(共19张PPT)
初中数学 第九讲—《相似三角形的判定(二)》
9
一、知识理解与建构知识
相似三角形的判定(二)
二、方法剖析与提炼
请先按暂停键！
思考完成后
再按回播放键！
二、方法剖析与提炼
请先按暂停键！
思考完成后
再按回播放键！
二、方法剖析与提炼
请先按暂停键！
思考完成后
再按回播放键！
二、方法剖析与提炼
二、方法剖析与提炼
三、能力训练与拓展
C
B
D
三、能力训练与拓展
B
三、能力训练与拓展
三、能力训练与拓展
三、能力训练与拓展
四、自主检测与评价
A
B
B
四、自主检测与评价
C
四、自主检测与评价
108
四、自主检测与评价
四、自主检测与评价
四、自主检测与评价
四、自主检测与评价
.
想象力Z智能中高若
智能
中高考
il.
三三
○
.
两角对应相等
普通三角形
三边对应成比例
两边对应成比例且夹角相等
相似三角形的判定
直角三角形
个锐角相等
一条直角边和一条斜边对应成比例
位似三角形
网
库网
千库网
民网
C千库网
网
网
C千库网
心子
C千库网
库网
2
网
C千库网
【解答】(2).四边形PWMQ为矩形，.PQ∥BC,∠P=∠PWM=90°，∴.△APQ∽△ABC
AD LBC,∴AD1PO,H_P巴
,∠PHD=90°
AD BC
四边形PNDH是矩形，
AH 40
80
80160
80120
AH-3.PN HD-80
3
31
AH PO
(3)设PW=x(mm),则PQ-2.xmm),同(2)可知
∠PHD=90
AD BC
2x80-x
240
480
,.2X=
120
80
解得x=7
7
答：这个矩形的长为4mm,宽为240
480
AE DE
1.如图，点D,E分别在△ABC的AB,AC边上，下列条件中：①∠ADE=∠C;②
AB
BC
AD AE
③
使△ADE与△ACB一定相似的是(
AC AB
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
A
D
E
E
B
C
B
C
E
B
G
第1题
第2题
第3题
2.如图，己知∠DAB=∠CAE,那么添加下列一个条件后，无法判△ABC∽△ADE的是(
AB BC
AB AC
A.
B.
C.∠B=∠D
D.∠C=∠AED
AD DE
AD AE
3.如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，S四形CED15,则S△ABc-()
A.30
B.25
C.22.5
D.20九下第9讲 相似三角形判定（二）
（一）知识理解与建构
课标学业要求
1．掌握相似三角形的判定定理；
2.会用三角形的相似解决问题；
3.认识位似图形；
知识结构框架
（二）方法剖析与提炼
学业要求一：相似三角形的面积关系
例1（改编）如图，在△ABC中，在AB边上找一点D，作DE∥BC，EF∥AB，已知，若△ADE的面积为2，则四边形BDEF的面积为（ ）．
A.8 B.10 C.12 D.14
【解析】利用相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方，根据△ADE的面积，分别求出△EFC、△ABC的面积，即可求差求出四边形BDEF的面积.
【解答】解：(1)由题意，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴ ∴ ∵S△ADE=2 ∴S△ABC=18
∵DE∥BC，EF∥AB 可证△ADE∽△EFC， 可求S△EFC=8 ∴S四边形BDEF=18-2-8=8
∴此题选A.
【解法】相似三角形的判定；相似三角形的相似比；相似三角形的面积比.
【解释】本题考查判定三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，解答本题的关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出另外两个三角形的面积，从而求出四边形面积．
学业要求二：位似图形的性质
例2【2023·嘉兴、舟山】如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(2，1)，C(3，2)，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是( )
(2，4) B．(4，2) C．(6，4) D．(5，4)
【解析】当以坐标原点为位似中心时，若原图形上的点的坐标为（x，y），位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上的对应点坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.
【解答】原图形上的点的坐标C为（3，2），位似图形与原图形的位似比为2，则位似图形上的对应点坐标为（6，4）或（-6，-4），因为此题C’在第一象限，
∴此题选C.
【解法】位似图形的性质
【解释】本题考查位似图形的坐标关系，解答本题的关键是利用位似比和坐标的关系，从而求出对应点的坐标．
学业要求三：相似三角形的性质，高线比=相似比
例3【教材改编】如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB，AC上．
(1)当P恰好为AB中点时，PQ＝__________mm.
(2)当PQ＝40 mm时，求PN的长度．
(3)若这个矩形的边PN∶PQ＝1∶2，则这个矩形的长、宽各是多少？
【解析】利用相似三角形的高线比等于相似比，从PQ与BC的比值与AH与AD的比值相等入手，从而解决问题．
【解答】解：（1）∵四边形PNMQ为矩形， ∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC. ∴
∵P为AB中点 ∴ ∴
(2)∵四边形PNMQ为矩形，∴PQ∥BC，∠QPN＝∠PNM＝90°， ∴△APQ∽△ABC.
∵AD⊥BC，∴AD⊥PQ， ∴
∴四边形PNDH是矩形， ∴，.
设PN=x(mm)，则PQ=2x(mm)，同（2）可知，
∴ ∴
答：这个矩形的长为mm，宽为mm.
【解法】相似三角形的判定；相似三角形的高线比.
【解释】本题考相似三角形的判定，解答本题的关键是利用相似三角形的高线比等于相似比的性质，从而求出对应边的长度．
（三）能力训练与拓展
1.如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；②；③．使△ADE与△ACB一定相似的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
2.如图，已知∠DAB=∠CAE，那么添加下列一个条件后，无法判△ABC∽△ADE的是（ ）
B． C． D．
3.如图,在△ABC中,D、E分别是AB和AC的中点,S四边形BCED=15,则S△ABC=( )
A.30 B.25 C.22.5 D.20
4. [2022·重庆A卷]如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2∶3.若△ABC的周长为4，则△DEF的周长为( )
A．4 B．6 C．9 D．16
5.（2023湖南常德）如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为__________．
6.如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AB边上一点，且∠ADE＝60°.
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)若BD＝3，CE＝2，求△ABC的边长．
7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE·CA.
(1)求证：BC＝CD；
(2)分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．
（四）自主检测与评价
1.若△ABC∽△DEF,相似比为4∶3,则△ABC与△DEF对应的中线之比为( )
A.4∶3 B.3∶4 C.16∶9 D.9∶16
2.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为1∶3,则△ABC与△DEF的周长比为( )
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶9
3.如图,矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上,顶点D,G分别在边AB,AC上,AH⊥BC,垂足为H,AH交DG于点P.已知BC＝6,AH＝4.当矩形DEFG的面积最大时,HP的长是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.【2021浙江温州一模】《几何原本》里有一个图形:在△ABC中,D,E是边AB上的两点(AD
A.9 B.18 C.27 D.54
5.【2021·南通】如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上.设△ABC的周长为C1,△DEF的周长为C2,则的值等于 .
6.如图,小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1,算出了正△A1B1C1的面积,然后分别取△A1B1C1三边的中点A2,B2,C2,作出了第2个正△A2B2C2,算出了正△A2B2C2的面积.用同样的方法,作出了第3个正△A3B3C3,算出了正△A3B3C3的面积,……,则第n个正△AnBnCn的面积是 .
7.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB=AD，对角线AC、BD相交于点E，GH是直径，GH⊥AC于点F，AF=AB，若AE=3，则BC·CD的值是
8.如图,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于点F,点E是AB的中点,连接EF.
(1)求证:EF∥BC.
(2)若四边形BDFE的面积为6,求△ABD的面积.
9.有一块三角形余料ABC,它的边BC=120 mm,高AD=80 mm.如图1,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.
(1)求加工成的正方形零件的边长.
(2)如果要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形组成,如图2,此时,这个矩形零件的两条边长分别为多少
(3)如果要加工的零件只是一个矩形,如图3,此时,这个矩形零件的两条边长不能确定,但这个矩形的面积有最大值,求面积达到最大值时矩形零件的两条边长.
第9讲参考答案
【能力训练与拓展】
1.【答案】C
【解析】由两角相等的两个三角形相似得出①正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出③正确；即可得出结果．
∵∠DAE＝∠BAC，∴当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB，故①符合题意，
当时，∵∠B不一定等于∠AED，∴△ADE与△ACB不一定相似，故②不符合题意，
当时，△ADE∽△ACB．故③符合题意，综上所述：使△ADE与△ACB一定相似的是①③， 故选：C．
2.【答案】B
【解析】利用相似三角形的判定依次判断可求解．
∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAE=∠BAC，
A.若，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项A不符合题意；
B.若，且∠DAE=∠BAC，无法判定△ABC∽△ADE，故选项B符合题意；
C.若∠B=∠D，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项C不符合题意；
D.若∠C=∠AED，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项D不符合题意；
故选：B．
【答案】D
【解析】∵D、E分别是AB和AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,DE=BC,∴△ADE∽△ABC,
∴
∴S△ADE=S△ABC,
∴S四边形BCED=S△ABC,
∵S四边形BCED=15,∴S△ABC=20. 故选D.
4.【答案】B
【解析】位似图形与原图形的位似比与相似比相等，相似图形的周长比等于相似比.
△ABC与△DEF的相似比为2:3，所以周长比也为2:3，△ABC的周长为4，则△DEF的周长为6，所以此题选B.
5.【答案】
【解析】首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，进而得到，然后证明出 ABD∽ ACE，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】∵在中，，，，
∴
∵
∴，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴ ABD∽ ACE ∴．
故答案为：．
6.【解析】本题主要是利用“两角分别相等的两个三角形相似”，解答此题的关键是利用三角形的外角的知识得出角相等．
【解答】(1)由题有∠B＝∠C＝60°，利用三角形外角的知识得出∠BAD＝∠CDE，即可证明△ABD∽△DCE；(2)根据△ABD∽△DCE，列出比例式，即可求出△ABC的边长．
(1)证明：在△ABD中，∠ADC＝∠B＋∠BAD，又∠ADC＝∠ADE＋∠EDC，而∠B＝∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠CDE.在△ABD和△DCE中，∠BAD＝∠CDE，∠B＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCE；
(2)设AB＝x，则DC＝x－3，由△ABD∽△DCE，∴＝，∴，∴x＝9.即等边△ABC的边长为9.
7.【解答】解：(1)证明：∵DC2＝CE·CA，∴＝，
又∵∠ACD＝∠DCE，∴△CAD∽△CDE，
∴∠CAD＝∠CDE，
∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝DC；
(2)如答图，连结OC，设⊙O的半径为r，
答图
∵CD＝CB，
∴∠BOC＝∠BAD，
∴OC∥AD，
∴＝＝＝2，∴PC＝2CD＝4，
∵∠PCB＝∠PAD，∠CPB＝∠APD，
∴△PCB∽△PAD，
∴＝，即＝，
∴r＝4，即⊙O的半径为4.
【自主检测与评价】
1．A
2．B
3．B
4．C
5.
6．
7．解：∵AB=AD
∴∠ADE=∠ACD，又∵∠CAD=∠EAD（公共角）
∴△AED∽△ADC
∴
∵AF=AB=AC
∴
∴AD=6，AC=12
∴EC=12-3=9
又∵△DEC ∽△ABC
∴
∴BC×CD=AC×CE=12×9=108
8．解(1)∵DC=AC,CF平分∠ACB,
∴CF是△ACD的中线,
∴点F是AD的中点,
又点E是AB的中点,
∴EF∥BD,即 EF∥BC.
由(1)知EF∥BD,
∴△AEF∽△ABD,∴ .
∵AE=AB,,
∴,∴,
即△ABD的面积为8.
解(1)设正方形零件的边长为x mm,
则PN=PQ=ED=x mm,
∴AE=AD-ED=(80-x)mm.
∵PN∥BC,
∴△APN∽△ABC,
∴解得x=48.
∴加工成的正方形零件的边长是48 mm.
(2)设PQ=y mm,则PN=2y mm,AE=(80-y)mm,
∵PN∥BC,∴△APN∽△ABC,
∴,即,
解得,∴.
∴这个矩形零件的两条边长分别为 mm, mm.
(3)设PN=z mm,矩形PQMN的面积为S mm2
由题意可得△APN∽△ABC,
∴,即,解得.
则,
故S的最大值为2400,此时PN=60 mm,PQ=80-×60=40(mm).
∴此时矩形零件的两条边长分别为60 mm,40 mm.