1∈[-2,2]时, f(x1)∈[2,].
设h(x)=x-(2≤x≤),
则h(x)单调递增,
所以h(x)min=h(2)=0,故m<0,
所以实数m的取值范围为(-∞,0).
求解指数(型)函数与函数的奇偶性、单调性有关的综合问题,要充分利用函数的奇偶性、单调性的定义以及指数幂的运算性质,结合指数函数的性质求解.
第三章 检测试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若b-6a=1,则等于( )
A.1 B. C. D.
【答案】 C
【解析】 =====.故选C.
2.若3<()x<27,则实数x的取值范围为( )
A.(-1,3) B.(-∞,-1)∪(3,+∞)
C.(-3,-1) D.(1,3)
【答案】 C
【解析】 因为3<3-x<33,所以1<-x<3.
所以-33.函数y=+的定义域为( )
A.[0,1) B.(-∞,1)
C.(0,1] D.(1,2)
【答案】 A
【解析】 y=+的定义域满足解得0≤x<1.故选A.
4.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=2x+x+m,则f(-3)等于( )
A.-10 B.-4 C.4 D.10
【答案】 A
【解析】 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=20+0+m=0,解得m=-1.所以f(-3)=-f(3)=-(23+3-1)=-10.故选A.
5.已知a=()-0.5,b=20.6,c=1.,则( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.a>c>b
【答案】 B
【解析】 因为a=()-0.5=20.5=,b=20.6,c=1.,且幂函数y=是定义域[0,+∞)上的增函数,所以>1.,即a>c.又指数函数y=2x是定义域R上的增函数,所以20.6>20.5,即b>a.所以b>a>c.
故选B.
6.设函数f(x)=a-x-2(a>0,且a≠1)的图象经过第二、第三、第四象限,则不等式f(1-m)A.(-2,1) B.(0,1)
C.(-2,1] D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
【答案】 A
【解析】 因为函数f(x)=a-x-2=()x-2的图象过第二、第三、第四象限,所以0<<1,所以a>1.所以f(x)是定义域R上的减函数.所以不等式f(1-m)m2-1,即m2+m-2<0,解得-27.已知奇函数f(x)=ax+b·a-x(a>0,且a≠1)在[-1,1]上的最大值为,则a等于( )
A.或3 B.或2 C.3 D.2
【答案】 A
【解析】 由奇函数的性质可知,f(0)=0,所以1+b=0,所以b=-1,经检验,b=-1符合题意,所以f(x)=ax-a-x.
当a>1时,f(x)=ax-a-x在[-1,1]上单调递增,
所以f(x)max=f(1)=a-a-1=,解得a=3或a=-(舍去);当08.已知函数f(x)=在R上单调递减,则实数a的取值范围为( )
A.(0,) B.(-,+∞)
C.(-,0) D.[0,)
【答案】 D
【解析】 因为函数f(x)=在R上单调递减,所以
解得0≤a<.所以实数a的取值范围是[0,).故选D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列选项中正确的有( )
A.=a
B.若a∈R,则(a2-a+1)0=1
C.=+y
D. =
【答案】 BD
【解析】 对于A,当n为偶数时,=|a|,故=a不一定成立,故A错误;对于B,因为a2-a+1=(a-)2+≠0,所以(a2-a+1)0=1,故B正确;对于C,显然不成立,如当x=y=1时,左边为,右边为2,故C错误;对于D,==,故D正确.故选B,D.
10.已知a>0,则函数f(x)=ax+2a-2的图象可能是( )
A B C D
【答案】 BCD
【解析】 对于A,结合选项可知,
此时a不存在,A不符合题意;对于B,结合选项可知,解得a>1,B有可能;对于C,结合选项可知,f(x)=ax+2a-2为大于零的常数,故a=1,C有可能;对于D,结合选项可知,解得a=,D有可能.故选B,C,D.
11.下列说法中,正确的是( )
A.任取x∈R,都有3x>2x
B.y=()-x是增函数
C.y=2|x|的最小值为1
D.在同一坐标系中,y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称
【答案】 CD
【解析】 对于A,取x=0,有30=20,故A错误;
对于B,y=()-x=()x是减函数,故B错误;
对于C,由于|x|≥0,且y=2t在[0,+∞)上单调递增,所以y=2|x|的最小值为y=2|0|=1,故C正确;
对于D,由指数函数性质可知y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称,故D正确.故选C,D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知函数f(x)=2x+m+n的图象经过定点(-2,2),则f(1)= .
【答案】 9
【解析】 因为函数f(x)=2x+m+n的图象经过定点(-2,2),则解得可知f(x)=2x+2+1,所以f(1)=23+1=9.
13.已知不等式<()3x-3与不等式x2+ax+b<0解集相同,则a+b= .
【答案】 -5
【解析】 不等式<()3x-3可化为<23-3x,因为y=2x在R上单调递增,所以x2-2x-3<3-3x,整理得x2+x-6<0.
由题意知两不等式的解集相同,则a=1,b=-6,所以a+b=-5.
14.已知函数f(x)=,则f(x)的单调递减区间为 .
【答案】 (1,+∞)
【解析】 f(x)=可由y=3t,
t=-x2+2x复合而成,
由于函数y=3t在定义域内单调递增,
而函数t=-x2+2x在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以f(x)=的单调递减区间为(1,+∞).
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
计算下列各式的值:
(1)+()+[(-2)6-×;
(2)(5)·(-x-1)·(-),其中x,y>0.
【解】 (1)原式=π-3+()+-×=π-3++8-16=π-.
(2)原式=5××·=.
16.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1).
(1)若函数f(x)的图象过(0,2)和(2,10)两点,求f(x)在[0,1]上的值域;
(2)若函数f(x)在区间[2,3]上的最大值比最小值大,求a的值.
【解】 (1)由题意,f(0)=a0+b=1+b=2,
f(2)=a2+b=10,
又a>0,解得a=3,b=1,所以f(x)=3x+1.
因为f(x)在[0,1]上单调递增,
所以3x+1∈[2,4].
所以f(x)在[0,1]上的值域为[2,4].
(2)当0所以f(x)max=f(2)=a2+b,f(x)min=f(3)=a3+b,
因此(a2+b)-(a3+b)=,解得a=或a=0(舍去);
当a>1时,f(x)在区间[2,3]上单调递增,
所以f(x)max=f(3)=a3+b,f(x)min=f(2)=a2+b,
因此(a3+b)-(a2+b)=,解得a=或a=0(舍去).
所以a的值为或.
17.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=a·3x+是定义域为R的偶函数.
(1)求a的值;
(2)若g(x)=9x+9-x+mf(x)+m2-1,求函数g(x)的最小值.
【解】 (1)f(x)=a·3x+=a·3x+3·3-x,
则f(-x)=a·3-x+3·3x.因为f(x)是定义域为R的偶函数,所以a·3-x+3·3x=a·3x+3·3-x,即(3-a)(3x-3-x)=0对任意x∈R恒成立,则a=3.
(2)由(1)知,f(x)=3(3x+3-x),则g(x)=32x+3-2x+3m(3x+3-x)+m2-1=(3x+3-x)2+3m(3x+3-x)+m2-3,令t=3x+3-x,可得 t≥2=2,当且仅当x=0时,等号成立,则g(x)化为h(t)=t2+3mt+m2-3,t∈[2,+∞).
①当-≤2,即m≥-时,h(t)=t2+3mt+m2-3在[2,+∞)上单调递增,则h(t)min=h(2)=m2+6m+1,即g(x)min=m2+6m+1;
②当->2,即m<-时,h(t)=t2+3mt+m2-3在[2,-)上单调递减,在(-,+∞)上单调递增,则h(t)min=h(-)=(-)2+3m·(-)+m2-3=-m2-3,即g(x)min=-m2-3.
综上所述,g(x)min=
18.(本小题满分17分)
已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点(4,4).
(1)求a的值;
(2)比较f(-2)与f(m2-2m)(m∈R)的大小;
(3)求函数g(x)=a|x-1|(-3≤x≤3)的值域.
【解】 (1)因为f(x)=ax的图象经过点(4,4),所以a4=4.又a>0,且a≠1,所以a=.
(2)因为>1,所以f(x)=()x在R上单调递增.又因为m2-2m-(-2)=(m-1)2+1>0,所以m2-2m>-2,所以f(-2)(3)当-3≤x≤3时,-4≤x-1≤2,则0≤|x-1|≤4,所以()0≤()|x-1|≤()4,即1≤()|x-1|≤4,所以g(x)的值域为[1,4].
19.(本小题满分17分)
已知函数f(x)=为奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)判断f(x)在R上的单调性并说明理由;
(3)解关于t的不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)<0.
【解】 (1)由f(x)为定义域R上的奇函数,得 x∈R,都有f(-x)=-f(x),且f(0)=0.
令x=0,可得f(0)===0,解得a=1,所以f(x)=,此时满足f(-x)==-=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,所以a=1.
(2)f(x)在R上单调递增,理由如下:
f(x)==1-,令u=3x+1,则u∈(1,+∞),函数u=3x+1在x∈R上单调递增,函数y=1-在u∈(1,+∞)上单调递增,由复合函数的单调性可知f(x)=1-在R上单调递增.
(3)因为f(x)为奇函数,所以f(t2-2t)<-f(2t2-1)=f(1-2t2).又f(x)在R上单调递增,所以t2-2t<1-
2t2,解得-21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共17张PPT)
章末复习提升
『网络建构』
2.指数函数的图象一定在x轴上方.( )
3.函数y=2x-1是指数函数.( )
4.因为a0=1(a>0,且a≠1),所以函数y=ax恒过点(0,1).( )
『知识辨析』
判断对错.(正确的画“√”,错误的画“×”)
×
√
×
√
5.函数y=ax(a>0,且a≠1)的最小值为0.( )
×
7.0的任何分数指数幂都等于0.( )
√
×
×
核心题型突破
题型一 有理数指数幂的运算
·规律方法·
指数式的运算首先要注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算,其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.
A B
C D
题型二 指数函数图象
C
·规律方法·
求解与指数函数的图象有关的问题,首先应明确指数函数的单调性与底数的大小有关以及指数函数一定过定点的性质.而涉及指数型复合函数的图象,还要综合利用函数图象的平移、对称变换等知识.
题型三 指数函数性质的综合应用
·规律方法·
求解指数(型)函数与函数的奇偶性、单调性有关的综合问题,要充分利用函数的奇偶性、单调性的定义以及指数幂的运算性质,结合指数函数的性质求解.