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初中数学 第十五讲—《正弦》
正弦
15
一、知识理解与建构知识
二、方法剖析与提炼
例1.【教材改编】如图，在Rt△ABC中，∠C=90° ，求sinA和sinB的值.
【解析】 正弦涉及斜边，所以先利用勾股定理求出斜边，再根据定义求出sinA和sinB的值.
【解答】
在Rt△ABC中，∠C=90° ，
AB= = 5，
sinA = = ,
sinB = =
二、方法剖析与提炼
例2.为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌.先测得斜坡的坡角为30°，为使出水口的高度达到35m，需要准备多长的水管？
【解析】
在Rt△ABC中，已知∠A= 30°，BC =35，求AB的值.
【解答】
在Rt△ABC中，∠C=90° ，
sinA = ,
sin 30°=
解得AB=70
答：需要准备70m的水管.
即
直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半
=
实际问题
数学问题
二、方法剖析与提炼
例3. 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3,4) ，连结OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角α的正弦值.
【解析】
【解答】
在Rt△AOP中，∠A=90° ，
∴ sin= =
求正弦值
构造直角三角形
过点P作PA⊥x轴
A
由P (3,4) 知，
OA= 3，PA= 4
∴ OP= = 5，
过点P作PA⊥x轴，交x轴于点A
二、方法剖析与提炼
例4. 在△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，sinA= ，求这个三角形的周长．
【解析】
【解答】
画草图
标上已知条件
12
直角三角形中，锐角的对边与斜边之比
7x
25x
由题意可设，BC=7x ，AB=25x ，
方程思想
Rt△ABC中，+ =
+ =
直角三角形隐含条件
=
解得x=0.5
=
=
4 =1
平方差公式
∴ =0.5
∴三角形的周长是 12+7×0.5+25×0.5=28cm
∵＞0
三、能力训练与拓展
1. 在Rt△ABC中，若三边长都扩大为原来的3倍，则锐角∠A的正弦值将（ ）.
A. 扩大为原来的3倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 无法确定
2. 在Rt△ABC中， ∠C=90° ， BC=8 ，AC=6 ，则sinB的值是（ ）.
A. B. C. D.
3. 如图，在正方形网格中有△ABC，则sin∠ABC的值是_______.
4. 如图，点D(0,3)，O(0,0)，C(4,0)在⊙A上， BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD = _______.
第4题图
第3题图
B
D
三、能力训练与拓展
5. 如图，在△ABC中，AB= BC=5 ，sinA= ，则△ABC的面积为_____.
第5题图
6. 如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB=5，AD=4，BE=2，则DF的长是（ ）.
A. B. 2 C. D. 3
第6题图
7. 比较大小，sin81°____sin75°（填“＜”“>”或“=”）.
A
12
＞
三、能力训练与拓展
9. 如图，在△ABC中，AB=5，BC=13，AD是BC边上的高，AD=4，求CD的长和sinC的值.
第9题图
8. 如图，每个小正方形的边长均为1，若点A、B、C都在格点上，则sin∠CAB的值是_______.
第8题图
∵AD是BC边上的高
解：
∴AD⊥BC
在Rt△ABD中，AD=4，AB=5，
∴BD=3
∴CD=BCBD=133=10
在Rt△ACD中，AD=4，CD=10，
∴AC== =2
∴sinC== =
三、能力训练与拓展
10. 如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA=5，弦AC=8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于点D，连接BE.设∠BEC=，求sin的值．
连结BC
解：
∵AB是半圆的直径
∴∠ACB=90°
在Rt△ABC中，AC=8，AB=2OA=2×5=10，
∴BC=6
∴sin== =
第10题图
∵OD⊥AC， OD是半径
∴EC= AC= ×8=4
在Rt△BEC中，BC=6，EC=4，
∴BE== =2
求sin
构造含的直角三角形
sin
求BC、BE
四、自主检测与评价
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则sinA的值是（ ）.
A. B. C. D.
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=6，sinA= ，则AB的长是（ ）.
A.12 B.8 C.9 D.10
3. 直线与x轴相交于点A，与y轴交于点B，则sin∠OAB的值是_______.
4. Rt△ABC的边长都扩大为原来的2倍，则锐角∠A的正弦值将（ ）.
A.不变 B.变大 C.变小 D. 无法确定
B
D
A
四、自主检测与评价
5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4， sinA= ，则斜边上的高为（ ）.
A. B. C. D.
6. 2sin30° 的值等于（ ）.
A. 1 B. C. D. 2
7. 如图，在平面直角坐标系中，P (3,y) 是第一象限内的点， α是OP 与 x 轴正方向所夹的锐角，则sin=_______.
第7题图
B
A
四、自主检测与评价
8. 如图，已知//，相邻两条平行线间的距离相等. 若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行线上，且∠ACB= 90°，则sin=_______.
第8题图
9. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC=2，则sinB的值是( )
第9题图
A. B. C. D.
A
求sinB
找含∠B的直角三角形
连结CD
∠B=∠CDA
sinB=sin∠CDA
sin∠CDA =
转化思想
同弧所对的圆周角相等
四、自主检测与评价
10. 如图，在△ABC中，sinB= ，点F在边BC上，AB=AF=5，过点F作EF⊥CB交AC于点E，且AE：EC=3：5.
（1）求BF的长.
（2）求sinC的值.
第10题图
（1）解：
D
过点A作AD⊥CB，交CB于点D
在Rt△ABD中，AB=5，sinB=，
∴ AD=4
易得BD=3
∵ AB=AF
∴ BF=2BD=2×3=6
（2）解：
∵ AD⊥CB，EF⊥CB，
∴ AD// EF
∵ AE：EC=3：5
∴ DF：FC=3：5
由（1）知DF=3
易得FC=5
∴ CD=DF+FC=3+5=8
在Rt△ADC中，
AD=4，CD=8
易得AC=4
∴ sinC=
等腰三角形三线合一
求sinC
Rt△ADC或Rt△EFC
Rt△ADC
求AC的长
由（1）知AD=4
sinC=
求DC的长
由（1）知DF=3
求FC的长28.1锐角三角函数（1）-正弦
（一）知识理解与建构
【思维导图】
（二）方法剖析与提炼
学业要求一；理解正弦函数的概念，发展运算能力和推理应用意识，
例1 【教材改编】如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，求 sinA 和sinB 的值.
【解析】正弦涉及斜边，所以先利用勾股定理求出斜边，再根据定义求出sinA 和sinB 的值
【解答】∵在 Rt△ABC 中，∠C = 90°
AB==
∴ sinA= sinB=
【解法】利用勾股定理求出斜边，再根据定义求出sinA 和sinB 的值
【解释】通过练习，锻炼学生根据正弦概念正确进行计算的能力.
学业要求二；用正弦函数的知识解决有关现实问题，培养学生的抽象概括能力。
例2为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡角（∠A）为 30°，为使出水口的高度达到35 m，需要准备多长的水管？
【解析】实际问题转化为数学问题；如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A= 30° ，BC = 35 m，求 AB
根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”，可知
∴ AB = 2BC = 2×35 = 70 (m).
故需要准备 70 m 长的水管.
【解答】在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A= 30°，得
∴ AB = 2BC = 2×35 = 70 (m).
【解法】根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”，先求sinA ，再求AB的长
【解释】正确理解正弦的定义即可求解。
学业要求三；理解正弦函数的概念，转化为Rt三角形,突出了数学建模和转化思想，发展运算能力，提高解题技巧.
例3如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角α的正弦值.
【解析】先构造直角三角形，求出斜边，再根据定义求出sinα
【解答】解：过点P作PM垂直于x轴，则OM=3,PM=4,根据勾股定理OP=5
∴sinα=
【解法】转化为直角三角形，再利用根据定义求出sinα的值。
【解释】锻炼学生根据正弦概念正确进行计算的能力，提高解题技巧.
学业要求四；用正弦函数的知识解决有关边长、周长计算问题，发展运算能力和推理应用意识，感悟事物的本质。
例4在 △ABC 中，∠C = 90°，AC = 24 cm，sinA = ，求这个三角形的周长．
【解析】求已知锐角的正弦值借助方程的思想求直角三角形的边长，再求其周长。
【解答】∵∠C = 90°，sinA= ，AC = 24㎝,
∴BC = 7x㎝, AB=25x㎝ 则(7x)2+242=(25x)2解得x=1
∴BC = 7㎝, AB=25㎝，△ABC 的周长=7+24+25=56㎝
【解法】数形结合，抓住正弦的定义找准边的比，再设未知数，利用勾股定理求解方程。
【解释】锻炼求已知锐角的正弦值求直角三角形的边长能力，提高解题技巧.
（三）能力训练与拓展
1.在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦值将 ( )
A. 扩大为原来的3倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 无法确定
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，则sin B的值是( )
A． B． C． D．
3.如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC 的值为 .
4.如图，点 D (0，3)，O (0，0)，C (4，0) 在 ⊙A 上，BD 是 ⊙A 的一条弦，则 sin∠OBD =_____.
5.如图，在 △ABC中， AB = BC = 5，sinA = ，则△ABC 的面积为_______.
6.如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB,AD上，将矩形纸片沿、折叠，点B落在H处，点D落在G处，点恰好在同一直线上，若AB=5,，AD=4，BE=2，则DF的长是（ ）
A． B．2 C． D．3
7.比较大小：sin81° sin75°（填“”、“”或“”）．
8.如图, 每个小正方形的边长均为, 若点A、B、C都在格点上, 则sin∠CAB的值为 。
9.如图，在△ABC中，AB=5，BC=13，是BC边上的高，AD=4，求CD的长和sinC的值.
（四）自主检测与评价
1．已知在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2.在△ABC中，∠C＝90°.若BC＝6，sin A＝，则AB的长是( )
A．12 B．8 C．9 D．10
3.直线y＝x＋2与x轴相交于点A，与y轴交于点，则∠OAB的正值是____．
4.的边长都扩大2倍，则sinA的值（ ）
A．不变 B．变大 C．变小 D．无法判断
5..在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=4,sinA=,则斜边上的高为 ( )
A. B. C. D.
6．的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
7.如图，在平面直角坐标系中，P(3,4)是第一象限内的点，则 ．
8.如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，且∠ACB＝90°，则sinα的值是 .
9如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC＝2，则sin B的值是( )
A． B． C． D．
10.如图,在△ABC中,sin B=,点F在边BC上,AB=AF=5,过点F作EF⊥CB交AC于点E,且AE∶EC=3∶5.
(1)求BF的长.
(2)求sin C的值.
第15讲参考答案
【能力训练与拓展】
1.B 2.D 3. 4． 5. S△ABC=12 6. A 7. ＞ 8.
9. 解：∵AD是BC边上的高
∴AD⊥BC
∴∠ADC=∠ADB=90°
∵AB=5，AD=4，∠ADB=90°
∴BD==3
∵BC=13，∴CD==BC-BD=10
∵AD=4，∠ADC=90°
∴ AC==
10. 解：连接BC，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝6，∵OD⊥AC，∴AE＝CE＝AC＝4，
在Rt△BCE中，BE＝＝2，∴sinα＝＝＝
【自主检测与评价】
1.B 2.D 3.. 4.A 5.B 6.A 7. 8. 9. A
10.解：(1)如图,过点A作AD⊥CB,垂足为D.
在Rt△ABD中,∵sin B= AB=5,
∴AD=4,∴BD=3.
∵AB=AF,AD⊥CB,
∴DF=BD=3,∴BF=6.
(2)∵EF⊥CB,AD⊥CB,
∴EF∥AD,∴.
∵DF=3,
∴CF=5,∴CD=8.
在Rt△ACD中,AC=
∴sin C=
研究路径: 实际问题--数学问题----认识三角函数---运用---解决问题
研究方法：
特殊
一般
特殊角
锐角三角函数
特殊角的三角函数
解直角三角形
正弦
余弦
正切
三边关系
边角关系
实际应用题
仰俯角问题
方位角问题
坡度问题
锐角三角形
三角关系
第4题
第3题
第5题
第6题
第9题
第8题
第10题
第7题
第9题
第7题
第10题
∴sinC== =
