九下第十四讲 专题二 三角形相似的基本图形
（一）知识理解与建构
课标学业要求
1.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似，了解相似三角形判定定理的证明
2.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方
3.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题
知识结构框架
（2）“方法剖析与提炼”
学业要求一：利用A字型解决问题
例1如图，正方形MNPQ内接于△ABC，点M、N在BC上，点P、Q分别在AC和AB边上，且BC边上的高AD＝6cm，BC＝12cm，求正方形MNPQ的边长．
【解析】设正方形MNPQ的边长为x，则PQ＝QM＝x，再说明四边形QMDE为矩形得到ED＝QM＝x，然后证明△AQP∽△ABC，再利用相似比可求出x
【解答】解：设正方形MNPQ的边长为x，则PQ＝QM＝x，
∵四边形MNPQ为正方形，
∴PQ∥MN，QM⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴四边形QMDE为矩形，
∴ED＝QM＝x，
∴AE＝AD﹣DE＝6﹣x，
∵PQ∥BC，
∴△AQP∽△ABC，
∴，即，解得x＝4，
即正方形MNPQ的边长为4．
【解法】利用A字型的三角形相似得到对应高线之比等于相似比，建立方程求解.
【解释】本题考查正方形的性质、矩形的判定、相似的判定和性质。利用方程思想，从而解决了求值问题.
学业要求二：利用8字型解决问题
例2 （2023 杨浦区一模）如图，在 ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是 ．
【解析】只要证明△AFE∽△CBE，可得，，由此即可解决问题；
【解答】∵在 ABCD中，AO=AC，
∵点E是OA的中点，
∴AE=CE，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴，
∵S△AEF＝4，，
∴S△BCE＝36，
【解法】利用8字型的相似得到面积比等于相似比的平方.
【解释】本题考察平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，从而求出三角形的面积
学业要求三：利用一线三等角型解决问题
例3．（2023 襄汾县期末）如图，等边△ABC的边长为6，P为BC上一点，BP＝2，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为（ ）
A．2 B． C． D．1
【解析】证明△ABP∽△PCD后，利用相似三角形的性质与判定即可求出答案．
【解答】∵∠B＝∠APD＝∠C＝60°，
∠APC＝∠B+∠BAP，
∴∠B+∠BAP＝∠APD+∠CPD，
即∠BAP＝∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴,
∵AB＝6，BP＝2，
∴，
∴CD=，
故选：B．
【解法】利用一线三等角相似图形得到相似三角形对应边成比例．
【解释】本题考察等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质，从而求出线段的长度．
学业要求四：利用子母型解决问题
例3．（2023 铁西区期中）如图，点D是△ABC的边BC上一点，AB＝2AD，∠DAC＝∠B．如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为 ．
【解析】首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△BCA的面积为1：4，得出△ACD的面积：△ABD的面积＝1：3，即可求出△ACD的面积．
【解答】∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∵AB＝2AD，
∴AD=AB，
∴，
∴，
∴△ACD的面积=15＝5，
【解法】利用子母型相似得到三角形面积比等于相似比的平方.
【解释】本题考察相似三角形的判定和性质，从而求出线段的长度．
（3）“能力训练与拓展”。
1．（2022 巴中）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC：OC＝1：2，过C作CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
第1题图 第2题图 第3题图
2．（2022秋 滁州期末）如图，点E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．21 B．28 C．34 D．42
3．（2021秋 南皮县校级月考）如图，AB．CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q．嘉嘉得出结论，淇淇得出结论，则（ ）
A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人均正确 D．两人均不正确
4．（2021秋 鄞州区校级期末）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．
第4题图 第5题图
5．（2022秋 北碚区校级期末）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，AB＝2AD＝4，则CF长度是（ ）
A． B． C． D．1
6．（2022 东营）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为 ．
第6题图 第7题图 第8题图
7．（2019秋 雁塔区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，AC＝10，点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从C向A运动，当其中一个点到达时，另一个点也随即停止运动，从出发开始 秒后△APQ与△ABC相似．
8．（2017秋 新都区校级月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，且，连接BE、CD相交于点O，则 ．
9．（2022 北京）如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，，则AE的长为 ．
第9题图 第10题图
10．（2021 武威二模）在 ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF：S△CBF是 ．
（4）“自主检测与评价”。
1．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是( )
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
第1题图 第2题图 第3题图
2．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是( )
A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C. ＝ D. ＝
3．如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为( )
A．15 B．10 C. D．5
4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边上的点F处．若AD＝3，BC＝5，则EF的长是( )
A. B．2 C. D．2
第4题图 第5题图 第6题图
5．如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE.下列结论：①∠ACD＝30°；②S ABCD＝AC·BC；③OE∶AC＝∶6；④S△OCF＝2S△OEF，其中成立的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件：____________，使△ABC∽△AED.
7．如图，已知AD、BC相交于点O，AB∥CD∥EF，如果CE＝2，EB＝4，FD＝1.5，那么AD＝________
第7题图 第8题图 第9题图
8．如图，△ABC≌△DEF(点A、B分别与点D、E对应)，AB＝AC＝5，BC＝6，△ABC固定不动，△DEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动(点E不与B、C重合)，DE始终经过点A，EF与AC边交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE＝__________．
9．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC＝2，AB＝3，则BD＝________．
10．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM的最小值为________．
11．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，M为BC上一点，AM交DE于N.
(1)若AE＝4，求EC的长；
(2)若M为BC的中点，S△ABC＝36，求S△ADN的值．
12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G.
(1)若FD＝2，＝，求线段DC的长；
(2)求证：EF·GB＝BF·GE.
13．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.
(1)求证：△ACD∽△BFD；
(2)当AD＝BD，AC＝3时，求BF的长．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B.
(1)求证：AC·CD＝CP·BP；
(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．
第十四讲 参考答案
【能力训练与拓展】
1.A 2.C 3.B 4.D 5.D 6. 4.8 7. 8. 9. 1 10.
【自主检测与评价】
1．A 2．D
3．D 解析：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA.∵AB＝4，AD＝2，∴S△ACD∶S△ABC＝(AD∶AB)2＝1∶4，∴S△ACD∶S△ABD＝1∶3.∵S△ABD＝15，∴S△ACD＝5.故选D.
4.A
5．D 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°.∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCE＝60°，∴△CBE是等边三角形，∴BE＝BC＝CE，∠CEB＝60°.∵AB＝2BC，∴AE＝BE＝BC＝CE，∴∠CAE＝30°，∴∠ACB＝180°－∠CAE－∠ABC＝90°.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB＝30°，故①正确；∵AC⊥BC，∴S ABCD＝AC·BC，故②正确；在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AB＝2BC，∴AC＝BC.∵AO＝OC，AE＝BE，∴OE∥BC，∴OE＝BC，∴OE∶AC＝BC∶BC＝∶6，故③正确；∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴＝＝2，∴S△OCF∶S△OEF＝＝2，∴S△OCF＝2S△OEF，故④正确．故选D.
6．∠ADE＝∠C(答案不唯一)
7．4.5 解析：∵AB∥EF，∴＝，则＝.又∵EF∥CD，∴＝，则＝，∴＝，即＝，解得AF＝3，∴AD＝AF＋FD＝3＋1.5＝4.5.
8．1或 解析：∵△ABC≌△DEF，AB＝AC，∴∠AEF＝∠B＝∠C.∵∠AEC＝∠AEF＋∠MEC＝∠B＋∠BAE，∴∠MEC＝∠EAB.∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM.当AE＝EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE＝AB＝5，∴BE＝BC－EC＝6－5＝1.当AM＝EM时，则∠MAE＝∠MEA，∴∠MAE＋∠BAE＝∠MEA＋∠CEM，即∠CAB＝∠CEA.又∵∠C＝∠C，∴△CAE∽△CBA，∴＝，∴CE＝＝，∴BE＝6－＝，∴BE＝1或.
9.
10. 解析：根据“垂线段最短”，得PM的最小值就是当PM⊥AB时PM的长．∵直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，∴令x＝0，得y＝－3，∴点B的坐标为(0，－3)，即OB＝3.令y＝0，得x＝4，∴点A的坐标为(4，0), 即OA＝4，∴PB＝OP＋OB＝4＋3＝7.在Rt△AOB中，根据勾股定理得AB＝＝＝5.在Rt△PMB与Rt△AOB中，∵∠PBM＝∠ABO，∠PMB＝∠AOB，∴Rt△PMB∽Rt△AOB，∴＝，即＝，解得PM＝.
11．解：(1)∵DE∥BC，∴＝＝.∵AE＝4，∴AC＝6，∴EC＝6－4＝2.
(2)∵M为BC的中点，∴S△ABM＝S△ABC＝18.∵DE∥BC，∴△ADN∽△ABM，∴＝＝，∴S△ADN＝8.
12．(1)解：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴＝＝，∴FC＝3FD＝6，∴DC＝FC－FD＝4.
(2)证明：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，∴＝，＝.∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE，∴＝，∴EF·GB＝BF·GE.
13．(1)证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C＋∠DBF＝90°，∠C＋∠DAC＝90°，∴∠DBF＝∠DAC，∴△ACD∽△BFD.
(2)解：∵AD＝BD，△ACD∽△BFD，∴＝＝1，∴BF＝AC＝3.
14．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C.∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴＝，∴AB·CD＝CP·BP.∵AB＝AC，∴AC·CD＝CP·BP.
(2)解：∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP.∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C.又∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴＝.∵AB＝10，BC＝12，∴＝，∴BP＝.(共17张PPT)
初中数学九下第十四讲 专题二 三角形相似的
基本图形
专题二 三角形相似的
基本图形
01
一、知识理解与建构知识
二、方法剖析与提炼
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二、方法剖析与提炼
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二、方法剖析与提炼
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二、方法剖析与提炼
【解法】利用子母型相似得到三角形面积比等于相似比的平方.
【解释】本题考察相似三角形的判定和性质，从而求出线段的长度．
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三、能力训练与拓展
三、能力训练与拓展
三、能力训练与拓展
三、能力训练与拓展
四、自主检测与评价
四、自主检测与评价
四、自主检测与评价
四、自主检测与评价
四、自主检测与评价
四、自主检测与评价
四、自主检测与评价
.
想象力Z智能中高若
智能
中高考
○
il.
三三
○
.
A字型
8字型
基本图形
一线三等角型
子母型
三角形相似
作平行线构造A字、8字
基本辅助线
作垂线构造直角三角形相似
证明相似
求线段长
基本问题类型
求线段比
证明线段乘积比
网
库网
千库网
民网
C千库网
网
网
C千库网
心子
C千库网
库网
2
网
C千库网
(1)解：.AD∥BC,
,∴.△DEF∽△CBF,
←
阳0
,'.FC=3FD=6,←
∴.DC=FC-FD=4.
(2)证明：，AD∥BC
,'.△DEF∽△CBF,ΛAEG∽△CBG米
EF DE AE GE
←
·‘BF-BC'BC-GB
,点E是边AD的中点
∴.AE=DE
EF GE
·BFGB
。'.EF·GB=BF.GE.
(1)证明：'AD⊥BC,BE⊥AC,
'.∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，
,∴.∠C十∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90←
,'.∠DBF=∠DAC
,.△ACD∽△BFD.
(1)证明：AB=AC,
,.∠B=∠C.
,∠APD=∠B,H
,.∠APD=∠B=∠C.←
,'∠APC=∠BAP十∠B,∠APC=∠APD+∠DPC,←
,.∠BAP=∠DPC,
,∴.△ABP∽△PCD,
