九下第11讲相似三角形应用举例
（一）知识理解与建构
课标学业要求
1.能够利用相似三角形的知识,求出不能直接测量的物体的高度和宽度.
2.能够运用三角形相似的知识,求出不能直接测量的物体的高度遮挡问题．
3. 进一步了解数学建模思想,能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型,提高分析问题、解决问题的能力.
知识结构框架
（二）方法剖析与提炼
学业要求一：利用影长求物体的高度
例1【教材改编】据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度.如图,
木杆EF长 2 m,它的影长 FD为 4 m,测得OA为201m,求金字塔的高度BO.
【解析】太阳光是平行光线,由平行可以得到一对角相等,由垂直得到另一对角相等,进而得到△ABO∽△DEF,再根据相似三角形的对应边成比例解决问题.
【解答】解：∵太阳光是平行的光线 ∴
又∵ = =90° ∴
∵ ∴m
答：因此金字塔的高度为100.5 m.
【解法】利用相似三角形的对应边成比例来求解,即在同一时刻物高与影长成正比例.
【解释】本题考查相似三角形的判定和性质.利用两个角相等的三角形是相似三角形来证明两个三角形相似，再根据对应边成比例来求出BO的值
学业要求二：利用平面镜反射原理求物体的高度
例2 如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.在点E处水平放一平面镜,光线从点A发出经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,测得AB＝2米,BE＝3米,ED＝12米,求该古城墙CD的高度.
【解析】利用镜子的反射,先根据入射角等于反射角的原理构造相似三角形,
再计算所求物体的高度.
【解答】解：由题意可得
∴
∵
∴ =90°
∴
∴
∵AB=2米,BE=3米,ED=12米
∴
解得CD=8米
答：古城墙CD的高度是8米.
【解法】利用相似三角形的对应边成比例来求解.
【解释】本题考查相似三角形的判定、性质，平面镜入射角反射角之间的关系；
要求学生掌握科学中关于反射的知识，并利用入射角和反射角相等的关系，
根据等角的余角相等来求得相似三角形，再根据对应边成比例来求出CD的长.
学业要求三：构造相似三角形求物体的宽度
例3【教材改编】如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点 P,在近岸取点 Q 和 S,使点 P,Q,S 共线且直线 PS 与河垂直,接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T,确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R．已测得 QS = 50 m,ST = 95 m,QR =70 m,请根据这些数据,计算河宽 PQ.
【解析】测量不能直接到达的两点间的距离,构造“A”型或“8字”型的相似三角形,利用相似三角形的对应边成比例来求解.
【解答】解：∵ =90°,
∴
∴,即
∴
解得PQ=140m
答：河宽PQ为140米.
【解法】利用相似三角形的对应边成比例来求解.
【解释】本题考查构造相似三角形,测量不能到达的两点间的距离,
常构造“A”字型或“8”字型相似三角形,
利用“相似三角形的对应边成比例”列方程求解.
学业要求四：遮挡物问题
例4 如图,直立在B处的标杆AB＝2.9米,小明站在F处,眼睛E处看到标杆顶A,树顶C在同一条直线上（人,标杆和树在同一平面内,且点F,B,D在同一条直线上）.已知BD＝6米,FB＝2米,EF＝1.7米,求树高CD.
【解析】 测量不能到达顶部且有遮挡物的物体的高度,可以从人眼所在的部位向物体作垂线,根据人、物体都与地面垂直构造相似三角形数学模型,利用相似三角形对应边的比相等解决问题.
【解答】解：过E点作交CD于H点,交AB于点G
由题意得
∵
∴四边形EFDH为矩形
∴
∵
∴AG=米
∵
∴
∴解得CH=4.8
∴米
【解法】构造相似三角形,利用相似三角形的对应边成比例来求解.
【解释】从E作垂直于CD,可以构造出相似三角形,利用相似三角形的性质求解.
（三）能力训练与拓展
1.小刚身高 1.8 m,测得他站立在阳光下的影子长为0.80 m,紧接着他把手臂竖直举起,测得影子长为 1.0 m,那么小刚举起的手臂超出头顶 ( )
A. 0.5 m B. 0.45 m C. 0.6 m D. 2.2 m
2.如图,在△ABC中,D,E分别是 AB,AC边上的点,DEBC,若AD=2,AB=3,DE=4.则BC等于（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
3.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点 P 处放一水平的平面镜,光线从点 A 出发经平面镜反射后,刚好射到古城墙的顶端 C 处,已知 AB = 1米,且测得 BP = 3 米,DP = 12米,那么该古城墙的高度是 ( )
A. 6 米 B. 8 米 C. 18 米 D. 36 米
4.（2022·江苏盐城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法
步骤：第一步：水平举起右臂,大拇指紧直向上,大臂与身体垂直；
第二步：闭上左眼,调整位置,使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；
第三步：闭上右眼,睁开左眼,此时看到被测物体出现在大拇指左侧,与大拇指指向的位置有一段横向距离,参照被测物体的大小,估算横向距离的长度；
第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10）,得到的值约为被测物体离观测,点的距离值．
如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图,该汽车的长度大约为4米,则汽车到观测点的距离约为（ ）
A．40米 B．60米 C．80米 D．100米
5.如图,有点光源 S 在平面镜上面,若在 P 点看到点光源的反射光线,并测得 AB＝10 cm,BC＝20 cm,PC⊥AC,且 PC＝22 cm,则点光源 S 到平面镜的距离 SA为 .
6.如图,为了测量水塘边A、B两点之间的距离,在可以看到A、B的点E处,取AE、BE延长线上的C、D两点,使得CD∥AB.若测得CD＝6m,AD＝15m,ED=3m,则A、B两点间的距离为 m.
7.(2021·吉林)在某一时刻,测得一根高为 1.8 m 的竹竺的影长为3 m,同时同地测得一栋楼的影长为90 m.则这栋楼的高度为 m.
8.如图,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸边每隔5 m有一棵树,在北岸边每隔50 m有一根电线杆．小丽站在离南岸边15 m的点P处看北岸,发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,则河宽为 m.
9.如图,花丛中有一路灯杆AB.在灯光下,小明在点D处的影长DE＝3 m,沿BD方向行走到点G,DG＝5 m,这时小明的影长GH＝5 m．如果小明的身高为1.7 m,求路灯杆AB的高度．(精确到0.1 m)
10.如图,某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度,他们通过调整测量位置,使斜边 DF 与地面保持平行,并使边DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上,已知 DE = 0.5 米,EF = 0.25 米,目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米,到旗杆的水平距离 DC = 16 米,求旗杆的高度.
（四）自主检测与评价
1.（2023.南充）数学活动课上,为测量学校旗杆高度,小菲同学在脚下水平放置一平面镜,然后后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上）,直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2m,镜子与旗杆的水平距离为10m,则旗杆高度为（ ）
A.6.4m B.8m C.9.6m D.12.5m
2.在某一时刻测得1米高的竹竿的影长为0.9米,同时测得一棵树的影长,落在地面上的影长为1.8米,落在墙上的影长为0.4米,则这棵树的高度为（ ）
A．2米 B．2.4米 C.2.2米 D．2.8米
3．如图,在一次估算河宽的过程中,测得BE＝20 m,EC＝10 m,CD＝20 m,则河的宽度AB等于（ ）
A.60 m B．40 m C.30 m D．20 m
4.（2023.潍坊）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图,AB表示塔的高度,CD表示竹竿顶端到地面的高度,EF表示人眼到地面的高度,AB、CD、EF在同一平面内,点A、C、E在一条水平线上.已知AC=20米,CE=10米,CD=7米,EF=1.4米,人从点F远眺塔顶B,视线恰好经过竹竿的顶端D,可求出塔的高度.根据以上信息,塔的高度为______米.
5.如图,小明在打网球时,要使球恰好能过网,而且落在离网5 m的位置上,则球拍击球的高度h应为_______m.
6. 如图,小树AB在路灯O的照射下形成树影BC.若树高AB＝2 m,树影BC＝3 m,树与路灯的水平距离BP＝6 m,则路灯的高度OP为_______m.
7．（2022·济宁期末）据《墨经》记载,在两千多年前,我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验,阐释了光的直线传播原理,如图（1）所示.如图（2）所示的小孔成像实验中,若物距为10cm,像距为15cm,蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm,则蜡烛火焰的高度是 cm．
8.（2022·榆树期中）如图,小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验,地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处,手电筒的光从平面镜上点B处反射后,恰好经过木板的边缘点F,落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m,点F到地面的高度CF＝1.5m,灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m,墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角,图中点A、B、C、D在同一水平面上．
（1）求BC的长．
（2）求灯泡到地面的高度AG．
9.（2023·永州月考）如图,在锐角三角形ABC中,D为BC边的中点,F为AB边所在的直线上一点,连接CF交AD延长线于E,已知,问：
（1）F点此时的位置．
（2）求的值．
10.如图,在△ABC中,矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上,Q、M在边BC上,AD⊥BC于D,交PN于E,若BC＝8 cm,AD＝6 cm.
（1）求证：；
（2）当PN＝4 cm时,求PQ的长；
（3）当PN＝2PQ时,求矩形PQMN的周长．
第11讲参考答案
【能力训练与拓展】
1.B 2 B 3.D 4.C 5.11cm 6.24 7.54 8.22.5
9.
根据题意得：
在Rt△ABE和Rt△CDE中,∵
∴CD∥AB,,∴
同理,,又∵CD=FG=1.7m
由①②可得
即,解得BD=7.5m,AB≈6.0m
答：路灯杆AB的高度约为6.0m.
10.
由题意得∠ACD=∠DEF=90°,∠ADC=∠ADC
所以△ACD∽△DEF,∴
∵EF=0.25米,DE=0.5米,DC=16米
∴,解得AC=2米
AB=AC+BC=2+1.5=3.5米
答：旗杆高为3.5米.
【自主检测与评价】
1.B 2.B 3.B 4.18.2 5.2.7 6.6 7.4
8.
（1）由题意可得FC∥DE
则△BFC∽△BED,
故,即
解得BC=3,经检验BC=3是上述分式方程的解.
（2）∵AC=5.4m
∴AB=5.4-3=2.4m
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角
∴∠FBC=∠GBA
又∵∠FCB=∠GAB
∴
∴
解得AG=1.2米
9.
（1）过点E作EG∥AF,交BC于点G
由题意可得
∴
∵D是BC的中点,EC=CF
∴BD=CD,CG=BC=BD,GE=BF
∴BF=4GE,DG=BD,AB=2GE,BF=2AB
∴点F在AB的延长线上,且BF=2AB
（2）∵AF=AB+BF=3AB
∴
10.
（1）证明：∵四边形PAMN为矩形
∴PN∥BC,
∵
∴
（2）由（1）得,
∴AE=3,PQ=ED=AD-AE=3
设PQ=,则PN=,AE=
∴,解得 =2.4
∴PQ=2.4,PN=4.8
∴矩形PQMN的周长为14.4cm(共17张PPT)
初中数学 第十一讲—《相似三角形应用举例》
11
一、知识理解与建构知识
相似三角形应用举例
二、方法剖析与提炼
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B
O
E
A(F)
D
∴
二、方法剖析与提炼
B
E
F
A
C
D
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二、方法剖析与提炼
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二、方法剖析与提炼
E
A
B
C
D
F
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G
H
三、能力训练与拓展
B
C
E
A
B
D
（第2题）
（第3题）
B
D
三、能力训练与拓展
C
（第5题）
11cm
三、能力训练与拓展
24
第6题
（第8题）
54
22.5
三、能力训练与拓展
三、能力训练与拓展
A
B
C
E
F
G
D
四、自主检测与评价
（第3题）
B
B
B
四、自主检测与评价
C
A
D
B
F
E
（第4题）
第4题
（第5题）
（第6题）
18.2
2.7
6
四、自主检测与评价
4
四、自主检测与评价
四、自主检测与评价
G
四、自主检测与评价
