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初中数学 第八讲—《相似三角形的判定(一)》
8
一、知识理解与建构知识
相似三角形的判定(一)
二、方法剖析与提炼
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A
二、方法剖析与提炼
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二、方法剖析与提炼
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三、能力训练与拓展
A
D
B
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三、能力训练与拓展
A
A
C
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三、能力训练与拓展
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△BCD
8:5
△DAB
△DCE
（或1:2 ）
1:2
三、能力训练与拓展
三、能力训练与拓展
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三、能力训练与拓展
三、能力训练与拓展
四、自主检测与评价
A
C
D
C
四、自主检测与评价
△AEG∽△CFG
△AEG∽△CBA
△CFG∽△CBA
3
2
四、自主检测与评价
E
四、自主检测与评价
.
想象力Z智能中高若
智能
中高考
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三三
○
.
网
库网
千库网
民网
C千库网
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网
C千库网
心子
C千库网
库网
2
网
C千库网
1.如图，已知AB∥CD∥EF,BD:DF=2:5,那么下列结论正确的是(
)
A.AC:EC=2:5 B.AB:CD=2:5 C.CD:EF-2:5
D.AC:AE=2:5
B
(第2题图)
(第3题圜)
(第1题图)
2.如图，在平行四边形ABCD中，点E,F分别在边AD,BC上，且EF CD,G为边
AD延长线上一点，连接BG,则图中与△ABG相似的三角形有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.如图，已知AB∥CD∥EF,AD:AF=3:5,BC=6,则CE的长为()
A.5
B.4
C.3
D.2
4.在△ABC中，点D,E,F分别在AB,BC,AC上，且DE∥AC,EFM AB.若BD=2AD,
则CF的值为()
A.
1
B.
1
2
2
-3
C.
D.
3
A
D
E
(第4题图)
B
(第5题图)
(第6题照)
5.如图，AD∥BC,在△ABC中，点E在AB边上，EF BC,交AC边于点F,DE交AC
边于点G,则下列结论错误的是()
A.
AE=AF
B.4G=DG
C.4G=AE
D.AE=AF
BE CF
GF
EG
GF
EB
AB AC
6.如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，AD=4DE,连接BE并延长交AC于点F,
则AF:FC的值是()
A.3:2
B.4:3
C.2:1
D.2:3九下第8讲 相似三角形判定（一）
（一）知识理解与建构
课标学业要求
1．了解相似三角形的概念．
2．掌握平行线分线段成比例定理的基本事实、推论以及利用平行线法判定三角形相似．
3．应用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问题．
4．经历平行线分线段成比例的认识过程，得到利用平行线法判定三角形相似的方法．
知识结构框架
（二）方法剖析与提炼
学业要求一：理解相似三角形的概念
例1．如图，△AOB∽△COD，则下列各式中正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
【解析】△AOB∽△COD，则A和C，B和D为对应顶点；AB和CD、AO和CO、BO和DO为对应边，根据定义判断正误．
【解答】解：∵△AOB∽△COD
∴，
∴答案：A
【解法】根据相似三角形的定义，两个三角形相似则对应边成比例、对应角相等．
【解释】本题考查相似三角形的概念，明确相似三角形对应边和对应角是解答本题的关键．
学业要求二：利用平行线分线段成比例定理计算线段长度
例2． 如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC依次交l1，l2，l3于A，B，C三点，直线DF依次交l1，l2，l3于D，E，F三点，若，DE=12，求EF的长．
【解析】根据平行线分线段成比例，可得，结合DE=12，求得DF=21，再根据EF=DF-DE即可求得EF长．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴ ，
∵DE=12，
∴DF=21
∴EF=DF-DE=9
【解法】根据平行线分线段成比例得出对应线段比例式，代入求值．
【解释】本题考查平行线分线段成比例的基本事实．
学业要求三：利用平行线法判定三角形相似
例3． 如图，已知菱形BEDF内接于△ABC，点E，D，F分别在边AB，AC和BC上．若AB＝15 cm，BC＝12 cm，求菱形BEDF的边长．
【解析】根据菱形的性质：对边平形，由平行线法判定△AED∽△ABC，得对应边成比例，得，再利用设菱形边长为x列方程求解．
【解答】解：设菱形BEDF的边长为x cm，则AE＝(15－x)cm．
∵四边形BEDF是菱形， ∴DE∥BC
∴△AED∽△ABC ∴．
∵AB＝15 cm，BC＝12 cm，AE＝(15－x)cm，
∴，解得x＝，
∴菱形BEDF的边长为cm．
【解法】利用平行线法判定三角形相似，通过设元列方程求解．
【解释】本题主要考查了平行线法判定三角形相似，利用菱形的性质得三角形相似，然后利用三角形相似定义对应边成比例求解．
（三）能力训练与拓展
1． 如图，已知AB∥CD∥EF，BD∶DF＝2∶5，那么下列结论正确的是( )
A．AC∶EC＝2∶5 B．AB∶CD＝2∶5 C．CD∶EF＝2∶5 D．AC∶AE＝2∶5
2． 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且EF∥CD，G为边AD延长线上一点，连接BG，则图中与△ABG相似的三角形有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3． 如图，已知AB∥CD∥EF，AD∶AF＝3∶5，BC＝6，则CE的长为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
4． 在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且DE∥AC，EF∥AB．若BD＝2AD，则的值为( )
A． B． C． D．
5． 如图，AD∥BC，在△ABC中，点E在AB边上，EF∥BC，交AC边于点F，DE交AC边于点G，则下列结论错误的是( )
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
6． 如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，AD＝4DE，连接BE并延长交AC于点F，则AF∶FC的值是( )
A．3∶2 B．4∶3 C．2∶1 D．2∶3
7． 如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AD与BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F．试回答：图中△DEF∽ ，△BEF∽ ，△ABE∽ ．
8． 若△ABC∽△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'的相似比为2，那么△A'B'C'与△ABC的相似比为 ．
9． 如图，已知AM∶MD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，则AE∶EC＝ ．
10． 如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC＝ ．
11． 如图，点E，F分别在线段AD，BC上，AB∥CD∥EF．已知BF＝4，CF＝6，AE＝5，求DE的长．
12． 如图，已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE＝2CE，AB＝6，BC＝9．
求：(1)BF和BD的长度；(2)四边形BDEF的周长．
13．如图，O是△ABC内任意一点，DE∥AB，DF∥AC，EF∥BC，那么△ABC与△DEF相似吗 说明理由．
14． 阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝．下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E……
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)如图3，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长．
（四）自主检测与评价
1．已知△ABC∽△DEF,且∠A=30°,∠E=30°,则∠C的度数是( )
A．120° B．60° C．90° D．30°
2．【教材改编】如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C,直线DF分别交l1、l2、l3于点D、E、F，若AB=3，BC=2，则等于( )
A． B． C． D．
3．某商店售卖的花架简图如图所示,其中AD∥BE∥CF, DE=24 cm, EF=40 cm, BC=50 cm,则AB的长为( ) A．cm B．cm C．50 cm D．30 cm
4．如图,AB∥CD,点E在AB上,点F在CD上,AC、BD、EF相交于点O,则图中相似三角形共有( ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．【2023陕西】如图,AB∥EF,AE∥BC,EF与AC交于点G,则图中相似三角形共有 对．
6．在如图所示方格纸中，已知△DEF是由△ABC经相似变换所得的像，那么△DEF的每条边都扩大到原来的 倍．
7．如图，在等腰△ABC中，AB=AC ，点P在BA 的延长线上， ，点D在BC 边上，PD=PC ，则 的值是 ．
8．如图所示，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．
求证：AF：FD=AD：DB．
9．【2023北京通州】如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．
求的值．
10．如图，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连接BP并延长与AD的延长线交于点Q．
（1）求证：△DQP∽△CBP；
（2）当△DQP≌△CBP，且AB=8时，求DP的长．
第8讲 参考答案
【能力训练与拓展】
1． A 2． D 3． B 4． A 5． C 6． A
7． △DAB △BCD △DCE
8． (或1∶2)
9． 8∶5
10． 1∶2
11． 解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，即＝，解得DE＝．
12． 解：(1)∵AE＝2CE，∴＝．∵EF∥AB，∴＝＝．∵BC＝9，
∴BF＝6．∵DE∥BC，∴＝＝．∵AB＝6，∴BD＝2．
(2)∵EF∥AB，DE∥BC，∴四边形BDEF是平行四边形，∴BD＝EF＝2，DE＝BF＝6，
∴四边形BDEF的周长为2×(2＋6)＝16．
13．
解：△ABC∽△DEF．
理由：∵DE∥AB， ∴△ODE∽△OAB， ∴∠ODE＝∠OAB，∠OED＝∠OBA，
＝＝． 同理可证∠ODF＝∠OAC，∠OFD＝∠OCA，∠OEF＝∠OBC，
∠OFE＝∠OCB，＝＝，＝＝，
∴∠EDF＝∠BAC， ∠DEF＝∠ABC，∠DFE＝∠ACB，＝＝，
∴△ABC∽△DEF．
14． 解：(1)∵CE∥AD，
∴＝，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E．
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，∴＝．
(2)∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，
∴AC＝5．
∵AD平分∠BAC，
∴＝，即＝，
∴BD＝，BC＝，
∴AD＝＝＝，
∴△ABD的周长为＋3＋＝．
【自主检测与评价】
1．A 2．C 3．D 4．C 5． 3
解析 ∵AB∥EF,AE∥BC，
∴△AEG∽△CFG∽△CBA，
∴共有3对相似三角形.
分别为△AEG∽△CFG，△AEG∽△CBA，△CFG∽△CBA．
6．2 7．
8．
证明：∵EF∥CD，DE∥BC，
∴
∴
∴AF：FD=AD：DB．
9．解：如图，过D作DE∥BN,交AC于E，
∵D是BC的中点，∴BD=CD，
∵DE∥BN，∴，
∴EN=CE．
∵M是AD的中点,
∴AM=DM,
又∵MN∥DE，∴AN=EN,
∴AN=EN=CE，∴．
10．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AQ∥BC，
∴∠QDP=∠BCP，
又∠QPD=∠CPB，
∴△DQP∽△CBP；
（2）∵△DQP≌△CBP，
∴DP=CP=CD，
∵AB=CD=8，
∴DP=4．
