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章末复习提升
『网络建构』
『知识辨析』
判断对错.(正确的画“√”,错误的画“×”)
1.一个集合中可以找到两个相同的元素.( )
2.集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素.( )
3.当A B时,一定有A∩B=A,A∪B=B.( )
4.对于任意两个集合A,B,关系(A∩B) (A∪B)恒成立.( )
×
√
√
√
5.A∩B=A∩C是B=C的充分不必要条件.( )
6.设a,b,c是任意实数,如果a>b,则ac>bc.( )
7.同向不等式相加与相乘的条件是一致的.( )
8.ax2+ax+1>0是一元二次不等式.( )
9.命题“ x≥0,x2-1≥-1”的否定是“ x<0,x2-1<-1”.( )
×
×
×
×
×
核心题型突破
[典例1] (1)已知集合A={(x,y)|x,y∈N+,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
题型一 集合的基本概念
C
【解析】 (1)由题意得,A∩B={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)},所以A∩B中元素的个数为4.故选C.
(2)已知集合A={(x,y)|y=x2},集合B={(x,y)|y=1-|x|},则集合A∩B的真子集个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
C
法二 集合A,B分别表示y=x2和y=1-|x|图象上的点,画出图象(图略)知两图象有2个交点,即集合A∩B中有2个元素,所以集合A∩B的真子集个数为22-1=3.
故选C.
·规律方法·
与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合中的元素是什么,即集合是数集还是点集.
(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合是否满足元素的互异性.
题型二 集合的基本关系与运算
B
【解析】 (1)因为A B,
若a-2=0,解得a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不符合题意;
若2a-2=0,解得a=1,此时A={0,-1},B={1,-1,0},符合题意.
综上所述,a=1.故选B.
(2)(2023·新课标 Ⅰ 卷)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N等于( )
A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2}
C.{-2} D.{2}
C
【解析】 (2)因为N={x|x2-x-6≥0}=(-∞,-2]∪[3,+∞),而M={-2,-1,0,1,2},所以M∩N={-2}.故选C.
(3)(2023·全国甲卷)设集合A={x|x=3k+1,k∈Z},B={x|x=3k+2,k∈Z},U为整数集, U(A∪B)等于( )
A.{x|x=3k,k∈Z}
B.{x|x=3k-1,k∈Z}
C.{x|x=3k-2,k∈Z}
D.
A
【解析】 (3)因为整数集,k∈+1,k∈+2,
k∈Z},U= Z,所以 U(A∪B)={x|x=3k,k∈Z}.故选A.
·规律方法·
集合的基本运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算,不等式解集之间的包含关系通常用数轴法,而用列举法表示的集合运算常用Venn图法,运算时特别注意对 的讨论,不要遗漏.
题型三 全称量词命题与存在量词命题
[典例3] 已知命题p: 1≤x≤2,x2-a≥0;命题q: x∈R,x2+2ax+2a+a2=0.
(1)若命题p的否定为真命题,求实数a的取值范围;
【解】 (1)根据题意,
当1≤x≤2时,1≤x2≤4.
p的否定: 1≤x≤2,x2-a<0,为真命题,
所以a>1,所以实数a的取值范围是{a|a>1}.
(2)若命题p为真命题,命题q的否定也为真命题,求实数a的取值范围.
【解】 (2)由(1)知命题p为真命题时a≤1.
命题q为真命题时,Δ=4a2-4(2a+a2)≥0,
解得a≤0,所以当命题q的否定为真命题时,a>0.
综上可得0
·规律方法·
已知含量词命题的真假求参数的取值范围,实质上是对命题意义的考查.解决此类问题,一定要辨清参数,恰当选取主元,合理确定解题思路.解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识,利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围,解题过程中要注意变量取值范围的限制.
[典例4] 已知命题p: x∈R,x2-x+m≤0是假命题.
(1)求实数m的取值集合B;
题型四 充分条件与必要条件
(2)设不等式(x-3a)(x-a-2)≤0的解集为A.若x∈B是x∈A的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
·规律方法·
利用充分性、必要性解参数取值范围问题时,先把原问题化归为集合关系问题,然后再应用集合间的包含关系求解.其一般步骤为:
(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系.
(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解.
[典例5] 若当1≤x≤4时,不等式x2-(a+2)x+4≥-a-1恒成立,求实数a的取值范围.
题型五 不等式恒成立问题
【解】 当1≤x≤4时,
不等式x2-(a+2)x+4≥-a-1恒成立,
即当1≤x≤4时,a(x-1)≤x2-2x+5恒成立.
①当x=1时,不等式为0≤4恒成立,此时a∈R;
·规律方法·
对于有的恒成立问题,分离参数是一种行之有效的方法.分离参数时,经常要用到下述简单结论:
(1)a>y恒成立 a>ymax.
(2)a一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|x≤-1},B={-2,-1,0,1,2},则( RA)∩B等于( )
A.{0,1,2} B.{-1,0,1,2}
C.{-2,-1} D.{1,2}
【答案】 A
【解析】 因为集合A={x|x≤-1},
所以 RA={x|x>-1},
所以( RA)∩B={0,1,2}.故选A.
2.命题“ x∈R,2x2-3x+4>0”的否定为( )
A. x∈R,2x2-3x+4≤0
B. x∈R,2x2-3x+4>0
C. x R,2x2-3x+4≤0
D. x∈R,2x2-3x+4≤0
【答案】 D
【解析】 根据全称量词命题的否定可得,命题的否定是 x∈R,2x2-3x+4≤0.
故选D.
3.已知a>0,b>0,则“a+b≤2”是“ab≤1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 a>0,b>0,“a+b≤2” 2≤a+b≤2 ≤1 “ab≤1”,充分性成立;
当a=10,b=0.1时,ab≤1,但a+b≤2不成立,
故必要性不成立.
所以当a>0,b>0时,“a+b≤2”是“ab≤1”的充分不必要条件.故选A.
4.若m=2x2+1,n=x2+2x,p=-x-3,则( )
A.n≥m>p B.n>m>p
C.m≥p≥n D.m≥n>p
【答案】 D
【解析】 因为m-n=(2x2+1)-(x2+2x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以m≥n.
因为n-p=x2+2x-(-x-3)=x2+3x+3=+>0,所以n>p.
故m≥n>p.故选D.
5.已知关于x的不等式≤-1的解集是,则实数a的值为( )
A.-1 B.1 C. D.2
【答案】 B
【解析】 由≤-1得≤0,
因为不等式≤-1的解集是,所以=,解得a=1.故选B.
6.已知m<10,则m+的最大值为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
【答案】 A
【解析】 因为m<10,所以10-m>0,
则m+=m-10++10
=10-(10-m+)
≤10-2=4,
当且仅当10-m=,即m=7(m=13舍去)时,等号成立.故选A.
7.若关于x的不等式ax2+2ax+3a-4<0对x∈R恒成立,则a的取值集合为( )
A.{a|-2C.{a|a<0} D.{a|a≤0}
【答案】 D
【解析】 当a=0时,不等式ax2+2ax+3a-4<0化为-4<0,对x∈R恒成立;当a≠0时,要使得不等式ax2+2ax+3a-4<0对x∈R恒成立,
则解得a<0.
综上,a的取值集合为{a|a≤0}.故选D.
8.若x>0,y>0,且+=1,x+2y>m2+7m恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(-8,1)
B.(-∞,-8)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(8,+∞)
D.(-1,8)
【答案】 A
【解析】 根据题意,x>0,y>0,且+=1,
则x+2y=(x+2y)(+)=4++≥4+2=8,
当且仅当x=2y=4时,等号成立,
即x+2y的最小值为8,
若x+2y>m2+7m恒成立,必有m2+7m<8,解得-8即m的取值范围为(-8,1).故选A.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列命题是真命题的为( )
A.若a>b,则a2>b2
B.若b|a|
C.若b
D.若a>b且cb-d
【答案】 BCD
【解析】 对于A,当a=1,b=-2时,12<(-2)2,故A错误;
对于B,当b|a|,故B正确;
对于C,因为b0,所以>0,<0,所以>,故C正确;
对于D,因为c-d,由不等式的性质可得a-c>b-d,故D正确.
故选B,C,D.
10.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是( )
A.ab≤1 B.+≤
C.a2+b2≥2 D.+≥3
【答案】 AC
【解析】 a>0,b>0,a+b=2≥2,故ab≤1,当且仅当a=b=1时等号成立,A正确;取a=b=1,+=2>,B错误;a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2,当且仅当a=b=1时等号成立,C正确;取a=4-2,b=2-2,则+=+=+<3,D错误.故选A,C.
11.已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-3或x≥4},则下列说法正确的是( )
A.a>0
B.不等式bx+c<0的解集为{x|x>-12}
C.不等式cx2-bx+a<0的解集为{x|x<-或x>}
D.a+b+c>0
【答案】 ABC
【解析】 根据不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-3或x≥4}得a>0且-3,4是方程ax2+bx+c=0的两个根,选项A正确;
由整理得
不等式bx+c<0可化为-ax-12a<0,
由a>0,解得x>-12,选项B正确;
不等式cx2-bx+a<0可化为-12ax2+ax+a<0,即-12x2+x+1<0,即(-3x+1)(4x+1)<0,解得x<-或x>,选项C正确;
a+b+c=a-a-12a=-12a<0,选项D错误.故选A,B,C.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若0∈{a-1,a2-1},则{a-1,a2-1}= .
【答案】 {-2,0}
【解析】 因为0∈{a-1,a2-1},
所以a-1=0或a2-1=0,
解得a=1或-1.
当a=1时,不满足元素的互异性,舍去;
当a=-1时,{a-1,a2-1}={-2,0},符合题意.
故{a-1,a2-1}={-2,0}.
13.某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位:m)和汽车刹车前的车速v(单位:km/h)之间有如下关系:s=0.21v+0.006v2.在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离不小于39 m,则这辆汽车刹车前的车速至少为 km/h.
【答案】 65
【解析】 根据题意,有s=0.21 v+0.006 v2≥39,
整理得6v2+210 v-39 000≥0,
解得v≥65或v≤-100(舍去),
所以这辆汽车刹车前的速度至少为65 km/h.
14.已知函数y=x2-2ax+a2-9,x∈[a-3,a2](a>0),若函数y的值域为[-9,0],则实数a的取值范围是 .
【答案】 [1,]
【解析】 y=x2-2ax+a2-9=(x-a)2-9,
则当x=a时,y=-9;当x=a-3时,y=0,
由x∈[a-3,a2](a>0),y∈[-9,0],
得
解得1≤a≤,
所以实数a的取值范围是[1,].
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
设全集U=R,集合P={x|-2(1)若a=-1,求集合P∩( UQ);
(2)若P∩Q=,求实数a的取值范围.
【解】 (1)当a=-1时,
Q={x|3a UQ={x|x≤-3或x>0},
又因为P={x|-2所以P∩( UQ)={x|0(2)当Q≠时,因为P∩Q=,
所以或解得a≤-3.
当Q=时,即3a≥a+1,解得a≥,
此时符合P∩Q=,所以a≥满足题意.
综上所述,a的取值范围为(-∞,-3]∪[,+∞).
16.(本小题满分15分)
已知命题p: x∈R,使x2-4x+m=0为假命题.
(1)求实数m的取值集合B;
(2)设A={x|3a【解】 (1)由题意,关于x的方程x2-4x+m=0无实数根,
所以Δ=16-4m<0,
解得m>4.
所以B={m|m>4}.
(2)因为A={x|3a所以3a即a<2.
又x∈A是x∈B的充分不必要条件,
所以3a≥4,即a≥,
所以≤a<2.
所以a的取值范围是{a|≤a<2}.
17.(本小题满分15分)
(1)已知a>0,b>0,且ab=1,求++的最小值;
(2)设a>0,b>1,若a+b=2,求+的最小值.
【解】 (1)因为a>0,b>0,且ab=1,
所以++=+=(a+b)+≥2=4,
当且仅当a+b=且ab=1,即a=b=1时,等号成立,
所以++的最小值为4.
(2)因为a>0,b>1,a+b=2,
所以a=2-b>0,
所以1+=+==≥=3+2,
当且仅当b=,
即b=,a=2-时,等号成立,
所以+的最小值为3+2.
18.(本小题满分17分)
已知函数y=x2-(a+4)x+4a.
(1)解关于x的不等式y<0;
(2)若关于x的不等式y+4x<0的解集为(m,n)(m>0,n>0),求m+4n的最小值.
【解】 (1)因为y=x2-(a+4)x+4a=(x-4)(x-a),
所以当y<0时,(x-4)(x-a)<0.
当a=4时,不等式y<0的解集为;
当a>4时,不等式y<0的解集为(4,a);
当a<4时,不等式y<0的解集为(a,4).
(2)由题意,关于x的方程x2-ax+4a=0有两个不等的正根,
由根与系数的关系知
解得a>16,
则+===,m+4n=4(m+4n)(+)=4(5++).
因为m>0,n>0,
所以+≥2=4,
当且仅当m=2n,且+=,
即m=12,n=6时,等号成立,
此时a=18>16,符合条件,则m+4n≥36,
综上,当且仅当a=18时,m+4n取得最小值36.
19.(本小题满分17分)
数字经济是以数据资源为关键要素,以现代信息网络为主要载体,通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态.在技术层面,数字经济包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术;在应用层面,数字经济包括“新零售”“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人,每月的成本t(单位:万元)由两部分构成:①固定成本为1 000万元;②材料成本为(10x+)万元,x为每月生产人形机器人的个数.
(1)该企业每月的产量为多少时,平均每个人形机器人的成本最低 最低为多少万元
(2)若每个人形机器人的售价为(23+)万元,且生产出来的每个人形机器人都能够售出,则该企业应如何制定生产计划,才能确保每月的利润不低于400万元 附:利润=售价×销量-成本.
【解】 (1)设平均每个人形机器人的成本为y万元,根据题意有y==++10≥
2+10=30,
当且仅当=,即x=100时,等号成立.
所以该企业每月的产量为100个时,平均每个人形机器人的成本最低,最低为30万元.
(2)设月利润为W万元,则有W=x(23+)-1 000-10x-=+13x-1 000,由题知+13x-1 000
≥400,整理得x2+130x-14 000≥0,解得x≥70,x∈N.
所以该企业每月生产不少于70个人形机器人,才能确保每月的利润不低于400万元.
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网络建构
知识辨析
判断对错.(正确的画“√”,错误的画“×”)
1.一个集合中可以找到两个相同的元素.( × )
2.集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素.( √ )
3.当A B时,一定有A∩B=A,A∪B=B.( √ )
4.对于任意两个集合A,B,关系(A∩B) (A∪B)恒成立.( √ )
5.A∩B=A∩C是B=C的充分不必要条件.( × )
6.设a,b,c是任意实数,如果a>b,则ac>bc.( × )
7.同向不等式相加与相乘的条件是一致的.( × )
8.ax2+ax+1>0是一元二次不等式.( × )
9.命题“ x≥0,x2-1≥-1”的否定是“ x<0,x2-1<-1”.( × )
题型一 集合的基本概念
[典例1] (1)已知集合A={(x,y)|x,y∈N+,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
(2)已知集合A={(x,y)|y=x2},集合B={(x,y)|y=1-|x|},则集合A∩B的真子集个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 (1)C (2)C
【解析】 (1)由题意得,A∩B={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)},所以A∩B中元素的个数为4.故选C.
(2)法一 联立
得x2+|x|-1=0,因为|x|≥0,
解得|x|=,
所以方程组的解为或所以A∩B={(,),(,)},
所以集合A∩B的真子集个数为22-1=3.故选C.
法二 集合A,B分别表示y=x2和y=1-|x|图象上的点,画出图象(图略)知两图象有2个交点,即集合A∩B中有2个元素,所以集合A∩B的真子集个数为22-1=3.
故选C.
与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合中的元素是什么,即集合是数集还是点集.
(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合是否满足元素的互异性.
题型二 集合的基本关系与运算
[典例2] (1)(2023·新课标 Ⅱ 卷)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A B,则a等于( )
A.2 B.1
C. D.-1
(2)(2023·新课标 Ⅰ 卷)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N等于( )
A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2}
C.{-2} D.{2}
(3)(2023·全国甲卷)设集合A={x|x=3k+1,k∈Z},B={x|x=3k+2,k∈Z},U为整数集, U(A∪B)等于( )
A.{x|x=3k,k∈Z}
B.{x|x=3k-1,k∈Z}
C.{x|x=3k-2,k∈Z}
D.
【答案】 (1)B (2)C (3)A
【解析】 (1)因为A B,
若a-2=0,解得a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不符合题意;
若2a-2=0,解得a=1,此时A={0,-1},B={1,-1,0},符合题意.
综上所述,a=1.故选B.
(2)因为N={x|x2-x-6≥0}=(-∞,-2]∪[3,+∞),而M={-2,-1,0,1,2},所以M∩N={-2}.故选C.
(3)因为整数集,k∈+1,k∈+2,k∈Z},U= Z,所以 U(A∪B)={x|x=3k,k∈Z}.故选A.
集合的基本运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算,不等式解集之间的包含关系通常用数轴法,而用列举法表示的集合运算常用Venn图法,运算时特别注意对的讨论,不要遗漏.
题型三 全称量词命题与存在量词命题
[典例3] 已知命题p: 1≤x≤2,x2-a≥0;命题q: x∈R,x2+2ax+2a+a2=0.
(1)若命题p的否定为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题p为真命题,命题q的否定也为真命题,求实数a的取值范围.
【解】 (1)根据题意,
当1≤x≤2时,1≤x2≤4.
p的否定: 1≤x≤2,x2-a<0,为真命题,
所以a>1,所以实数a的取值范围是{a|a>1}.
(2)由(1)知命题p为真命题时a≤1.
命题q为真命题时,Δ=4a2-4(2a+a2)≥0,
解得a≤0,所以当命题q的否定为真命题时,a>0.
综上可得0已知含量词命题的真假求参数的取值范围,实质上是对命题意义的考查.解决此类问题,一定要辨清参数,恰当选取主元,合理确定解题思路.解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识,利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围,解题过程中要注意变量取值范围的限制.
题型四 充分条件与必要条件
[典例4] 已知命题p: x∈R,x2-x+m≤0是假命题.
(1)求实数m的取值集合B;
(2)设不等式(x-3a)(x-a-2)≤0的解集为A.若x∈B是x∈A的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
【解】 (1)因为命题p: x∈R,x2-x+m≤0是假命题,则命题p的否定: x∈R,x2-x+m>0是真命题,所以Δ=1-4m<0,解得m>,
故B={m|m>}.
(2)因为x∈B是x∈A的必要不充分条件,则A B,对于不等式(x-3a)(x-a-2)≤0,
当3a>a+2,即a>1时,其解集A={x|a+2≤x≤3a},则a+2>,此时a>-,又a>1,故a>1;
当3a=a+2,即a=1时,其解集A={3},满足题意;
当3a,此时a>,又a<1,故综上所述,实数a的取值范围为(,+∞).
利用充分性、必要性解参数取值范围问题时,先把原问题化归为集合关系问题,然后再应用集合间的包含关系求解.其一般步骤为:
(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系.
(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解.
题型五 不等式恒成立问题
[典例5] 若当1≤x≤4时,不等式x2-(a+2)x+4≥-a-1恒成立,求实数a的取值范围.
【解】 当1≤x≤4时,
不等式x2-(a+2)x+4≥-a-1恒成立,
即当1≤x≤4时,a(x-1)≤x2-2x+5恒成立.
①当x=1时,不等式为0≤4恒成立,此时a∈R;
②当1因为1所以0所以x-1+≥2=4(当且仅当x-1=,即x=3时,取等号),所以a≤4.
综上,实数a的取值范围为{a|a≤4}.
对于有的恒成立问题,分离参数是一种行之有效的方法.分离参数时,经常要用到下述简单结论:
(1)a>y恒成立 a>ymax.
(2)a第一章 检测试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|x≤-1},B={-2,-1,0,1,2},则( RA)∩B等于( )
A.{0,1,2} B.{-1,0,1,2}
C.{-2,-1} D.{1,2}
【答案】 A
【解析】 因为集合A={x|x≤-1},
所以 RA={x|x>-1},
所以( RA)∩B={0,1,2}.故选A.
2.命题“ x∈R,2x2-3x+4>0”的否定为( )
A. x∈R,2x2-3x+4≤0
B. x∈R,2x2-3x+4>0
C. x R,2x2-3x+4≤0
D. x∈R,2x2-3x+4≤0
【答案】 D
【解析】 根据全称量词命题的否定可得,命题的否定是 x∈R,2x2-3x+4≤0.
故选D.
3.已知a>0,b>0,则“a+b≤2”是“ab≤1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 a>0,b>0,“a+b≤2” 2≤a+b≤2 ≤1 “ab≤1”,充分性成立;
当a=10,b=0.1时,ab≤1,但a+b≤2不成立,
故必要性不成立.
所以当a>0,b>0时,“a+b≤2”是“ab≤1”的充分不必要条件.故选A.
4.若m=2x2+1,n=x2+2x,p=-x-3,则( )
A.n≥m>p B.n>m>p
C.m≥p≥n D.m≥n>p
【答案】 D
【解析】 因为m-n=(2x2+1)-(x2+2x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以m≥n.
因为n-p=x2+2x-(-x-3)=x2+3x+3=+>0,所以n>p.
故m≥n>p.故选D.
5.已知关于x的不等式≤-1的解集是,则实数a的值为( )
A.-1 B.1 C. D.2
【答案】 B
【解析】 由≤-1得≤0,
因为不等式≤-1的解集是,所以=,解得a=1.故选B.
6.已知m<10,则m+的最大值为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
【答案】 A
【解析】 因为m<10,所以10-m>0,
则m+=m-10++10
=10-(10-m+)
≤10-2=4,
当且仅当10-m=,即m=7(m=13舍去)时,等号成立.故选A.
7.若关于x的不等式ax2+2ax+3a-4<0对x∈R恒成立,则a的取值集合为( )
A.{a|-2C.{a|a<0} D.{a|a≤0}
【答案】 D
【解析】 当a=0时,不等式ax2+2ax+3a-4<0化为-4<0,对x∈R恒成立;当a≠0时,要使得不等式ax2+2ax+3a-4<0对x∈R恒成立,
则解得a<0.
综上,a的取值集合为{a|a≤0}.故选D.
8.若x>0,y>0,且+=1,x+2y>m2+7m恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(-8,1)
B.(-∞,-8)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(8,+∞)
D.(-1,8)
【答案】 A
【解析】 根据题意,x>0,y>0,且+=1,
则x+2y=(x+2y)(+)=4++≥4+2=8,
当且仅当x=2y=4时,等号成立,
即x+2y的最小值为8,
若x+2y>m2+7m恒成立,必有m2+7m<8,解得-8即m的取值范围为(-8,1).故选A.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列命题是真命题的为( )
A.若a>b,则a2>b2
B.若b|a|
C.若b
D.若a>b且cb-d
【答案】 BCD
【解析】 对于A,当a=1,b=-2时,12<(-2)2,故A错误;
对于B,当b|a|,故B正确;
对于C,因为b0,所以>0,<0,所以>,故C正确;
对于D,因为c-d,由不等式的性质可得a-c>b-d,故D正确.
故选B,C,D.
10.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是( )
A.ab≤1 B.+≤
C.a2+b2≥2 D.+≥3
【答案】 AC
【解析】 a>0,b>0,a+b=2≥2,故ab≤1,当且仅当a=b=1时等号成立,A正确;取a=b=1,+=2>,B错误;a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2,当且仅当a=b=1时等号成立,C正确;取a=4-2,b=2-2,则+=+=+<3,D错误.故选A,C.
11.已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-3或x≥4},则下列说法正确的是( )
A.a>0
B.不等式bx+c<0的解集为{x|x>-12}
C.不等式cx2-bx+a<0的解集为{x|x<-或x>}
D.a+b+c>0
【答案】 ABC
【解析】 根据不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-3或x≥4}得a>0且-3,4是方程ax2+bx+c=0的两个根,选项A正确;
由整理得
不等式bx+c<0可化为-ax-12a<0,
由a>0,解得x>-12,选项B正确;
不等式cx2-bx+a<0可化为-12ax2+ax+a<0,即-12x2+x+1<0,即(-3x+1)(4x+1)<0,解得x<-或x>,选项C正确;
a+b+c=a-a-12a=-12a<0,选项D错误.故选A,B,C.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若0∈{a-1,a2-1},则{a-1,a2-1}= .
【答案】 {-2,0}
【解析】 因为0∈{a-1,a2-1},
所以a-1=0或a2-1=0,
解得a=1或-1.
当a=1时,不满足元素的互异性,舍去;
当a=-1时,{a-1,a2-1}={-2,0},符合题意.
故{a-1,a2-1}={-2,0}.
13.某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位:m)和汽车刹车前的车速v(单位:km/h)之间有如下关系:s=0.21v+0.006v2.在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离不小于39 m,则这辆汽车刹车前的车速至少为 km/h.
【答案】 65
【解析】 根据题意,有s=0.21 v+0.006 v2≥39,
整理得6v2+210 v-39 000≥0,
解得v≥65或v≤-100(舍去),
所以这辆汽车刹车前的速度至少为65 km/h.
14.已知函数y=x2-2ax+a2-9,x∈[a-3,a2](a>0),若函数y的值域为[-9,0],则实数a的取值范围是 .
【答案】 [1,]
【解析】 y=x2-2ax+a2-9=(x-a)2-9,
则当x=a时,y=-9;当x=a-3时,y=0,
由x∈[a-3,a2](a>0),y∈[-9,0],
得
解得1≤a≤,
所以实数a的取值范围是[1,].
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
设全集U=R,集合P={x|-2(1)若a=-1,求集合P∩( UQ);
(2)若P∩Q=,求实数a的取值范围.
【解】 (1)当a=-1时,
Q={x|3a UQ={x|x≤-3或x>0},
又因为P={x|-2所以P∩( UQ)={x|0(2)当Q≠时,因为P∩Q=,
所以或解得a≤-3.
当Q=时,即3a≥a+1,解得a≥,
此时符合P∩Q=,所以a≥满足题意.
综上所述,a的取值范围为(-∞,-3]∪[,+∞).
16.(本小题满分15分)
已知命题p: x∈R,使x2-4x+m=0为假命题.
(1)求实数m的取值集合B;
(2)设A={x|3a【解】 (1)由题意,关于x的方程x2-4x+m=0无实数根,
所以Δ=16-4m<0,
解得m>4.
所以B={m|m>4}.
(2)因为A={x|3a所以3a即a<2.
又x∈A是x∈B的充分不必要条件,
所以3a≥4,即a≥,
所以≤a<2.
所以a的取值范围是{a|≤a<2}.
17.(本小题满分15分)
(1)已知a>0,b>0,且ab=1,求++的最小值;
(2)设a>0,b>1,若a+b=2,求+的最小值.
【解】 (1)因为a>0,b>0,且ab=1,
所以++=+=(a+b)+≥2=4,
当且仅当a+b=且ab=1,即a=b=1时,等号成立,
所以++的最小值为4.
(2)因为a>0,b>1,a+b=2,
所以a=2-b>0,
所以1+=+==≥=3+2,
当且仅当b=,
即b=,a=2-时,等号成立,
所以+的最小值为3+2.
18.(本小题满分17分)
已知函数y=x2-(a+4)x+4a.
(1)解关于x的不等式y<0;
(2)若关于x的不等式y+4x<0的解集为(m,n)(m>0,n>0),求m+4n的最小值.
【解】 (1)因为y=x2-(a+4)x+4a=(x-4)(x-a),
所以当y<0时,(x-4)(x-a)<0.
当a=4时,不等式y<0的解集为;
当a>4时,不等式y<0的解集为(4,a);
当a<4时,不等式y<0的解集为(a,4).
(2)由题意,关于x的方程x2-ax+4a=0有两个不等的正根,
由根与系数的关系知
解得a>16,
则+===,m+4n=4(m+4n)(+)=4(5++).
因为m>0,n>0,
所以+≥2=4,
当且仅当m=2n,且+=,
即m=12,n=6时,等号成立,
此时a=18>16,符合条件,则m+4n≥36,
综上,当且仅当a=18时,m+4n取得最小值36.
19.(本小题满分17分)
数字经济是以数据资源为关键要素,以现代信息网络为主要载体,通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态.在技术层面,数字经济包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术;在应用层面,数字经济包括“新零售”“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人,每月的成本t(单位:万元)由两部分构成:①固定成本为1 000万元;②材料成本为(10x+)万元,x为每月生产人形机器人的个数.
(1)该企业每月的产量为多少时,平均每个人形机器人的成本最低 最低为多少万元
(2)若每个人形机器人的售价为(23+)万元,且生产出来的每个人形机器人都能够售出,则该企业应如何制定生产计划,才能确保每月的利润不低于400万元 附:利润=售价×销量-成本.
【解】 (1)设平均每个人形机器人的成本为y万元,根据题意有y==++10≥
2+10=30,
当且仅当=,即x=100时,等号成立.
所以该企业每月的产量为100个时,平均每个人形机器人的成本最低,最低为30万元.
(2)设月利润为W万元,则有W=x(23+)-1 000-10x-=+13x-1 000,由题知+13x-1 000
≥400,整理得x2+130x-14 000≥0,解得x≥70,x∈N.
所以该企业每月生产不少于70个人形机器人,才能确保每月的利润不低于400万元.
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