章末复习提升
网络建构
知识辨析
判断对错.(正确的画“√”,错误的画“×”)
1.任何指数式都可以化为对数式.( × )
2.loga(xy)=logax+logay(a>0,且a≠1).( × )
3.函数y=x与函数y=logaax是同一个函数.( √ )
4.同底数的指数函数与对数函数的图象关于直线y=x对称.( √ )
5.不论a(a>0,且a≠1)取何值,函数y=loga(x-1)必过定点(1,0).( × )
6.函数y=x2比y=2x增长的速度更快.( × )
7.当x很大时,函数y=·2x的增长速度比y=x200的增长速度快.( √ )
8.函数y=lox衰减的速度越来越慢.( √ )
题型一 对数的运算性质
[典例1] (1)计算式子lg 2-lg -eln 2的值为( )
A.-1 B. C.3 D.-5
(2)化简的结果是( )
A. B.1 C.2 D.4
(3)已知2x=7y=196,则+= .
【答案】 (1)A (2)C (3)
【解析】 (1)lg 2-lg -eln 2=lg(2÷)-2=-1.故选A.
(2)原式===2.故选C.
(3)2x=7y=196,所以x=log2196,y=log7196,
+=log1962+log1967=lo14=.
利用对数运算性质的求解方法
(1)应用对数的运算性质,可将高一级(乘、除、乘方)的运算转化为低一级(加、减)的运算.
(2)利用对数的运算性质求值的解题关键是化异为同,先使各项底数相同,再找真数间的联系.
题型二 对数(型)函数的图象与应用
[典例2] (1)函数y=ln(2-|x|)的图象大致为( )
A B C D
(2)已知函数f(x)=x2-logmx在区间(0,)上恒有f(x)<0成立,则实数m的取值范围为 .
【答案】 (1)A (2)[,1)
【解析】 (1)令f(x)=ln(2-|x|),易知函数f(x)的定义域为{x|-2
|x|)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,排除C,D;
当x=时,f()=ln<0,排除B.故选A.
(2)要使函数f(x)=x2-logmx在区间(0,)上恒有f(x)<0成立,则有x2(1)研究对数型函数图象的方法:研究对数型函数的图象时,一般从最基本的对数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,要注意底数a>1和0(2)求解与对数型方程、不等式有关的恒成立问题,常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
题型三 对数函数的性质
[典例3] (1)已知a=log36, b=log510, c=log714,则a,b,c的大小关系为( )
A.aC.c(2)已知a=log2e,b=ln 2,c=lo,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
【答案】 (1)B (2)D
【解析】 (1)因为a=log36=1+log32,b=log510=1+log52,c=log714=1+log72,且log32>log52>
log72,所以a>b>c.故选B.
(2)法一 因为a=log2e>1,b=ln 2∈(0,1),c=lo=log23>log2e=a>1,所以c>a>b.故选D.
法二 lo=log23,如图,在同一平面直角坐标系中作出函数y=log2x,y=ln x的图象,由图知c>a>b.故选D.
对数值大小比较的一般规律
(1)当底数相同时,用对数函数的性质直接比较.
(2)当底数不同,真数相同时,用图象作比较.
(3)当底数和真数都不相同时,常找一个“中间变量”统一底数或真数,常用0或1作为中间量.
(4)若不能够使用以上三种方法比较大小,则需要将已知的对数式变形或利用对数的运算性质确定对数值的范围,或利用作差(或作商)比较法以及利用结论logn+1(n+2)(n≥2,n∈N+)比较大小.
题型四 对数函数性质的综合应用
[典例4] 已知函数f(x)=log2(x+a)的定义域为[1,9],且f(x)的图象经过点(3,2).
(1)求函数g(x)=()x-2-f(x)的最大值;
(2)求函数h(x)=f(x2)-f(x-1)的值域.
【解】 因为函数f(x)的图象经过点(3,2),
所以log2(3+a)=2,所以3+a=4,所以a=1,
所以f(x)=log2(x+1).
(1)g(x)=()x-2-log2(x+1),定义域为[1,9],
因为函数y=()x-2在区间[1,9]上单调递减,f(x)=log2(x+1)在区间[1,9]上单调递增,
所以函数g(x)在区间[1,9]上单调递减,
所以函数g(x)的最大值为g(1)=4-1=3.
(2)h(x)=f(x2)-f(x-1)=log2(x2+1)-log2x=log2=log2(x+),
因为函数f(x)的定义域为[1,9],
所以解得2≤x≤3,
所以函数h(x)的定义域为[2,3].
因为函数u=x+在区间[2,3]上单调递增,而函数y=log2u是增函数,
所以函数h(x)在区间[2,3]上单调递增,
所以h(x)min=h(2)=log2,
h(x)max=h(3)=log2,
所以函数h(x)的值域为[log2,log2].
(1)研究函数的性质要树立定义域优先的原则.
(2)涉及对数型函数的单调性、值域、最值问题,常利用换元法将真数换元后求解.
第四章 检测试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数f(x)=log2(3x-9)+的定义域为( )
A.(2,3) B.(3,4]
C.(2,4] D.(2,3)∪(3,4]
【答案】 C
【解析】 由题意得,解得2故选C.
2.1.10+eln 2-0.5-2+lg 25+2lg 2等于( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】 B
【解析】 1.10+eln 2-0.5-2+lg 25+2lg 2=1+2-4+lg 100=-1+2=1.
故选B.
3.已知2a=9,log83=b,则等于( )
A. B.2 C.6 D.9
【答案】 C
【解析】 因为2a=9,所以a=log29=log232=2log23,又b=log83=lo3=log23,所以==6.故选C.
4.若a=1.10.1,b=log0.20.3,c=log2,则( )
A.c【答案】 C
【解析】 因为1.10.1>1.10=1,所以a>1,
因为0=log0.21所以05.函数f(x)=的部分图象大致为( )
A B C D
【答案】 C
【解析】 由题意ln(x2+1)≠0,解得x≠0,即f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.因为f(-x)===f(x),所以f(x)为偶函数,排除选项A,D.当x>0时,因为x2+2|x|>0,
ln(x2+1)>ln 1=0,所以f(x)>0,所以排除选项B.故选C.
6.函数f(x)=lg(4-|x|)的单调递增区间为( )
A.(-4,0) B.(-∞,0) C.(0,4) D.(0,+∞)
【答案】 A
【解析】 对于函数f(x)=lg(4-|x|),
令4-|x|>0,
即|x|<4,解得-4所以函数的定义域为(-4,4),
又y=4-|x|=所以y=4-|x|在(0,4)上单调递减,在(-4,0)上单调递增,函数y=lg t在定义域(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)=lg(4-|x|)的单调递增区间为(-4,0).故选A.
7.已知函数f(x)=loga(3x+b-1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列关系式正确的是( )
A.0B.0C.0D.0【答案】 A
【解析】 由题图可得a>1,则0即-1=loga又因为函数为增函数,所以0故选A.
8.已知函数f(x)=lg(|x|-1)+2 025x+2 025-x,则使不等式f(3x)A.(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.(-,)
C.(,)
D.(-,-)∪(,)
【答案】 C
【解析】 由题意知,f(x)的定义域为{x|x<-1或x>1},关于原点对称.由f(x)=lg(|x|-1)+2 025x+
2 025-x,得f(-x)=lg(|-x|-1)+2 025-x+2 025x=f(x),故f(x)为偶函数.当x>1时,f(x)=lg(x-1)+2 025x
+2 025-x,由于函数t=2 025x,y=lg(x-1)均在(1,+∞)上单调递增,函数y=t+在t∈(1,+∞)上单调递增,因此f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以不等式f(3x)二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列各式正确的有( )
A.lg(lg 10)=0
B.lg(ln e)=0
C.若10=lg x,则x=10
D.若log25x=,则x=±5
【答案】 AB
【解析】 由于lg(lg 10)=lg 1=0,lg(ln e)=lg 1=0,故A,B均正确;
若10=lg x,则x=1010,则C不正确;
若log25x=,则x=5,故D不正确.故选A,B.
10.关于函数f(x)=lg (x≠0), 有下列结论,其中正确的是( )
A.其图象关于y轴对称
B.f(x)的最小值是lg 2
C.当x>0时,f(x)单调递增;当x<0时,f(x)单调递减
D.f(x)的单调递增区间是(-1,0),(1,+∞)
【答案】 ABD
【解析】 对于A,函数f(x)=lg(x≠0)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又满足f(-x)=f(x),所以函数y=f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故A正确;对于B,当x>0时,令t=x+,原函数变为y=lg t,t=x+≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立,又原函数是偶函数,所以函数f(x)的最小值是lg 2,故B正确;对于C,t=x+在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故C错误;对于D,由C中分析结合y=f(x)的图象关于y轴对称,可得f(x)的单调递增区间是(-1,0),(1,+∞),故D正确.故选A,B,D.
11.设m>1,logma=mb=c,若a,b,c互不相等,则( )
A.a>1 B.c≠e
C.b【答案】 ABD
【解析】 由mb=c>0,可得logma>0,因为m>1,所以a>1,故A正确;假设c=e,logma=mb=c=e,若m=>1,则a=me=e,c=e,b=logme=e,故a=b=c,不满足a,b,c互不相等,所以c≠e,故B正确;因为m>1,logma=mb=c,可将a,b,c看成函数y=logmx,y=mx,y=x的图象与直线y=c的交点的横坐标.当m=1.1时,图象如图①所示,
图①
可得a当m=3时,图象如图②所示,
图②
可得b三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知f(x)=则f(f(-4))= .
【答案】
【解析】 由题意,可得f(-4)=log25,
又log25>1,故f(f(-4))=f(log25)====.
13.已知函数f(x)=lg(-x2+4x-3),若函数g(x)与函数f(x)的值域相同,请写出一个这样的函数g(x)= .
【答案】 x(x≤0)(答案不唯一)
【解析】 令-x2+4x-3>0,解得114.中国的5G技术领先世界,5G技术极大地提高了数据传输速率,最大数据传输速率C取决于信道带宽W,经科学研究表明:C与W满足C=Wlog2(1+T),其中T为信噪比.若不改变带宽W,而将信噪比T从499提升到1 999,则C大约增加 %.(结果保留一位小数)
参考数据:lg 2≈0.301.
【答案】 22.3
【解析】 当T=499时,C1=Wlog2500,
当T=1 999时,C2=Wlog22 000,则C2-C1=Wlog22 000-Wlog2500=Wlog24=2W,
所以C大约增加了====≈=22.3%,即C大约增加了22.3%.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
(1)求值:lg 5+lg22+lg 2·lg 5+log25·log254+;
(2)设log0.63=m,log63=n,用m,n来表示lg 18.
【解】 (1)原式=lg 5+lg 2(lg 2+lg 5)+log25·log52+5=lg 5+lg 2+1+5=1+1+5=7.
(2)lg 18====,
因为log0.63=m,
所以=m,
即=m,
所以=m,
即=m,
所以log610=1-,
故lg 18===.
16.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=lo(x2-2mx+5).
(1)若f(x)的值域为R,求实数m的取值范围;
(2)若f(x)在(-∞,2]内单调递增,求实数m的取值范围.
【解】 (1)由f(x)的值域为R,
可得u=x2-2mx+5能取(0,+∞)内的一切值,
故函数u=x2-2mx+5的图象与x轴有公共点,
所以4m2-20≥0,
解得m≤-或m≥ ,故实数m的取值范围为(-∞,-]∪[,+∞).
(2)因为f(x)在(-∞,2]内单调递增,所以u=x2-2mx+5在(-∞,2]内单调递减且恒正,所以解得2≤m<.
故实数m的取值范围为[2,).
17.(本小题满分15分)
森林具有净化空气的功能,经研究发现,森林净化空气量Q与森林面积S的关系是Q=50log2.
(1)若要保证森林具有净化效果(Q≥0),则森林面积至少为多少个单位
(2)当某森林面积为80个单位时,它能净化的空气量为多少个单位
【解】 (1)由题意,Q≥0,即50log2≥0,解得S≥10,
所以森林面积至少有10个单位.
(2)将S=80代入关系式,
得Q=50log2=150,
所以当森林面积为80个单位时,它能净化的空气量为150个单位.
18.(本小题满分17分)
已知f(x)为R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=lo(x+1)+2.
(1)当x<0时,求f(x)的解析式;
(2)若f(a)+f(1)>0,求a的取值范围.
【解】 (1)当x<0时,-x>0,
所以f(-x)=lo(1-x)+2,
又f(x)为R上的偶函数,
所以f(x)=f(-x)=lo(1-x)+2,
即当x<0时,f(x)=lo(1-x)+2.
(2)当x≥0时,y=lo(x+1)为减函数,所以当x≥0时,f(x)为减函数,
又f(x)为R上的偶函数,所以当x<0时,f(x)为增函数;
因为f(1)=lo2+2=1,所以f(a)+f(1)>0可化为f(a)>-1,
因为f(7)=f(-7)=-1,
所以当-7-1,
即a的取值范围为(-7,7).
19.(本小题满分17分)
已知函数f(x)=lo是奇函数.
(1)求a的值;
(2)利用定义判断f(x)的单调性;
(3)若x>1,解不等式:f(x)+2x>7.
【解】 (1)因为函数f(x)=lo是奇函数,则f(-x)=-f(x),所以f(-x)+f(x)=lo+lo=lo=0,则=1,解得a2=1.
当a=-1时,f(x)=lo=0,由于定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,故舍去;
当a=1时,f(x)=lo,由>0,解得x<-1或x>1,定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称,满足题意.
综上所述,a的值为1.
(2)f(x)=lo,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞).任取x1,x2∈(1,+∞),且x1lo=lo=lo,
因为10,
(x1-1)(x2+1)>0,又因为(x1x2-x1+x2-1)-(x1x2+x1-x2-1)=2(x2-x1)>0,
所以>1,lo<0,
则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)(3)设F(x)=f(x)+2x,且F(3)=lo+23=-1+23=7,则不等式f(x)+2x>7 F(x)>F(3),
当x∈(1,+∞)时,函数f(x)单调递增,函数y=2x也单调递增,则F(x)在区间(1,+∞)上单调递增, 所以解得x>3, 故原不等式的解集为(3,+∞).
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章末复习提升
『网络建构』
『知识辨析』
判断对错.(正确的画“√”,错误的画“×”)
1.任何指数式都可以化为对数式.( )
2.loga(xy)=logax+logay(a>0,且a≠1).( )
3.函数y=x与函数y=logaax是同一个函数.( )
4.同底数的指数函数与对数函数的图象关于直线y=x对称.( )
5.不论a(a>0,且a≠1)取何值,函数y=loga(x-1)必过定点(1,0).( )
×
×
√
√
×
×
√
√
核心题型突破
题型一 对数的运算性质
A
C
·规律方法·
利用对数运算性质的求解方法
(1)应用对数的运算性质,可将高一级(乘、除、乘方)的运算转化为低一级(加、减)的运算.
(2)利用对数的运算性质求值的解题关键是化异为同,先使各项底数相同,再找真数间的联系.
题型二 对数(型)函数的图象与应用
[典例2] (1)函数y=ln(2-|x|)的图象大致为( )
A
A B C D
·规律方法·
(1)研究对数型函数图象的方法:研究对数型函数的图象时,一般从最基本的对数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,要注意底数a>1和0(2)求解与对数型方程、不等式有关的恒成立问题,常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
题型三 对数函数的性质
[典例3] (1)已知a=log36, b=log510, c=log714,则a,b,c的大小关系为( )
A.aC.cB
【解析】 (1)因为a=log36=1+log32,b=log510=1+log52,c=log714=1+log72,且log32>log52>log72,所以a>b>c.故选B.
D
·规律方法·
对数值大小比较的一般规律
(1)当底数相同时,用对数函数的性质直接比较.
(2)当底数不同,真数相同时,用图象作比较.
(3)当底数和真数都不相同时,常找一个“中间变量”统一底数或真数,常用0或1作为中间量.
(4)若不能够使用以上三种方法比较大小,则需要将已知的对数式变形或利用对数的运算性质确定对数值的范围,或利用作差(或作商)比较法以及利用结论logn+1(n+2)题型四 对数函数性质的综合应用
【解】 因为函数f(x)的图象经过点(3,2),
所以log2(3+a)=2,所以3+a=4,所以a=1,
所以f(x)=log2(x+1).
(2)求函数h(x)=f(x2)-f(x-1)的值域.
·规律方法·
(1)研究函数的性质要树立定义域优先的原则.
(2)涉及对数型函数的单调性、值域、最值问题,常利用换元法将真数换元后求解.第四章 检测试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数f(x)=log2(3x-9)+的定义域为( )
A.(2,3) B.(3,4]
C.(2,4] D.(2,3)∪(3,4]
【答案】 C
【解析】 由题意得,解得2故选C.
2.1.10+eln 2-0.5-2+lg 25+2lg 2等于( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】 B
【解析】 1.10+eln 2-0.5-2+lg 25+2lg 2=1+2-4+lg 100=-1+2=1.
故选B.
3.已知2a=9,log83=b,则等于( )
A. B.2 C.6 D.9
【答案】 C
【解析】 因为2a=9,所以a=log29=log232=2log23,又b=log83=lo3=log23,所以==6.故选C.
4.若a=1.10.1,b=log0.20.3,c=log2,则( )
A.c【答案】 C
【解析】 因为1.10.1>1.10=1,所以a>1,
因为0=log0.21所以05.函数f(x)=的部分图象大致为( )
A B C D
【答案】 C
【解析】 由题意ln(x2+1)≠0,解得x≠0,即f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.因为f(-x)===f(x),所以f(x)为偶函数,排除选项A,D.当x>0时,因为x2+2|x|>0,
ln(x2+1)>ln 1=0,所以f(x)>0,所以排除选项B.故选C.
6.函数f(x)=lg(4-|x|)的单调递增区间为( )
A.(-4,0) B.(-∞,0) C.(0,4) D.(0,+∞)
【答案】 A
【解析】 对于函数f(x)=lg(4-|x|),
令4-|x|>0,
即|x|<4,解得-4所以函数的定义域为(-4,4),
又y=4-|x|=所以y=4-|x|在(0,4)上单调递减,在(-4,0)上单调递增,函数y=lg t在定义域(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)=lg(4-|x|)的单调递增区间为(-4,0).故选A.
7.已知函数f(x)=loga(3x+b-1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列关系式正确的是( )
A.0B.0C.0D.0【答案】 A
【解析】 由题图可得a>1,则0即-1=loga又因为函数为增函数,所以0故选A.
8.已知函数f(x)=lg(|x|-1)+2 025x+2 025-x,则使不等式f(3x)A.(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.(-,)
C.(,)
D.(-,-)∪(,)
【答案】 C
【解析】 由题意知,f(x)的定义域为{x|x<-1或x>1},关于原点对称.由f(x)=lg(|x|-1)+2 025x+
2 025-x,得f(-x)=lg(|-x|-1)+2 025-x+2 025x=f(x),故f(x)为偶函数.当x>1时,f(x)=lg(x-1)+2 025x
+2 025-x,由于函数t=2 025x,y=lg(x-1)均在(1,+∞)上单调递增,函数y=t+在t∈(1,+∞)上单调递增,因此f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以不等式f(3x)二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列各式正确的有( )
A.lg(lg 10)=0
B.lg(ln e)=0
C.若10=lg x,则x=10
D.若log25x=,则x=±5
【答案】 AB
【解析】 由于lg(lg 10)=lg 1=0,lg(ln e)=lg 1=0,故A,B均正确;
若10=lg x,则x=1010,则C不正确;
若log25x=,则x=5,故D不正确.故选A,B.
10.关于函数f(x)=lg (x≠0), 有下列结论,其中正确的是( )
A.其图象关于y轴对称
B.f(x)的最小值是lg 2
C.当x>0时,f(x)单调递增;当x<0时,f(x)单调递减
D.f(x)的单调递增区间是(-1,0),(1,+∞)
【答案】 ABD
【解析】 对于A,函数f(x)=lg(x≠0)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又满足f(-x)=f(x),所以函数y=f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故A正确;对于B,当x>0时,令t=x+,原函数变为y=lg t,t=x+≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立,又原函数是偶函数,所以函数f(x)的最小值是lg 2,故B正确;对于C,t=x+在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故C错误;对于D,由C中分析结合y=f(x)的图象关于y轴对称,可得f(x)的单调递增区间是(-1,0),(1,+∞),故D正确.故选A,B,D.
11.设m>1,logma=mb=c,若a,b,c互不相等,则( )
A.a>1 B.c≠e
C.b【答案】 ABD
【解析】 由mb=c>0,可得logma>0,因为m>1,所以a>1,故A正确;假设c=e,logma=mb=c=e,若m=>1,则a=me=e,c=e,b=logme=e,故a=b=c,不满足a,b,c互不相等,所以c≠e,故B正确;因为m>1,logma=mb=c,可将a,b,c看成函数y=logmx,y=mx,y=x的图象与直线y=c的交点的横坐标.当m=1.1时,图象如图①所示,
图①
可得a当m=3时,图象如图②所示,
图②
可得b三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知f(x)=则f(f(-4))= .
【答案】
【解析】 由题意,可得f(-4)=log25,
又log25>1,故f(f(-4))=f(log25)====.
13.已知函数f(x)=lg(-x2+4x-3),若函数g(x)与函数f(x)的值域相同,请写出一个这样的函数g(x)= .
【答案】 x(x≤0)(答案不唯一)
【解析】 令-x2+4x-3>0,解得114.中国的5G技术领先世界,5G技术极大地提高了数据传输速率,最大数据传输速率C取决于信道带宽W,经科学研究表明:C与W满足C=Wlog2(1+T),其中T为信噪比.若不改变带宽W,而将信噪比T从499提升到1 999,则C大约增加 %.(结果保留一位小数)
参考数据:lg 2≈0.301.
【答案】 22.3
【解析】 当T=499时,C1=Wlog2500,
当T=1 999时,C2=Wlog22 000,则C2-C1=Wlog22 000-Wlog2500=Wlog24=2W,
所以C大约增加了====≈=22.3%,即C大约增加了22.3%.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
(1)求值:lg 5+lg22+lg 2·lg 5+log25·log254+;
(2)设log0.63=m,log63=n,用m,n来表示lg 18.
【解】 (1)原式=lg 5+lg 2(lg 2+lg 5)+log25·log52+5=lg 5+lg 2+1+5=1+1+5=7.
(2)lg 18====,
因为log0.63=m,
所以=m,
即=m,
所以=m,
即=m,
所以log610=1-,
故lg 18===.
16.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=lo(x2-2mx+5).
(1)若f(x)的值域为R,求实数m的取值范围;
(2)若f(x)在(-∞,2]内单调递增,求实数m的取值范围.
【解】 (1)由f(x)的值域为R,
可得u=x2-2mx+5能取(0,+∞)内的一切值,
故函数u=x2-2mx+5的图象与x轴有公共点,
所以4m2-20≥0,
解得m≤-或m≥ ,故实数m的取值范围为(-∞,-]∪[,+∞).
(2)因为f(x)在(-∞,2]内单调递增,所以u=x2-2mx+5在(-∞,2]内单调递减且恒正,所以解得2≤m<.
故实数m的取值范围为[2,).
17.(本小题满分15分)
森林具有净化空气的功能,经研究发现,森林净化空气量Q与森林面积S的关系是Q=50log2.
(1)若要保证森林具有净化效果(Q≥0),则森林面积至少为多少个单位
(2)当某森林面积为80个单位时,它能净化的空气量为多少个单位
【解】 (1)由题意,Q≥0,即50log2≥0,解得S≥10,
所以森林面积至少有10个单位.
(2)将S=80代入关系式,
得Q=50log2=150,
所以当森林面积为80个单位时,它能净化的空气量为150个单位.
18.(本小题满分17分)
已知f(x)为R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=lo(x+1)+2.
(1)当x<0时,求f(x)的解析式;
(2)若f(a)+f(1)>0,求a的取值范围.
【解】 (1)当x<0时,-x>0,
所以f(-x)=lo(1-x)+2,
又f(x)为R上的偶函数,
所以f(x)=f(-x)=lo(1-x)+2,
即当x<0时,f(x)=lo(1-x)+2.
(2)当x≥0时,y=lo(x+1)为减函数,所以当x≥0时,f(x)为减函数,
又f(x)为R上的偶函数,所以当x<0时,f(x)为增函数;
因为f(1)=lo2+2=1,所以f(a)+f(1)>0可化为f(a)>-1,
因为f(7)=f(-7)=-1,
所以当-7-1,
即a的取值范围为(-7,7).
19.(本小题满分17分)
已知函数f(x)=lo是奇函数.
(1)求a的值;
(2)利用定义判断f(x)的单调性;
(3)若x>1,解不等式:f(x)+2x>7.
【解】 (1)因为函数f(x)=lo是奇函数,则f(-x)=-f(x),所以f(-x)+f(x)=lo+lo=lo=0,则=1,解得a2=1.
当a=-1时,f(x)=lo=0,由于定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,故舍去;
当a=1时,f(x)=lo,由>0,解得x<-1或x>1,定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称,满足题意.
综上所述,a的值为1.
(2)f(x)=lo,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞).任取x1,x2∈(1,+∞),且x1lo=lo=lo,
因为10,
(x1-1)(x2+1)>0,又因为(x1x2-x1+x2-1)-(x1x2+x1-x2-1)=2(x2-x1)>0,
所以>1,lo<0,
则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)(3)设F(x)=f(x)+2x,且F(3)=lo+23=-1+23=7,则不等式f(x)+2x>7 F(x)>F(3),
当x∈(1,+∞)时,函数f(x)单调递增,函数y=2x也单调递增,则F(x)在区间(1,+∞)上单调递增, 所以解得x>3, 故原不等式的解集为(3,+∞).
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