九下第16讲锐角三角函数
（一）知识理解与建构
课标学业要求
1．理解并掌握余弦、正切的概念．
2．通过证明知道当直角三角形锐角固定时，它的邻边与斜边，对边与邻边的比固定．
3．熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．
4．通过运用锐角三角函数的概念解决有关现实问题．
知识结构框架
（二）方法剖析与提炼
学业要求一：理解并掌握余弦、正切的概念
例1【教材改编】如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 15，BC = 9，求 sinA，cosA，tanA 的值.
【解析】综合应用勾股定理计算正弦值、余弦值和正切值.
【解答】解：由勾股定理得，
，，
【解法】掌握并灵活运用三角函数的定义，直接求直角三角形锐角的三角函数值.
【解释】本题主要考查了三角函数的定义和勾股定理，掌握并灵活运用三角函数的定义成为解答本题的关键．
例2【2023·南充】如图，小明同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到C处，已知，则A，C两处相距（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【解析】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解答】解：由题意得，
∴， 故答案为：C
【解法】直接运用解直角三角形的知识即可求解。
【解释】此题根据锐角三角函数的定义及三角函数值求直角三角形的边.
例3把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的5倍，则锐角A的余弦值（ ）
A．扩大为原来的5倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的25倍 D．不变
【解析】Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的5倍，两个三角形相似，根据相似三角形的性质，∠A大小不变，∠A确定的情况下，cosA，tanA为定值，与三角形的大小无关.
【解答】∵各边都扩大5倍，
∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，
∴两三角形相似，
∴∠A的三角函数值不变，故选：D．
【解法】∠A确定的情况下，cosA，tanA为定值，与三角形的大小无关.
【解释】此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．
例4【2024九上·房山期末】如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，DE⊥AC，垂足为点E.
（1）求证：
（2）若，，求DE的长.
【解析】（1）根据矩形的性质，进行角之间的转换即可求出答案；（2）在中，设，，再根据锐角三角形函数的定义可求出DC=5x，再根据矩形的性质结合锐角三角函数定义即可求出答案.
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴
∴
∵DE⊥AC
∴
∴
（2）解：在Rt△DEC中，，设，，
则.
∵，
∴.
∵四边形ABCD是矩形，
∴.
在Rt△ADC中，，.
∴ ∴.
∴ ∴ ∴.
【解法】根据矩形的性质结合锐角三角函数定义即可求出答案.
【解释】本题考查矩形的性质；锐角三角函数的定义.借助几何图形的性质或全等（或相似）等知识进行等角的转化，从而求解.
学业要求二：构造直角三角形求函数值
例5如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝13，S△ABC＝42，求sinA的值．
【解析】过点C作CD⊥AB于点D，构造以∠A为锐角的直角三角形，根据锐角三角函数的定义及利用三角形面积公式求出CD，从而求出sinA的值.
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D.
∵，
∴.
在Rt△ACD中，.
【解法】构造直角三角形，利用锐角三角函数求边长.
【解释】本题考查锐角三角函数的定义及三角形面积公式，构造直角三角形是本题解题关键.
例6【2022·浙江宁波·三模】如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）
C
A． B． C．2 D．
【解析】首先构造以∠A为锐角的直角三角形，根据网格特点可知连接BD，BD⊥AC，然后利用正切的定义即可求解．
【解答】解：连接BD，如图所示：
C
D
根据网格特点可知，BD⊥AC，
∴，
∵，，
∴在Rt△ABD中，，故A正确．
故选：A．
【解法】构造以∠A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解.
【解释】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．
（三）能力训练与拓展
1．如图，△ABC中一边BC与以AC为直径的⊙O相切与点C，若BC=12，AB=13，则sinA=______，cosB=______，tanA=______.
第1题
2．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A = 30°，则直角边BC的长是 ( )
第2题
A．米 B．米 C．米 D．米
3．如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC=2AC，则sinB（ ）
第3题
A．2 B． C． D．
4．（2020·四川雅安·中考真题）如图，在Rt△ACB中，∠C = 90°，，若AC=6，则BC的长为（ ）
第4题
A．8 B．12 C． D．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是( )
第5题
A． B． C．7 D．5
6．如图，在正方形网格纸中,每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为 ( )
D
B
C
A. B. C. D.
7．如图，在锐角三角形ABC中，AB=7，BC=9，△ABC的面积为27.则tan B的值为 .
第7题
8．如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，AB＝，点D在边BC上，连接AD.若tan∠CAD＝，则BD的长为 ．
第8题
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为D. 若AD = 6，CD = 8.则tan B的值为_______.
第9题
10．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(10,0) ，点B在第一象限内，OB = 5，sin∠BOA = .
(1)求点B的坐标.
(2)求cos∠BAO的值.
第10题
11．如图，E是矩形ABCD中CD边上一点,将△BCE沿BE折叠得到△BFE，点F落在边AD上.
(1)求证:△ABF∽△DFE.
(2)若sin∠DFE = ,求tan∠EBC的值.
第11题
（四）自主检测与评价
1．(2023黑龙江哈尔滨南岗模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 2，则cos A的值为( )
第1题
A. B. C. D.
2．如图，在Rt△ABC中，BD是斜边AC上的高，，则下列比值中等于sin A的是（ ）
第2题
A． B． C． D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，AC=8，BC=6，则∠ACD的正切值是 ( )
第3题
A. B. C. D.
4．(2020四川凉山州中考)如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tan A的值为( )
A
A. B. C.2 D.
5．(2020山东烟台中考)如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处.若AB=5，BC=13，则tan∠DAE的值为( )
第5题
A． B．5 C． D．
6．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，☉O是△ABC的外接圆，则tan∠BAC的值为 ( )
O
A. B. C. D.
二、填空题
7．(2022云南昭通昭阳一模)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3BC，则cos B的值为 .
第7题
8．如图，在半径为6的☉O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tan D= .
第8题
9．如图，☉O的直径AB经过弦CD的中点H，若cos∠CDB=，BD=10，则☉O的半径为 .
第9题
10．(2022广东惠州惠城二模)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，求tan∠BDE的值.
第10题
第16讲 参考答案
【能力训练与拓展】
1.，， 2.A 3.B 4.C 5.B 6.D 7. 8.6 9. 10.（1）点B的坐标为(4,3)（2）cos∠BAO=11.（1）证明:由题意可得∠A=∠D=∠C=∠BFE=90°,∴∠AFB+∠DFE=180°-∠BFE=90°.又∵∠AFB+∠ABF=90°,∴∠ABF=∠DFE,∴△ABF∽△DFE.
（2）tan∠EBC=.
【自主检测与评价】
1.B 2.C 3.D 4.A 5.C 6.C 7. 8. 9. 10.(共19张PPT)
初中数学 第十六讲—《锐角三角函数》
锐角三角函数
16
一、知识理解与建构知识
二、方法剖析与提炼
例1.【教材改编】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，求sinA，cosA，tanA的值.
【解析】余弦和正切均涉及邻边，所以先利用勾股定理求出邻边，再根据定义求出sinA，cosA，tanA的值.
【解答】
在Rt△ABC中，∠C=90° ，
AC= = 12，
sinA = == ,
cosA = =，
A
B
C
tanA = =
二、方法剖析与提炼
例2.【2023南充】如图，小明同学从A处出发向正东方向走a米到达C处，再向正北方向走到B处，已知∠BAC= α，则A，B两处相距（ ）米.
【解析】
在Rt△ABC中，已知∠BAC= α，=a ，求AB的长.
【解答】
由题意知，∠C=90°，=a
cos∠BAC = cosα = =
即AB=
答： A，B两处相距米.
文字信息
数学语言
A. B. sin C. D. c
A
B
C
北
二、方法剖析与提炼
例3.把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的5倍，则锐角∠A的余弦值将（ ）.
【解答】
【解析】
A.扩大为原来的5倍 B.缩小为原来的 C.扩大为原来的25倍 D. 不变
∵Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的5倍
∴扩大前后的两个三角形相似
∴ ∠A不变
即∠A的余弦值也不变
进一步理解余弦概念的内涵：在直角三角形中，给定一个锐角，不管这个直角三角形的大小如何，其邻边与斜边之比为定值.
D
二、方法剖析与提炼
例4.【2024房山期末】如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，DE⊥AC，垂足为点E．
【解答】
A
D
C
B
E
（1）求证：∠DAE=∠EDC
（2）若BC=12，tan∠EDC= ，求DE的长.
∵ 矩形ABCD
∵ DE⊥AC
∴ ∠DAE+∠ADE= 90°
即∠EDC +∠ADE= 90°
∴ ∠ADC = 90°
∴ ∠DAE=∠EDC
（1）【解析】
证明角相等
已知条件
平行线的性质、全等、相似、圆周（心）角定理、等边对等角、同（等）角的余角相等……
矩形ABCD 、DE⊥AC
确定证法
根据矩形的性质、垂直的意义，利用同角的余角相等来证明
二、方法剖析与提炼
例4.【2024房山期末】如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，DE⊥AC，垂足为点E．
【解答】
A
D
C
B
E
（2）若BC=12，tan∠EDC= ，求DE的长.
由（1）知，∠DAE=∠EDC
∴ tan∠DAE =tan∠EDC=
（2）【解析】
∵ 矩形ABCD
∴ DA=BC=12
Rt△DAC中，tan∠DAE= = =
解得DC=9
由tan∠EDC= ，可设DE=4x，EC=3x，则DC=5x
即5x=9，解得x=
∴ DE=4×=
注意利用前一问的结论以及矩形的性质，结合已知条件，找某些线段所在的直角三角形.
二、方法剖析与提炼
例5. 如图，在△ABC中，AB=15，AC=13，△ABC的面积为42，求sinA的值．
C
A
B
【解析】
已知三角形的面积
求其中一个角的正弦值
作三角形的高
构造直角三角形
【解答】
D
过点C作CD⊥AB，交AB于点D
∵= ·CD，即42= ×15×CD
解得CD=
在Rt△ACD中，sinA= = × =
二、方法剖析与提炼
例6.【2022宁波三模】如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上，则tanA的值是（ ）．
【解析】
【解答】
在Rt△ABD中，BD=AD=
A. B. C. 2 D.
依托网格，构造含∠A的直角三角形.
D
连结点B所在小正方形的对角线BD，
易知BD⊥AC
∴tanA= =
A
三、能力训练与拓展
1. 如图，△ABC一边BC与以AC为直径的⊙O相切于点C，若BC=12，AB=13，则sinA=_____，cosB=_____，tanA=_____.
2. 如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=30°，则直角边BC的长为（ ）米.
A. m·sin30° B. m·cos30° C. D.
3. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2AC ，则sinB的值是（ ）.
·
A
O
B
C
第1题图
A
B
C
第2题图
A. 2 B. C. D.
C
A
B
第3题图
A
B
三、能力训练与拓展
4.【2020四川雅安中考真题】 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=0.5，若AC=6，则BC的长为（ ）.
A. 8 B. 12 C.6 D. 12
A. B. C. 7 D. 5
B
A
C
第4题图
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连结BD，若cos∠BDC= ，则BC的长为（ ）.
D
A
B
C
E
F
第5题图
B
三、能力训练与拓展
6. 如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（ ）.
A. B. C. D.
7. 在锐角△ABC中，AB=7，BC=9，△ABC的面积为27，则tanB的值是_____.
第6题图
8. 如图，在Rt△ABC中，CA=CB，AB=8，点D在边BC上， 连结AD，若tan∠CAD= ，则BD的长为_____.
C
A
B
D
第8题图
D
三、能力训练与拓展
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，若AD=6，CD=8，则tanB的值为_____.
第9题图
10. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(10,0)，点B在第一象限内，OB=5，sin∠BOA=
（1）求点B的坐标.
（2）求cos∠BOA的值.
x
B
O
A
y
第10题图
B(4, 3)
三、能力训练与拓展
11. 如图，E是矩形ABCD中CD边上一点，将△BCE沿BE折叠得到△BFE，点F落在边AD上.
（1）求证：△ABF∽△DFE.
（2）若sin∠DFE= ，求tan∠EBC的值.
A
D
C
B
F
E
第11题图
△BEF≌△BEC
K字型相似
∵sin∠DFE= ，可设DE=x，则EF=3x
∵△BEF≌△BEC
∴ EC=EF=3x，BC=FB
∴ DF=x
∴ tan∠EBC= = =
∵△ABF∽△DFE
∴ = = =
∴ CD=DE+EC=x+3x=4x
解：
四、自主检测与评价
1. 【2023黑龙江哈尔滨南岗模拟】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，则cosA的值是（ ）.
A. B. C. D. 2
2.如图，在Rt△ABC中，BD是斜边AC上的高，AB≠BC，则下列比值中等于sinA的是（ ）.
A. B. C. D.
A
B
C
第1题图
D
B
C
A
第2题图
B
四、自主检测与评价
3.【2020四川凉山州中考】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，AC=8，BC=6，则∠ACD的正切值是（ ）.
B
A
C
D
第3题图
A. B. C. D.
4. 如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（ ）.
第4题图
A. B. C. 2 D. 2
D
A
四、自主检测与评价
5. 如图，在矩形ABCD中，点E在CD上，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处.若AB=5，BC=13，则tan∠DAE的值为（ ）.
A
D
C
B
F
E
第5题图
A. B. 5 C. D.
6. 如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A、B、C则都在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则tan∠BAC的值为（ ）.
第6题图
A. B. C. D.
四、自主检测与评价
7. 【2022云南昭通昭阳一模】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3BC，则cosB的值是_______.
8.如图，在半径为6的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连结AC 、BD，若AC=2，则tanD=_______.
A
B
C
第7题图
·
A
O
D
C
E
B
第8题图
9.如图，⊙O的直径AB经过弦CD的中点H，若cos∠CDB= ，BD=10，则⊙O的半径为_______.
第9题图
10. 【2022广东惠州惠城二模】如图，在等腰△ABC中，AB=AC=10， BC=12，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，求tan∠BDE的值.
第10题图
四、自主检测与评价
AB=AC
等腰三角形三线合一
连结AD
DE⊥AB
点D为BC的中点
AD⊥BC
∠BDE=∠BAD
tan∠BDE=
tan∠BDE= tan∠BAD=
转化思想
同角的余角相等
∵ DE⊥AB
易知∠BDE=∠BAD
连结AD
解：
∵ AB=AC，点D为BC的中点
∴BD= BC= ×12=6
AD⊥BC
在Rt△ABD中，BD=6，AB=10，
∴AD=8
∴ tan∠BDE= tan∠BAD= =
