九下第17讲 特殊角的三角函数值
（一）知识理解与建构
课标学业要求
1．利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，cos A，tan A)，知道30°，45°，60°角的三角函数值．
知识结构框架
（二）方法剖析与提炼
学业要求一：特殊角的三角函数值及其混合运算
例1【教材改编】求下列各式的值：
(1)4sin260°＋tan 45°－8cos230°＝____.
(2)cos 60°－2sin245°＋tan230°－sin 30°＝____.
(3) ＝____.
【解析】记住/会推导特殊角的三角函数值，这是本题的突破口。
α 30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α 1
【解答】(1)原式=4×＋1－8×
=4×＋1－8×
=3＋1－6＝－2.
(2)原式= －2×＋×－
=－2×＋×－
=－1＋－＝－.
(3)原式= = = =.
【解法】将特殊角的三角函数值代入计算.
【解释】本题考查特殊角的三角函数值，二次根式的化简.
学业要求二：根据特殊的三角函数值求特殊角
例2【教材母题】（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝ ，求∠A的度数．
（2）如图（2），AO是圆锥的高，OB是底面半径，AO＝OB，求α的度数．
【解析】根据题目给的已知条件，可以得到∠A（∠AOB）的正弦函数（正切函数），而这个正弦函数（正切函数）值正好是我们熟悉的特殊值，从而得到∠A（∠AOB）的度数.
【解答】（1）∵sinA= = = ，
∴∠A=45°
（2）∵tanα= = =
∴α=60°
【解法】先求三角函数，再根据求得的三角函数值倒推角度.
【解释】首先要了解三角函数的定义，解答本题的关键是知道各个三角函数分别是哪条边比哪条边.，初学的同学可能容易混淆.
学业要求三：实际背景下的特殊角的三角函数值的运用
例3【2023·十堰】如图，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB＝45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D＝30°，则CD的长度约为(参考数据：≈1.414，≈1.732)( )
第3题图
A．1.59米 B．2.07米
C．3.55米 D．3.66米
【解析】Rt△ABC中，根据已知的45°角、AB的长，要求CA的长，可以用tan45°; Rt△ABD中，根据已知的30°角、AB的长，要求DA的长，可以用tan30°或者tan60°.再将DA减去CA，即可得到DC，最后的答案取近似值.
【解答】 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴AC＝AB＝5米．
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠D＝30°，
∴∠ABD＝60°，
∴＝tan∠ABD＝tan 60°＝，
∴AD＝AB，
∴CD＝AD－AC＝AB－AB≈1.732×5－5≈3.66(米)．
【解法】从实际问题中提取直角三角形的有用信息，得到需要用的三角函数，再进行解直角三角形.
【解释】本题考查学生的读题能力，以及运用已知边长和已知特殊角、选取合适的三角函数的能力.需要学生用数学的眼光去看待世界，用数学的思维思考现实世界，并用数学的语言去表达世界.
（三）能力训练与拓展
1．sin 45°＋的值等于( )
A．1 B．
C． D．2
2．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点E.若∠A＝30°，则sin E的值为( )
A． B．
C． D．
3．如图，一辆卡车沿倾斜角为30°的斜坡向上行驶100 m，则卡车沿水平方向经过的距离为____m，沿铅垂方向经过的距离为____m.
计算：sin 30°＝____.
已知∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，其中∠A，∠B是锐角．若＋(cos B
－)2＝0，则∠C的度数为____°.
6.计算：
(1)tan260°＋4sin30°·cos45°.
(2)＋tan 60°.
7.如图，某轮船在海上以每小时30海里的速度向正西方向航行．上午8：00在点B处测得小岛A在北偏东30°方向，上午9：00船到达点C处，测得小岛A在北偏东45°方向．如果轮船继续向西航行，上午11：00到达点D处，则点D与小岛A的距离为____海里(精确到0.1海里)．
8.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，AC＝4，OE＝2.求OD的长及tan∠EDO的值．
9.（2023·郴州）某次军事演习中，一艘船以40 km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离(参考数据：≈1.41，≈1.73，结果精确到0.1 km)．
10.（2023·重庆）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品．经测量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东方向，AC＝3 600米．
(1)求B养殖场与灯塔C的距离．
(2)甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米/分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？
(结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732)
（四）自主检测与评价
1.（2023·荆州）如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6 m，则该校的旗杆高约为____m(结果精确到0.1 m，≈1.73)．
2.计算：sin 45°＋cos230°－＋2sin 60°.
3.（2023·黄冈）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45°，尚美楼顶部F的俯角为30°，已知博雅楼高度CE为15米，则尚美楼高度DF为____米(结果保留根号)．
4.（2023·舟山模拟）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别为边BC，AB上的动点，运动过程中始终保持BD＝2AE.连结DE，在DE右侧作等边三角形DEF，并连结AF.当DE⊥BC时，若AB＝10，则DE＝____.
5.（2023·眉山）如图，一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是____海里．
6.如图，在△ABC中，以AC，BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，连结DF，并过点C作CH⊥AB于点H，并交FD于点M.若∠ACB＝120°，AC＝3，BC＝2，则MD的长为____.
7.（2023·丽水）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A－D－C，已知DC⊥BC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝11 m，CD＝4 m，求管道A－D－C的总长．
8．如图，某防洪大坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡CD的坡角为30°，坝顶AD宽度为2米，坝高AE为4米，背水坡AB的坡度i＝1∶1.
(1)求该堤坝的横截面积．
(2)为更好应对可能来临的汛情，防洪指挥部决定加固堤坝，要求坝高不变，坝顶宽度增加1米，背水坡的坡度改为i＝1∶1.5，求加固后的堤坝的横截面积．(结果均保留根号)
9.如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面CQ，坡角∠QCN＝30°.在阳光下，小明观察到立柱在地面上的影长为120 cm，在坡面上的影长为180 cm.同一时刻，小明测得直立于地面上长60 cm的木杆的影长为90 cm(其影子完全落在地面上)．求立柱AB的高度．
第17讲 参考答案
【能力训练与拓展】
1.B 2 .A 3. 50，50 4. 5.（1）3＋，（2） 6. 200π ，300π 7. 149.0
8. 2，
9.由题意，得AB＝40×2＝80(海里)，∠CAB＝30°，∠ABC＝45°.
过点C作CD⊥AB于点D，则CD的长即为该船在航行过程中与小岛C的最近距离，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴AD＝CD，BD＝CD．
又∵AB＝80海里，
∴CD＋CD＝80，
解得CD＝40－40≈29.2(海里)．
答：该船在航行过程中与小岛C的最近距离为29.2海里．
10.(1)如答图，过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，AC＝3600米，cos 60°＝，sin 60°＝，
∴AD＝3 600×＝1 800(米)，CD＝3 600×＝1 800(米)．
在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，
∴∠B＝45°＝∠BCD，∴BD＝CD＝1 800米，
∴BC＝＝1 800≈2 545(米)．
答：B养殖场与灯塔C的距离约为2 545米．
(2)AB＝AD＋BD＝1 800＋1 800≈4 917.6(米)，
600×9＝5 400(米)．
∵5 400米＞4 917.6米，
∴能在9分钟内到达B处．
【自主检测与评价】
13.8 2. 1＋ 3.(30－) 4. 5.(＋6) 6.
7. 解：如答图，过点D作DE⊥AB于点E.
由题意，得BE＝CD＝4 m.
又∵AB＝11 m，∴AE＝7 m.
∵∠A＝60°，
∴AD＝＝14 m，
∴AD＋CD＝18 m.
答：管道A－D－C的总长为18 m.
8. 解：(1)如答图，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形AEFD为矩形．
易知EF＝AD＝2米，DF＝AE＝4米．
∵背水坡AB的坡度i＝1∶1，
∴BE＝AE＝4米．
在Rt△DCF中，∠DCF＝30°，
则CF＝＝＝(米)，
∴堤坝的横截面积为×(2＋4＋2＋)×4＝(16＋)平方米．
(2)加固后的堤坝如答图，过点G作GQ⊥BC于点Q，则GQ＝AE＝4米．
∵加固后背水坡的坡度改为i＝1∶1.5，
∴HQ＝6米，
∴CH＝HQ＋QF＋FC＝(9＋)米，
则加固后堤坝的横截面积为×(9＋4＋3)×4＝(24＋)平方米．
答：加固后的堤坝的横截面积为(24＋)平方米．
9.解：如答图，延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，
在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∠DCF＝30°，
则DF＝CD＝90 cm，CF＝CD·cos∠DCF＝180×＝90(cm)．
由题意，得＝，即＝，
解得EF＝135，
∴BE＝BC＋CF＋EF＝120＋90＋135＝(255＋90)cm.
易知tan∠AEB＝＝，
故AB＝(170＋60)cm，
即立柱AB的高度为(170＋60)cm.(共22张PPT)
初中数学 第十七讲—《特殊角的三角函数值》
17
一、知识理解与建构知识
特殊角的三角函数值
二、方法剖析与提炼
【解析】记住/会推导特殊角的三角函数值，这是本题的突破口。
【解法】将特殊角的三角函数值代入计算.
【解释】本题考查特殊角的三角函数值，二次根式的化简.
二、方法剖析与提炼
【解析】根据题目给的已知条件，可以得到∠A（∠ABO）的正弦函数（正切函数），而这个正弦函数（正切函数）值正好是我们熟悉的特殊值，从而得到∠A（∠ABO）的度数.
【解法】先求三角函数，再根据求得的三角函数值倒推角度.
【解释】首先要了解三角函数的定义，解答本题的关键是知道各个三角函数分别是哪条边比哪条边.，初学的同学可能容易混淆.
二、方法剖析与提炼
第3题图
A．1.59米 B．2.07米 C．3.55米 D．3.66米
【解析】Rt△ABC中，根据已知的45°角、AB的长，要求CA的长，可以用tan45°;Rt△ABD中，根据已知的30°角、AB的长，要求DA的长，可以用tan30°或者tan60°.再将DA减去CA，即可得到DC，最后的答案取近似值.
二、方法剖析与提炼
第3题图
【解法】从实际问题中提取直角三角形的有用信息，得到需要用的三角函数，再进行解直角三角形.
【解释】本题考查学生的读题能力，以及运用已知边长和已知特殊角、选取合适的三角函数的能力.需要学生用数学的眼光去看待世界，用数学的思维思考现实世界，并用数学的语言去表达世界.
三、能力训练与拓展
第2题
B
A
三、能力训练与拓展
3．如图，一辆卡车沿倾斜角为30°的斜坡向上行驶100 m，则卡车沿水平方向经过的距离为__ __m，沿铅垂方向经过的距离为____m.
第3题
4. 计算：sin 30°＝____.
50
120
180°
三、能力训练与拓展
7.如图，某轮船在海上以每小时30海里的速度向正西方向航行．上午8：00在点B处测得小岛A在北偏东30°方向，上午9：00船到达点C处，测得小岛A在北偏东45°方向．如果轮船继续向西航行，上午11：00到达点D处，则点D与小岛A的距离为 海里(精确到0.1海里)．
第7题
149.0
E
x+30
x
三、能力训练与拓展
8.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，AC＝4，OE＝2.求OD的长及tan∠EDO的值．
第8题
三、能力训练与拓展
第9题
三、能力训练与拓展
三、能力训练与拓展
第10题答图
四、自主检测与评价
1.如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则该校的旗杆高约为____m(结果精确到0.1 m，
≈1.73)．
第1题
13.8
四、自主检测与评价
3.综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45°，尚美楼顶部F的俯角为30°，已知博雅楼高度CE为15米，则尚美楼高度DF为 米(结果保留根号)．
4.如图，△ABC是等边三角形，D，E分别为边BC，AB上的动点，运动过程中始终保持BD＝2AE.连结DE，在DE右侧作等边三角形DEF，并连结AF.当DE⊥BC时，若AB＝10，则DE＝____.
第3题图
第4题图
C
D
A
E
F
B
四、自主检测与评价
5.如图，一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 海里．
6.如图，在△ABC中，以AC，BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，连结DF，并过点C作CH⊥AB于点H，并交FD于点M.若∠ACB＝120°，AC＝3，BC＝2，则MD的长为____.
第5题图
第6题图
3
3
2
2
P
N
Q
四、自主检测与评价
7.如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A－D－C，已知DC⊥BC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝11m，CD＝4m，求管道A－D－C的总长．
第7题
第7题答图
四、自主检测与评价
8．如图，某防洪大坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡CD的坡角为30°，坝顶AD宽度为2米，坝高AE为4米，背水坡AB的坡度i＝1∶1.
(1)求该堤坝的横截面积．
(2)为更好应对可能来临的汛情，防洪指挥部决定加固堤坝，要求坝高不变，坝顶宽度增加1米，背水坡的坡度改为i＝1∶1.5，求加固后的堤坝的横截面积．(结果均保留根号)
第8题图
四、自主检测与评价
第8题答图
四、自主检测与评价
第8题答图
四、自主检测与评价
9.如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面CQ，坡角∠QCN＝30°.在阳光下，小明观察到立柱在地面上的影长为120cm，在坡面上的影长为180 cm.同一时刻，小明测得直立于地面上长60cm的木杆的影长为90cm(其影子完全落在地面上)．求立柱AB的高度．
第9题图
四、自主检测与评价
第9题答图
