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初中数学 第十讲—《相似三角形的性质》
10
一、知识理解与建构知识
相似三角形的性质
二、方法剖析与提炼
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二、方法剖析与提炼
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二、方法剖析与提炼
【解法】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解释】本题考查直角三角形的勾股定理和相似三角形的判定与性质等知识点的同时，也考查学生综合解决问题的能力，引导学生用数学的眼光去看待世界，用数学的思维思考现实世界，并用数学的语言去表达世界.
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三、能力训练与拓展
B
A
D
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三、能力训练与拓展
A
C
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三、能力训练与拓展
1:2
（第6题）
（第8题）
（第9题）
36
3
8
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三、能力训练与拓展
C
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四、自主检测与评价
B
B
C
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四、自主检测与评价
D
B
4
（第4题）
（第6题）
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四、自主检测与评价
144
（第7题）
（第8题）
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四、自主检测与评价
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四、自主检测与评价
四、自主检测与评价
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四、自主检测与评价九下第10讲 相似三角形的性质
（一）知识理解与建构
课标学业要求
1.了解相似三角形对应高线、中线和角平分线等对应线段的比等于相似比．
2.了解相似三角形的面积比等于相似比的平方．
3.能够运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题.
知识结构框架
（二）方法剖析与提炼
学业要求一：了解相似三角形对应高线、中线和角平分线等对应线段的比等于相似比．
例1（2023九上·上海市月考）已知△ABC∽△A1B1C1，AC=12，A1C1=8，△ABC的中线AD为6，那么△A1B1C1的中线A1D1长为 ．
【解析】利用相似三角形的对应边成比例求出相似比，再利用相似三角形的对应线段等于相似比，列式求解.
【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，AC=12，A1C1=8，
∴相似比为：，
∵△ABC的中线AD为6，
∴△A1B1C1的中线A1D1长为：.
故答案为：4．
【解法】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比计算．
【解释】本题考查相似三角形的对应线段等于相似比，列式解决问题，考查学生计算能力.
学业要求二：了解相似三角形的面积比等于相似比的平方．
例2（教材改编）如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D若△ABC的边BC上的高为 6，面积为，求△DEF的边EF上的高和面积.
【解析】先由AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D判定△ABC和△DEF相似并求出相似比，再利用相似三角形的对应高线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，列式求解.
【解答】在△ABC和△DEF中，
∵AB=2DE，AC=2DF
∴
又∵∠A=∠D
∴△DEF∽△ABC,相似比为
∵△ABC的边BC上的高为6，面积为
∴△DEF的边EF上的高为：,
面积为：.
【解法】根据“两边对应成比例、夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似；根据“相似三角形三线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方”列式求解.
【解释】本题考查相似三角形三线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．列式解决问题，考查学生推理、计算能力，让学生的认知结构得到不断的完善.
学业要求三：能够运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题.
例3（2020九上·黄浦期末）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC=6厘米，长CD=16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是 厘米．
【解析】先由勾股定理求出BE，再过点B作BF AF于F，由△CBE∽△FBA的比例线段求得结果即可．
【解答】解：过点B作BF AF于F，如图所示：
∵BC=6厘米,CD=16厘米,CE=CD.
∴CE=8厘米，
∵∠C=90°，
由勾股定理得：，
∵∠CBA=∠FBE=90°，
∴∠EBC=∠ABF，
∵∠BCE=∠BFA=90°，
∴△CBE∽△FBA，
∴，
即，
∴ ．
【解法】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解释】本题考查直角三角形的勾股定理和相似三角形的判定与性质等知识点的同时，也考查学生综合解决问题的能力，引导学生用数学的眼光去看待世界，用数学的思维思考现实世界，并用数学的语言去表达世界.
能力训练与拓展
1．（2023·重庆）若两个相似三角形周长的比为1:4，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A．1:2 B．1:4 C．1:8 D．1:16
2．（2023九上·威远期中）若两个相似三角形的面积之比为4:9，则它们对应角平分线之比为（ ）A．2:3 B．3:2 C． D．
3．（2023九上·鹿城月考）如图，在2×4的正方形网格中，线段AB与CD交于点E，若每个小正方形的边长为1，则DE的长为（ ）
A．2 B． C． D．
4．（2023九上·恩阳期中）如图是小阳设计利用光线来测量某古城墙CD高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离PD=12米，镜子P与小明的距离BP=1.5米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明眼睛距地面的高度AB=1.2米，解决本题应用什么光学知识，该古城墙的高度是（ ）
A．光的反射，9.6米 B．光的折射，9.6米
C．光沿直线传播，8米 D．光的反射，24米
5．（2023九上·闵行期中）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，如果对角线AC与BD相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是 （ ）
A．S1=S3 B．S2=2S1
C．S2=2S4 D．S1 S3=S2 S4
6.（2022九上·南海月考）如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，DE∥BC．已知AE=2,，则EC的长是 ．
7.（2022九上·威远期中）若两个相似三角形的一组对应边长分别为16和32，它们的周长之差为36，则较小三角形的周长是 .
8.如图，在 Rt△ABC中，∠ABC= 90°，D是边BC上一点，以BD为直径的半圆与边AC相切于点E.若AB=3，BC=4，则 BD= .
9．如图，⊙O的半径为10，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP=6，过点A作AP的垂线交QO于点B，C.若PC=15，则PB= .
10．（2021九上·成都期末）在 中，E是DC的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F.
（1）求证：BC=CF；
（2）点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且∠DAF=∠GAF.若CG=2,GF=5，求AH的长.
（四）自主检测与评价
1．（2022九上· 拱墅期中）△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形△DEF，其最长边为16，则△DEF的周长是（ ）
A．54 B．36 C．27 D．21
2．（2022九上·霍邱月考）如图，一块等腰直角三角板，它的斜边BC=8cm，内部△DEF的各边与△ABC的各边分别平行，且它的斜边EF=4cm，则△DEF的面积与阴影部分的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：8
3．（2022九上·蚌埠月考）如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，用螺丝钉固定点O的位置，使OA=3OD,OB=3OC，然后张开两脚，使点A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若CD=5cm，则AB的长是（ ）
A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．20 cm
4．（2022九上·永年期中）如图，在RT△ABC中，∠BAC=90°，中线AD,BE相交于点F，EG//BC，交AD于点G，GF=2，则BC的长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
5．（2022九上·乐山期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长交 BA延长线于点F，若AE：AD=2：3，CD=3cm，则AF的长为（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
6．（2021九上·阳山期末）若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的周长比是 ．
7.（2022九上·高陵期中）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D都在格点处，线段与相交于点E，则的值为 ．
8.（2021九上·南宁期中）如图：正方形DGFE的边EF在△ABC边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH⊥BC于H，交DG于P，已知BC＝48，AH＝16，那么S正方形DGEF＝ .
9.（2022九上·义乌期中）如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺作图．
(2)在图2中作一个格点△CDE，使△CDE与△ABC相似．
10．（2022九上·潞城月考）综合与探究
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC,CD上，且AE BF，请直接写出线段AE与BF的数量关系 ．
（2）【类比探究】
如图2，在矩形ABCD中，AB=3,AD=5，点E,F分别在边BC,CD上，且AE BF，请写出线段AE与BF的数量关系，并证明你的结论．
（3）【拓展延伸】
如图3，在RT△ABC中，∠ABC=90°，D为BC中点，连接AD，过点B作BE AD于点F，交AC于点E，若AB=3，BC=4，求BE的长．
第10讲参考答案
能力训练与拓展
1.B 2.A 3.D 4.A 5.C 6.1：2 7.36 8.3 9.8
10.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAF=∠F,∠D=∠DCF
∵E为DC中点，
∴CE=DE
在△AED和△FEC中，
∴△AED≌△FEC(AAS)，
∴AD=CF，
∴BC=CF
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠F
∵∠GAF=∠DAF，
∴∠GAF=∠F
∴AG=GF=5，
∵CG=2,GF=5
∴AD=CF=7，
∵AD∥BC ，
∴△AHD∽△GHC，
（四）自主检测与评价
1.B 2.B 3.C 4.D 5.B 6.4 7. 8.144
9.（1）解：如图（画法不唯一）
∵CD∥AF，
∴△CDE∽△AFE，
∴AE∶CE=AF∶CD=1∶2，
（2）解：如图（画法不唯一），
∵BC2＝5，AC2＝20，AB2＝25，
∴BC2＋AC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，AC＝2BC，
所以作Rt△DEF，使∠D=90°，且DE=2CD即可.
10.（1）AE=BF
证明：∵AE BF，
∴∠BAE+∠ABF=90°，
在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∴∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠BAE=∠CBF
∴Rt△ABE∽Rt△BCF
（3）解：如图，过点A作AB的垂线，过点C作BC的垂线，两垂线交于点G，延长BE交CG于点H．
∴四边形ABCG是矩形．
∵D为BC中点，
∴CD=BD=2.
∵AB=3,
在Rt△BCH中，
∵AB∥CH
∴△ABE∽△CHE，
